Theorem itgadd 24427

Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
itgadd.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgadd	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 24370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgadd.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 24239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		itgadd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7		iblmbf 24370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
9		itgadd.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	mbfmptcl 24239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	5, 10	readdd 14575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
12	11	itgeq2dv 24384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥)
13	5	recld 14555	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
14	5	iblcn 24401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
15	1, 14	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
16	15	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
17	10	recld 14555	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
18	10	iblcn 24401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)))
19	6, 18	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1))
20	19	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
21	13, 16, 17, 20, 13, 17	itgaddlem2 24426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
22	12, 21	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
23	5, 10	imaddd 14576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
24	23	itgeq2dv 24384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥)
25	5	imcld 14556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
26	15	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
27	10	imcld 14556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
28	19	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
29	25, 26, 27, 28, 25, 27	itgaddlem2 24426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
30	24, 29	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
31	30	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
32		ax-icn 10598	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
34	25, 26	itgcl 24386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
35	27, 28	itgcl 24386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	adddid 10667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
37	31, 36	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
38	22, 37	oveq12d 7176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
39	13, 16	itgcl 24386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
40	17, 20	itgcl 24386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
41		mulcl 10623	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
42	32, 34, 41	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
43		mulcl 10623	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
44	32, 35, 43	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
45	39, 40, 42, 44	add4d 10870	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
46	38, 45	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
47		ovexd 7193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
48	4, 1, 9, 6	ibladd 24423	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
49	47, 48	itgcnval 24402	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)))
50	4, 1	itgcnval 24402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
51	9, 6	itgcnval 24402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
52	50, 51	oveq12d 7176	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
53	46, 49, 52	3eqtr4d 2868	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  ici 10541   + caddc 10542   · cmul 10544  ℜcre 14458  ℑcim 14459  MblFncmbf 24217  𝐿¹cibl 24220  ∫citg 24221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-rest 16698  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cmp 21997  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-mbf 24222  df-itg1 24223  df-itg2 24224  df-ibl 24225  df-itg 24226  df-0p 24273

This theorem is referenced by:  itgsub  24428  itgfsum  24429  itgmulc2  24436  ftc1lem4  24638  itgparts  24646  areaquad  39830  fourierdlem83  42481  fourierdlem95  42493