MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2 25043
Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
mbfmulc2.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
mbfmulc2.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
31, 2mbfdm2 25017 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
54recld 15086 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
65adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
76recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
81, 2mbfmptcl 25016 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
98recld 15086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
109recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ β„‚)
117, 10mulcld 11182 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
12 ovexd 7397 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ V)
13 fconstmpt 5699 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ))
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)))
15 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))
163, 6, 9, 14, 15offval2 7642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅))))
174imcld 15087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
1817renegcld 11589 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -(β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
1918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -(β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
208imcld 15087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
21 fconstmpt 5699 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -(β„‘β€˜πΆ))
2221a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -(β„‘β€˜πΆ)))
23 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))
243, 19, 20, 22, 23offval2 7642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
253, 11, 12, 16, 24offval2 7642 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)))))
2617adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
2726recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ β„‚)
2820recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
2927, 28mulcld 11182 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
3011, 29negsubd 11525 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + -((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))) = (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) βˆ’ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
3127, 28mulneg1d 11615 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) = -((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)))
3231oveq2d 7378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))) = (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + -((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
334adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3433, 8remuld 15110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡)) = (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) βˆ’ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
3530, 32, 343eqtr4d 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))) = (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡)))
3635mpteq2dva 5210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) + (-(β„‘β€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡))))
3725, 36eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡))))
388ismbfcn2 25018 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)))
391, 38mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn))
4039simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
4110fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚)
4240, 5, 41mbfmulc2re 25028 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
4339simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)
4428fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚)
4543, 18, 44mbfmulc2re 25028 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∈ MblFn)
4642, 45mbfadd 25041 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {-(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))) ∈ MblFn)
4737, 46eqeltrrd 2839 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ MblFn)
48 ovexd 7397 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ V)
49 ovexd 7397 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)) ∈ V)
503, 6, 20, 14, 23offval2 7642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅))))
51 fconstmpt 5699 . . . . . . 7 (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ))
5251a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)))
533, 26, 9, 52, 15offval2 7642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅))))
543, 48, 49, 50, 53offval2 7642 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) + ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)))))
5533, 8immuld 15111 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡)) = (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) + ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅))))
5655mpteq2dva 5210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((β„œβ€˜πΆ) Β· (β„‘β€˜π΅)) + ((β„‘β€˜πΆ) Β· (β„œβ€˜π΅)))))
5754, 56eqtr4d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡))))
5843, 5, 44mbfmulc2re 25028 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∈ MblFn)
5940, 17, 41mbfmulc2re 25028 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
6058, 59mbfadd 25041 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Γ— {(β„œβ€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))) ∘f + ((𝐴 Γ— {(β„‘β€˜πΆ)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))) ∈ MblFn)
6157, 60eqeltrrd 2839 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ MblFn)
6233, 8mulcld 11182 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
6362ismbfcn2 25018 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ MblFn)))
6447, 61, 63mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057   + caddc 11061   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  β„œcre 14989  β„‘cim 14990  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25211
  Copyright terms: Public domain W3C validator