Theorem mbfss 25766

Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
mbfss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
mbfss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfss	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
2		undif2 4434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3		mbfss.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		ssequn1 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
5	3, 4	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
6	2, 5	eqtrid 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	1, 7	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
10		mbfss.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
11		mbfss.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	10, 11	mbfmptcl 25756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		mbfss.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
14		0cn 11186	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	13, 14	eqeltrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	12, 15	jaodan 972	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	9, 16	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	recld 15235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	fmpttd 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
20	3	resmptd 6033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
21	12	ismbfcn2 25758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
22	10, 21	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
23	22	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
24	20, 23	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
25		difss 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵
26		resmpt 6030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
28	13	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
29		re0 15193	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
31	30	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
32	27, 31	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
33		fconstmpt 5714	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)
34		mbfss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
35	10, 11	mbfdm2 25757	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
36		difmbl 25663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
37	34, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38		mbfconst 25753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
39	37, 14, 38	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
40	33, 39	eqeltrrid 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
41	32, 40	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
42	19, 24, 41, 6	mbfres2 25765	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
43	17	imcld 15236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
44	43	fmpttd 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
45	3	resmptd 6033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
46	22	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
47	45, 46	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
48		resmpt 6030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
49	25, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
50	13	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
51		im0 15194	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
52	50, 51	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
53	52	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
54	49, 53	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
55	54, 40	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
56	44, 47, 55, 6	mbfres2 25765	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
57	17	ismbfcn2 25758	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
58	42, 56, 57	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  {csn 4585   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  dom cdm 5652   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  ℜcre 15138  ℑcim 15139  volcvol 25583  MblFncmbf 25734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13129  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-xmet 21475  df-met 21476  df-ovol 25584  df-vol 25585  df-mbf 25739

This theorem is referenced by:  mbfi1flim  25843  itg2cnlem1  25881  iblss2  25926  ibladdlem  25940  itgaddlem1  25943  iblabslem  25948  itggt0  25964  itgcn  25965  ibladdnclem  38187  itgaddnclem1  38189  iblabsnclem  38194  ftc1anclem5  38208  ftc1anclem6  38209  ftc1anclem8  38211