Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnc 36037
Description: Choice-free analogue of iblabs 25115. As with ibladdnc 36030, a measurability hypothesis is needed. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
iblabsnc.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
iblabsnc.m (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblabsnc (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐‘‰(๐‘ฅ)

Proof of Theorem iblabsnc
StepHypRef Expression
1 iblabsnc.m . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn)
2 iblabsnc.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
3 iblmbf 25054 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
5 iblabsnc.1 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
64, 5mbfmptcl 24922 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
76abscld 15255 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
87rexrd 11138 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
96absge0d 15263 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
10 elxrge0 13302 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” ((absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต)))
118, 9, 10sylanbrc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž))
12 0e0iccpnf 13304 . . . . . . 7 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
1312a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
1411, 13ifclda 4519 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
1514adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
1615fmpttd 7057 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
17 reex 11075 . . . . . . . . 9 โ„ โˆˆ V
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
196recld 15012 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2019recnd 11116 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2120abscld 15255 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
2220absge0d 15263 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)))
23 elrege0 13299 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต))))
2421, 22, 23sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
25 0e0icopnf 13303 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
2724, 26ifclda 4519 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
2827adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
296imcld 15013 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
3029recnd 11116 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
3130abscld 15255 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
3230absge0d 15263 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
33 elrege0 13299 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
3431, 32, 33sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
3534, 26ifclda 4519 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
37 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)))
38 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))
3918, 28, 36, 37, 38offval2 7627 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))
40 iftrue 4490 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) = (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)))
41 iftrue 4490 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
4240, 41oveq12d 7367 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
43 iftrue 4490 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
4442, 43eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
45 00id 11263 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
46 iffalse 4493 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) = 0)
47 iffalse 4493 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) = 0)
4846, 47oveq12d 7367 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (0 + 0))
49 iffalse 4493 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = 0)
5045, 48, 493eqtr4a 2803 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
5144, 50pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)
5251mpteq2i 5208 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
5339, 52eqtr2di 2794 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))
5453fveq2d 6841 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (โˆซ2โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
55 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))
566iblcn 25085 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
572, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
5857simpld 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
595, 2, 55, 58, 19iblabsnclem 36036 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„))
6059simpld 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn)
6128fmpttd 7057 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
6259simprd 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
6336fmpttd 7057 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
64 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))
6557simprd 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
665, 2, 64, 65, 29iblabsnclem 36036 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„))
6766simprd 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
6860, 61, 62, 63, 67itg2addnc 36027 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
6954, 68eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
7062, 67readdcld 11117 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))) โˆˆ โ„)
7169, 70eqeltrd 2838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) โˆˆ โ„)
7221, 31readdcld 11117 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
7372rexrd 11138 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„*)
7421, 31, 22, 32addge0d 11664 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
75 elxrge0 13302 . . . . . . . 8 (((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
7673, 74, 75sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ (0[,]+โˆž))
7776, 13ifclda 4519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
7877adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
7978fmpttd 7057 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
80 ax-icn 11043 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
81 mulcl 11068 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8280, 30, 81sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8320, 82abstrid 15275 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
84 iftrue 4490 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) = (absโ€˜๐ต))
8584adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) = (absโ€˜๐ต))
866replimd 15015 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8786fveq2d 6841 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8885, 87eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) = (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8943adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
90 absmul 15113 . . . . . . . . . . . . 13 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
9180, 30, 90sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
92 absi 15105 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜i) = 1
9392oveq1i 7359 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
9431recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9594mulid2d 11106 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
9693, 95eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
9791, 96eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) = (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
9897oveq2d 7365 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
9989, 98eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
10083, 88, 993brtr4d 5135 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
101100ex 413 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
102 0le0 12187 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 0
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค 0)
104 iffalse 4493 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) = 0)
105103, 104, 493brtr4d 5135 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
106101, 105pm2.61d1 180 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
107106ralrimivw 3145 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
108 eqidd 2738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))
109 eqidd 2738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
11018, 15, 78, 108, 109ofrfval2 7628 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
111107, 110mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
112 itg2le 25026 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))))
11316, 79, 111, 112syl3anc 1371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))))
114 itg2lecl 25025 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)
11516, 71, 113, 114syl3anc 1371 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)
1167, 9iblpos 25079 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)))
1171, 115, 116mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  Vcvv 3443  ifcif 4484   class class class wbr 5103   โ†ฆ cmpt 5186  โŸถwf 6487  โ€˜cfv 6491  (class class class)co 7349   โˆ˜f cof 7605   โˆ˜r cofr 7606  โ„‚cc 10982  โ„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985  ici 10986   + caddc 10987   ยท cmul 10989  +โˆžcpnf 11119  โ„*cxr 11121   โ‰ค cle 11123  [,)cico 13194  [,]cicc 13195  โ„œcre 14915  โ„‘cim 14916  abscabs 15052  MblFncmbf 24900  โˆซ2citg2 24902  ๐ฟ1cibl 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-sum 15505  df-rest 17238  df-topgen 17259  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cmp 22660  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  itgabsnc  36042  ftc1cnnclem  36044  ftc1anclem2  36047  ftc1anclem4  36049  ftc1anclem5  36050  ftc2nc  36055
  Copyright terms: Public domain W3C validator