MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgabs 25870
Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabs.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgabs.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgabs (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgabs.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 itgabs.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
31, 2itgcl 25819 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
43cjcld 15235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5 iblmbf 25802 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
76, 1mbfmptcl 25671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
1110nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
12 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
1312eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
149, 11, 13cbvralw 3306 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
158, 14sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
1615r19.21bi 3251 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
17 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
1817, 10, 12cbvmpt 5253 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
1918, 2eqeltrrid 2846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ 𝐿1)
204, 16, 19iblmulc2 25866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
214adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
2221, 16mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
2322iblcn 25834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)))
2420, 23mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1))
2524simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
26 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V)
2726, 20iblabs 25864 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
2822recld 15233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
2922abscld 15475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
3022releabsd 15490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)))
3125, 27, 28, 29, 30itgle 25845 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
323abscld 15475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
3332recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
3433sqvald 14183 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
353absvalsqd 15481 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
363, 4mulcomd 11282 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
3712, 17, 10cbvitg 25811 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦
3837oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦)
394, 16, 19itgmulc2 25869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4038, 39eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4135, 36, 403eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
4241fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦))
4332resqcld 14165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
4443rered 15263 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
4526, 20itgre 25836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4642, 44, 453eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4734, 46eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
4812fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))
49 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑦(abs‘𝐵)
50 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑥abs
5150, 10nffv 6916 . . . . . . . . 9 𝑥(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)
5248, 49, 51cbvitg 25811 . . . . . . . 8 𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦
5352oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
5416abscld 15475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
5516, 19iblabs 25864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
5633, 54, 55itgmulc2 25869 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
5721, 16absmuld 15493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
583adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
5958abscjd 15489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
6059oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
6157, 60eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
6261itgeq2dv 25817 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6356, 62eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6453, 63eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6531, 47, 643brtr4d 5175 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
6665adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
6732adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
687abscld 15475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
691, 2iblabs 25864 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
7068, 69itgrecl 25833 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
7170adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
72 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
73 lemul2 12120 . . . . 5 (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
7467, 71, 67, 72, 73syl112anc 1376 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
7566, 74mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
7675ex 412 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
777absge0d 15483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
7869, 68, 77itgge0 25846 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
79 breq1 5146 . . 3 (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
8078, 79syl5ibcom 245 . 2 (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
813absge0d 15483 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
82 0re 11263 . . . 4 0 ∈ ℝ
83 leloe 11347 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
8482, 32, 83sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
8581, 84mpbid 232 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
8676, 80, 85mpjaod 861 1 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  csb 3899   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  cexp 14102  ccj 15135  cre 15136  cim 15137  abscabs 15273  MblFncmbf 25649  𝐿1cibl 25652  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  ftc1a  26078  ftc1lem4  26080  itgulm  26451  fourierdlem47  46168  fourierdlem87  46208  etransclem23  46272
  Copyright terms: Public domain W3C validator