Theorem mbfss 25595

Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
mbfss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
mbfss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfss	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
2		undif2 4480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3		mbfss.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		ssequn1 4182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
5	3, 4	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
6	2, 5	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	1, 7	bitr3id 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	biimpar 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)))
10		mbfss.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
11		mbfss.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	10, 11	mbfmptcl 25585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		mbfss.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
14		0cn 11244	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	13, 14	eqeltrdi 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	12, 15	jaodan 955	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	9, 16	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	recld 15181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	fmpttd 7130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
20	3	resmptd 6049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
21	12	ismbfcn2 25587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
22	10, 21	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
23	22	simpld 493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
24	20, 23	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
25		difss 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵
26		resmpt 6046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
28	13	fveq2d 6906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
29		re0 15139	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘0) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
31	30	mpteq2dva 5252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
32	27, 31	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
33		fconstmpt 5744	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)
34		mbfss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
35	10, 11	mbfdm2 25586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
36		difmbl 25492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
37	34, 35, 36	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38		mbfconst 25582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
39	37, 14, 38	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
40	33, 39	eqeltrrid 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
41	32, 40	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
42	19, 24, 41, 6	mbfres2 25594	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
43	17	imcld 15182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
44	43	fmpttd 7130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
45	3	resmptd 6049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
46	22	simprd 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
47	45, 46	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
48		resmpt 6046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
49	25, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
50	13	fveq2d 6906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
51		im0 15140	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
52	50, 51	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
53	52	mpteq2dva 5252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
54	49, 53	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
55	54, 40	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ MblFn)
56	44, 47, 55, 6	mbfres2 25594	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
57	17	ismbfcn2 25587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
58	42, 56, 57	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   × cxp 5680  dom cdm 5682   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  ℂcc 11144  ℝcr 11145  0cc0 11146  ℜcre 15084  ℑcim 15085  volcvol 25412  MblFncmbf 25563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568

This theorem is referenced by:  mbfi1flim  25673  itg2cnlem1  25711  iblss2  25755  ibladdlem  25769  itgaddlem1  25772  iblabslem  25777  itggt0  25793  itgcn  25794  ibladdnclem  37182  itgaddnclem1  37184  iblabsnclem  37189  ftc1anclem5  37203  ftc1anclem6  37204  ftc1anclem8  37206