Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnc 37065
Description: Choice-free analogue of iblabs 25713. As with ibladdnc 37058, a measurability hypothesis is needed. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
iblabsnc.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
iblabsnc.m (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblabsnc (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐‘‰(๐‘ฅ)

Proof of Theorem iblabsnc
StepHypRef Expression
1 iblabsnc.m . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn)
2 iblabsnc.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
3 iblmbf 25652 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
5 iblabsnc.1 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
64, 5mbfmptcl 25520 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
76abscld 15389 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
87rexrd 11268 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
96absge0d 15397 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
10 elxrge0 13440 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” ((absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต)))
118, 9, 10sylanbrc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž))
12 0e0iccpnf 13442 . . . . . . 7 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
1312a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
1411, 13ifclda 4558 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
1514adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
1615fmpttd 7110 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
17 reex 11203 . . . . . . . . 9 โ„ โˆˆ V
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
196recld 15147 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2019recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2120abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
2220absge0d 15397 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)))
23 elrege0 13437 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต))))
2421, 22, 23sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
25 0e0icopnf 13441 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
2724, 26ifclda 4558 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
296imcld 15148 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
3029recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
3130abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
3230absge0d 15397 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
33 elrege0 13437 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
3431, 32, 33sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
3534, 26ifclda 4558 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
37 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)))
38 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))
3918, 28, 36, 37, 38offval2 7687 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))
40 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) = (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)))
41 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
4240, 41oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
43 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
4442, 43eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
45 00id 11393 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
46 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) = 0)
47 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) = 0)
4846, 47oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (0 + 0))
49 iffalse 4532 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = 0)
5045, 48, 493eqtr4a 2792 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
5144, 50pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)
5251mpteq2i 5246 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
5339, 52eqtr2di 2783 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))
5453fveq2d 6889 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (โˆซ2โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
55 eqid 2726 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))
566iblcn 25683 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
572, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
5857simpld 494 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
595, 2, 55, 58, 19iblabsnclem 37064 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„))
6059simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn)
6128fmpttd 7110 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
6259simprd 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
6336fmpttd 7110 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
64 eqid 2726 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))
6557simprd 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
665, 2, 64, 65, 29iblabsnclem 37064 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„))
6766simprd 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
6860, 61, 62, 63, 67itg2addnc 37055 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
6954, 68eqtrd 2766 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
7062, 67readdcld 11247 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))) โˆˆ โ„)
7169, 70eqeltrd 2827 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) โˆˆ โ„)
7221, 31readdcld 11247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
7372rexrd 11268 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„*)
7421, 31, 22, 32addge0d 11794 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
75 elxrge0 13440 . . . . . . . 8 (((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
7673, 74, 75sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ (0[,]+โˆž))
7776, 13ifclda 4558 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
7877adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
7978fmpttd 7110 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
80 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
81 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8280, 30, 81sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8320, 82abstrid 15409 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
84 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) = (absโ€˜๐ต))
8584adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) = (absโ€˜๐ต))
866replimd 15150 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8786fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8885, 87eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) = (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8943adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
90 absmul 15247 . . . . . . . . . . . . 13 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
9180, 30, 90sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
92 absi 15239 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜i) = 1
9392oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
9431recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9594mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
9693, 95eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
9791, 96eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) = (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
9897oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
9989, 98eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
10083, 88, 993brtr4d 5173 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
101100ex 412 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
102 0le0 12317 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 0
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค 0)
104 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) = 0)
105103, 104, 493brtr4d 5173 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
106101, 105pm2.61d1 180 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
107106ralrimivw 3144 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
108 eqidd 2727 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))
109 eqidd 2727 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
11018, 15, 78, 108, 109ofrfval2 7688 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
111107, 110mpbird 257 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
112 itg2le 25624 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))))
11316, 79, 111, 112syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))))
114 itg2lecl 25623 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)
11516, 71, 113, 114syl3anc 1368 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)
1167, 9iblpos 25677 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)))
1171, 115, 116mpbir2and 710 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665   โˆ˜r cofr 7666  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   โ‰ค cle 11253  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  โ„œcre 15050  โ„‘cim 15051  abscabs 15187  MblFncmbf 25498  โˆซ2citg2 25500  ๐ฟ1cibl 25501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-0p 25554
This theorem is referenced by:  itgabsnc  37070  ftc1cnnclem  37072  ftc1anclem2  37075  ftc1anclem4  37077  ftc1anclem5  37078  ftc2nc  37083
  Copyright terms: Public domain W3C validator