Theorem mbfid 25867

Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfid	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvresima 6230	. . . . 5 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴)
2		cnvi 5869	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
3	2	imaeq1i 6057	. . . . . . 7 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = ( I “ 𝑥)
4		imai 6074	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ 𝑥) = 𝑥
5	3, 4	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = 𝑥
6	5	ineq1i 4165	. . . . 5 ⊢ ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)
7	1, 6	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
8		ioof 13502	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
10		ovelrn 7593	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧)))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
12		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
13		ioombl 25797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
14	12, 13	eqeltrdi 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
16	15	rexlimivv 3206	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
17	11, 16	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → 𝑥 ∈ dom vol)
18		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
19		inmbl 25774	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
20	17, 18, 19	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
21	7, 20	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	21	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
23		f1oi 6860	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
24		f1of 6821	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
26		mblss 25763	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		fss 6723	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
29		ismbf 25860	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	22, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560   I cid 5553   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11269  (,)cioo 13400  volcvol 25695  MblFncmbf 25846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xadd 13166  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-xmet 21582  df-met 21583  df-ovol 25696  df-vol 25697  df-mbf 25851

This theorem is used by: (None)