Theorem mbfdm2 25686

Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmptcl.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mbfdm2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmptcl.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2	1	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
3		dmmptg 6264	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5		mbfmptcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
6		mbfdm 25675	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ dom vol)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ dom vol)
8	4, 7	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  volcvol 25512  MblFncmbf 25663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-ioo 13388  df-cj 15135  df-re 15136  df-mbf 25668

This theorem is referenced by:  mbfss  25695  mbfpos  25700  mbfposr  25701  mbfmulc2  25712  mbfi1flim  25773  itgge0  25861  itgss3  25865  itgless  25867  ibladdlem  25870  ibladd  25871  itgaddlem1  25873  iblabslem  25878  itgsplit  25886  bddmulibl  25889  itggt0  25894  itgcn  25895  ibladdnclem  37663  itgaddnclem1  37665  iblabsnclem  37670  itgmulc2nclem2  37674  itgmulc2nc  37675  itgabsnc  37676  iblsplit  45922