MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblmulc2 24733
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblmulc2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 itgmulc2.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
3 itgmulc2.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
4 iblmbf 24670 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
61, 2, 5mbfmulc2 24565 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
7 ifan 4497 . . . . . 6 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0)
81adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
95, 2mbfmptcl 24538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 10858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
1110adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
12 ax-icn 10793 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
13 ine0 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 i ≠ 0
14 elfzelz 13117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
1514ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
16 expclz 13665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1712, 13, 15, 16mp3an12i 1467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
18 expne0i 13672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
1912, 13, 15, 18mp3an12i 1467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2011, 17, 19divcld 11613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
2120recld 14762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
22 0re 10840 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
23 ifcl 4489 . . . . . . . . . . 11 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2421, 22, 23sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2524rexrd 10888 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
26 max1 12780 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
2722, 21, 26sylancr 590 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
28 elxrge0 13050 . . . . . . . . 9 (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
2925, 27, 28sylanbrc 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
30 0e0iccpnf 13052 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]+∞)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
3229, 31ifclda 4479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
3332adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
347, 33eqeltrid 2842 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
3534fmpttd 6937 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
36 reex 10825 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ V)
381abscld 15005 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
3938adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
409abscld 15005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
419absge0d 15013 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
42 elrege0 13047 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
4340, 41, 42sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
44 0e0icopnf 13051 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0[,)+∞)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
4643, 45ifclda 4479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
4746adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
48 fconstmpt 5616 . . . . . . . . . . 11 (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶))
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶)))
50 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
5137, 39, 47, 49, 50offval2 7493 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))))
52 ovif2 7314 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0))
538, 9absmuld 15023 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
5453ifeq1da 4475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)))
5538recnd 10866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
5655mul01d 11036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 0) = 0)
5756ifeq2d 4464 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
5854, 57eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
5952, 58syl5eq 2790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
6059mpteq2dv 5156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
6151, 60eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
6261fveq2d 6726 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))))
6347fmpttd 6937 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
642, 3iblabs 24731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
6540, 41iblpos 24695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
6664, 65mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
6766simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
68 abscl 14847 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
69 absge0 14856 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐶))
70 elrege0 13047 . . . . . . . . . 10 ((abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)))
7168, 69, 70sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞))
721, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞))
7363, 67, 72itg2mulc 24650 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))))
7462, 73eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))))
7538, 67remulcld 10868 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
7674, 75eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
7776adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
7810abscld 15005 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
7978rexrd 10888 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ*)
8010absge0d 15013 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
81 elxrge0 13050 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))))
8279, 80, 81sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
8330a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
8482, 83ifclda 4479 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈ (0[,]+∞))
8584adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈ (0[,]+∞))
8685fmpttd 6937 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8786adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8820releabsd 15020 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
8911, 17, 19absdivd 15024 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))))
90 elfznn0 13210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9190ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ0)
92 absexp 14873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
9312, 91, 92sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
94 absi 14855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘i) = 1
9594oveq1i 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘i)↑𝑘) = (1↑𝑘)
96 1exp 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
9715, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (1↑𝑘) = 1)
9895, 97syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘i)↑𝑘) = 1)
9993, 98eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(i↑𝑘)) = 1)
10099oveq2d 7234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1))
10178recnd 10866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
102101adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
103102div1d 11605 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
10489, 100, 1033eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
10588, 104breqtrd 5084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
10680adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
107 breq1 5061 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))))
108 breq1 5061 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → (0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))))
109107, 108ifboth 4483 . . . . . . . . . . . 12 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
110105, 106, 109syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
111 iftrue 4450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
112111adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
113 iftrue 4450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
114113adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
115110, 112, 1143brtr4d 5090 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
116115ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
117 0le0 11936 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
119 iffalse 4453 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
120 iffalse 4453 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = 0)
121118, 119, 1203brtr4d 5090 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
122116, 121pm2.61d1 183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
1237, 122eqbrtrid 5093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
124123ralrimivw 3106 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
12536a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ℝ ∈ V)
12685adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈ (0[,]+∞))
127 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
128 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
129125, 34, 126, 127, 128ofrfval2 7494 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
130124, 129mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
131 itg2le 24642 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))))
13235, 87, 130, 131syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))))
133 itg2lecl 24641 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
13435, 77, 132, 133syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
135134ralrimiva 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
136 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
137 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
138136, 137, 10isibl2 24669 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
1396, 135, 138mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3413  ifcif 4444  {csn 4546   class class class wbr 5058  cmpt 5140   × cxp 5554  wf 6381  cfv 6385  (class class class)co 7218  f cof 7472  r cofr 7473  cc 10732  cr 10733  0cc0 10734  1c1 10735  ici 10736   · cmul 10739  +∞cpnf 10869  *cxr 10871  cle 10873   / cdiv 11494  3c3 11891  0cn0 12095  cz 12181  [,)cico 12942  [,]cicc 12943  ...cfz 13100  cexp 13640  cre 14665  abscabs 14802  MblFncmbf 24516  2citg2 24518  𝐿1cibl 24519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-inf2 9261  ax-cc 10054  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811  ax-pre-sup 10812  ax-addf 10813  ax-mulf 10814
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-int 4865  df-iun 4911  df-iin 4912  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-isom 6394  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-of 7474  df-ofr 7475  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-supp 7909  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-2o 8208  df-oadd 8211  df-omul 8212  df-er 8396  df-map 8515  df-pm 8516  df-ixp 8584  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-fsupp 8991  df-fi 9032  df-sup 9063  df-inf 9064  df-oi 9131  df-dju 9522  df-card 9560  df-acn 9563  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-div 11495  df-nn 11836  df-2 11898  df-3 11899  df-4 11900  df-5 11901  df-6 11902  df-7 11903  df-8 11904  df-9 11905  df-n0 12096  df-z 12182  df-dec 12299  df-uz 12444  df-q 12550  df-rp 12592  df-xneg 12709  df-xadd 12710  df-xmul 12711  df-ioo 12944  df-ioc 12945  df-ico 12946  df-icc 12947  df-fz 13101  df-fzo 13244  df-fl 13372  df-seq 13580  df-exp 13641  df-hash 13902  df-cj 14667  df-re 14668  df-im 14669  df-sqrt 14803  df-abs 14804  df-clim 15054  df-rlim 15055  df-sum 15255  df-struct 16705  df-sets 16722  df-slot 16740  df-ndx 16750  df-base 16766  df-ress 16790  df-plusg 16820  df-mulr 16821  df-starv 16822  df-sca 16823  df-vsca 16824  df-ip 16825  df-tset 16826  df-ple 16827  df-ds 16829  df-unif 16830  df-hom 16831  df-cco 16832  df-rest 16932  df-topn 16933  df-0g 16951  df-gsum 16952  df-topgen 16953  df-pt 16954  df-prds 16957  df-xrs 17012  df-qtop 17017  df-imas 17018  df-xps 17020  df-mre 17094  df-mrc 17095  df-acs 17097  df-mgm 18119  df-sgrp 18168  df-mnd 18179  df-submnd 18224  df-mulg 18494  df-cntz 18716  df-cmn 19177  df-psmet 20360  df-xmet 20361  df-met 20362  df-bl 20363  df-mopn 20364  df-cnfld 20369  df-top 21796  df-topon 21813  df-topsp 21835  df-bases 21848  df-cn 22129  df-cnp 22130  df-cmp 22289  df-tx 22464  df-hmeo 22657  df-xms 23223  df-ms 23224  df-tms 23225  df-cncf 23780  df-ovol 24366  df-vol 24367  df-mbf 24521  df-itg1 24522  df-itg2 24523  df-ibl 24524  df-0p 24572
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem1  24734  itgmulc2lem2  24735  itgmulc2  24736  itgabs  24737  circlemeth  32337  3factsumint1  39768  fourierdlem83  43413  fourierdlem95  43425  sqwvfoura  43452  sqwvfourb  43453
  Copyright terms: Public domain W3C validator