Theorem mbfss 25623

Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
mbfss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
mbfss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfss	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
2		undif2 4418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3		mbfss.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		ssequn1 4127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
5	3, 4	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
6	2, 5	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	1, 7	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
10		mbfss.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
11		mbfss.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	10, 11	mbfmptcl 25613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		mbfss.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
14		0cn 11127	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	13, 14	eqeltrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	12, 15	jaodan 960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	9, 16	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	recld 15147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	fmpttd 7061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
20	3	resmptd 5999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
21	12	ismbfcn2 25615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
22	10, 21	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
23	22	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
24	20, 23	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
25		difss 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵
26		resmpt 5996	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
28	13	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
29		re0 15105	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
31	30	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
32	27, 31	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
33		fconstmpt 5686	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)
34		mbfss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
35	10, 11	mbfdm2 25614	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
36		difmbl 25520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
37	34, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38		mbfconst 25610	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
39	37, 14, 38	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
40	33, 39	eqeltrrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
41	32, 40	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
42	19, 24, 41, 6	mbfres2 25622	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
43	17	imcld 15148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
44	43	fmpttd 7061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
45	3	resmptd 5999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
46	22	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
47	45, 46	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
48		resmpt 5996	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
49	25, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
50	13	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
51		im0 15106	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
52	50, 51	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
53	52	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
54	49, 53	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
55	54, 40	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
56	44, 47, 55, 6	mbfres2 25622	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
57	17	ismbfcn2 25615	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
58	42, 56, 57	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  ℜcre 15050  ℑcim 15051  volcvol 25440  MblFncmbf 25591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-xmet 21337  df-met 21338  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596

This theorem is referenced by:  mbfi1flim  25700  itg2cnlem1  25738  iblss2  25783  ibladdlem  25797  itgaddlem1  25800  iblabslem  25805  itggt0  25821  itgcn  25822  ibladdnclem  38011  itgaddnclem1  38013  iblabsnclem  38018  ftc1anclem5  38032  ftc1anclem6  38033  ftc1anclem8  38035