MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcn 25212
Description: Transfer itg2cn 25131 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcn.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcn.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itgcn (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem itgcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcn.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25135 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgcn.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 25003 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65abscld 15322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
75absge0d 15330 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8 elrege0 13372 . . . . . . 7 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
96, 7, 8sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10 0e0icopnf 13376 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
129, 11ifclda 4522 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
1312adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
1413fmpttd 7064 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
153, 4mbfdm2 25004 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
16 mblss 24898 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
18 rembl 24907 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
2012adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
21 eldifn 4088 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
2221adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
2322iffalsed 4498 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
24 iftrue 4493 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
2524mpteq2ia 5209 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
264, 1iblabs 25196 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
276, 7iblpos 25160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
2826, 27mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
2928simpld 496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
3025, 29eqeltrid 2842 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
3117, 19, 20, 23, 30mbfss 25013 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
3228simprd 497 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
33 itgcn.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3414, 31, 32, 33itg2cn 25131 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
35 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → 𝑢𝐴)
3635sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 𝑥𝐴)
375adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3836, 37syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
3938abscld 15322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
4137abscld 15322 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
4226adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4335, 40, 41, 42iblss 25172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4438absge0d 15330 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
4539, 43, 44itgposval 25163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
4635sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢𝑥𝐴))
4746pm4.71d 563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢 ↔ (𝑥𝑢𝑥𝐴)))
4847ifbid 4510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥𝑢𝑥𝐴), (abs‘𝐵), 0))
49 ifan 4540 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑥𝑢𝑥𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
5048, 49eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
5150mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
5251fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
5345, 52eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
54 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑦𝑢
55 nffvmpt1 6854 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
56 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥0
5754, 55, 56nfif 4517 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
58 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
59 elequ1 2114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑢𝑥𝑢))
60 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
6159, 60ifbieq1d 4511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
6257, 58, 61cbvmpt 5217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
63 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘𝐵) ∈ V
64 c0ex 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
6563, 64ifex 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6766fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6865, 67mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6968ifeq1d 4506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7069mpteq2ia 5209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7162, 70eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7271fveq2i 6846 . . . . . . . . . . 11 (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
7353, 72eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
7473breq1d 5116 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
7574biimprd 248 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
7675imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
7776expr 458 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
7877com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
7978imp4a 424 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8079ralimdva 3165 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8180reximdv 3168 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8234, 81mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  wrex 3074  Vcvv 3446  cdif 3908  wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189  dom cdm 5634  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11050  cr 11051  0cc0 11052  +∞cpnf 11187   < clt 11190  cle 11191  +crp 12916  [,)cico 13267  abscabs 15120  volcvol 24830  MblFncmbf 24981  2citg2 24983  𝐿1cibl 24984  citg 24985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cc 10372  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-acn 9879  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-sum 15572  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-topgen 17326  df-pt 17327  df-prds 17330  df-xrs 17385  df-qtop 17390  df-imas 17391  df-xps 17393  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-mulg 18874  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cn 22581  df-cnp 22582  df-cmp 22741  df-tx 22916  df-hmeo 23109  df-xms 23676  df-ms 23677  df-tms 23678  df-cncf 24244  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987  df-itg2 24988  df-ibl 24989  df-itg 24990  df-0p 25037
This theorem is referenced by:  ftc1a  25404
  Copyright terms: Public domain W3C validator