MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgadd 25212
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgadd.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgadd.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
itgadd.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgadd (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgadd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
2 iblmbf 25155 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
4 itgadd.1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
53, 4mbfmptcl 25023 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6 itgadd.4 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)
7 iblmbf 25155 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn)
9 itgadd.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
108, 9mbfmptcl 25023 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
115, 10readdd 15108 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) = ((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)))
1211itgeq2dv 25169 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ)
135recld 15088 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
145iblcn 25186 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
151, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
1615simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
1710recld 15088 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
1810iblcn 25186 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)))
196, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1))
2019simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
2113, 16, 17, 20, 13, 17itgaddlem2 25211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ต) + (โ„œโ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
2212, 21eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
235, 10imaddd 15109 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) = ((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)))
2423itgeq2dv 25169 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ)
255imcld 15089 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2615simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
2710imcld 15089 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2819simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
2925, 26, 27, 28, 25, 27itgaddlem2 25211 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ต) + (โ„‘โ€˜๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
3024, 29eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))
3130oveq2d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ) = (i ยท (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
32 ax-icn 11118 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
3332a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
3425, 26itgcl 25171 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3527, 28itgcl 25171 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3633, 34, 35adddid 11187 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)) = ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
3731, 36eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ) = ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
3822, 37oveq12d 7379 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
3913, 16itgcl 25171 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4017, 20itgcl 25171 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
41 mulcl 11143 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4232, 34, 41sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
43 mulcl 11143 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4432, 35, 43sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4539, 40, 42, 44add4d 11391 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
4638, 45eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
47 ovexd 7396 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ V)
484, 1, 9, 6ibladd 25208 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต + ๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
4947, 48itgcnval 25187 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ต + ๐ถ)) d๐‘ฅ)))
504, 1itgcnval 25187 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
519, 6itgcnval 25187 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ)))
5250, 51oveq12d 7379 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ) = ((โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ถ) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ถ) d๐‘ฅ))))
5346, 49, 523eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„œcre 14991  โ„‘cim 14992  MblFncmbf 25001  ๐ฟ1cibl 25004  โˆซcitg 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  itgsub  25213  itgfsum  25214  itgmulc2  25221  ftc1lem4  25426  itgparts  25434  areaquad  41597  fourierdlem83  44520  fourierdlem95  44532
  Copyright terms: Public domain W3C validator