MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2 24427
Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
mbfmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
mbfmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
31, 2mbfdm2 24401 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54recld 14655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
65adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 10759 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
81, 2mbfmptcl 24400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98recld 14655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
109recnd 10759 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
117, 10mulcld 10751 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
12 ovexd 7217 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
13 fconstmpt 5595 . . . . . . 7 (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
15 eqidd 2740 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
163, 6, 9, 14, 15offval2 7456 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
174imcld 14656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
1817renegcld 11157 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
1918adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
208imcld 14656 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
21 fconstmpt 5595 . . . . . . 7 (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
23 eqidd 2740 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
243, 19, 20, 22, 23offval2 7456 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
253, 11, 12, 16, 24offval2 7456 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
2617adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
2726recnd 10759 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
2820recnd 10759 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
2927, 28mulcld 10751 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
3011, 29negsubd 11093 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
3127, 28mulneg1d 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
3231oveq2d 7198 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
334adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433, 8remuld 14679 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
3530, 32, 343eqtr4d 2784 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
3635mpteq2dva 5135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
3725, 36eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
388ismbfcn2 24402 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
391, 38mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
4039simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4110fmpttd 6901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4240, 5, 41mbfmulc2re 24412 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4339simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4428fmpttd 6901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4543, 18, 44mbfmulc2re 24412 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4642, 45mbfadd 24425 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
4737, 46eqeltrrd 2835 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
48 ovexd 7217 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
49 ovexd 7217 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
503, 6, 20, 14, 23offval2 7456 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
51 fconstmpt 5595 . . . . . . 7 (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
5251a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
533, 26, 9, 52, 15offval2 7456 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
543, 48, 49, 50, 53offval2 7456 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
5533, 8immuld 14680 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
5655mpteq2dva 5135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
5754, 56eqtr4d 2777 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
5843, 5, 44mbfmulc2re 24412 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
5940, 17, 41mbfmulc2re 24412 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6058, 59mbfadd 24425 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
6157, 60eqeltrrd 2835 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
6233, 8mulcld 10751 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
6362ismbfcn2 24402 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
6447, 61, 63mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3400  {csn 4526  cmpt 5120   × cxp 5533  dom cdm 5535  cfv 6349  (class class class)co 7182  f cof 7435  cc 10625  cr 10626   + caddc 10630   · cmul 10632  cmin 10960  -cneg 10961  cre 14558  cim 14559  volcvol 24227  MblFncmbf 24378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cc 9947  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-oadd 8147  df-omul 8148  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-dju 9415  df-card 9453  df-acn 9456  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xadd 12603  df-ioo 12837  df-ioc 12838  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-rlim 14948  df-sum 15148  df-xmet 20222  df-met 20223  df-ovol 24228  df-vol 24229  df-mbf 24383
This theorem is referenced by:  iblmulc2  24595
  Copyright terms: Public domain W3C validator