Theorem mbfid 25596

Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfid	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvresima 6189	. . . . 5 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴)
2		cnvi 6100	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
3	2	imaeq1i 6017	. . . . . . 7 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = ( I “ 𝑥)
4		imai 6034	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ 𝑥) = 𝑥
5	3, 4	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = 𝑥
6	5	ineq1i 4169	. . . . 5 ⊢ ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)
7	1, 6	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
8		ioof 13367	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9		ffn 6663	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
10		ovelrn 7536	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧)))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
12		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
13		ioombl 25526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
14	12, 13	eqeltrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
16	15	rexlimivv 3179	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
17	11, 16	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → 𝑥 ∈ dom vol)
18		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
19		inmbl 25503	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
20	17, 18, 19	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
21	7, 20	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	21	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
23		f1oi 6813	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
24		f1of 6775	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
26		mblss 25492	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		fss 6679	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
29		ismbf 25589	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	22, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555   I cid 5519   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  ℝ^*cxr 11169  (,)cioo 13265  volcvol 25424  MblFncmbf 25575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xadd 13031  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-xmet 21306  df-met 21307  df-ovol 25425  df-vol 25426  df-mbf 25580

This theorem is referenced by: (None)