Theorem ibladd 25185

Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
itgadd.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
ibladd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
3		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
6		itgadd.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	iblcnlem 25153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))))
8	1, 7	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
9	8	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
10	9, 6	mbfdm2 25001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
11		itgadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
12		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
14	10, 6, 11, 12, 13	offval2 7637	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
15		itgadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0)))
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0)))
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0)))
19		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0)))
20	16, 17, 18, 19, 11	iblcnlem 25153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))))
21	15, 20	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)))
22	21	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
23	9, 22	mbfadd 25025	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ MblFn)
24	14, 23	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
25	9, 6	mbfmptcl 25000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	recld 15079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
27	22, 11	mbfmptcl 25000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	27	recld 15079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
29	25, 27	readdd 15099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
30	25	ismbfcn2 25002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
31	9, 30	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
32	31	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
33	27	ismbfcn2 25002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
34	22, 33	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
35	34	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
36	8	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
37	36	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
38	21	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))
39	38	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
40	26, 28, 29, 32, 35, 37, 39	ibladdlem 25184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
41	26	renegcld 11582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
42	28	renegcld 11582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
43	29	negeqd 11395	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = -((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
44	26	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
45	28	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
46	44, 45	negdid 11525	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) = (-(ℜ‘𝐵) + -(ℜ‘𝐶)))
47	43, 46	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = (-(ℜ‘𝐵) + -(ℜ‘𝐶)))
48	26, 32	mbfneg 25014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
49	28, 35	mbfneg 25014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
50	36	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
51	38	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
52	41, 42, 47, 48, 49, 50, 51	ibladdlem 25184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
53	40, 52	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))
54	25	imcld 15080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
55	27	imcld 15080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
56	25, 27	imaddd 15100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
57	31	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
58	34	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
59	8	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
60	59	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
61	21	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))
62	61	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
63	54, 55, 56, 57, 58, 60, 62	ibladdlem 25184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
64	54	renegcld 11582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
65	55	renegcld 11582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
66	56	negeqd 11395	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = -((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
67	54	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
68	55	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
69	67, 68	negdid 11525	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) = (-(ℑ‘𝐵) + -(ℑ‘𝐶)))
70	66, 69	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = (-(ℑ‘𝐵) + -(ℑ‘𝐶)))
71	54, 57	mbfneg 25014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
72	55, 58	mbfneg 25014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
73	59	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
74	61	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
75	64, 65, 70, 71, 72, 73, 74	ibladdlem 25184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
76	63, 75	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))
77		eqid 2736	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
78		eqid 2736	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
79		eqid 2736	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
80		eqid 2736	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
81		ovexd 7392	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
82	77, 78, 79, 80, 81	iblcnlem 25153	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))))
83	24, 53, 76, 82	mpbir3and 1342	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   ≤ cle 11190  -cneg 11386  ℜcre 14982  ℑcim 14983  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  ∫₂citg2 24980  𝐿¹cibl 24981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-0p 25034

This theorem is referenced by:  iblsub  25186  itgaddlem1  25187  itgaddlem2  25188  itgadd  25189  itgfsum  25191  itgparts  25411