Theorem mbfmulc2 25597

Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mbfmulc2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
mbfmulc2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
2		mbfmulc2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	mbfdm2 25571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
4		mbfmulc2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	recld 15136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
8	1, 2	mbfmptcl 25570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	recld 15136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 11170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
12		ovexd 7404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
13		fconstmpt 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
15		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
16	3, 6, 9, 14, 15	offval2 7653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
17	4	imcld 15137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
20	8	imcld 15137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
21		fconstmpt 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
23		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
24	3, 19, 20, 22, 23	offval2 7653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
25	3, 11, 12, 16, 24	offval2 7653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
26	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
28	20	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
30	11, 29	negsubd 11515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
31	27, 28	mulneg1d 11607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
32	31	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
33	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33, 8	remuld 15160	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
35	30, 32, 34	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
36	35	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
37	25, 36	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
38	8	ismbfcn2 25572	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
39	1, 38	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
40	39	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
41	10	fmpttd 7069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
42	40, 5, 41	mbfmulc2re 25582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
43	39	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
44	28	fmpttd 7069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
45	43, 18, 44	mbfmulc2re 25582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
46	42, 45	mbfadd 25595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
47	37, 46	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
48		ovexd 7404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
49		ovexd 7404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
50	3, 6, 20, 14, 23	offval2 7653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
51		fconstmpt 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
53	3, 26, 9, 52, 15	offval2 7653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
54	3, 48, 49, 50, 53	offval2 7653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
55	33, 8	immuld 15161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
56	55	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
57	54, 56	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
58	43, 5, 44	mbfmulc2re 25582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
59	40, 17, 41	mbfmulc2re 25582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
60	58, 59	mbfadd 25595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘f + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
61	57, 60	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
62	33, 8	mulcld 11170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
63	62	ismbfcn2 25572	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
64	47, 61, 63	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {csn 4585   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℂcc 11042  ℝcr 11043   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382  ℜcre 15039  ℑcim 15040  volcvol 25397  MblFncmbf 25548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-xmet 21289  df-met 21290  df-ovol 25398  df-vol 25399  df-mbf 25553

This theorem is referenced by:  iblmulc2  25765