Theorem itgcn 25814

Description: Transfer itg2cn 25732 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgcn.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itgcn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 15374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 15382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8		elrege0 13382	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
9	6, 7, 8	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10		0e0icopnf 13386	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
12	9, 11	ifclda 4517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
14	13	fmpttd 7069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
15	3, 4	mbfdm2 25606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16		mblss 25500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		rembl 25509	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
20	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
21		eldifn 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	iffalsed 4492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
24		iftrue 4487	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
25	24	mpteq2ia 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
26	4, 1	iblabs 25798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
27	6, 7	iblpos 25762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
28	26, 27	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
29	28	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
30	25, 29	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
31	17, 19, 20, 23, 30	mbfss 25615	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
32	28	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
33		itgcn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
34	14, 31, 32, 33	itg2cn 25732	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
35		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
36	35	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	5	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	36, 37	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	abscld 15374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
40		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
41	37	abscld 15374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
42	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
43	35, 40, 41, 42	iblss 25774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
44	38	absge0d 15382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
45	39, 43, 44	itgposval 25765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
46	35	sseld 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝐴))
47	46	pm4.71d 561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
48	47	ifbid 4505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0))
49		ifan 4535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
50	48, 49	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
51	50	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
52	51	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
53	45, 52	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
54		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑢
55		nffvmpt1 6853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
56		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥0
57	54, 55, 56	nfif 4512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
58		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
59		elequ1 2121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
60		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
61	59, 60	ifbieq1d 4506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
62	57, 58, 61	cbvmpt 5202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
63		fvex 6855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs‘𝐵) ∈ V
64		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
65	63, 64	ifex 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
66		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
67	66	fvmpt2 6961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
68	65, 67	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
69	68	ifeq1d 4501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
70	69	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
71	62, 70	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
72	71	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
73	53, 72	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
74	73	breq1d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
75	74	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
76	75	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
77	76	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
78	77	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
79	78	imp4a 422	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
80	79	ralimdva 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
81	80	reximdv 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
82	34, 81	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℝ⁺crp 12917  [,)cico 13275  abscabs 15169  volcvol 25432  MblFncmbf 25583  ∫₂citg2 25585  𝐿¹cibl 25586  ∫citg 25587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589  df-itg2 25590  df-ibl 25591  df-itg 25592  df-0p 25639

This theorem is referenced by:  ftc1a  26012