MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblmulc2 25117
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem iblmulc2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 itgmulc2.2 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
3 itgmulc2.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
4 iblmbf 25054 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
53, 4syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
61, 2, 5mbfmulc2 24949 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn)
7 ifan 4537 . . . . . 6 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
81adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
95, 2mbfmptcl 24922 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108, 9mulcld 11108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
12 ax-icn 11043 . . . . . . . . . . . . . 14 i โˆˆ โ„‚
13 ine0 11523 . . . . . . . . . . . . . 14 i โ‰  0
14 elfzelz 13369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
16 expclz 13920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1712, 13, 15, 16mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
18 expne0i 13928 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
1912, 13, 15, 18mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
2011, 17, 19divcld 11864 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2120recld 15012 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
22 0re 11090 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
23 ifcl 4529 . . . . . . . . . . 11 (((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2421, 22, 23sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2524rexrd 11138 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
26 max1 13032 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2722, 21, 26sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
28 elxrge0 13302 . . . . . . . . 9 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
2925, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
30 0e0iccpnf 13304 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
3229, 31ifclda 4519 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3332adantr 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
347, 33eqeltrid 2842 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3534fmpttd 7057 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
36 reex 11075 . . . . . . . . . . 11 โ„ โˆˆ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
381abscld 15255 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
3938adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
409abscld 15255 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
419absge0d 15263 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
42 elrege0 13299 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜๐ต) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต)))
4340, 41, 42sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ (0[,)+โˆž))
44 0e0icopnf 13303 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
4643, 45ifclda 4519 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
48 fconstmpt 5690 . . . . . . . . . . 11 (โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜๐ถ))
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜๐ถ)))
50 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))
5137, 39, 47, 49, 50offval2 7627 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))))
52 ovif2 7447 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0))
538, 9absmuld 15273 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
5453ifeq1da 4515 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0)))
5538recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5655mul01d 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท 0) = 0)
5756ifeq2d 4504 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
5854, 57eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)), ((absโ€˜๐ถ) ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
5952, 58eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
6059mpteq2dv 5205 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
6151, 60eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
6261fveq2d 6841 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))))
6347fmpttd 7057 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
642, 3iblabs 25115 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
6540, 41iblpos 25079 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)))
6664, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„))
6766simprd 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0))) โˆˆ โ„)
68 abscl 15097 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
69 absge0 15106 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
70 elrege0 13299 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ)))
7168, 69, 70sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
721, 71syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
7363, 67, 72itg2mulc 25034 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))))
7462, 73eqtr3d 2779 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))))
7538, 67remulcld 11118 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜๐ต), 0)))) โˆˆ โ„)
7674, 75eqeltrd 2838 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
7776adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
7810abscld 15255 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
7978rexrd 11138 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„*)
8010absge0d 15263 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
81 elxrge0 13302 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต))))
8279, 80, 81sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8330a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
8482, 83ifclda 4519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8584adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8685fmpttd 7057 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
8786adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
8820releabsd 15270 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))))
8911, 17, 19absdivd 15274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))))
90 elfznn0 13462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9190ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
92 absexp 15123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜))
9312, 91, 92sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜))
94 absi 15105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (absโ€˜i) = 1
9594oveq1i 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜) = (1โ†‘๐‘˜)
96 1exp 13925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘˜) = 1)
9715, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1โ†‘๐‘˜) = 1)
9895, 97eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜) = 1)
9993, 98eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = 1)
10099oveq2d 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1))
10178recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
102101adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
103102div1d 11856 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
10489, 100, 1033eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
10588, 104breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
10680adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
107 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โ†” if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต))))
108 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โ†” if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต))))
109107, 108ifboth 4523 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
110105, 106, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
111 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
112111adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
113 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
114113adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
115110, 112, 1143brtr4d 5135 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
116115ex 413 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
117 0le0 12187 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 0
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค 0)
119 iffalse 4493 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
120 iffalse 4493 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) = 0)
121118, 119, 1203brtr4d 5135 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
122116, 121pm2.61d1 180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
1237, 122eqbrtrid 5138 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
124123ralrimivw 3145 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))
12536a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ โ„ โˆˆ V)
12685adantlr 713 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
127 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
128 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
129125, 34, 126, 127, 128ofrfval2 7628 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
130124, 129mpbird 256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))
131 itg2le 25026 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))))
13235, 87, 130, 131syl3anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))))
133 itg2lecl 25025 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)), 0)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
13435, 77, 132, 133syl3anc 1371 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
135134ralrimiva 3141 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
136 eqidd 2738 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
137 eqidd 2738 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))))
138136, 137, 10isibl2 25053 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
1396, 135, 138mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  Vcvv 3443  ifcif 4484  {csn 4584   class class class wbr 5103   โ†ฆ cmpt 5186   ร— cxp 5628  โŸถwf 6487  โ€˜cfv 6491  (class class class)co 7349   โˆ˜f cof 7605   โˆ˜r cofr 7606  โ„‚cc 10982  โ„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985  ici 10986   ยท cmul 10989  +โˆžcpnf 11119  โ„*cxr 11121   โ‰ค cle 11123   / cdiv 11745  3c3 12142  โ„•0cn0 12346  โ„คcz 12432  [,)cico 13194  [,]cicc 13195  ...cfz 13352  โ†‘cexp 13895  โ„œcre 14915  abscabs 15052  MblFncmbf 24900  โˆซ2citg2 24902  ๐ฟ1cibl 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cc 10304  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063  ax-mulf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-omul 8384  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-acn 9811  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ioc 13197  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-sum 15505  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-starv 17082  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-unif 17090  df-hom 17091  df-cco 17092  df-rest 17238  df-topn 17239  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-topgen 17259  df-pt 17260  df-prds 17263  df-xrs 17318  df-qtop 17323  df-imas 17324  df-xps 17326  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-submnd 18536  df-mulg 18806  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-cmp 22660  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-cncf 24163  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem1  25118  itgmulc2lem2  25119  itgmulc2  25120  itgabs  25121  circlemeth  33026  3factsumint1  40373  fourierdlem83  44183  fourierdlem95  44195  sqwvfoura  44222  sqwvfourb  44223
  Copyright terms: Public domain W3C validator