Theorem mbfid 25957

Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfid	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvresima 6231	. . . . 5 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴)
2		cnvi 5862	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
3	2	imaeq1i 6048	. . . . . . 7 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = ( I “ 𝑥)
4		imai 6071	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ 𝑥) = 𝑥
5	3, 4	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = 𝑥
6	5	ineq1i 4113	. . . . 5 ⊢ ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)
7	1, 6	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
8		ioof 13579	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
10		ovelrn 7597	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧)))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
12		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
13		ioombl 25887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
14	12, 13	eqeltrdi 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
16	15	rexlimivv 3204	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
17	11, 16	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → 𝑥 ∈ dom vol)
18		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
19		inmbl 25864	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
20	17, 18, 19	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
21	7, 20	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	21	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
23		f1oi 6863	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
24		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
26		mblss 25853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		fss 6726	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
29		ismbf 25950	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	22, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556   I cid 5544   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  (class class class)co 7420  ℝcr 11200  ℝ^*cxr 11343  (,)cioo 13477  volcvol 25785  MblFncmbf 25936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xadd 13243  df-ioo 13481  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-xmet 21672  df-met 21673  df-ovol 25786  df-vol 25787  df-mbf 25941

This theorem is used by: (None)