Theorem mbfmulc2 25622

Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mbfmulc2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
mbfmulc2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
2		mbfmulc2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	mbfdm2 25596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
4		mbfmulc2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	recld 15119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
8	1, 2	mbfmptcl 25595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	recld 15119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
12		ovexd 7393	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
13		fconstmpt 5686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
15		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
16	3, 6, 9, 14, 15	offval2 7642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
17	4	imcld 15120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
20	8	imcld 15120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
21		fconstmpt 5686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
23		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
24	3, 19, 20, 22, 23	offval2 7642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
25	3, 11, 12, 16, 24	offval2 7642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
26	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
28	20	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcld 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
30	11, 29	negsubd 11500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
31	27, 28	mulneg1d 11592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
32	31	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
33	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33, 8	remuld 15143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
35	30, 32, 34	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
36	35	mpteq2dva 5191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
37	25, 36	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
38	8	ismbfcn2 25597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
39	1, 38	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
40	39	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
41	10	fmpttd 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
42	40, 5, 41	mbfmulc2re 25607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
43	39	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
44	28	fmpttd 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
45	43, 18, 44	mbfmulc2re 25607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
46	42, 45	mbfadd 25620	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
47	37, 46	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
48		ovexd 7393	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
49		ovexd 7393	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
50	3, 6, 20, 14, 23	offval2 7642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
51		fconstmpt 5686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
53	3, 26, 9, 52, 15	offval2 7642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
54	3, 48, 49, 50, 53	offval2 7642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
55	33, 8	immuld 15144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
56	55	mpteq2dva 5191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
57	54, 56	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
58	43, 5, 44	mbfmulc2re 25607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
59	40, 17, 41	mbfmulc2re 25607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
60	58, 59	mbfadd 25620	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
61	57, 60	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
62	33, 8	mulcld 11154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
63	62	ismbfcn2 25597	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
64	47, 61, 63	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  ℂcc 11026  ℝcr 11027   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  -cneg 11367  ℜcre 15022  ℑcim 15023  volcvol 25422  MblFncmbf 25573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xadd 13029  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-xmet 21304  df-met 21305  df-ovol 25423  df-vol 25424  df-mbf 25578

This theorem is referenced by:  iblmulc2  25790