MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgadd 25741
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgadd.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgadd.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
itgadd.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgadd (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgadd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
2 iblmbf 25684 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
4 itgadd.1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
53, 4mbfmptcl 25552 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6 itgadd.4 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)
7 iblmbf 25684 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn)
9 itgadd.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
108, 9mbfmptcl 25552 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
115, 10readdd 15185 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) = ((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)))
1211itgeq2dv 25698 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ)
135recld 15165 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
145iblcn 25715 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
151, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
1615simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
1710recld 15165 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
1810iblcn 25715 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)))
196, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1))
2019simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
2113, 16, 17, 20, 13, 17itgaddlem2 25740 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
2212, 21eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
235, 10imaddd 15186 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) = ((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)))
2423itgeq2dv 25698 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ)
255imcld 15166 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2615simprd 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
2710imcld 15166 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2819simprd 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
2925, 26, 27, 28, 25, 27itgaddlem2 25740 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
3024, 29eqtrd 2767 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
3130oveq2d 7430 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ) = (i ยท (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
32 ax-icn 11189 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
3332a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
3425, 26itgcl 25700 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3527, 28itgcl 25700 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3633, 34, 35adddid 11260 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)) = ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
3731, 36eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ) = ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
3822, 37oveq12d 7432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
3913, 16itgcl 25700 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4017, 20itgcl 25700 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
41 mulcl 11214 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4232, 34, 41sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
43 mulcl 11214 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4432, 35, 43sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4539, 40, 42, 44add4d 11464 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
4638, 45eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
47 ovexd 7449 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ V)
484, 1, 9, 6ibladd 25737 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต + ๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
4947, 48itgcnval 25716 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)))
504, 1itgcnval 25716 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
519, 6itgcnval 25716 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
5250, 51oveq12d 7432 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
5346, 49, 523eqtr4d 2777 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  ici 11132   + caddc 11133   ยท cmul 11135  โ„œcre 15068  โ„‘cim 15069  MblFncmbf 25530  ๐ฟ1cibl 25533  โˆซcitg 25534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cmp 23278  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586
This theorem is referenced by:  itgsub  25742  itgfsum  25743  itgmulc2  25750  ftc1lem4  25961  itgparts  25969  areaquad  42567  fourierdlem83  45500  fourierdlem95  45512
  Copyright terms: Public domain W3C validator