MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfss 25013
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
mbfss.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
mbfss.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
mbfss.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
mbfss.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfss (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 4109 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)))
2 undif2 4437 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (𝐴 βˆͺ 𝐡)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 ssequn1 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
53, 4sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
62, 5eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
76eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
81, 7bitr3id 285 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
98biimpar 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)))
10 mbfss.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
11 mbfss.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
1210, 11mbfmptcl 25003 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
13 mbfss.4 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
14 0cn 11148 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
1513, 14eqeltrdi 2846 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1612, 15jaodan 957 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
179, 16syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1817recld 15080 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7064 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)):π΅βŸΆβ„)
203resmptd 5995 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)))
2112ismbfcn2 25005 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)))
2210, 21mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn))
2322simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn)
2420, 23eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
25 difss 4092 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐡
26 resmpt 5992 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„œβ€˜πΆ)))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„œβ€˜πΆ))
2813fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (β„œβ€˜πΆ) = (β„œβ€˜0))
29 re0 15038 . . . . . . 7 (β„œβ€˜0) = 0
3028, 29eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (β„œβ€˜πΆ) = 0)
3130mpteq2dva 5206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„œβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0))
3227, 31eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0))
33 fconstmpt 5695 . . . . 5 ((𝐡 βˆ– 𝐴) Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0)
34 mbfss.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
3510, 11mbfdm2 25004 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
36 difmbl 24910 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
3734, 35, 36syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
38 mbfconst 25000 . . . . . 6 (((𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ ((𝐡 βˆ– 𝐴) Γ— {0}) ∈ MblFn)
3937, 14, 38sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ– 𝐴) Γ— {0}) ∈ MblFn)
4033, 39eqeltrrid 2843 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
4132, 40eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ MblFn)
4219, 24, 41, 6mbfres2 25012 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn)
4317imcld 15081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
4443fmpttd 7064 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)):π΅βŸΆβ„)
453resmptd 5995 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)))
4622simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)
4745, 46eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
48 resmpt 5992 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„‘β€˜πΆ)))
4925, 48ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„‘β€˜πΆ))
5013fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (β„‘β€˜πΆ) = (β„‘β€˜0))
51 im0 15039 . . . . . . 7 (β„‘β€˜0) = 0
5250, 51eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (β„‘β€˜πΆ) = 0)
5352mpteq2dva 5206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ (β„‘β€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0))
5449, 53eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↦ 0))
5554, 40eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ MblFn)
5644, 47, 55, 6mbfres2 25012 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)
5717ismbfcn2 25005 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)))
5842, 56, 57mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052  β„œcre 14983  β„‘cim 14984  volcvol 24830  MblFncmbf 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-xmet 20792  df-met 20793  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  25091  itg2cnlem1  25129  iblss2  25173  ibladdlem  25187  itgaddlem1  25190  iblabslem  25195  itggt0  25211  itgcn  25212  ibladdnclem  36137  itgaddnclem1  36139  iblabsnclem  36144  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem8  36161
  Copyright terms: Public domain W3C validator