MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfid 25684
Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 6252 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (( I “ 𝑥) ∩ 𝐴)
2 cnvi 6164 . . . . . . . 8 I = I
32imaeq1i 6077 . . . . . . 7 ( I “ 𝑥) = ( I “ 𝑥)
4 imai 6094 . . . . . . 7 ( I “ 𝑥) = 𝑥
53, 4eqtri 2763 . . . . . 6 ( I “ 𝑥) = 𝑥
65ineq1i 4224 . . . . 5 (( I “ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝑥𝐴)
71, 6eqtri 2763 . . . 4 (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (𝑥𝐴)
8 ioof 13484 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9 ffn 6737 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
10 ovelrn 7609 . . . . . . 7 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧)))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
13 ioombl 25614 . . . . . . . . 9 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
1412, 13eqeltrdi 2847 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
1615rexlimivv 3199 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
1711, 16sylbi 217 . . . . 5 (𝑥 ∈ ran (,) → 𝑥 ∈ dom vol)
18 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
19 inmbl 25591 . . . . 5 ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
2017, 18, 19syl2anr 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
217, 20eqeltrid 2843 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2221ralrimiva 3144 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
23 f1oi 6887 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
24 f1of 6849 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
26 mblss 25580 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27 fss 6753 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴 ⊆ ℝ) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
2825, 26, 27sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
29 ismbf 25677 . . 3 (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3028, 29syl 17 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3122, 30mpbird 257 1 (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   I cid 5582   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  (class class class)co 7431  cr 11152  *cxr 11292  (,)cioo 13384  volcvol 25512  MblFncmbf 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator