MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgabs 25215
Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabs.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgabs.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgabs (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgabs
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgabs.1 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
2 itgabs.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
31, 2itgcl 25164 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
43cjcld 15088 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5 iblmbf 25148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
76, 1mbfmptcl 25016 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„‚
10 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
1110nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
12 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
1312eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
149, 11, 13cbvralw 3292 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
158, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615r19.21bi 3237 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
1817, 10, 12cbvmpt 5221 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
1918, 2eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
204, 16, 19iblmulc2 25211 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
214adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
2221, 16mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2322iblcn 25179 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)))
2420, 23mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1))
2524simpld 496 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
26 ovexd 7397 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ V)
2726, 20iblabs 25209 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
2822recld 15086 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ โ„)
2922abscld 15328 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ โ„)
3022releabsd 15343 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โ‰ค (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
3125, 27, 28, 29, 30itgle 25190 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
323abscld 15328 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3332recnd 11190 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3433sqvald 14055 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)))
353absvalsqd 15334 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)))
363, 4mulcomd 11183 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
3712, 17, 10cbvitg 25156 . . . . . . . . . . . 12 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ดโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต d๐‘ฆ
3837oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ดโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต d๐‘ฆ)
394, 16, 19itgmulc2 25214 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ดโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต d๐‘ฆ) = โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
4038, 39eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
4135, 36, 403eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) = โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
4241fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2)) = (โ„œโ€˜โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ))
4332resqcld 14037 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
4443rered 15116 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2)) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2))
4526, 20itgre 25181 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜โˆซ๐ด((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ) = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
4642, 44, 453eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)โ†‘2) = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
4734, 46eqtr3d 2779 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
4812fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
49 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฆ(absโ€˜๐ต)
50 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅabs
5150, 10nffv 6857 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
5248, 49, 51cbvitg 25156 . . . . . . . 8 โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ
5352oveq2i 7373 . . . . . . 7 ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
5416abscld 15328 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
5516, 19iblabs 25209 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
5633, 54, 55itgmulc2 25214 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ) = โˆซ๐ด((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
5721, 16absmuld 15346 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜(โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
583adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5958abscjd 15342 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
6059oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
6157, 60eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
6261itgeq2dv 25162 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ = โˆซ๐ด((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
6356, 62eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ) = โˆซ๐ด(absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
6453, 63eqtrid 2789 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(absโ€˜((โˆ—โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) d๐‘ฆ)
6531, 47, 643brtr4d 5142 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
6665adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
6732adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
687abscld 15328 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
691, 2iblabs 25209 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
7068, 69itgrecl 25178 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„)
7170adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„)
72 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
73 lemul2 12015 . . . . 5 (((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))) โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โ†” ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
7467, 71, 67, 72, 73syl112anc 1375 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โ†” ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) ยท โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
7566, 74mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
7675ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
777absge0d 15336 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
7869, 68, 77itgge0 25191 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
79 breq1 5113 . . 3 (0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†’ (0 โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โ†” (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
8078, 79syl5ibcom 244 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
813absge0d 15336 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
82 0re 11164 . . . 4 0 โˆˆ โ„
83 leloe 11248 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†” (0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆจ 0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))))
8482, 32, 83sylancr 588 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ†” (0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆจ 0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))))
8581, 84mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โˆจ 0 = (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)))
8676, 80, 85mpjaod 859 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  Vcvv 3448  โฆ‹csb 3860   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  2c2 12215  โ†‘cexp 13974  โˆ—ccj 14988  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990  abscabs 15126  MblFncmbf 24994  ๐ฟ1cibl 24997  โˆซcitg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  ftc1a  25417  ftc1lem4  25419  itgulm  25783  fourierdlem47  44468  fourierdlem87  44508  etransclem23  44572
  Copyright terms: Public domain W3C validator