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Theorem itgabsnc 37070
Description: Choice-free analogue of itgabs 25719. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabsnc.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
itgabsnc.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
itgabsnc.m1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
itgabsnc.m2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgabsnc (πœ‘ β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑦,𝐡   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem itgabsnc
StepHypRef Expression
1 itgabsnc.1 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2 itgabsnc.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
31, 2itgcl 25668 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ ∈ β„‚)
43cjcld 15149 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ β„‚)
5 iblmbf 25652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
76, 1mbfmptcl 25520 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
87ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
9 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦 𝐡 ∈ β„‚
10 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
1110nfel1 2913 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚
12 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐡 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
1312eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚))
149, 11, 13cbvralw 3297 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
158, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
1615r19.21bi 3242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
17 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦𝐡
1817, 10, 12cbvmpt 5252 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
1918, 2eqeltrrid 2832 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ 𝐿1)
20 itgabsnc.m2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ MblFn)
214, 16, 19, 20iblmulc2nc 37066 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ 𝐿1)
224adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ β„‚)
2322, 16mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ β„‚)
2423iblcn 25683 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1)))
2521, 24mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1))
2625simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1)
2722, 16absmuld 15407 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) = ((absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)))
2827mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))))
296, 1mbfdm2 25521 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
3022abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ∈ ℝ)
3116abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
32 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))))
34 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦(absβ€˜π΅)
35 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯abs
3635, 10nffv 6895 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)
3712fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜π΅) = (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))
3834, 36, 37cbvmpt 5252 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)))
4029, 30, 31, 33, 39offval2 7687 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))))
4128, 40eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) = ((𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))))
42 itgabsnc.m1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
434abscld 15389 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ∈ ℝ)
447abscld 15389 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4544recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ β„‚)
4645fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚)
4742, 43, 46mbfmulc2re 25532 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
4841, 47eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ MblFn)
4923, 21, 48iblabsnc 37065 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1)
5023recld 15147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ ℝ)
5123abscld 15389 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ ℝ)
5223releabsd 15404 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ≀ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)))
5326, 49, 50, 51, 52itgle 25694 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦 ≀ ∫𝐴(absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
543abscld 15389 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ)
5554recnd 11246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ β„‚)
5655sqvald 14113 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
573absvalsqd 15395 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ Β· (βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
583, 4mulcomd 11239 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ Β· (βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) = ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
5912, 17, 10cbvitg 25660 . . . . . . . . . . . 12 ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ = βˆ«π΄β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡 d𝑦
6059oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· βˆ«π΄β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡 d𝑦)
614, 16, 19, 20itgmulc2nc 37069 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· βˆ«π΄β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡 d𝑦) = ∫𝐴((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦)
6260, 61eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ∫𝐴((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦)
6357, 58, 623eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) = ∫𝐴((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦)
6463fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œβ€˜((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2)) = (β„œβ€˜βˆ«π΄((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦))
6554resqcld 14095 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) ∈ ℝ)
6665rered 15177 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œβ€˜((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2)) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2))
67 ovexd 7440 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ V)
6867, 21itgre 25685 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œβ€˜βˆ«π΄((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦) = ∫𝐴(β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
6964, 66, 683eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) = ∫𝐴(β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
7056, 69eqtr3d 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) = ∫𝐴(β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
7137, 34, 36cbvitg 25660 . . . . . . . 8 ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ = ∫𝐴(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) d𝑦
7271oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) d𝑦)
731, 2, 42iblabsnc 37065 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
7438, 73eqeltrrid 2832 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)) ∈ 𝐿1)
7554adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ)
76 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {(absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
7829, 75, 31, 77, 39offval2 7687 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))))
7942, 54, 46mbfmulc2re 25532 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
8078, 79eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))) ∈ MblFn)
8155, 31, 74, 80itgmulc2nc 37069 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) d𝑦) = ∫𝐴((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
823adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ ∈ β„‚)
8382abscjd 15403 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))
8483oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)))
8527, 84eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)))
8685itgeq2dv 25666 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦 = ∫𝐴((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
8781, 86eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) d𝑦) = ∫𝐴(absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
8872, 87eqtrid 2778 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯) = ∫𝐴(absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
8953, 70, 883brtr4d 5173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
9089adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
9154adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ)
9244, 73itgrecl 25682 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ ℝ)
9392adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ ℝ)
94 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))
95 lemul2 12071 . . . . 5 (((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))) β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ↔ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)))
9691, 93, 91, 94, 95syl112anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ↔ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)))
9790, 96mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)
9897ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
997absge0d 15397 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΅))
10073, 44, 99itgge0 25695 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)
101 breq1 5144 . . 3 (0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) β†’ (0 ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ↔ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
102100, 101syl5ibcom 244 . 2 (πœ‘ β†’ (0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
1033absge0d 15397 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))
104 0re 11220 . . . 4 0 ∈ ℝ
105 leloe 11304 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ↔ (0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∨ 0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))))
106104, 54, 105sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ↔ (0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∨ 0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))))
107103, 106mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∨ 0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
10898, 102, 107mpjaod 857 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253  2c2 12271  β†‘cexp 14032  βˆ—ccj 15049  β„œcre 15050  β„‘cim 15051  abscabs 15187  volcvol 25347  MblFncmbf 25498  πΏ1cibl 25501  βˆ«citg 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  37072  ftc2nc  37083
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