MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfid 24840
Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid (𝐴 ∈ dom vol β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 6144 . . . . 5 (β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) = ((β—‘ I β€œ π‘₯) ∩ 𝐴)
2 cnvi 6056 . . . . . . . 8 β—‘ I = I
32imaeq1i 5972 . . . . . . 7 (β—‘ I β€œ π‘₯) = ( I β€œ π‘₯)
4 imai 5988 . . . . . . 7 ( I β€œ π‘₯) = π‘₯
53, 4eqtri 2764 . . . . . 6 (β—‘ I β€œ π‘₯) = π‘₯
65ineq1i 4148 . . . . 5 ((β—‘ I β€œ π‘₯) ∩ 𝐴) = (π‘₯ ∩ 𝐴)
71, 6eqtri 2764 . . . 4 (β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) = (π‘₯ ∩ 𝐴)
8 ioof 13221 . . . . . . 7 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
9 ffn 6626 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
10 ovelrn 7476 . . . . . . 7 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* βˆƒπ‘§ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑦(,)𝑧)))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* βˆƒπ‘§ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑦(,)𝑧))
12 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦(,)𝑧) β†’ π‘₯ = (𝑦(,)𝑧))
13 ioombl 24770 . . . . . . . . 9 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
1412, 13eqeltrdi 2845 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦(,)𝑧) β†’ π‘₯ ∈ dom vol)
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ = (𝑦(,)𝑧) β†’ π‘₯ ∈ dom vol))
1615rexlimivv 3193 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* βˆƒπ‘§ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑦(,)𝑧) β†’ π‘₯ ∈ dom vol)
1711, 16sylbi 216 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ ∈ dom vol)
18 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
19 inmbl 24747 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
2017, 18, 19syl2anr 598 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
217, 20eqeltrid 2841 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
2221ralrimiva 3140 . 2 (𝐴 ∈ dom vol β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
23 f1oi 6780 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
24 f1of 6742 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴⟢𝐴)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴⟢𝐴
26 mblss 24736 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
27 fss 6643 . . . 4 ((( I β†Ύ 𝐴):𝐴⟢𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ( I β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„)
2825, 26, 27sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol β†’ ( I β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„)
29 ismbf 24833 . . 3 (( I β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„ β†’ (( I β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
3028, 29syl 17 . 2 (𝐴 ∈ dom vol β†’ (( I β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
3122, 30mpbird 258 1 (𝐴 ∈ dom vol β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3891   βŠ† wss 3892  π’« cpw 4539   I cid 5495   Γ— cxp 5594  β—‘ccnv 5595  dom cdm 5596  ran crn 5597   β†Ύ cres 5598   β€œ cima 5599   Fn wfn 6449  βŸΆwf 6450  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6453  (class class class)co 7303  β„cr 10912  β„*cxr 11050  (,)cioo 13121  volcvol 24668  MblFncmbf 24819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-dju 9699  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xadd 12891  df-ioo 13125  df-ico 13127  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-clim 15238  df-rlim 15239  df-sum 15439  df-xmet 20631  df-met 20632  df-ovol 24669  df-vol 24670  df-mbf 24824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator