Theorem itgcn 25985

Description: Transfer itg2cn 25903 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgcn.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itgcn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 15492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 15500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8		elrege0 13482	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
9	6, 7, 8	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10		0e0icopnf 13486	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
12	9, 11	ifclda 4524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
14	13	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
15	3, 4	mbfdm2 25777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16		mblss 25671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		rembl 25680	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
20	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
21		eldifn 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
22	21	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	iffalsed 4499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
24		iftrue 4494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
25	24	mpteq2ia 5207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
26	4, 1	iblabs 25969	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
27	6, 7	iblpos 25933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
28	26, 27	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
29	28	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
30	25, 29	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
31	17, 19, 20, 23, 30	mbfss 25786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
32	28	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
33		itgcn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
34	14, 31, 32, 33	itg2cn 25903	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
35		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
36	35	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	5	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	36, 37	syldan 602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	abscld 15492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
40		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
41	37	abscld 15492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
42	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
43	35, 40, 41, 42	iblss 25945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
44	38	absge0d 15500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
45	39, 43, 44	itgposval 25936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
46	35	sseld 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝐴))
47	46	pm4.71d 570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
48	47	ifbid 4512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0))
49		ifan 4542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
50	48, 49	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
51	50	mpteq2dv 5206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
52	51	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
53	45, 52	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
54		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑢
55		nffvmpt1 6894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
56		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥0
57	54, 55, 56	nfif 4519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
58		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
59		elequ1 2150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
60		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
61	59, 60	ifbieq1d 4513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
62	57, 58, 61	cbvmpt 5214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
63		fvex 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs‘𝐵) ∈ V
64		c0ex 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
65	63, 64	ifex 4539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
66		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
67	66	fvmpt2 7003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
68	65, 67	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
69	68	ifeq1d 4508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
70	69	mpteq2ia 5207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
71	62, 70	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
72	71	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
73	53, 72	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
74	73	breq1d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
75	74	biimprd 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
76	75	imim2d 58	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
77	76	expr 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
78	77	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
79	78	imp4a 427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
80	79	ralimdva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
81	80	reximdv 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
82	34, 81	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4488   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  +∞cpnf 11241   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 13017  [,)cico 13375  abscabs 15287  volcvol 25603  MblFncmbf 25754  ∫₂citg2 25756  𝐿¹cibl 25757  ∫citg 25758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-itg2 25761  df-ibl 25762  df-itg 25763  df-0p 25810

This theorem is referenced by:  ftc1a  26177