Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgabsnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgabsnc 36150
Description: Choice-free analogue of itgabs 25202. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabsnc.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
itgabsnc.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
itgabsnc.m1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
itgabsnc.m2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgabsnc (πœ‘ β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑦,𝐡   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem itgabsnc
StepHypRef Expression
1 itgabsnc.1 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2 itgabsnc.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
31, 2itgcl 25151 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ ∈ β„‚)
43cjcld 15082 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ β„‚)
5 iblmbf 25135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
76, 1mbfmptcl 25003 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
87ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
9 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦 𝐡 ∈ β„‚
10 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
1110nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚
12 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐡 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
1312eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚))
149, 11, 13cbvralw 3290 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
158, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
1615r19.21bi 3235 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
17 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦𝐡
1817, 10, 12cbvmpt 5217 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
1918, 2eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ 𝐿1)
20 itgabsnc.m2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ MblFn)
214, 16, 19, 20iblmulc2nc 36146 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ 𝐿1)
224adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ β„‚)
2322, 16mulcld 11176 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ β„‚)
2423iblcn 25166 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1)))
2521, 24mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1))
2625simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1)
2722, 16absmuld 15340 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) = ((absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)))
2827mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))))
296, 1mbfdm2 25004 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
3022abscld 15322 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ∈ ℝ)
3116abscld 15322 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
32 fconstmpt 5695 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))))
34 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦(absβ€˜π΅)
35 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯abs
3635, 10nffv 6853 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)
3712fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜π΅) = (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))
3834, 36, 37cbvmpt 5217 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)))
4029, 30, 31, 33, 39offval2 7638 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))))
4128, 40eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) = ((𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))))
42 itgabsnc.m1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
434abscld 15322 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ∈ ℝ)
447abscld 15322 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4544recnd 11184 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ β„‚)
4645fmpttd 7064 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚)
4742, 43, 46mbfmulc2re 25015 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
4841, 47eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ MblFn)
4923, 21, 48iblabsnc 36145 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))) ∈ 𝐿1)
5023recld 15080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ ℝ)
5123abscld 15322 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ ℝ)
5223releabsd 15337 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) ≀ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)))
5326, 49, 50, 51, 52itgle 25177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦 ≀ ∫𝐴(absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
543abscld 15322 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ)
5554recnd 11184 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ β„‚)
5655sqvald 14049 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
573absvalsqd 15328 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ Β· (βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
583, 4mulcomd 11177 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ Β· (βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) = ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯))
5912, 17, 10cbvitg 25143 . . . . . . . . . . . 12 ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ = βˆ«π΄β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡 d𝑦
6059oveq2i 7369 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· βˆ«π΄β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡 d𝑦)
614, 16, 19, 20itgmulc2nc 36149 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· βˆ«π΄β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡 d𝑦) = ∫𝐴((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦)
6260, 61eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴𝐡 dπ‘₯) = ∫𝐴((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦)
6357, 58, 623eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) = ∫𝐴((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦)
6463fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œβ€˜((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2)) = (β„œβ€˜βˆ«π΄((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦))
6554resqcld 14031 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) ∈ ℝ)
6665rered 15110 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œβ€˜((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2)) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2))
67 ovexd 7393 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ V)
6867, 21itgre 25168 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œβ€˜βˆ«π΄((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) d𝑦) = ∫𝐴(β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
6964, 66, 683eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)↑2) = ∫𝐴(β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
7056, 69eqtr3d 2779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) = ∫𝐴(β„œβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
7137, 34, 36cbvitg 25143 . . . . . . . 8 ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ = ∫𝐴(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) d𝑦
7271oveq2i 7369 . . . . . . 7 ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) d𝑦)
731, 2, 42iblabsnc 36145 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
7438, 73eqeltrrid 2843 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)) ∈ 𝐿1)
7554adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ)
76 fconstmpt 5695 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {(absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
7829, 75, 31, 77, 39offval2 7638 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))))
7942, 54, 46mbfmulc2re 25015 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {(absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
8078, 79eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡))) ∈ MblFn)
8155, 31, 74, 80itgmulc2nc 36149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) d𝑦) = ∫𝐴((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
823adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ ∈ β„‚)
8382abscjd 15336 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))
8483oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)))
8527, 84eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) = ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)))
8685itgeq2dv 25149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦 = ∫𝐴((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
8781, 86eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐡) d𝑦) = ∫𝐴(absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
8872, 87eqtrid 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯) = ∫𝐴(absβ€˜((βˆ—β€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) d𝑦)
8953, 70, 883brtr4d 5138 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
9089adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
9154adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ)
9244, 73itgrecl 25165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ ℝ)
9392adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ ℝ)
94 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))
95 lemul2 12009 . . . . 5 (((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))) β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ↔ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)))
9691, 93, 91, 94, 95syl112anc 1375 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ↔ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) ≀ ((absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) Β· ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)))
9790, 96mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)
9897ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
997absge0d 15330 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΅))
10073, 44, 99itgge0 25178 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)
101 breq1 5109 . . 3 (0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) β†’ (0 ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯ ↔ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
102100, 101syl5ibcom 244 . 2 (πœ‘ β†’ (0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯))
1033absge0d 15330 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))
104 0re 11158 . . . 4 0 ∈ ℝ
105 leloe 11242 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ↔ (0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∨ 0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))))
106104, 54, 105sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ↔ (0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∨ 0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯))))
107103, 106mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (0 < (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ∨ 0 = (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯)))
10898, 102, 107mpjaod 859 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜βˆ«π΄π΅ dπ‘₯) ≀ ∫𝐴(absβ€˜π΅) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446  β¦‹csb 3856  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052   Β· cmul 11057   < clt 11190   ≀ cle 11191  2c2 12209  β†‘cexp 13968  βˆ—ccj 14982  β„œcre 14983  β„‘cim 14984  abscabs 15120  volcvol 24830  MblFncmbf 24981  πΏ1cibl 24984  βˆ«citg 24985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cmp 22741  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987  df-itg2 24988  df-ibl 24989  df-itg 24990  df-0p 25037
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  36152  ftc2nc  36163
  Copyright terms: Public domain W3C validator