MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgabs 23942
Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabs.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgabs.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgabs (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgabs.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 itgabs.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
31, 2itgcl 23891 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
43cjcld 14277 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5 iblmbf 23875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
76, 1mbfmptcl 23744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9 nfv 2010 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10 nfcsb1v 3744 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
1110nfel1 2956 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
12 csbeq1a 3737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
1312eleq1d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
149, 11, 13cbvral 3350 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
158, 14sylib 210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
1615r19.21bi 3113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
17 nfcv 2941 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
1817, 10, 12cbvmpt 4942 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
1918, 2syl5eqelr 2883 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ 𝐿1)
204, 16, 19iblmulc2 23938 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
214adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
2221, 16mulcld 10349 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
2322iblcn 23906 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)))
2420, 23mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1))
2524simpld 489 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
26 ovexd 6912 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V)
2726, 20iblabs 23936 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
2822recld 14275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
2922abscld 14516 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
3022releabsd 14531 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)))
3125, 27, 28, 29, 30itgle 23917 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
323abscld 14516 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
3332recnd 10357 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
3433sqvald 13259 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
353absvalsqd 14522 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
363, 4mulcomd 10350 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
3712, 17, 10cbvitg 23883 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦
3837oveq2i 6889 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦)
394, 16, 19itgmulc2 23941 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4038, 39syl5eq 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4135, 36, 403eqtrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4241fveq2d 6415 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦))
4332resqcld 13291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
4443rered 14305 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
4526, 20itgre 23908 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4642, 44, 453eqtr3d 2841 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4734, 46eqtr3d 2835 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4812fveq2d 6415 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))
49 nfcv 2941 . . . . . . . . 9 𝑦(abs‘𝐵)
50 nfcv 2941 . . . . . . . . . 10 𝑥abs
5150, 10nffv 6421 . . . . . . . . 9 𝑥(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)
5248, 49, 51cbvitg 23883 . . . . . . . 8 𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦
5352oveq2i 6889 . . . . . . 7 ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
5416abscld 14516 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
5516, 19iblabs 23936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
5633, 54, 55itgmulc2 23941 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
5721, 16absmuld 14534 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
583adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
5958abscjd 14530 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
6059oveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
6157, 60eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
6261itgeq2dv 23889 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6356, 62eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6453, 63syl5eq 2845 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6531, 47, 643brtr4d 4875 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
6665adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
6732adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
687abscld 14516 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
691, 2iblabs 23936 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
7068, 69itgrecl 23905 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
7170adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
72 simpr 478 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
73 lemul2 11168 . . . . 5 (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
7467, 71, 67, 72, 73syl112anc 1494 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
7566, 74mpbird 249 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
7675ex 402 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
777absge0d 14524 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
7869, 68, 77itgge0 23918 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
79 breq1 4846 . . 3 (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
8078, 79syl5ibcom 237 . 2 (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
813absge0d 14524 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
82 0re 10330 . . . 4 0 ∈ ℝ
83 leloe 10414 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
8482, 32, 83sylancr 582 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
8581, 84mpbid 224 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
8676, 80, 85mpjaod 887 1 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  Vcvv 3385  csb 3728   class class class wbr 4843  cmpt 4922  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364  2c2 11368  cexp 13114  ccj 14177  cre 14178  cim 14179  abscabs 14315  MblFncmbf 23722  𝐿1cibl 23725  citg 23726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-disj 4812  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-cmp 21519  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-ovol 23572  df-vol 23573  df-mbf 23727  df-itg1 23728  df-itg2 23729  df-ibl 23730  df-itg 23731  df-0p 23778
This theorem is referenced by:  ftc1a  24141  ftc1lem4  24143  itgulm  24503  fourierdlem47  41113  fourierdlem87  41153  etransclem23  41217
  Copyright terms: Public domain W3C validator