MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm2 24237
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbfdm2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfdm2
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
21ralrimiva 3177 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
3 dmmptg 6083 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
5 mbfmptcl.1 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
6 mbfdm 24226 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ dom vol)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ dom vol)
84, 7eqeltrrd 2917 1 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cmpt 5132  dom cdm 5542  volcvol 24063  MblFncmbf 24214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11693  df-ioo 12735  df-cj 14454  df-re 14455  df-mbf 24219
This theorem is referenced by:  mbfss  24246  mbfpos  24251  mbfposr  24252  mbfmulc2  24263  mbfi1flim  24323  itgge0  24410  itgss3  24414  itgless  24416  ibladdlem  24419  ibladd  24420  itgaddlem1  24422  iblabslem  24427  itgsplit  24435  bddmulibl  24438  itggt0  24443  itgcn  24444  ibladdnclem  35023  itgaddnclem1  35025  iblabsnclem  35030  itgmulc2nclem2  35034  itgmulc2nc  35035  itgabsnc  35036  iblsplit  42471
  Copyright terms: Public domain W3C validator