Theorem itgcn 25771

Description: Transfer itg2cn 25689 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgcn.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itgcn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 15343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 15351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8		elrege0 13351	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
9	6, 7, 8	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10		0e0icopnf 13355	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
12	9, 11	ifclda 4511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
14	13	fmpttd 7048	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
15	3, 4	mbfdm2 25563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
16		mblss 25457	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		rembl 25466	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
20	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
21		eldifn 4082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	iffalsed 4486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
24		iftrue 4481	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
25	24	mpteq2ia 5186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
26	4, 1	iblabs 25755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
27	6, 7	iblpos 25719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
28	26, 27	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
29	28	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
30	25, 29	eqeltrid 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
31	17, 19, 20, 23, 30	mbfss 25572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
32	28	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
33		itgcn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
34	14, 31, 32, 33	itg2cn 25689	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
35		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
36	35	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	5	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	36, 37	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	abscld 15343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
40		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
41	37	abscld 15343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
42	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
43	35, 40, 41, 42	iblss 25731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
44	38	absge0d 15351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
45	39, 43, 44	itgposval 25722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
46	35	sseld 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 → 𝑥 ∈ 𝐴))
47	46	pm4.71d 561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
48	47	ifbid 4499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0))
49		ifan 4529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
50	48, 49	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
51	50	mpteq2dv 5185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
52	51	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
53	45, 52	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
54		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑢
55		nffvmpt1 6833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
56		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥0
57	54, 55, 56	nfif 4506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
58		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
59		elequ1 2118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
60		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
61	59, 60	ifbieq1d 4500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
62	57, 58, 61	cbvmpt 5193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
63		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs‘𝐵) ∈ V
64		c0ex 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
65	63, 64	ifex 4526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
66		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
67	66	fvmpt2 6940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
68	65, 67	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))
69	68	ifeq1d 4495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
70	69	mpteq2ia 5186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
71	62, 70	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
72	71	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
73	53, 72	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
74	73	breq1d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
75	74	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
76	75	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ 𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
77	76	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
78	77	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢 ⊆ 𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
79	78	imp4a 422	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
80	79	ralimdva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
81	80	reximdv 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
82	34, 81	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4475   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  +∞cpnf 11140   < clt 11143   ≤ cle 11144  ℝ⁺crp 12887  [,)cico 13244  abscabs 15138  volcvol 25389  MblFncmbf 25540  ∫₂citg2 25542  𝐿¹cibl 25543  ∫citg 25544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-acn 9832  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-cmp 23300  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-ovol 25390  df-vol 25391  df-mbf 25545  df-itg1 25546  df-itg2 25547  df-ibl 25548  df-itg 25549  df-0p 25596

This theorem is referenced by:  ftc1a  25969