MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfss 25163
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
mbfss.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
mbfss.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
mbfss.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
mbfss.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfss (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 4149 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)))
2 undif2 4477 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (𝐴 βˆͺ 𝐡)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 ssequn1 4181 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
53, 4sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
62, 5eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
76eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
81, 7bitr3id 285 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
98biimpar 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)))
10 mbfss.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
11 mbfss.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
1210, 11mbfmptcl 25153 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
13 mbfss.4 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
14 0cn 11206 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
1513, 14eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1612, 15jaodan 957 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
179, 16syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1817recld 15141 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)):π΅βŸΆβ„)
203resmptd 6041 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)))
2112ismbfcn2 25155 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)))
2210, 21mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn))
2322simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn)
2420, 23eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
25 difss 4132 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐡
26 resmpt 6038 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„œβ€˜πΆ)))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„œβ€˜πΆ))
2813fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (β„œβ€˜πΆ) = (β„œβ€˜0))
29 re0 15099 . . . . . . 7 (β„œβ€˜0) = 0
3028, 29eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (β„œβ€˜πΆ) = 0)
3130mpteq2dva 5249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„œβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0))
3227, 31eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0))
33 fconstmpt 5739 . . . . 5 ((𝐡 βˆ– 𝐴) Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0)
34 mbfss.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
3510, 11mbfdm2 25154 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
36 difmbl 25060 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
3734, 35, 36syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
38 mbfconst 25150 . . . . . 6 (((𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ ((𝐡 βˆ– 𝐴) Γ— {0}) ∈ MblFn)
3937, 14, 38sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– 𝐴) Γ— {0}) ∈ MblFn)
4033, 39eqeltrrid 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
4132, 40eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ MblFn)
4219, 24, 41, 6mbfres2 25162 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn)
4317imcld 15142 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
4443fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)):π΅βŸΆβ„)
453resmptd 6041 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)))
4622simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)
4745, 46eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
48 resmpt 6038 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„‘β€˜πΆ)))
4925, 48ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„‘β€˜πΆ))
5013fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (β„‘β€˜πΆ) = (β„‘β€˜0))
51 im0 15100 . . . . . . 7 (β„‘β€˜0) = 0
5250, 51eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (β„‘β€˜πΆ) = 0)
5352mpteq2dva 5249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„‘β€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0))
5449, 53eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0))
5554, 40eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ MblFn)
5644, 47, 55, 6mbfres2 25162 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)
5717ismbfcn2 25155 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)))
5842, 56, 57mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  β„œcre 15044  β„‘cim 15045  volcvol 24980  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  25241  itg2cnlem1  25279  iblss2  25323  ibladdlem  25337  itgaddlem1  25340  iblabslem  25345  itggt0  25361  itgcn  25362  ibladdnclem  36544  itgaddnclem1  36546  iblabsnclem  36551  ftc1anclem5  36565  ftc1anclem6  36566  ftc1anclem8  36568
  Copyright terms: Public domain W3C validator