Theorem itgabs 25715

Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgabs	⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabs

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgabs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		itgabs.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
3	1, 2	itgcl 25664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
4	3	cjcld 15147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5		iblmbf 25648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
7	6, 1	mbfmptcl 25516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9		nfv 1909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10		nfcsb1v 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	10	nfel1 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
12		csbeq1a 3902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13	12	eleq1d 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	9, 11, 13	cbvralw 3297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
15	8, 14	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	15	r19.21bi 3242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
18	17, 10, 12	cbvmpt 5252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
19	18, 2	eqeltrrid 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ 𝐿1)
20	4, 16, 19	iblmulc2 25711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
21	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
22	21, 16	mulcld 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
23	22	iblcn 25679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)))
24	20, 23	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1))
25	24	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
26		ovexd 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ V)
27	26, 20	iblabs 25709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
28	22	recld 15145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
29	22	abscld 15387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
30	22	releabsd 15402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
31	25, 27, 28, 29, 30	itgle 25690	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
32	3	abscld 15387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
34	33	sqvald 14111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
35	3	absvalsqd 15393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
36	3, 4	mulcomd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
37	12, 17, 10	cbvitg 25656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦
38	37	oveq2i 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦)
39	4, 16, 19	itgmulc2 25714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
40	38, 39	eqtrid 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
41	35, 36, 40	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
42	41	fveq2d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦))
43	32	resqcld 14093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
44	43	rered 15175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
45	26, 20	itgre 25681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
46	42, 44, 45	3eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
47	34, 46	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
48	12	fveq2d 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49		nfcv 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘𝐵)
50		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥abs
51	50, 10	nffv 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
52	48, 49, 51	cbvitg 25656	. . . . . . . 8 ⊢ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦
53	52	oveq2i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
54	16	abscld 15387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
55	16, 19	iblabs 25709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
56	33, 54, 55	itgmulc2 25714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
57	21, 16	absmuld 15405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
58	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
59	58	abscjd 15401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
60	59	oveq1d 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
61	57, 60	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
62	61	itgeq2dv 25662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
63	56, 62	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
64	53, 63	eqtrid 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
65	31, 47, 64	3brtr4d 5173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
66	65	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
67	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
68	7	abscld 15387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
69	1, 2	iblabs 25709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
70	68, 69	itgrecl 25678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
71	70	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
72		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
73		lemul2 12068	. . . . 5 ⊢ (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
74	67, 71, 67, 72, 73	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
75	66, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
76	75	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
77	7	absge0d 15395	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
78	69, 68, 77	itgge0 25691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
79		breq1 5144	. . 3 ⊢ (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
80	78, 79	syl5ibcom 244	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
81	3	absge0d 15395	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
82		0re 11217	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		leloe 11301	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
84	82, 32, 83	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
85	81, 84	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
86	76, 80, 85	mpjaod 857	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  Vcvv 3468  ⦋csb 3888   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109   · cmul 11114   < clt 11249   ≤ cle 11250  2c2 12268  ↑cexp 14030  ∗ccj 15047  ℜcre 15048  ℑcim 15049  abscabs 15185  MblFncmbf 25494  𝐿¹cibl 25497  ∫citg 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-cmp 23242  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499  df-itg1 25500  df-itg2 25501  df-ibl 25502  df-itg 25503  df-0p 25550

This theorem is referenced by:  ftc1a  25923  ftc1lem4  25925  itgulm  26295  fourierdlem47  45422  fourierdlem87  45462  etransclem23  45526