Theorem mbfmulc2 25999

Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mbfmulc2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
mbfmulc2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
2		mbfmulc2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	mbfdm2 25973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
4		mbfmulc2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	recld 15376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11350	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
8	1, 2	mbfmptcl 25972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	recld 15376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11350	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 11342	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
12		ovexd 7465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( -(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
13		fconstmpt 5717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
15		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
16	3, 6, 9, 14, 15	offval2 7723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
17	4	imcld 15377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11756	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
20	8	imcld 15377	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
21		fconstmpt 5717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × { -(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { -(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
23		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
24	3, 19, 20, 22, 23	offval2 7723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × { -(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( -(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
25	3, 11, 12, 16, 24	offval2 7723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × { -(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + ( -(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
26	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
28	20	recnd 11350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcld 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
30	11, 29	negsubd 11688	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
31	27, 28	mulneg1d 11782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( -(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
32	31	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + ( -(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
33	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33, 8	remuld 15400	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
35	30, 32, 34	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + ( -(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
36	35	mpteq2dva 5201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + ( -(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
37	25, 36	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × { -(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
38	8	ismbfcn2 25974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
39	1, 38	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
40	39	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
41	10	fmpttd 7126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
42	40, 5, 41	mbfmulc2re 25984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
43	39	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
44	28	fmpttd 7126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
45	43, 18, 44	mbfmulc2re 25984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × { -(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
46	42, 45	mbfadd 25997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × { -(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
47	37, 46	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
48		ovexd 7465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
49		ovexd 7465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
50	3, 6, 20, 14, 23	offval2 7723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
51		fconstmpt 5717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
53	3, 26, 9, 52, 15	offval2 7723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
54	3, 48, 49, 50, 53	offval2 7723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
55	33, 8	immuld 15401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
56	55	mpteq2dva 5201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
57	54, 56	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
58	43, 5, 44	mbfmulc2re 25984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
59	40, 17, 41	mbfmulc2re 25984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
60	58, 59	mbfadd 25997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
61	57, 60	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
62	33, 8	mulcld 11342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
63	62	ismbfcn2 25974	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
64	47, 61, 63	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  {csn 4588   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  dom cdm 5655  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7701  ℂcc 11211  ℝcr 11212   + caddc 11216   · cmul 11218   − cmin 11554   -cneg 11555  ℜcre 15279  ℑcim 15280  volcvol 25799  MblFncmbf 25950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cc 10526  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-omul 8495  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-dju 9995  df-card 10033  df-acn 10036  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xadd 13255  df-ioo 13493  df-ioc 13494  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-xmet 21686  df-met 21687  df-ovol 25800  df-vol 25801  df-mbf 25955

This theorem is used by:  iblmulc2  26166