Theorem mbfss 24715

Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
mbfss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
mbfss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfss	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
2		undif2 4407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3		mbfss.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		ssequn1 4110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
5	3, 4	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
6	2, 5	syl5eq 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	1, 7	bitr3id 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
10		mbfss.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
11		mbfss.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	10, 11	mbfmptcl 24705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		mbfss.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
14		0cn 10898	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	13, 14	eqeltrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	12, 15	jaodan 954	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	9, 16	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	recld 14833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	fmpttd 6971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
20	3	resmptd 5937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
21	12	ismbfcn2 24707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
22	10, 21	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
23	22	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
24	20, 23	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
25		difss 4062	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵
26		resmpt 5934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
28	13	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
29		re0 14791	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
31	30	mpteq2dva 5170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
32	27, 31	syl5eq 2791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
33		fconstmpt 5640	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)
34		mbfss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
35	10, 11	mbfdm2 24706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
36		difmbl 24612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
37	34, 35, 36	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38		mbfconst 24702	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
39	37, 14, 38	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
40	33, 39	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
41	32, 40	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
42	19, 24, 41, 6	mbfres2 24714	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
43	17	imcld 14834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
44	43	fmpttd 6971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
45	3	resmptd 5937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
46	22	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
47	45, 46	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
48		resmpt 5934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
49	25, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
50	13	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
51		im0 14792	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
52	50, 51	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
53	52	mpteq2dva 5170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
54	49, 53	syl5eq 2791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
55	54, 40	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
56	44, 47, 55, 6	mbfres2 24714	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
57	17	ismbfcn2 24707	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
58	42, 56, 57	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ℜcre 14736  ℑcim 14737  volcvol 24532  MblFncmbf 24683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688

This theorem is referenced by:  mbfi1flim  24793  itg2cnlem1  24831  iblss2  24875  ibladdlem  24889  itgaddlem1  24892  iblabslem  24897  itggt0  24913  itgcn  24914  ibladdnclem  35760  itgaddnclem1  35762  iblabsnclem  35767  ftc1anclem5  35781  ftc1anclem6  35782  ftc1anclem8  35784