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Theorem iblmulc2nc 33800
Description: Choice-free analogue of iblmulc2 23810. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2nc.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2nc.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2nc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2nc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblmulc2nc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.m . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
2 ifan 4273 . . . . . 6 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0)
3 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
43adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 iblmbf 23747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
97, 8mbfmptcl 23617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
104, 9mulcld 10260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
1110adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
12 elfzelz 12542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
1312ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 ax-icn 10195 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
15 ine0 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
16 expclz 13085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1714, 15, 16mp3an12 1562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
19 expne0i 13092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2014, 15, 19mp3an12 1562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2211, 18, 21divcld 11001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
2322recld 14135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
24 0re 10240 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
25 ifcl 4269 . . . . . . . . . . 11 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2623, 24, 25sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2726rexrd 10289 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
28 max1 12214 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
2924, 23, 28sylancr 575 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
30 elxrge0 12481 . . . . . . . . 9 (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
3127, 29, 30sylanbrc 572 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
32 0e0iccpnf 12483 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]+∞)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
3431, 33ifclda 4259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
3534adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
362, 35syl5eqel 2854 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
37 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
3836, 37fmptd 6525 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
399recld 14135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
4039recnd 10268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
4140abscld 14376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
429imcld 14136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4342recnd 10268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
4443abscld 14376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
4541, 44readdcld 10269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
4640absge0d 14384 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵)))
4743absge0d 14384 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵)))
4841, 44, 46, 47addge0d 10803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
49 elrege0 12478 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
5045, 48, 49sylanbrc 572 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,)+∞))
51 0e0icopnf 12482 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5350, 52ifclda 4259 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,)+∞))
5453adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,)+∞))
55 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
5654, 55fmptd 6525 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
57 reex 10227 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
59 elrege0 12478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵))))
6041, 46, 59sylanbrc 572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
6160, 52ifclda 4259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
63 elrege0 12478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵))))
6444, 47, 63sylanbrc 572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
6564, 52ifclda 4259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6665adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
67 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)))
68 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))
6958, 62, 66, 67, 68offval2 7059 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
70 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℜ‘𝐵)))
71 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
7270, 71oveq12d 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
73 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
7472, 73eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
75 00id 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
76 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = 0)
77 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = 0)
7876, 77oveq12d 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (0 + 0))
79 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
8075, 78, 793eqtr4a 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
8174, 80pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)
8281mpteq2i 4875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
8369, 82syl6req 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
8483fveq2d 6334 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
85 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))
869iblcn 23778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
875, 86mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
8887simpld 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
898, 5, 85, 88, 39iblabsnclem 33798 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
9089simpld 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
9162, 85fmptd 6525 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
9289simprd 483 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
93 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))
9466, 93fmptd 6525 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
9587simprd 483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
968, 5, 93, 95, 42iblabsnclem 33798 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
9796simprd 483 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
9890, 91, 92, 94, 97itg2addnc 33789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
9984, 98eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
10092, 97readdcld 10269 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) ∈ ℝ)
10199, 100eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ)
1023abscld 14376 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
1033absge0d 14384 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
104 elrege0 12478 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)))
105102, 103, 104sylanbrc 572 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞))
10656, 101, 105itg2mulc 23727 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))))
107102adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
108 fconstmpt 5301 . . . . . . . . . . 11 (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶))
109108a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶)))
110 eqidd 2772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
11158, 107, 54, 109, 110offval2 7059 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
11273oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
113 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
114112, 113eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
115114adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
116102recnd 10268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
117116mul01d 10435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 0) = 0)
118117adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · 0) = 0)
11979adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
120119oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((abs‘𝐶) · 0))
121 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = 0)
122121adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = 0)
123118, 120, 1223eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
124115, 123pm2.61dan 814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
125124mpteq2dv 4879 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
126111, 125eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
127126fveq2d 6334 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
12899oveq2d 6807 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))))
129106, 127, 1283eqtr3d 2813 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) = ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))))
130102, 100remulcld 10270 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))) ∈ ℝ)
131129, 130eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ)
132131adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ)
133102adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
134133, 45remulcld 10270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ)
135134rexrd 10289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ*)
136103adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
137133, 45, 136, 48mulge0d 10804 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
138 elxrge0 12481 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
139135, 137, 138sylanbrc 572 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ (0[,]+∞))
14032a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
141139, 140ifclda 4259 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
142141ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
143 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
144142, 143fmptd 6525 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
1459abscld 14376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
146133, 145remulcld 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
147146adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
148134adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ)
14922releabsd 14391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
15011, 18, 21absdivd 14395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))))
151 elfznn0 12633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
152 absexp 14245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
15314, 151, 152sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...3) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
154 absi 14227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs‘i) = 1
155154oveq1i 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((abs‘i)↑𝑘) = (1↑𝑘)
156 1exp 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
15712, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...3) → (1↑𝑘) = 1)
158155, 157syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...3) → ((abs‘i)↑𝑘) = 1)
159153, 158eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...3) → (abs‘(i↑𝑘)) = 1)
160159oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (0...3) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1))
161160ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1))
16210abscld 14376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
163162recnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
164163adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
165164div1d 10993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
166150, 161, 1653eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
1674, 9absmuld 14394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
168167adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
169166, 168eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
170149, 169breqtrd 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
171 mulcl 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17214, 43, 171sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17340, 172abstrid 14396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
1749replimd 14138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
175174fveq2d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
176 absmul 14235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
17714, 43, 176sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
178154oveq1i 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵)))
179177, 178syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
18044recnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
181180mulid2d 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
182179, 181eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))))
183182oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
184173, 175, 1833brtr4d 4818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
185145, 45, 133, 136, 184lemul2ad 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
186185adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
18723, 147, 148, 170, 186letrd 10394 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
188137adantlr 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
189 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
190 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → (0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
191189, 190ifboth 4263 . . . . . . . . . . . 12 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
192187, 188, 191syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
193 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
194193adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
195113adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
196192, 194, 1953brtr4d 4818 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
197196ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
198 0le0 11310 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
199198a1i 11 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
200 iffalse 4234 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
201199, 200, 1213brtr4d 4818 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
202197, 201pm2.61d1 172 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
2032, 202syl5eqbr 4821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
204203ralrimivw 3116 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
20557a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ℝ ∈ V)
206 eqidd 2772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
207 eqidd 2772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
208205, 36, 142, 206, 207ofrfval2 7060 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
209204, 208mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
210 itg2le 23719 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
21138, 144, 209, 210syl3anc 1476 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
212 itg2lecl 23718 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
21338, 132, 211, 212syl3anc 1476 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
214213ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
215 eqidd 2772 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
216 eqidd 2772 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
217215, 216, 10isibl2 23746 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
2181, 214, 217mpbir2and 692 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  ifcif 4225  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863   × cxp 5247  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  𝑓 cof 7040  𝑟 cofr 7041  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137  ici 10138   + caddc 10139   · cmul 10141  +∞cpnf 10271  *cxr 10273  cle 10275   / cdiv 10884  3c3 11271  0cn0 11492  cz 11577  [,)cico 12375  [,]cicc 12376  ...cfz 12526  cexp 13060  cre 14038  cim 14039  abscabs 14175  MblFncmbf 23595  2citg2 23597  𝐿1cibl 23598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-ofr 7043  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-rest 16284  df-topgen 16305  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-cmp 21404  df-ovol 23445  df-vol 23446  df-mbf 23600  df-itg1 23601  df-itg2 23602  df-ibl 23603  df-0p 23650
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem1  33801  itgmulc2nclem2  33802  itgmulc2nc  33803  itgabsnc  33804  ftc1anclem6  33815
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