MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcn 23829
Description: Transfer itg2cn 23750 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcn.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcn.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itgcn (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem itgcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcn.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23754 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgcn.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65abscld 14401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
75absge0d 14409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8 elrege0 12501 . . . . . . 7 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
96, 7, 8sylanbrc 574 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10 0e0icopnf 12505 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
129, 11ifclda 4320 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
1312adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
1413fmpttd 6610 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
153, 4mbfdm2 23624 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
16 mblss 23518 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
18 rembl 23527 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
2012adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
21 eldifn 3939 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
2221adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
2322iffalsed 4297 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
24 iftrue 4292 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
2524mpteq2ia 4941 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
264, 1iblabs 23815 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
276, 7iblpos 23779 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
2826, 27mpbid 223 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
2928simpld 484 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
3025, 29syl5eqel 2896 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
3117, 19, 20, 23, 30mbfss 23633 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
3228simprd 485 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
33 itgcn.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3414, 31, 32, 33itg2cn 23750 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
35 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → 𝑢𝐴)
3635sselda 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 𝑥𝐴)
375adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3836, 37syldan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
3938abscld 14401 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
40 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
4137abscld 14401 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
4226adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4335, 40, 41, 42iblss 23791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4438absge0d 14409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
4539, 43, 44itgposval 23782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
4635sseld 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢𝑥𝐴))
4746pm4.71d 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢 ↔ (𝑥𝑢𝑥𝐴)))
4847ifbid 4308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥𝑢𝑥𝐴), (abs‘𝐵), 0))
49 ifan 4337 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑥𝑢𝑥𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
5048, 49syl6eq 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
5150mpteq2dv 4946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
5251fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
5345, 52eqtrd 2847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
54 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑦𝑢
55 nffvmpt1 6422 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
56 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥0
5754, 55, 56nfif 4315 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
58 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
59 elequ1 2164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑢𝑥𝑢))
60 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
6159, 60ifbieq1d 4309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
6257, 58, 61cbvmpt 4950 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
63 fvex 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘𝐵) ∈ V
64 c0ex 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
6563, 64ifex 4334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
66 eqid 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6766fvmpt2 6515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6865, 67mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6968ifeq1d 4304 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7069mpteq2ia 4941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7162, 70eqtri 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7271fveq2i 6414 . . . . . . . . . . 11 (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
7353, 72syl6eqr 2865 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
7473breq1d 4861 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
7574biimprd 239 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
7675imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
7776expr 446 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
7877com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
7978imp4a 411 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8079ralimdva 3157 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8180reximdv 3210 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8234, 81mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3103  wrex 3104  Vcvv 3398  cdif 3773  wss 3776  ifcif 4286   class class class wbr 4851  cmpt 4930  dom cdm 5318  cfv 6104  (class class class)co 6877  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  +∞cpnf 10359   < clt 10362  cle 10363  +crp 12049  [,)cico 12398  abscabs 14200  volcvol 23450  MblFncmbf 23601  2citg2 23603  𝐿1cibl 23604  citg 23605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-disj 4820  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-ofr 7131  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-mod 12896  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-cmp 21408  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-cncf 22898  df-ovol 23451  df-vol 23452  df-mbf 23606  df-itg1 23607  df-itg2 23608  df-ibl 23609  df-itg 23610  df-0p 23657
This theorem is referenced by:  ftc1a  24020
  Copyright terms: Public domain W3C validator