Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgabsnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgabsnc 37401
Description: Choice-free analogue of itgabs 25850. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgabsnc.m1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
itgabsnc.m2 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgabsnc (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabsnc
StepHypRef Expression
1 itgabsnc.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 itgabsnc.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
31, 2itgcl 25799 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
43cjcld 15194 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5 iblmbf 25783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
76, 1mbfmptcl 25651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
1110nfel1 2909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
12 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
1312eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
149, 11, 13cbvralw 3294 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
158, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
1615r19.21bi 3239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
17 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
1817, 10, 12cbvmpt 5255 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
1918, 2eqeltrrid 2831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ 𝐿1)
20 itgabsnc.m2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ MblFn)
214, 16, 19, 20iblmulc2nc 37397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
224adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
2322, 16mulcld 11273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
2423iblcn 25814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)))
2521, 24mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1))
2625simpld 493 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
2722, 16absmuld 15452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
2827mpteq2dva 5244 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) = (𝑦𝐴 ↦ ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))))
296, 1mbfdm2 25652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
3022abscld 15434 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ∈ ℝ)
3116abscld 15434 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
32 fconstmpt 5735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
34 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(abs‘𝐵)
35 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥abs
3635, 10nffv 6901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)
3712fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))
3834, 36, 37cbvmpt 5255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
4029, 30, 31, 33, 39offval2 7700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))) = (𝑦𝐴 ↦ ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))))
4128, 40eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) = ((𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))))
42 itgabsnc.m1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
434abscld 15434 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ∈ ℝ)
447abscld 15434 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
4544recnd 11281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
4645fmpttd 7119 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4742, 43, 46mbfmulc2re 25663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 × {(abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥))}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))) ∈ MblFn)
4841, 47eqeltrd 2826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ MblFn)
4923, 21, 48iblabsnc 37396 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ 𝐿1)
5023recld 15192 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
5123abscld 15434 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
5223releabsd 15449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)))
5326, 49, 50, 51, 52itgle 25825 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
543abscld 15434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
5554recnd 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5655sqvald 14154 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
573absvalsqd 15440 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
583, 4mulcomd 11274 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
5912, 17, 10cbvitg 25791 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦
6059oveq2i 7425 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦)
614, 16, 19, 20itgmulc2nc 37400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
6260, 61eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
6357, 58, 623eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
6463fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦))
6554resqcld 14136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
6665rered 15222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
67 ovexd 7449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V)
6867, 21itgre 25816 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
6964, 66, 683eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
7056, 69eqtr3d 2768 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
7137, 34, 36cbvitg 25791 . . . . . . . 8 𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦
7271oveq2i 7425 . . . . . . 7 ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦)
731, 2, 42iblabsnc 37396 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
7438, 73eqeltrrid 2831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) ∈ 𝐿1)
7554adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
76 fconstmpt 5735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 × {(abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)}) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 × {(abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)}) = (𝑦𝐴 ↦ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
7829, 75, 31, 77, 39offval2 7700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))) = (𝑦𝐴 ↦ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))))
7942, 54, 46mbfmulc2re 25663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))) ∈ MblFn)
8078, 79eqeltrrd 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵))) ∈ MblFn)
8155, 31, 74, 80itgmulc2nc 37400 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
823adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
8382abscjd 15448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
8483oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
8527, 84eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)))
8685itgeq2dv 25797 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
8781, 86eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝑦 / 𝑥𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
8872, 87eqtrid 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · 𝑦 / 𝑥𝐵)) d𝑦)
8953, 70, 883brtr4d 5176 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
9089adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
9154adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
9244, 73itgrecl 25813 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
9392adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
94 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
95 lemul2 12110 . . . . 5 (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
9691, 93, 91, 94, 95syl112anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
9790, 96mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
9897ex 411 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
997absge0d 15442 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
10073, 44, 99itgge0 25826 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
101 breq1 5147 . . 3 (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
102100, 101syl5ibcom 244 . 2 (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
1033absge0d 15442 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
104 0re 11255 . . . 4 0 ∈ ℝ
105 leloe 11339 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
106104, 54, 105sylancr 585 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
107103, 106mpbid 231 . 2 (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
10898, 102, 107mpjaod 858 1 (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3463  csb 3892  {csn 4624   class class class wbr 5144  cmpt 5227   × cxp 5671  dom cdm 5673  cfv 6544  (class class class)co 7414  f cof 7678  cc 11145  cr 11146  0cc0 11147   · cmul 11152   < clt 11287  cle 11288  2c2 12311  cexp 14073  ccj 15094  cre 15095  cim 15096  abscabs 15232  volcvol 25478  MblFncmbf 25629  𝐿1cibl 25632  citg 25633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-disj 5112  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-clim 15483  df-sum 15684  df-rest 17430  df-topgen 17451  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-top 22882  df-topon 22899  df-bases 22935  df-cmp 23377  df-ovol 25479  df-vol 25480  df-mbf 25634  df-itg1 25635  df-itg2 25636  df-ibl 25637  df-itg 25638  df-0p 25685
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  37403  ftc2nc  37414
  Copyright terms: Public domain W3C validator