Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgabsnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgabsnc 35166
 Description: Choice-free analogue of itgabs 24452. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgabsnc.m1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
itgabsnc.m2 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgabsnc (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabsnc
StepHypRef Expression
1 itgabsnc.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 itgabsnc.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
31, 2itgcl 24401 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
43cjcld 14554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5 iblmbf 24385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
76, 1mbfmptcl 24254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10 nfcsb1v 3852 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
1110nfel1 2971 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
12 csbeq1a 3842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
1312eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
149, 11, 13cbvralw 3387 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
158, 14sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
1615r19.21bi 3173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
17 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
1817, 10, 12cbvmpt 5132 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
1918, 2eqeltrrid 2895 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ 𝐿1)
20 itgabsnc.m2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ MblFn)
214, 16, 19, 20iblmulc2nc 35162 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
224adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
2322, 16mulcld 10657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
2423iblcn 24416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)))
2521, 24mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1))
2625simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
2722, 16absmuld 14813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
2827mpteq2dva 5126 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) = (𝑦𝐴 ↦ ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))))
296, 1mbfdm2 24255 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
3022abscld 14795 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ∈ ℝ)
3116abscld 14795 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
32 fconstmpt 5579 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
34 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(abs‘𝐵)
35 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥abs
3635, 10nffv 6660 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)
3712fveq2d 6654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))
3834, 36, 37cbvmpt 5132 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
4029, 30, 31, 33, 39offval2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))) = (𝑦𝐴 ↦ ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))))
4128, 40eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) = ((𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))))
42 itgabsnc.m1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
434abscld 14795 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ∈ ℝ)
447abscld 14795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
4544recnd 10665 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
4645fmpttd 6861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4742, 43, 46mbfmulc2re 24266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))) ∈ MblFn)
4841, 47eqeltrd 2890 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ MblFn)
4923, 21, 48iblabsnc 35161 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
5023recld 14552 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
5123abscld 14795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
5223releabsd 14810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)))
5326, 49, 50, 51, 52itgle 24427 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
543abscld 14795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
5554recnd 10665 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5655sqvald 13510 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
573absvalsqd 14801 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
583, 4mulcomd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
5912, 17, 10cbvitg 24393 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦
6059oveq2i 7151 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦)
614, 16, 19, 20itgmulc2nc 35165 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
6260, 61syl5eq 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
6357, 58, 623eqtrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
6463fveq2d 6654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦))
6554resqcld 13614 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
6665rered 14582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
67 ovexd 7175 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V)
6867, 21itgre 24418 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6964, 66, 683eqtr3d 2841 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
7056, 69eqtr3d 2835 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
7137, 34, 36cbvitg 24393 . . . . . . . 8 𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦
7271oveq2i 7151 . . . . . . 7 ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
731, 2, 42iblabsnc 35161 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
7438, 73eqeltrrid 2895 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
7554adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
76 fconstmpt 5579 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 × {(abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)}) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 × {(abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)}) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
7829, 75, 31, 77, 39offval2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))) = (𝑦𝐴 ↦ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))))
7942, 54, 46mbfmulc2re 24266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))) ∈ MblFn)
8078, 79eqeltrrd 2891 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ MblFn)
8155, 31, 74, 80itgmulc2nc 35165 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
823adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
8382abscjd 14809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
8483oveq1d 7155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
8527, 84eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
8685itgeq2dv 24399 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
8781, 86eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
8872, 87syl5eq 2845 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
8953, 70, 883brtr4d 5063 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
9089adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
9154adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
9244, 73itgrecl 24415 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
9392adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
94 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
95 lemul2 11489 . . . . 5 (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
9691, 93, 91, 94, 95syl112anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
9790, 96mpbird 260 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
9897ex 416 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
997absge0d 14803 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
10073, 44, 99itgge0 24428 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
101 breq1 5034 . . 3 (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
102100, 101syl5ibcom 248 . 2 (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
1033absge0d 14803 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
104 0re 10639 . . . 4 0 ∈ ℝ
105 leloe 10723 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
106104, 54, 105sylancr 590 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
107103, 106mpbid 235 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
10898, 102, 107mpjaod 857 1 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  ⦋csb 3828  {csn 4525   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518  dom cdm 5520  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140   ∘f cof 7393  ℂcc 10531  ℝcr 10532  0cc0 10533   · cmul 10538   < clt 10671   ≤ cle 10672  2c2 11687  ↑cexp 13432  ∗ccj 14454  ℜcre 14455  ℑcim 14456  abscabs 14592  volcvol 24081  MblFncmbf 24232  𝐿1cibl 24235  ∫citg 24236 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-ofr 7396  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-rest 16695  df-topgen 16716  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-top 21513  df-topon 21530  df-bases 21565  df-cmp 22006  df-ovol 24082  df-vol 24083  df-mbf 24237  df-itg1 24238  df-itg2 24239  df-ibl 24240  df-itg 24241  df-0p 24288 This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  35168  ftc2nc  35179
 Copyright terms: Public domain W3C validator