Theorem itgcn 26198

Description: Transfer itg2cn 26117 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgcn.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itgcn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑢, 𝑑)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 26121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 15638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 15646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8		elrege0 13615	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
9	6, 7, 8	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10		0e0icopnf 13619	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
12	9, 11	ifclda 4521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
14	13	fmpttd 7142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
15	3, 4	mbfdm2 25991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16		mblss 25885	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		rembl 25894	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
20	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
21		eldifn 4071	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
22	21	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	iffalsed 4496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
24		iftrue 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
25	24	mpteq2ia 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
26	4, 1	iblabs 26182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
27	6, 7	iblpos 26146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
28	26, 27	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
29	28	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
30	25, 29	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
31	17, 19, 20, 23, 30	mbfss 26000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
32	28	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
33		itgcn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
34	14, 31, 32, 33	itg2cn 26117	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
35		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
36	35	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	5	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	36, 37	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	abscld 15638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
40		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
41	37	abscld 15638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
42	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
43	35, 40, 41, 42	iblss 26158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
44	38	absge0d 15646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
45	39, 43, 44	itgposval 26149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
46	35	sseld 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝐴))
47	46	pm4.71d 571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
48	47	ifbid 4509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0))
49		ifan 4539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
50	48, 49	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
51	50	mpteq2dv 5203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
52	51	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
53	45, 52	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
54		nfv 1949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑢
55		nffvmpt1 6922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
56		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥0
57	54, 55, 56	nfif 4516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
58		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
59		elequ1 2154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
60		fveq2 6911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
61	59, 60	ifbieq1d 4510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
62	57, 58, 61	cbvmpt 5211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
63		fvex 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs‘𝐵) ∈ V
64		c0ex 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
65	63, 64	ifex 4536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
66		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
67	66	fvmpt2 7031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
68	65, 67	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
69	68	ifeq1d 4505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
70	69	mpteq2ia 5204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
71	62, 70	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
72	71	fveq2i 6914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
73	53, 72	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
74	73	breq1d 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
75	74	biimprd 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
76	75	imim2d 58	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
77	76	expr 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
78	77	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
79	78	imp4a 428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
80	79	ralimdva 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
81	80	reximdv 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
82	34, 81	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5656  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  +∞cpnf 11370   < clt 11373   ≤ cle 11374  ℝ⁺crp 13150  [,)cico 13508  abscabs 15433  volcvol 25817  MblFncmbf 25968  ∫₂citg2 25970  𝐿¹cibl 25971  ∫citg 25972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-cmp 23738  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-ovol 25818  df-vol 25819  df-mbf 25973  df-itg1 25974  df-itg2 25975  df-ibl 25976  df-itg 25977  df-0p 26024

This theorem is used by:  ftc1a  26390