Theorem itgabs 25870

Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgabs	⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabs

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgabs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		itgabs.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
3	1, 2	itgcl 25819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
4	3	cjcld 15235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5		iblmbf 25802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
7	6, 1	mbfmptcl 25671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10		nfcsb1v 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	10	nfel1 2922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
12		csbeq1a 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13	12	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	9, 11, 13	cbvralw 3306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
15	8, 14	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	15	r19.21bi 3251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
18	17, 10, 12	cbvmpt 5253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
19	18, 2	eqeltrrid 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ 𝐿1)
20	4, 16, 19	iblmulc2 25866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
21	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
22	21, 16	mulcld 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
23	22	iblcn 25834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)))
24	20, 23	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1))
25	24	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
26		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ V)
27	26, 20	iblabs 25864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
28	22	recld 15233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
29	22	abscld 15475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
30	22	releabsd 15490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
31	25, 27, 28, 29, 30	itgle 25845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
32	3	abscld 15475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
34	33	sqvald 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
35	3	absvalsqd 15481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
36	3, 4	mulcomd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
37	12, 17, 10	cbvitg 25811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦
38	37	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦)
39	4, 16, 19	itgmulc2 25869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
40	38, 39	eqtrid 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
41	35, 36, 40	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
42	41	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦))
43	32	resqcld 14165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
44	43	rered 15263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
45	26, 20	itgre 25836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
46	42, 44, 45	3eqtr3d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
47	34, 46	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
48	12	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘𝐵)
50		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥abs
51	50, 10	nffv 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
52	48, 49, 51	cbvitg 25811	. . . . . . . 8 ⊢ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦
53	52	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
54	16	abscld 15475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
55	16, 19	iblabs 25864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
56	33, 54, 55	itgmulc2 25869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
57	21, 16	absmuld 15493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
58	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
59	58	abscjd 15489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
60	59	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
61	57, 60	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
62	61	itgeq2dv 25817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
63	56, 62	eqtr4d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
64	53, 63	eqtrid 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
65	31, 47, 64	3brtr4d 5175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
66	65	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
67	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
68	7	abscld 15475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
69	1, 2	iblabs 25864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
70	68, 69	itgrecl 25833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
71	70	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
72		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
73		lemul2 12120	. . . . 5 ⊢ (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
74	67, 71, 67, 72, 73	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
75	66, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
76	75	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
77	7	absge0d 15483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
78	69, 68, 77	itgge0 25846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
79		breq1 5146	. . 3 ⊢ (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
80	78, 79	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
81	3	absge0d 15483	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
82		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		leloe 11347	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
84	82, 32, 83	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
85	81, 84	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
86	76, 80, 85	mpjaod 861	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480  ⦋csb 3899   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ↑cexp 14102  ∗ccj 15135  ℜcre 15136  ℑcim 15137  abscabs 15273  MblFncmbf 25649  𝐿¹cibl 25652  ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705

This theorem is referenced by:  ftc1a  26078  ftc1lem4  26080  itgulm  26451  fourierdlem47  46168  fourierdlem87  46208  etransclem23  46272