MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsub 24405
Description: Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgadd.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
itgadd.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsub (𝜑 → ∫𝐴(𝐵𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgsub
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 24347 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgadd.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 24216 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 itgadd.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 24347 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 itgadd.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 24216 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110negcld 10960 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
129, 6iblneg 24382 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ 𝐿1)
135, 1, 11, 12itgadd 24404 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴-𝐶 d𝑥))
149, 6itgneg 24383 . . . 4 (𝜑 → -∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐴-𝐶 d𝑥)
1514oveq2d 7147 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴-𝐶 d𝑥))
1613, 15eqtr4d 2858 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥))
175, 10negsubd 10979 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
1817itgeq2dv 24361 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = ∫𝐴(𝐵𝐶) d𝑥)
194, 1itgcl 24363 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
209, 6itgcl 24363 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
2119, 20negsubd 10979 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))
2216, 18, 213eqtr3d 2863 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  cmpt 5120  (class class class)co 7131  cc 10511   + caddc 10516  cmin 10846  -cneg 10847  MblFncmbf 24194  𝐿1cibl 24197  citg 24198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cc 9833  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591  ax-addf 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-of 7385  df-ofr 7386  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-2o 8079  df-oadd 8082  df-omul 8083  df-er 8265  df-map 8384  df-pm 8385  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-q 12326  df-rp 12367  df-xneg 12484  df-xadd 12485  df-xmul 12486  df-ioo 12719  df-ioc 12720  df-ico 12721  df-icc 12722  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-mod 13220  df-seq 13352  df-exp 13413  df-hash 13674  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-clim 14823  df-rlim 14824  df-sum 15021  df-rest 16672  df-topgen 16693  df-psmet 20510  df-xmet 20511  df-met 20512  df-bl 20513  df-mopn 20514  df-top 21475  df-topon 21492  df-bases 21527  df-cmp 21968  df-ovol 24044  df-vol 24045  df-mbf 24199  df-itg1 24200  df-itg2 24201  df-ibl 24202  df-itg 24203  df-0p 24250
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  24412  ftc1lem4  24618  itgulm  24979  areaquad  39946  itgsinexp  42375
  Copyright terms: Public domain W3C validator