MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblss2 25856
Description: Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblss2.1 (𝜑𝐴𝐵)
iblss2.2 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
iblss2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
iblss2.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
iblss2.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblss2 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblss2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblss2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
2 iblss2.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3 iblss2.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
4 iblss2.4 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
5 iblss2.5 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
6 iblmbf 25817 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
81, 2, 3, 4, 7mbfss 25695 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
91adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐴𝐵)
109sselda 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
1110iftrued 4539 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
12 iftrue 4537 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
1411, 13eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
15 ifid 4571 . . . . . . . . 9 if(𝑥𝐵, 0, 0) = 0
16 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝜑)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
18 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
1917, 18eldifd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐴))
2016, 19, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 = 0)
2120oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (0 / (i↑𝑘)))
22 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ (0...3))
23 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
24 ax-icn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
25 ine0 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ≠ 0
26 expclz 14122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
27 expne0i 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2826, 27div0d 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
2924, 25, 28mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
3022, 23, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
3121, 30eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = 0)
3231fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
33 re0 15188 . . . . . . . . . . . . 13 (ℜ‘0) = 0
3432, 33eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = 0)
3534ifeq1d 4550 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0))
36 ifid 4571 . . . . . . . . . . 11 if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0) = 0
3735, 36eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝐵) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
3837ifeq1da 4562 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, 0, 0))
39 iffalse 4540 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4039adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4115, 38, 403eqtr4a 2801 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
4214, 41pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
43 ifan 4584 . . . . . . 7 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
44 ifan 4584 . . . . . . 7 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4542, 43, 443eqtr4g 2800 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
4645mpteq2dv 5250 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
4746fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
48 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
49 eqidd 2736 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
5048, 49, 5, 3iblitg 25818 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
5123, 50sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
5247, 51eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
5352ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
54 eqidd 2736 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
55 eqidd 2736 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
56 elun 4163 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
57 undif2 4483 . . . . . . . 8 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
58 ssequn1 4196 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
591, 58sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 𝐵)
6057, 59eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
6160eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
6256, 61bitr3id 285 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
6362biimpar 477 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
647, 3mbfmptcl 25685 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65 0cn 11251 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
664, 65eqeltrdi 2847 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6764, 66jaodan 959 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6863, 67syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
6954, 55, 68isibl2 25816 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
708, 53, 69mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  ici 11155  cle 11294   / cdiv 11918  3c3 12320  cz 12611  ...cfz 13544  cexp 14099  cre 15133  volcvol 25512  MblFncmbf 25663  2citg2 25665  𝐿1cibl 25666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-ibl 25671
This theorem is referenced by:  itgss3  25865  itgless  25867  ftc1anclem5  37684  ftc1anclem6  37685  areacirc  37700  arearect  43204  areaquad  43205
  Copyright terms: Public domain W3C validator