MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblss2 24703
Description: Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblss2.1 (𝜑𝐴𝐵)
iblss2.2 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
iblss2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
iblss2.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
iblss2.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblss2 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblss2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblss2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
2 iblss2.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3 iblss2.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
4 iblss2.4 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
5 iblss2.5 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
6 iblmbf 24665 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
81, 2, 3, 4, 7mbfss 24543 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
91adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐴𝐵)
109sselda 3901 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
1110iftrued 4447 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
12 iftrue 4445 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
1312adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
1411, 13eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
15 ifid 4479 . . . . . . . . 9 if(𝑥𝐵, 0, 0) = 0
16 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝜑)
17 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
18 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
1917, 18eldifd 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐴))
2016, 19, 4syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 = 0)
2120oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (0 / (i↑𝑘)))
22 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ (0...3))
23 elfzelz 13112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
24 ax-icn 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
25 ine0 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ≠ 0
26 expclz 13660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
27 expne0i 13667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2826, 27div0d 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
2924, 25, 28mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
3022, 23, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
3121, 30eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = 0)
3231fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
33 re0 14715 . . . . . . . . . . . . 13 (ℜ‘0) = 0
3432, 33eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = 0)
3534ifeq1d 4458 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0))
36 ifid 4479 . . . . . . . . . . 11 if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0) = 0
3735, 36eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
3837ifeq1da 4470 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, 0, 0))
39 iffalse 4448 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4039adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4115, 38, 403eqtr4a 2804 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
4214, 41pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
43 ifan 4492 . . . . . . 7 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
44 ifan 4492 . . . . . . 7 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4542, 43, 443eqtr4g 2803 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
4645mpteq2dv 5151 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
4746fveq2d 6721 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
48 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
49 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
5048, 49, 5, 3iblitg 24666 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
5123, 50sylan2 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
5247, 51eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
5352ralrimiva 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
54 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
55 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
56 elun 4063 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
57 undif2 4391 . . . . . . . 8 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
58 ssequn1 4094 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
591, 58sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 𝐵)
6057, 59syl5eq 2790 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
6160eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
6256, 61bitr3id 288 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
6362biimpar 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
647, 3mbfmptcl 24533 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65 0cn 10825 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
664, 65eqeltrdi 2846 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6764, 66jaodan 958 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6863, 67syldan 594 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
6954, 55, 68isibl2 24664 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
708, 53, 69mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  cdif 3863  cun 3864  wss 3866  ifcif 4439   class class class wbr 5053  cmpt 5135  dom cdm 5551  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  ici 10731  cle 10868   / cdiv 11489  3c3 11886  cz 12176  ...cfz 13095  cexp 13635  cre 14660  volcvol 24360  MblFncmbf 24511  2citg2 24513  𝐿1cibl 24514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xadd 12705  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-xmet 20356  df-met 20357  df-ovol 24361  df-vol 24362  df-mbf 24516  df-ibl 24519
This theorem is referenced by:  itgss3  24712  itgless  24714  ftc1anclem5  35591  ftc1anclem6  35592  areacirc  35607  arearect  40749  areaquad  40750
  Copyright terms: Public domain W3C validator