MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblmulc2 25572
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem iblmulc2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 itgmulc2.2 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
3 itgmulc2.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
4 iblmbf 25509 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
53, 4syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
61, 2, 5mbfmulc2 25404 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn)
7 ifan 4581 . . . . . 6 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
81adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
95, 2mbfmptcl 25377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108, 9mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
12 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 i โˆˆ โ„‚
13 ine0 11653 . . . . . . . . . . . . . 14 i โ‰  0
14 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
16 expclz 14054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1712, 13, 15, 16mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
18 expne0i 14064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
1912, 13, 15, 18mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
2011, 17, 19divcld 11994 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2120recld 15145 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
22 0re 11220 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
23 ifcl 4573 . . . . . . . . . . 11 (((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2421, 22, 23sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2524rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
26 max1 13168 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2722, 21, 26sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
28 elxrge0 13438 . . . . . . . . 9 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
2925, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
30 0e0iccpnf 13440 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
3229, 31ifclda 4563 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3332adantr 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
347, 33eqeltrid 2837 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3534fmpttd 7116 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
36 reex 11203 . . . . . . . . . . 11 โ„ โˆˆ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
381abscld 15387 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
3938adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
409abscld 15387 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
419absge0d 15395 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
42 elrege0 13435 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜๐ต) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต)))
4340, 41, 42sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ (0[,)+โˆž))
44 0e0icopnf 13439 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
4643, 45ifclda 4563 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
48 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . 11 (โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜๐ถ))
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜๐ถ)))
50 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))
5137, 39, 47, 49, 50offval2 7692 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))))
52 ovif2 7509 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0))
538, 9absmuld 15405 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
5453ifeq1da 4559 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0)))
5538recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5655mul01d 11417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท 0) = 0)
5756ifeq2d 4548 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
5854, 57eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
5952, 58eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
6059mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
6151, 60eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
6261fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))))
6347fmpttd 7116 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
642, 3iblabs 25570 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
6540, 41iblpos 25534 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)))
6664, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„))
6766simprd 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)
68 abscl 15229 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
69 absge0 15238 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
70 elrege0 13435 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ)))
7168, 69, 70sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
721, 71syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
7363, 67, 72itg2mulc 25489 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))))
7462, 73eqtr3d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))))
7538, 67remulcld 11248 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))) โˆˆ โ„)
7674, 75eqeltrd 2833 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
7776adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
7810abscld 15387 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
7978rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„*)
8010absge0d 15395 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
81 elxrge0 13438 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต))))
8279, 80, 81sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8330a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
8482, 83ifclda 4563 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8584adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8685fmpttd 7116 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
8786adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
8820releabsd 15402 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))))
8911, 17, 19absdivd 15406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))))
90 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9190ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
92 absexp 15255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜))
9312, 91, 92sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜))
94 absi 15237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (absโ€˜i) = 1
9594oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜) = (1โ†‘๐‘˜)
96 1exp 14061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘˜) = 1)
9715, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1โ†‘๐‘˜) = 1)
9895, 97eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜) = 1)
9993, 98eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = 1)
10099oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1))
10178recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
102101adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
103102div1d 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
10489, 100, 1033eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
10588, 104breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
10680adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
107 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โ†” if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต))))
108 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โ†” if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต))))
109107, 108ifboth 4567 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
110105, 106, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
111 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
112111adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
113 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
114113adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
115110, 112, 1143brtr4d 5180 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
116115ex 413 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
117 0le0 12317 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 0
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค 0)
119 iffalse 4537 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
120 iffalse 4537 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) = 0)
121118, 119, 1203brtr4d 5180 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
122116, 121pm2.61d1 180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
1237, 122eqbrtrid 5183 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
124123ralrimivw 3150 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
12536a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ โ„ โˆˆ V)
12685adantlr 713 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
127 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
128 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
129125, 34, 126, 127, 128ofrfval2 7693 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
130124, 129mpbird 256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
131 itg2le 25481 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))))
13235, 87, 130, 131syl3anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))))
133 itg2lecl 25480 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
13435, 77, 132, 133syl3anc 1371 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
135134ralrimiva 3146 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
136 eqidd 2733 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
137 eqidd 2733 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))))
138136, 137, 10isibl2 25508 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
1396, 135, 138mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆ˜f cof 7670   โˆ˜r cofr 7671  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  3c3 12272  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  โ„œcre 15048  abscabs 15185  MblFncmbf 25355  โˆซ2citg2 25357  ๐ฟ1cibl 25358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-mbf 25360  df-itg1 25361  df-itg2 25362  df-ibl 25363  df-0p 25411
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem1  25573  itgmulc2lem2  25574  itgmulc2  25575  itgabs  25576  circlemeth  33938  3factsumint1  41192  fourierdlem83  45204  fourierdlem95  45216  sqwvfoura  45243  sqwvfourb  45244
  Copyright terms: Public domain W3C validator