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Theorem ibladdnc 37058
Description: Choice-free analogue of itgadd 25709. A measurability hypothesis is necessitated by the loss of mbfadd 25545; for large classes of functions, such as continuous functions, it should be relatively easy to show. (Contributed by Brendan Leahy, 1-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
ibladdnc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibladdnc
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.m . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
2 ibladdnc.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
3 iblmbf 25652 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
5 ibladdnc.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
64, 5mbfmptcl 25520 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
76recld 15147 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
8 ibladdnc.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
9 iblmbf 25652 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
11 ibladdnc.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
1210, 11mbfmptcl 25520 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312recld 15147 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
146, 12readdd 15167 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
156ismbfcn2 25522 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
164, 15mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
1716simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
18 eqid 2726 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
19 eqid 2726 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
20 eqid 2726 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
21 eqid 2726 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
2218, 19, 20, 21, 5iblcnlem 25673 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))))
232, 22mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
2423simp2d 1140 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
2524simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
26 eqid 2726 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0)))
27 eqid 2726 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0)))
28 eqid 2726 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0)))
29 eqid 2726 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0)))
3026, 27, 28, 29, 11iblcnlem 25673 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))))
318, 30mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)))
3231simp2d 1140 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))
3332simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐶)), (ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
347, 13, 14, 17, 25, 33ibladdnclem 37057 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
357renegcld 11645 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
3613renegcld 11645 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
3714negeqd 11458 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = -((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
387recnd 11246 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
3913recnd 11246 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
4038, 39negdid 11588 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) = (-(ℜ‘𝐵) + -(ℜ‘𝐶)))
4137, 40eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = (-(ℜ‘𝐵) + -(ℜ‘𝐶)))
427, 17mbfneg 25534 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -(ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4324simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
4432simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐶)), -(ℜ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
4535, 36, 41, 42, 43, 44ibladdnclem 37057 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
4634, 45jca 511 . 2 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))
476imcld 15148 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4812imcld 15148 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
496, 12imaddd 15168 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
5016simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
5123simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
5251simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
5331simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ))
5453simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐶)), (ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
5547, 48, 49, 50, 52, 54ibladdnclem 37057 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
5647renegcld 11645 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
5748renegcld 11645 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
5849negeqd 11458 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = -((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
5947recnd 11246 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
6048recnd 11246 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
6159, 60negdid 11588 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) = (-(ℑ‘𝐵) + -(ℑ‘𝐶)))
6258, 61eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = (-(ℑ‘𝐵) + -(ℑ‘𝐶)))
6347, 50mbfneg 25534 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
6451simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
6553simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐶)), -(ℑ‘𝐶), 0))) ∈ ℝ)
6656, 57, 62, 63, 64, 65ibladdnclem 37057 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ)
6755, 66jca 511 . 2 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))
68 eqid 2726 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
69 eqid 2726 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
70 eqid 2726 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
71 eqid 2726 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0)))
72 ovexd 7440 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
7368, 69, 70, 71, 72iblcnlem 25673 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶))), -(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)), 0))) ∈ ℝ))))
741, 46, 67, 73mpbir3and 1339 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  cle 11253  -cneg 11449  cre 15050  cim 15051  MblFncmbf 25498  2citg2 25500  𝐿1cibl 25501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506
This theorem is referenced by:  itgaddnclem1  37059  itgaddnclem2  37060  itgaddnc  37061  iblsubnc  37062
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