![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itgre | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Real part of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
itgcnval.1 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) |
itgcnval.2 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) |
Ref | Expression |
---|---|
itgre | โข (๐ โ (โโโซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | itgcnval.1 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | |
2 | itgcnval.2 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) | |
3 | 1, 2 | itgcnval 25187 | . . 3 โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ + (i ยท โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ))) |
4 | 3 | fveq2d 6850 | . 2 โข (๐ โ (โโโซ๐ด๐ต d๐ฅ) = (โโ(โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ + (i ยท โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ)))) |
5 | iblmbf 25155 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn) | |
6 | 2, 5 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn) |
7 | 6, 1 | mbfmptcl 25023 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
8 | 7 | recld 15088 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (โโ๐ต) โ โ) |
9 | 7 | iblcn 25186 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ (โโ๐ต)) โ ๐ฟ1 โง (๐ฅ โ ๐ด โฆ (โโ๐ต)) โ ๐ฟ1))) |
10 | 2, 9 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ (โโ๐ต)) โ ๐ฟ1 โง (๐ฅ โ ๐ด โฆ (โโ๐ต)) โ ๐ฟ1)) |
11 | 10 | simpld 496 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (โโ๐ต)) โ ๐ฟ1) |
12 | 8, 11 | itgrecl 25185 | . . 3 โข (๐ โ โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ โ โ) |
13 | 7 | imcld 15089 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (โโ๐ต) โ โ) |
14 | 10 | simprd 497 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (โโ๐ต)) โ ๐ฟ1) |
15 | 13, 14 | itgrecl 25185 | . . 3 โข (๐ โ โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ โ โ) |
16 | 12, 15 | crred 15125 | . 2 โข (๐ โ (โโ(โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ + (i ยท โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ))) = โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ) |
17 | 4, 16 | eqtrd 2773 | 1 โข (๐ โ (โโโซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โฆ cmpt 5192 โcfv 6500 (class class class)co 7361 ici 11061 + caddc 11062 ยท cmul 11064 โcre 14991 โcim 14992 MblFncmbf 25001 ๐ฟ1cibl 25004 โซcitg 25005 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-inf2 9585 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 ax-addf 11138 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-disj 5075 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-ofr 7622 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-2o 8417 df-er 8654 df-map 8773 df-pm 8774 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-sup 9386 df-inf 9387 df-oi 9454 df-dju 9845 df-card 9883 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-q 12882 df-rp 12924 df-xadd 13042 df-ioo 13277 df-ico 13279 df-icc 13280 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-fl 13706 df-mod 13784 df-seq 13916 df-exp 13977 df-hash 14240 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-abs 15130 df-clim 15379 df-sum 15580 df-xmet 20812 df-met 20813 df-ovol 24851 df-vol 24852 df-mbf 25006 df-itg1 25007 df-itg2 25008 df-ibl 25009 df-itg 25010 df-0p 25057 |
This theorem is referenced by: itgabs 25222 itgabsnc 36197 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |