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Theorem iblmulc2nc 37397
Description: Choice-free analogue of iblmulc2 25846. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2nc.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2nc.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2nc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2nc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblmulc2nc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.m . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
2 ifan 4577 . . . . . 6 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0)
3 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
43adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 iblmbf 25783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
97, 8mbfmptcl 25651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
104, 9mulcld 11273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
12 elfzelz 13547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 ax-icn 11206 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
15 ine0 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
16 expclz 14096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1714, 15, 16mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
19 expne0i 14106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2014, 15, 19mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2211, 18, 21divcld 12033 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
2322recld 15192 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
24 0re 11255 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
25 ifcl 4569 . . . . . . . . . . 11 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2623, 24, 25sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2726rexrd 11303 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
28 max1 13210 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
2924, 23, 28sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
30 elxrge0 13480 . . . . . . . . 9 (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
3127, 29, 30sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
32 0e0iccpnf 13482 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]+∞)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
3431, 33ifclda 4559 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
3534adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
362, 35eqeltrid 2830 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
3736fmpttd 7119 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
389recld 15192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
3938recnd 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
4039abscld 15434 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
419imcld 15193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4241recnd 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
4342abscld 15434 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
4440, 43readdcld 11282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
4539absge0d 15442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵)))
4642absge0d 15442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵)))
4740, 43, 45, 46addge0d 11829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
48 elrege0 13477 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
4944, 47, 48sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,)+∞))
50 0e0icopnf 13481 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5249, 51ifclda 4559 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,)+∞))
5352adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,)+∞))
5453fmpttd 7119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
55 reex 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
57 elrege0 13477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵))))
5840, 45, 57sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
5958, 51ifclda 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6059adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
61 elrege0 13477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵))))
6243, 46, 61sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
6362, 51ifclda 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
65 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)))
66 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))
6756, 60, 64, 65, 66offval2 7700 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
68 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℜ‘𝐵)))
69 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
7068, 69oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
71 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
7270, 71eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
73 00id 11428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
74 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = 0)
75 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = 0)
7674, 75oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (0 + 0))
77 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
7873, 76, 773eqtr4a 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
7972, 78pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)
8079mpteq2i 5249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
8167, 80eqtr2di 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
8281fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
83 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))
849iblcn 25814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
855, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
8685simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
878, 5, 83, 86, 38iblabsnclem 37395 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
8887simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
8960fmpttd 7119 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
9087simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
9164fmpttd 7119 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
92 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))
9385simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
948, 5, 92, 93, 41iblabsnclem 37395 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
9594simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
9688, 89, 90, 91, 95itg2addnc 37386 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
9782, 96eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
9890, 95readdcld 11282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) ∈ ℝ)
9997, 98eqeltrd 2826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ)
1003abscld 15434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
1013absge0d 15442 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
102 elrege0 13477 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)))
103100, 101, 102sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞))
10454, 99, 103itg2mulc 25763 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))))
105100adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
106 fconstmpt 5735 . . . . . . . . . . 11 (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶))
107106a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶)))
108 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
10956, 105, 53, 107, 108offval2 7700 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
11071oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
111 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
112110, 111eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
113112adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
114100recnd 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
115114mul01d 11452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 0) = 0)
116115adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · 0) = 0)
11777adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
118117oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((abs‘𝐶) · 0))
119 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = 0)
120119adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = 0)
121116, 118, 1203eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
122113, 121pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
123122mpteq2dv 5246 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
124109, 123eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
125124fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
12697oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))))
127104, 125, 1263eqtr3d 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) = ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))))
128100, 98remulcld 11283 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))) ∈ ℝ)
129127, 128eqeltrd 2826 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ)
130129adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ)
131100adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
132131, 44remulcld 11283 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ)
133132rexrd 11303 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ*)
134101adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
135131, 44, 134, 47mulge0d 11830 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
136 elxrge0 13480 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
137133, 135, 136sylanbrc 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ (0[,]+∞))
13832a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
139137, 138ifclda 4559 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
140139ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
141140fmpttd 7119 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
1429abscld 15434 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
143131, 142remulcld 11283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
144143adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
145132adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ)
14622releabsd 15449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
14711, 18, 21absdivd 15453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))))
148 elfznn0 13640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
149 absexp 15302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
15014, 148, 149sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...3) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
151 absi 15284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs‘i) = 1
152151oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((abs‘i)↑𝑘) = (1↑𝑘)
153 1exp 14103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
15412, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...3) → (1↑𝑘) = 1)
155152, 154eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...3) → ((abs‘i)↑𝑘) = 1)
156150, 155eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...3) → (abs‘(i↑𝑘)) = 1)
157156oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (0...3) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1))
158157ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1))
15910abscld 15434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
160159recnd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
161160adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
162161div1d 12025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
163147, 158, 1623eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
1644, 9absmuld 15452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
165164adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
166163, 165eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
167146, 166breqtrd 5170 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
168 mulcl 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
16914, 42, 168sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17039, 169abstrid 15454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
1719replimd 15195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
172171fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
173 absmul 15292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
17414, 42, 173sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
175151oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵)))
176174, 175eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
17743recnd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
178177mullidd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
179176, 178eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))))
180179oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
181170, 172, 1803brtr4d 5176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
182142, 44, 131, 134, 181lemul2ad 12198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
183182adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
18423, 144, 145, 167, 183letrd 11410 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
185135adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
186 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
187 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → (0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
188186, 187ifboth 4563 . . . . . . . . . . . 12 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
189184, 185, 188syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
190 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
191190adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
192111adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
193189, 191, 1923brtr4d 5176 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
194193ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
195 0le0 12357 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
197 iffalse 4533 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
198196, 197, 1193brtr4d 5176 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
199194, 198pm2.61d1 180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
2002, 199eqbrtrid 5179 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
201200ralrimivw 3140 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
20255a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ℝ ∈ V)
203 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
204 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
205202, 36, 140, 203, 204ofrfval2 7701 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
206201, 205mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
207 itg2le 25755 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
20837, 141, 206, 207syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
209 itg2lecl 25754 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
21037, 130, 208, 209syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
211210ralrimiva 3136 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
212 eqidd 2727 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
213 eqidd 2727 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
214212, 213, 10isibl2 25782 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
2151, 211, 214mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  Vcvv 3463  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5144  cmpt 5227   × cxp 5671  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  f cof 7678  r cofr 7679  cc 11145  cr 11146  0cc0 11147  1c1 11148  ici 11149   + caddc 11150   · cmul 11152  +∞cpnf 11284  *cxr 11286  cle 11288   / cdiv 11910  3c3 12312  0cn0 12516  cz 12602  [,)cico 13372  [,]cicc 13373  ...cfz 13530  cexp 14073  cre 15095  cim 15096  abscabs 15232  MblFncmbf 25629  2citg2 25631  𝐿1cibl 25632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-disj 5112  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-clim 15483  df-sum 15684  df-rest 17430  df-topgen 17451  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-top 22882  df-topon 22899  df-bases 22935  df-cmp 23377  df-ovol 25479  df-vol 25480  df-mbf 25634  df-itg1 25635  df-itg2 25636  df-ibl 25637  df-0p 25685
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem1  37398  itgmulc2nclem2  37399  itgmulc2nc  37400  itgabsnc  37401  ftc1anclem6  37410
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