MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgabs 24122
Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabs.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgabs.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgabs (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgabs.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 itgabs.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
31, 2itgcl 24071 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
43cjcld 14393 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5 iblmbf 24055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
76, 1mbfmptcl 23924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87ralrimiva 3151 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9 nfv 1896 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10 nfcsb1v 3839 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
1110nfel1 2965 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
12 csbeq1a 3830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
1312eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
149, 11, 13cbvral 3401 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
158, 14sylib 219 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
1615r19.21bi 3177 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
17 nfcv 2951 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
1817, 10, 12cbvmpt 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
1918, 2syl5eqelr 2890 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ 𝐿1)
204, 16, 19iblmulc2 24118 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
214adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
2221, 16mulcld 10514 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
2322iblcn 24086 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)))
2420, 23mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1))
2524simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
26 ovexd 7057 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V)
2726, 20iblabs 24116 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
2822recld 14391 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
2922abscld 14634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
3022releabsd 14649 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)))
3125, 27, 28, 29, 30itgle 24097 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
323abscld 14634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
3332recnd 10522 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
3433sqvald 13361 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
353absvalsqd 14640 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
363, 4mulcomd 10515 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
3712, 17, 10cbvitg 24063 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦
3837oveq2i 7034 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦)
394, 16, 19itgmulc2 24121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4038, 39syl5eq 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4135, 36, 403eqtrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4241fveq2d 6549 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦))
4332resqcld 13465 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
4443rered 14421 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
4526, 20itgre 24088 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4642, 44, 453eqtr3d 2841 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4734, 46eqtr3d 2835 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4812fveq2d 6549 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))
49 nfcv 2951 . . . . . . . . 9 𝑦(abs‘𝐵)
50 nfcv 2951 . . . . . . . . . 10 𝑥abs
5150, 10nffv 6555 . . . . . . . . 9 𝑥(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)
5248, 49, 51cbvitg 24063 . . . . . . . 8 𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦
5352oveq2i 7034 . . . . . . 7 ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
5416abscld 14634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
5516, 19iblabs 24116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
5633, 54, 55itgmulc2 24121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
5721, 16absmuld 14652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
583adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
5958abscjd 14648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
6059oveq1d 7038 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
6157, 60eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
6261itgeq2dv 24069 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6356, 62eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6453, 63syl5eq 2845 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6531, 47, 643brtr4d 5000 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
6665adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
6732adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
687abscld 14634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
691, 2iblabs 24116 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
7068, 69itgrecl 24085 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
7170adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
72 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
73 lemul2 11347 . . . . 5 (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
7467, 71, 67, 72, 73syl112anc 1367 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
7566, 74mpbird 258 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
7675ex 413 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
777absge0d 14642 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
7869, 68, 77itgge0 24098 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
79 breq1 4971 . . 3 (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
8078, 79syl5ibcom 246 . 2 (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
813absge0d 14642 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
82 0re 10496 . . . 4 0 ∈ ℝ
83 leloe 10580 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
8482, 32, 83sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
8581, 84mpbid 233 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
8676, 80, 85mpjaod 855 1 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  Vcvv 3440  csb 3817   class class class wbr 4968  cmpt 5047  cfv 6232  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390   · cmul 10395   < clt 10528  cle 10529  2c2 11546  cexp 13283  ccj 14293  cre 14294  cim 14295  abscabs 14431  MblFncmbf 23902  𝐿1cibl 23905  citg 23906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cc 9710  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-disj 4937  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-ofr 7275  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-acn 9224  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-cmp 21683  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-ovol 23752  df-vol 23753  df-mbf 23907  df-itg1 23908  df-itg2 23909  df-ibl 23910  df-itg 23911  df-0p 23958
This theorem is referenced by:  ftc1a  24321  ftc1lem4  24323  itgulm  24683  fourierdlem47  42002  fourierdlem87  42042  etransclem23  42106
  Copyright terms: Public domain W3C validator