MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2 25712
Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
mbfmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
mbfmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
31, 2mbfdm2 25686 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54recld 15230 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
81, 2mbfmptcl 25685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98recld 15230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
117, 10mulcld 11279 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
12 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
13 fconstmpt 5751 . . . . . . 7 (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
15 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
163, 6, 9, 14, 15offval2 7717 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
174imcld 15231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
1817renegcld 11688 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
208imcld 15231 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
21 fconstmpt 5751 . . . . . . 7 (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
23 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
243, 19, 20, 22, 23offval2 7717 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
253, 11, 12, 16, 24offval2 7717 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
2617adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
2726recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
2820recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
2927, 28mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
3011, 29negsubd 11624 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
3127, 28mulneg1d 11714 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
3231oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
334adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433, 8remuld 15254 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
3530, 32, 343eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
3635mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
3725, 36eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
388ismbfcn2 25687 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
391, 38mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
4039simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4110fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4240, 5, 41mbfmulc2re 25697 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4339simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4428fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4543, 18, 44mbfmulc2re 25697 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4642, 45mbfadd 25710 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
4737, 46eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
48 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
49 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
503, 6, 20, 14, 23offval2 7717 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
51 fconstmpt 5751 . . . . . . 7 (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
5251a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
533, 26, 9, 52, 15offval2 7717 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
543, 48, 49, 50, 53offval2 7717 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
5533, 8immuld 15255 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
5655mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
5754, 56eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
5843, 5, 44mbfmulc2re 25697 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
5940, 17, 41mbfmulc2re 25697 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6058, 59mbfadd 25710 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
6157, 60eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
6233, 8mulcld 11279 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
6362ismbfcn2 25687 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
6447, 61, 63mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  cre 15133  cim 15134  volcvol 25512  MblFncmbf 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25881
  Copyright terms: Public domain W3C validator