Theorem itgabs 25890

Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgabs	⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabs

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgabs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		itgabs.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
3	1, 2	itgcl 25839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
4	3	cjcld 15245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5		iblmbf 25822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
7	6, 1	mbfmptcl 25690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10		nfcsb1v 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	10	nfel1 2925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
12		csbeq1a 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13	12	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	9, 11, 13	cbvralw 3312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
15	8, 14	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	15	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
18	17, 10, 12	cbvmpt 5277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
19	18, 2	eqeltrrid 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ 𝐿1)
20	4, 16, 19	iblmulc2 25886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
21	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
22	21, 16	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
23	22	iblcn 25854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)))
24	20, 23	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1))
25	24	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
26		ovexd 7483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ V)
27	26, 20	iblabs 25884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
28	22	recld 15243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
29	22	abscld 15485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
30	22	releabsd 15500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
31	25, 27, 28, 29, 30	itgle 25865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
32	3	abscld 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
34	33	sqvald 14193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
35	3	absvalsqd 15491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
36	3, 4	mulcomd 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
37	12, 17, 10	cbvitg 25831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦
38	37	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦)
39	4, 16, 19	itgmulc2 25889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
40	38, 39	eqtrid 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
41	35, 36, 40	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
42	41	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦))
43	32	resqcld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
44	43	rered 15273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
45	26, 20	itgre 25856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
46	42, 44, 45	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
47	34, 46	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
48	12	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘𝐵)
50		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥abs
51	50, 10	nffv 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
52	48, 49, 51	cbvitg 25831	. . . . . . . 8 ⊢ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦
53	52	oveq2i 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
54	16	abscld 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
55	16, 19	iblabs 25884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
56	33, 54, 55	itgmulc2 25889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
57	21, 16	absmuld 15503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
58	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
59	58	abscjd 15499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
60	59	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
61	57, 60	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
62	61	itgeq2dv 25837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
63	56, 62	eqtr4d 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
64	53, 63	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
65	31, 47, 64	3brtr4d 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
66	65	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
67	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
68	7	abscld 15485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
69	1, 2	iblabs 25884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
70	68, 69	itgrecl 25853	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
71	70	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
72		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
73		lemul2 12147	. . . . 5 ⊢ (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
74	67, 71, 67, 72, 73	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
75	66, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
76	75	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
77	7	absge0d 15493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
78	69, 68, 77	itgge0 25866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
79		breq1 5169	. . 3 ⊢ (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
80	78, 79	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
81	3	absge0d 15493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
82		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		leloe 11376	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
84	82, 32, 83	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
85	81, 84	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
86	76, 80, 85	mpjaod 859	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  ⦋csb 3921   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12348  ↑cexp 14112  ∗ccj 15145  ℜcre 15146  ℑcim 15147  abscabs 15283  MblFncmbf 25668  𝐿¹cibl 25671  ∫citg 25672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-itg 25677  df-0p 25724

This theorem is referenced by:  ftc1a  26098  ftc1lem4  26100  itgulm  26469  fourierdlem47  46074  fourierdlem87  46114  etransclem23  46178