MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgadd 25341
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgadd.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgadd.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
itgadd.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgadd (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgadd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
2 iblmbf 25284 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
4 itgadd.1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
53, 4mbfmptcl 25152 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6 itgadd.4 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)
7 iblmbf 25284 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn)
9 itgadd.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
108, 9mbfmptcl 25152 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
115, 10readdd 15160 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) = ((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)))
1211itgeq2dv 25298 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ)
135recld 15140 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
145iblcn 25315 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
151, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
1615simpld 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
1710recld 15140 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
1810iblcn 25315 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)))
196, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1))
2019simpld 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
2113, 16, 17, 20, 13, 17itgaddlem2 25340 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
2212, 21eqtrd 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
235, 10imaddd 15161 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) = ((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)))
2423itgeq2dv 25298 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ)
255imcld 15141 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2615simprd 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
2710imcld 15141 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2819simprd 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
2925, 26, 27, 28, 25, 27itgaddlem2 25340 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
3024, 29eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
3130oveq2d 7424 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ) = (i ยท (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
32 ax-icn 11168 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
3332a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
3425, 26itgcl 25300 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3527, 28itgcl 25300 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3633, 34, 35adddid 11237 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)) = ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
3731, 36eqtrd 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ) = ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
3822, 37oveq12d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
3913, 16itgcl 25300 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4017, 20itgcl 25300 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
41 mulcl 11193 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4232, 34, 41sylancr 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
43 mulcl 11193 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4432, 35, 43sylancr 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4539, 40, 42, 44add4d 11441 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
4638, 45eqtrd 2772 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
47 ovexd 7443 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ V)
484, 1, 9, 6ibladd 25337 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต + ๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
4947, 48itgcnval 25316 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)))
504, 1itgcnval 25316 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
519, 6itgcnval 25316 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
5250, 51oveq12d 7426 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
5346, 49, 523eqtr4d 2782 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„œcre 15043  โ„‘cim 15044  MblFncmbf 25130  ๐ฟ1cibl 25133  โˆซcitg 25134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-ibl 25138  df-itg 25139  df-0p 25186
This theorem is referenced by:  itgsub  25342  itgfsum  25343  itgmulc2  25350  ftc1lem4  25555  itgparts  25563  areaquad  41955  fourierdlem83  44895  fourierdlem95  44907
  Copyright terms: Public domain W3C validator