Theorem mbfid 25611

Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfid	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvresima 6186	. . . . 5 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴)
2		cnvi 6097	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
3	2	imaeq1i 6014	. . . . . . 7 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = ( I “ 𝑥)
4		imai 6031	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ 𝑥) = 𝑥
5	3, 4	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = 𝑥
6	5	ineq1i 4157	. . . . 5 ⊢ ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)
7	1, 6	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
8		ioof 13389	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9		ffn 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
10		ovelrn 7534	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧)))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
12		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
13		ioombl 25541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
14	12, 13	eqeltrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
16	15	rexlimivv 3180	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
17	11, 16	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → 𝑥 ∈ dom vol)
18		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
19		inmbl 25518	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
20	17, 18, 19	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
21	7, 20	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	21	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
23		f1oi 6810	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
24		f1of 6772	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
26		mblss 25507	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		fss 6676	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
29		ismbf 25604	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	22, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   I cid 5516   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623   ↾ cres 5624   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  ℝ^*cxr 11167  (,)cioo 13287  volcvol 25439  MblFncmbf 25590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xadd 13053  df-ioo 13291  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-xmet 21335  df-met 21336  df-ovol 25440  df-vol 25441  df-mbf 25595

This theorem is referenced by: (None)