MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfid 25152
Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid (𝐴 ∈ dom vol β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 6230 . . . . 5 (β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) = ((β—‘ I β€œ π‘₯) ∩ 𝐴)
2 cnvi 6142 . . . . . . . 8 β—‘ I = I
32imaeq1i 6057 . . . . . . 7 (β—‘ I β€œ π‘₯) = ( I β€œ π‘₯)
4 imai 6074 . . . . . . 7 ( I β€œ π‘₯) = π‘₯
53, 4eqtri 2761 . . . . . 6 (β—‘ I β€œ π‘₯) = π‘₯
65ineq1i 4209 . . . . 5 ((β—‘ I β€œ π‘₯) ∩ 𝐴) = (π‘₯ ∩ 𝐴)
71, 6eqtri 2761 . . . 4 (β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) = (π‘₯ ∩ 𝐴)
8 ioof 13424 . . . . . . 7 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
9 ffn 6718 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
10 ovelrn 7583 . . . . . . 7 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* βˆƒπ‘§ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑦(,)𝑧)))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* βˆƒπ‘§ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑦(,)𝑧))
12 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦(,)𝑧) β†’ π‘₯ = (𝑦(,)𝑧))
13 ioombl 25082 . . . . . . . . 9 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
1412, 13eqeltrdi 2842 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦(,)𝑧) β†’ π‘₯ ∈ dom vol)
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ = (𝑦(,)𝑧) β†’ π‘₯ ∈ dom vol))
1615rexlimivv 3200 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* βˆƒπ‘§ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑦(,)𝑧) β†’ π‘₯ ∈ dom vol)
1711, 16sylbi 216 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ π‘₯ ∈ dom vol)
18 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
19 inmbl 25059 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
2017, 18, 19syl2anr 598 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
217, 20eqeltrid 2838 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
2221ralrimiva 3147 . 2 (𝐴 ∈ dom vol β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
23 f1oi 6872 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
24 f1of 6834 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴⟢𝐴)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴⟢𝐴
26 mblss 25048 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
27 fss 6735 . . . 4 ((( I β†Ύ 𝐴):𝐴⟢𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ( I β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„)
2825, 26, 27sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol β†’ ( I β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„)
29 ismbf 25145 . . 3 (( I β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„ β†’ (( I β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
3028, 29syl 17 . 2 (𝐴 ∈ dom vol β†’ (( I β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘( I β†Ύ 𝐴) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
3122, 30mpbird 257 1 (𝐴 ∈ dom vol β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  (class class class)co 7409  β„cr 11109  β„*cxr 11247  (,)cioo 13324  volcvol 24980  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator