Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfss 24239
 Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1 (𝜑𝐴𝐵)
mbfss.2 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
mbfss.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfss (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 4123 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
2 undif2 4423 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
4 ssequn1 4154 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
53, 4sylib 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 𝐵)
62, 5syl5eq 2866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
76eleq2d 2896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
81, 7syl5bbr 287 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
98biimpar 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
10 mbfss.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
11 mbfss.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
1210, 11mbfmptcl 24229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 mbfss.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
14 0cn 10625 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1513, 14syl6eqel 2919 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
1612, 15jaodan 954 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
179, 16syldan 593 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1817recld 14545 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
1918fmpttd 6872 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
203resmptd 5901 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
2112ismbfcn2 24231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
2210, 21mpbid 234 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
2322simpld 497 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
2420, 23eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
25 difss 4106 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵
26 resmpt 5898 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
2813fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
29 re0 14503 . . . . . . 7 (ℜ‘0) = 0
3028, 29syl6eq 2870 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
3130mpteq2dva 5152 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
3227, 31syl5eq 2866 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
33 fconstmpt 5607 . . . . 5 ((𝐵𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)
34 mbfss.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3510, 11mbfdm2 24230 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
36 difmbl 24136 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
3734, 35, 36syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
38 mbfconst 24226 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
3937, 14, 38sylancl 588 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
4033, 39eqeltrrid 2916 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
4132, 40eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) ∈ MblFn)
4219, 24, 41, 6mbfres2 24238 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
4317imcld 14546 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
4443fmpttd 6872 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
453resmptd 5901 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
4622simprd 498 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
4745, 46eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
48 resmpt 5898 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
4925, 48ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
5013fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
51 im0 14504 . . . . . . 7 (ℑ‘0) = 0
5250, 51syl6eq 2870 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
5352mpteq2dva 5152 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
5449, 53syl5eq 2866 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
5554, 40eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) ∈ MblFn)
5644, 47, 55, 6mbfres2 24238 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
5717ismbfcn2 24231 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
5842, 56, 57mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3931   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934  {csn 4559   ↦ cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548   ↾ cres 5550  ‘cfv 6348  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  ℜcre 14448  ℑcim 14449  volcvol 24056  MblFncmbf 24207 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-xmet 20530  df-met 20531  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212 This theorem is referenced by:  mbfi1flim  24316  itg2cnlem1  24354  iblss2  24398  ibladdlem  24412  itgaddlem1  24415  iblabslem  24420  itggt0  24434  itgcn  24435  ibladdnclem  34940  itgaddnclem1  34942  iblabsnclem  34947  ftc1anclem5  34963  ftc1anclem6  34964  ftc1anclem8  34966
 Copyright terms: Public domain W3C validator