Theorem itgabs 25792

Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgabs	⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabs

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgabs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		itgabs.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
3	1, 2	itgcl 25741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
4	3	cjcld 15119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5		iblmbf 25724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
7	6, 1	mbfmptcl 25593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10		nfcsb1v 3873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	10	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
12		csbeq1a 3863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13	12	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	9, 11, 13	cbvralw 3278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
15	8, 14	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	15	r19.21bi 3228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
18	17, 10, 12	cbvmpt 5200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
19	18, 2	eqeltrrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ 𝐿1)
20	4, 16, 19	iblmulc2 25788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
21	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
22	21, 16	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
23	22	iblcn 25756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)))
24	20, 23	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1))
25	24	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
26		ovexd 7393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ V)
27	26, 20	iblabs 25786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
28	22	recld 15117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
29	22	abscld 15362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
30	22	releabsd 15377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
31	25, 27, 28, 29, 30	itgle 25767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
32	3	abscld 15362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
34	33	sqvald 14066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
35	3	absvalsqd 15368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
36	3, 4	mulcomd 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
37	12, 17, 10	cbvitg 25733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦
38	37	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦)
39	4, 16, 19	itgmulc2 25791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
40	38, 39	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
41	35, 36, 40	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
42	41	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦))
43	32	resqcld 14048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
44	43	rered 15147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
45	26, 20	itgre 25758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
46	42, 44, 45	3eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
47	34, 46	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
48	12	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘𝐵)
50		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥abs
51	50, 10	nffv 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
52	48, 49, 51	cbvitg 25733	. . . . . . . 8 ⊢ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦
53	52	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
54	16	abscld 15362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
55	16, 19	iblabs 25786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
56	33, 54, 55	itgmulc2 25791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
57	21, 16	absmuld 15380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
58	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
59	58	abscjd 15376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
60	59	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
61	57, 60	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
62	61	itgeq2dv 25739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
63	56, 62	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
64	53, 63	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
65	31, 47, 64	3brtr4d 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
66	65	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
67	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
68	7	abscld 15362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
69	1, 2	iblabs 25786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
70	68, 69	itgrecl 25755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
71	70	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
72		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
73		lemul2 11994	. . . . 5 ⊢ (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
74	67, 71, 67, 72, 73	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
75	66, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
76	75	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
77	7	absge0d 15370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
78	69, 68, 77	itgge0 25768	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
79		breq1 5101	. . 3 ⊢ (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
80	78, 79	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
81	3	absge0d 15370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
82		0re 11134	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		leloe 11219	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
84	82, 32, 83	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
85	81, 84	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
86	76, 80, 85	mpjaod 860	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440  ⦋csb 3849   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167  2c2 12200  ↑cexp 13984  ∗ccj 15019  ℜcre 15020  ℑcim 15021  abscabs 15157  MblFncmbf 25571  𝐿¹cibl 25574  ∫citg 25575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578  df-ibl 25579  df-itg 25580  df-0p 25627

This theorem is referenced by:  ftc1a  26000  ftc1lem4  26002  itgulm  26373  fourierdlem47  46397  fourierdlem87  46437  etransclem23  46501