Theorem itgcn 25812

Description: Transfer itg2cn 25730 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgcn.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itgcn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 15401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 15409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8		elrege0 13407	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
9	6, 7, 8	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10		0e0icopnf 13411	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
12	9, 11	ifclda 4502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
14	13	fmpttd 7067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
15	3, 4	mbfdm2 25604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16		mblss 25498	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		rembl 25507	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
20	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
21		eldifn 4072	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	iffalsed 4477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
24		iftrue 4472	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
25	24	mpteq2ia 5180	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
26	4, 1	iblabs 25796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
27	6, 7	iblpos 25760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
28	26, 27	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
29	28	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
30	25, 29	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
31	17, 19, 20, 23, 30	mbfss 25613	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
32	28	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
33		itgcn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
34	14, 31, 32, 33	itg2cn 25730	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
35		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
36	35	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	5	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	36, 37	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
40		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
41	37	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
42	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
43	35, 40, 41, 42	iblss 25772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
44	38	absge0d 15409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
45	39, 43, 44	itgposval 25763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
46	35	sseld 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝐴))
47	46	pm4.71d 561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
48	47	ifbid 4490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0))
49		ifan 4520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
50	48, 49	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
51	50	mpteq2dv 5179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
52	51	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
53	45, 52	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
54		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑢
55		nffvmpt1 6851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
56		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥0
57	54, 55, 56	nfif 4497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
58		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
59		elequ1 2121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
60		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
61	59, 60	ifbieq1d 4491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
62	57, 58, 61	cbvmpt 5187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
63		fvex 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs‘𝐵) ∈ V
64		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
65	63, 64	ifex 4517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
66		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
67	66	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
68	65, 67	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
69	68	ifeq1d 4486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
70	69	mpteq2ia 5180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
71	62, 70	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
72	71	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
73	53, 72	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
74	73	breq1d 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
75	74	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
76	75	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
77	76	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
78	77	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
79	78	imp4a 422	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
80	79	ralimdva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
81	80	reximdv 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
82	34, 81	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℝ⁺crp 12942  [,)cico 13300  abscabs 15196  volcvol 25430  MblFncmbf 25581  ∫₂citg2 25583  𝐿¹cibl 25584  ∫citg 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587  df-itg2 25588  df-ibl 25589  df-itg 25590  df-0p 25637

This theorem is referenced by:  ftc1a  26004