MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgabs 25784
Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabs.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgabs.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgabs (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgabs
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgabs.1 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
2 itgabs.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
31, 2itgcl 25733 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
43cjcld 15183 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5 iblmbf 25717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
76, 1mbfmptcl 25585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„‚
10 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
1110nfel1 2916 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
12 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
1312eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
149, 11, 13cbvralw 3301 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
158, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615r19.21bi 3246 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
1817, 10, 12cbvmpt 5263 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
1918, 2eqeltrrid 2834 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
204, 16, 19iblmulc2 25780 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
214adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
2221, 16mulcld 11272 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2322iblcn 25748 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)))
2420, 23mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1))
2524simpld 493 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
26 ovexd 7461 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ V)
2726, 20iblabs 25778 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
2822recld 15181 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ โ„)
2922abscld 15423 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ โ„)
3022releabsd 15438 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โ‰ค (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
3125, 27, 28, 29, 30itgle 25759 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
323abscld 15423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3332recnd 11280 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3433sqvald 14147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)))
353absvalsqd 15429 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)))
363, 4mulcomd 11273 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
3712, 17, 10cbvitg 25725 . . . . . . . . . . . 12 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ดโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต d๐‘ฆ
3837oveq2i 7437 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ดโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต d๐‘ฆ)
394, 16, 19itgmulc2 25783 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ดโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต d๐‘ฆ) = โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
4038, 39eqtrid 2780 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
4135, 36, 403eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) = โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
4241fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2)) = (โ„œโ€˜โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ))
4332resqcld 14129 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
4443rered 15211 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2)) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2))
4526, 20itgre 25750 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ) = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
4642, 44, 453eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
4734, 46eqtr3d 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
4812fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
49 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฆ(absโ€˜๐ต)
50 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅabs
5150, 10nffv 6912 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
5248, 49, 51cbvitg 25725 . . . . . . . 8 โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ
5352oveq2i 7437 . . . . . . 7 ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
5416abscld 15423 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
5516, 19iblabs 25778 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
5633, 54, 55itgmulc2 25783 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ) = โˆซ๐ด((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
5721, 16absmuld 15441 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜(โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
583adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5958abscjd 15437 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
6059oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
6157, 60eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
6261itgeq2dv 25731 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ = โˆซ๐ด((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
6356, 62eqtr4d 2771 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ) = โˆซ๐ด(absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
6453, 63eqtrid 2780 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
6531, 47, 643brtr4d 5184 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
6665adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
6732adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
687abscld 15423 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
691, 2iblabs 25778 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
7068, 69itgrecl 25747 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„)
7170adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„)
72 simpr 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
73 lemul2 12105 . . . . 5 (((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))) โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โ†” ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
7467, 71, 67, 72, 73syl112anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โ†” ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
7566, 74mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
7675ex 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
777absge0d 15431 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
7869, 68, 77itgge0 25760 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
79 breq1 5155 . . 3 (0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†’ (0 โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โ†” (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
8078, 79syl5ibcom 244 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
813absge0d 15431 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
82 0re 11254 . . . 4 0 โˆˆ โ„
83 leloe 11338 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†” (0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆจ 0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))))
8482, 32, 83sylancr 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†” (0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆจ 0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))))
8581, 84mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆจ 0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)))
8676, 80, 85mpjaod 858 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  Vcvv 3473  โฆ‹csb 3894   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287  2c2 12305  โ†‘cexp 14066  โˆ—ccj 15083  โ„œcre 15084  โ„‘cim 15085  abscabs 15221  MblFncmbf 25563  ๐ฟ1cibl 25566  โˆซcitg 25567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-itg 25572  df-0p 25619
This theorem is referenced by:  ftc1a  25992  ftc1lem4  25994  itgulm  26364  fourierdlem47  45570  fourierdlem87  45610  etransclem23  45674
  Copyright terms: Public domain W3C validator