Theorem mbfss 25880

Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
mbfss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
mbfss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfss	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
2		undif2 4434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3		mbfss.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		ssequn1 4135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
5	3, 4	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
6	2, 5	eqtrid 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	1, 7	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
10		mbfss.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
11		mbfss.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	10, 11	mbfmptcl 25870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		mbfss.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
14		0cn 11226	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	13, 14	eqeltrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	12, 15	jaodan 972	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	9, 16	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	recld 15285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
20	3	resmptd 6040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
21	12	ismbfcn2 25872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
22	10, 21	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
23	22	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
24	20, 23	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
25		difss 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵
26		resmpt 6037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
28	13	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
29		re0 15243	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
31	30	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
32	27, 31	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
33		fconstmpt 5721	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)
34		mbfss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
35	10, 11	mbfdm2 25871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
36		difmbl 25777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
37	34, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38		mbfconst 25867	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
39	37, 14, 38	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
40	33, 39	eqeltrrid 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
41	32, 40	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
42	19, 24, 41, 6	mbfres2 25879	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
43	17	imcld 15286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
44	43	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
45	3	resmptd 6040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
46	22	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
47	45, 46	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
48		resmpt 6037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
49	25, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
50	13	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
51		im0 15244	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
52	50, 51	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
53	52	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
54	49, 53	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
55	54, 40	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
56	44, 47, 55, 6	mbfres2 25879	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
57	17	ismbfcn2 25872	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
58	42, 56, 57	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  ℜcre 15188  ℑcim 15189  volcvol 25697  MblFncmbf 25848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xadd 13168  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-xmet 21584  df-met 21585  df-ovol 25698  df-vol 25699  df-mbf 25853

This theorem is used by:  mbfi1flim  25957  itg2cnlem1  25995  iblss2  26040  ibladdlem  26054  itgaddlem1  26057  iblabslem  26062  itggt0  26078  itgcn  26079  ibladdnclem  38433  itgaddnclem1  38435  iblabsnclem  38440  ftc1anclem5  38454  ftc1anclem6  38455  ftc1anclem8  38457