Theorem itgadd 25965

Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
itgadd.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgadd	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgadd.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		itgadd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7		iblmbf 25907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
9		itgadd.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	mbfmptcl 25776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	5, 10	readdd 15267	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
12	11	itgeq2dv 25922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥)
13	5	recld 15247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
14	5	iblcn 25939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
15	1, 14	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
16	15	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
17	10	recld 15247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
18	10	iblcn 25939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)))
19	6, 18	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1))
20	19	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
21	13, 16, 17, 20, 13, 17	itgaddlem2 25964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
22	12, 21	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
23	5, 10	imaddd 15268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
24	23	itgeq2dv 25922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥)
25	5	imcld 15248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
26	15	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
27	10	imcld 15248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
28	19	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
29	25, 26, 27, 28, 25, 27	itgaddlem2 25964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
30	24, 29	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
31	30	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
32		ax-icn 11160	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
34	25, 26	itgcl 25924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
35	27, 28	itgcl 25924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	adddid 11234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
37	31, 36	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
38	22, 37	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
39	13, 16	itgcl 25924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
40	17, 20	itgcl 25924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
41		mulcl 11185	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
42	32, 34, 41	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
43		mulcl 11185	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
44	32, 35, 43	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
45	39, 40, 42, 44	add4d 11440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
46	38, 45	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
47		ovexd 7447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
48	4, 1, 9, 6	ibladd 25961	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
49	47, 48	itgcnval 25940	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)))
50	4, 1	itgcnval 25940	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
51	9, 6	itgcnval 25940	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
52	50, 51	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
53	46, 49, 52	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  ici 11103   + caddc 11104   · cmul 11106  ℜcre 15150  ℑcim 15151  MblFncmbf 25754  𝐿¹cibl 25757  ∫citg 25758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cmp 23525  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-itg2 25761  df-ibl 25762  df-itg 25763  df-0p 25810

This theorem is referenced by:  itgsub  25966  itgfsum  25967  itgmulc2  25974  ftc1lem4  26179  itgparts  26187  areaquad  43926  fourierdlem83  46886  fourierdlem95  46898