MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfmulc2 25187
Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
mbfmulc2.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
mbfmulc2.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
31, 2mbfdm2 25161 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
54recld 15143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
76recnd 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
81, 2mbfmptcl 25160 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
98recld 15143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
109recnd 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ β„‚)
117, 10mulcld 11236 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
12 ovexd 7446 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ V)
13 fconstmpt 5738 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ))
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)))
15 eqidd 2733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))
163, 6, 9, 14, 15offval2 7692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅))))
174imcld 15144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
1817renegcld 11643 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -(β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -(β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
208imcld 15144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
21 fconstmpt 5738 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -(β„‘β€˜πΆ))
2221a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -(β„‘β€˜πΆ)))
23 eqidd 2733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))
243, 19, 20, 22, 23offval2 7692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
253, 11, 12, 16, 24offval2 7692 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)))))
2617adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
2726recnd 11244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ β„‚)
2820recnd 11244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
2927, 28mulcld 11236 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
3011, 29negsubd 11579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + -((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))) = (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) βˆ’ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
3127, 28mulneg1d 11669 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) = -((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)))
3231oveq2d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))) = (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + -((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
334adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3433, 8remuld 15167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡)) = (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) βˆ’ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
3530, 32, 343eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))) = (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡)))
3635mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡))))
3725, 36eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡))))
388ismbfcn2 25162 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)))
391, 38mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn))
4039simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
4110fmpttd 7116 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚)
4240, 5, 41mbfmulc2re 25172 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
4339simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)
4428fmpttd 7116 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚)
4543, 18, 44mbfmulc2re 25172 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∈ MblFn)
4642, 45mbfadd 25185 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))) ∈ MblFn)
4737, 46eqeltrrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ MblFn)
48 ovexd 7446 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ V)
49 ovexd 7446 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) ∈ V)
503, 6, 20, 14, 23offval2 7692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
51 fconstmpt 5738 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ))
5251a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)))
533, 26, 9, 52, 15offval2 7692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅))))
543, 48, 49, 50, 53offval2 7692 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) + ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)))))
5533, 8immuld 15168 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡)) = (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) + ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅))))
5655mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) + ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)))))
5754, 56eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡))))
5843, 5, 44mbfmulc2re 25172 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∈ MblFn)
5940, 17, 41mbfmulc2re 25172 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
6058, 59mbfadd 25185 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))) ∈ MblFn)
6157, 60eqeltrrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ MblFn)
6233, 8mulcld 11236 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
6362ismbfcn2 25162 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ MblFn)))
6447, 61, 63mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  β„œcre 15046  β„‘cim 15047  volcvol 24987  MblFncmbf 25138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-xmet 20943  df-met 20944  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25355
  Copyright terms: Public domain W3C validator