Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfid 24242
 Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 6058 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (( I “ 𝑥) ∩ 𝐴)
2 cnvi 5971 . . . . . . . 8 I = I
32imaeq1i 5897 . . . . . . 7 ( I “ 𝑥) = ( I “ 𝑥)
4 imai 5913 . . . . . . 7 ( I “ 𝑥) = 𝑥
53, 4eqtri 2824 . . . . . 6 ( I “ 𝑥) = 𝑥
65ineq1i 4138 . . . . 5 (( I “ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝑥𝐴)
71, 6eqtri 2824 . . . 4 (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (𝑥𝐴)
8 ioof 12829 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9 ffn 6491 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
10 ovelrn 7308 . . . . . . 7 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧)))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
13 ioombl 24172 . . . . . . . . 9 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
1412, 13eqeltrdi 2901 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
1615rexlimivv 3254 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
1711, 16sylbi 220 . . . . 5 (𝑥 ∈ ran (,) → 𝑥 ∈ dom vol)
18 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
19 inmbl 24149 . . . . 5 ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
2017, 18, 19syl2anr 599 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
217, 20eqeltrid 2897 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2221ralrimiva 3152 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
23 f1oi 6631 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
24 f1of 6594 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
26 mblss 24138 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27 fss 6505 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴 ⊆ ℝ) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
2825, 26, 27sylancr 590 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
29 ismbf 24235 . . 3 (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3028, 29syl 17 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3122, 30mpbird 260 1 (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500   I cid 5427   × cxp 5521  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525   “ cima 5526   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  ℝ*cxr 10667  (,)cioo 12730  volcvol 24070  MblFncmbf 24221 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-xmet 20087  df-met 20088  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator