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Theorem ibladdnc 36135
Description: Choice-free analogue of itgadd 25189. A measurability hypothesis is necessitated by the loss of mbfadd 25025; for large classes of functions, such as continuous functions, it should be relatively easy to show. (Contributed by Brendan Leahy, 1-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
ibladdnc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibladdnc
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.m . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
2 ibladdnc.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
3 iblmbf 25132 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
5 ibladdnc.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
64, 5mbfmptcl 25000 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
76recld 15079 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
8 ibladdnc.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
9 iblmbf 25132 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
11 ibladdnc.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
1210, 11mbfmptcl 25000 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312recld 15079 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
146, 12readdd 15099 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
156ismbfcn2 25002 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
164, 15mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
1716simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
18 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
19 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
20 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
21 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
2218, 19, 20, 21, 5iblcnlem 25153 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))))
232, 22mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
2423simp2d 1143 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
2524simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
26 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0)))
27 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0)))
28 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0)))
29 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0)))
3026, 27, 28, 29, 11iblcnlem 25153 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))))
318, 30mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)))
3231simp2d 1143 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))
3332simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
347, 13, 14, 17, 25, 33ibladdnclem 36134 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
357renegcld 11582 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
3613renegcld 11582 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
3714negeqd 11395 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = -((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
387recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
3913recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
4038, 39negdid 11525 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) = (-(ℜ‘𝐵) + -(ℜ‘𝐶)))
4137, 40eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = (-(ℜ‘𝐵) + -(ℜ‘𝐶)))
427, 17mbfneg 25014 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -(ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4324simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
4432simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
4535, 36, 41, 42, 43, 44ibladdnclem 36134 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
4634, 45jca 512 . 2 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))
476imcld 15080 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4812imcld 15080 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
496, 12imaddd 15100 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
5016simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
5123simp3d 1144 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
5251simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
5331simp3d 1144 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))
5453simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
5547, 48, 49, 50, 52, 54ibladdnclem 36134 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
5647renegcld 11582 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
5748renegcld 11582 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
5849negeqd 11395 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = -((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
5947recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
6048recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
6159, 60negdid 11525 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) = (-(ℑ‘𝐵) + -(ℑ‘𝐶)))
6258, 61eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = (-(ℑ‘𝐵) + -(ℑ‘𝐶)))
6347, 50mbfneg 25014 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
6451simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
6553simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
6656, 57, 62, 63, 64, 65ibladdnclem 36134 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
6755, 66jca 512 . 2 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))
68 eqid 2736 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
69 eqid 2736 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
70 eqid 2736 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
71 eqid 2736 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
72 ovexd 7392 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
7368, 69, 70, 71, 72iblcnlem 25153 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))))
741, 46, 67, 73mpbir3and 1342 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  cle 11190  -cneg 11386  cre 14982  cim 14983  MblFncmbf 24978  2citg2 24980  𝐿1cibl 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986
This theorem is referenced by:  itgaddnclem1  36136  itgaddnclem2  36137  itgaddnc  36138  iblsubnc  36139
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