Theorem ibladd 25698

Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
itgadd.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
ibladd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
6		itgadd.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	iblcnlem 25666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))))
8	1, 7	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
9	8	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
10	9, 6	mbfdm2 25514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
11		itgadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
12		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
14	10, 6, 11, 12, 13	offval2 7653	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
15		itgadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0)))
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0)))
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0)))
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0)))
20	16, 17, 18, 19, 11	iblcnlem 25666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))))
21	15, 20	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)))
22	21	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
23	9, 22	mbfadd 25538	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ MblFn)
24	14, 23	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
25	9, 6	mbfmptcl 25513	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	recld 15136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
27	22, 11	mbfmptcl 25513	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	27	recld 15136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
29	25, 27	readdd 15156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
30	25	ismbfcn2 25515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
31	9, 30	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
32	31	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
33	27	ismbfcn2 25515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
34	22, 33	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
35	34	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
36	8	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
37	36	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
38	21	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))
39	38	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
40	26, 28, 29, 32, 35, 37, 39	ibladdlem 25697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
41	26	renegcld 11581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
42	28	renegcld 11581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
43	29	negeqd 11391	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = -((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
44	26	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
45	28	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
46	44, 45	negdid 11522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) = (-(ℜ‘𝐵) + -(ℜ‘𝐶)))
47	43, 46	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = (-(ℜ‘𝐵) + -(ℜ‘𝐶)))
48	26, 32	mbfneg 25527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
49	28, 35	mbfneg 25527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
50	36	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
51	38	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
52	41, 42, 47, 48, 49, 50, 51	ibladdlem 25697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
53	40, 52	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))
54	25	imcld 15137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
55	27	imcld 15137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
56	25, 27	imaddd 15157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
57	31	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
58	34	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
59	8	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
60	59	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
61	21	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))
62	61	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
63	54, 55, 56, 57, 58, 60, 62	ibladdlem 25697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
64	54	renegcld 11581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
65	55	renegcld 11581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
66	56	negeqd 11391	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = -((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
67	54	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
68	55	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
69	67, 68	negdid 11522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) = (-(ℑ‘𝐵) + -(ℑ‘𝐶)))
70	66, 69	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = (-(ℑ‘𝐵) + -(ℑ‘𝐶)))
71	54, 57	mbfneg 25527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
72	55, 58	mbfneg 25527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
73	59	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
74	61	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
75	64, 65, 70, 71, 72, 73, 74	ibladdlem 25697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
76	63, 75	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))
77		eqid 2729	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
78		eqid 2729	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
79		eqid 2729	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
80		eqid 2729	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
81		ovexd 7404	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
82	77, 78, 79, 80, 81	iblcnlem 25666	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))))
83	24, 53, 76, 82	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℝcr 11043  0cc0 11044   + caddc 11047   ≤ cle 11185  -cneg 11382  ℜcre 15039  ℑcim 15040  volcvol 25340  MblFncmbf 25491  ∫₂citg2 25493  𝐿¹cibl 25494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-cmp 23250  df-ovol 25341  df-vol 25342  df-mbf 25496  df-itg1 25497  df-itg2 25498  df-ibl 25499  df-0p 25547

This theorem is referenced by:  iblsub  25699  itgaddlem1  25700  itgaddlem2  25701  itgadd  25702  itgfsum  25704  itgparts  25930