MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblabsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsr 25116
Description: A measurable function is integrable iff its absolute value is integrable. (See iblabs 25115 for the forward implication.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsr.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabsr.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
iblabsr.3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblabsr (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblabsr
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsr.2 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 ifan 4538 . . . . . . 7 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0)
3 iblabsr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
41, 3mbfmptcl 24922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
54adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 ax-icn 11044 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
7 ine0 11524 . . . . . . . . . . . . . 14 i ≠ 0
8 elfzelz 13370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
98ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
10 expclz 13921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
116, 7, 9, 10mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12 expne0i 13929 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
136, 7, 9, 12mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ≠ 0)
145, 11, 13divcld 11865 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
1514recld 15013 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
16 0re 11091 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
17 ifcl 4530 . . . . . . . . . . 11 (((ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
1918rexrd 11139 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
20 max1 13033 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
2116, 15, 20sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
22 elxrge0 13303 . . . . . . . . 9 (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
2319, 21, 22sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
24 0e0iccpnf 13305 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]+∞)
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
2623, 25ifclda 4520 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
272, 26eqeltrid 2843 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
2827adantr 482 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
2928fmpttd 7058 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
30 iblabsr.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
314abscld 15256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
324absge0d 15264 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
3331, 32iblpos 25079 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
3534simprd 497 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
3635adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
3731rexrd 11139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ*)
38 elxrge0 13303 . . . . . . . . . 10 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
3937, 32, 38sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4024a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
4139, 40ifclda 4520 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
4241adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
4342fmpttd 7058 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
4443adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
4514releabsd 15271 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
465, 11, 13absdivd 15275 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = ((abs‘𝐵) / (abs‘(i↑𝑘))))
47 elfznn0 13463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49 absexp 15124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
506, 48, 49sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
51 absi 15106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘i) = 1
5251oveq1i 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘i)↑𝑘) = (1↑𝑘)
53 1exp 13926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
549, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (1↑𝑘) = 1)
5552, 54eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘i)↑𝑘) = 1)
5650, 55eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(i↑𝑘)) = 1)
5756oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘𝐵) / 1))
5831recnd 11117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
5958adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
6059div1d 11857 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵))
6146, 57, 603eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (abs‘𝐵))
6245, 61breqtrd 5130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘𝐵))
635absge0d 15264 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
64 breq1 5107 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) → ((ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘𝐵) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘𝐵)))
65 breq1 5107 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) → (0 ≤ (abs‘𝐵) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘𝐵)))
6664, 65ifboth 4524 . . . . . . . . . . . 12 (((ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘𝐵) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘𝐵))
6762, 63, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘𝐵))
68 iftrue 4491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
6968adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
70 iftrue 4491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
7170adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
7267, 69, 713brtr4d 5136 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
7372ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
74 0le0 12188 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
76 iffalse 4494 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
77 iffalse 4494 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
7875, 76, 773brtr4d 5136 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
7973, 78pm2.61d1 180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
802, 79eqbrtrid 5139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
8180ralrimivw 3146 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
82 reex 11076 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ℝ ∈ V)
8437adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ*)
8584, 63, 38sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8685, 25ifclda 4520 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
8786adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
88 eqidd 2739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
89 eqidd 2739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
9083, 28, 87, 88, 89ofrfval2 7629 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
9181, 90mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
92 itg2le 25026 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))))
9329, 44, 91, 92syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))))
94 itg2lecl 25025 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
9529, 36, 93, 94syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
9695ralrimiva 3142 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
97 eqidd 2739 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
98 eqidd 2739 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
9997, 98, 3isibl2 25053 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
1001, 96, 99mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  Vcvv 3444  ifcif 4485   class class class wbr 5104  cmpt 5187  wf 6488  cfv 6492  (class class class)co 7350  r cofr 7607  cc 10983  cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986  ici 10987  +∞cpnf 11120  *cxr 11122  cle 11124   / cdiv 11746  3c3 12143  0cn0 12347  cz 12433  [,]cicc 13196  ...cfz 13353  cexp 13896  cre 14916  abscabs 15053  MblFncmbf 24900  2citg2 24902  𝐿1cibl 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-ofr 7609  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xadd 12963  df-ioo 13197  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-sum 15506  df-xmet 20712  df-met 20713  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  bddmulibl  25125
  Copyright terms: Public domain W3C validator