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Theorem iblmulc2nc 36143
Description: Choice-free analogue of iblmulc2 25195. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2nc.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2nc.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2nc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2nc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblmulc2nc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.m . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
2 ifan 4539 . . . . . 6 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0)
3 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
43adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 iblmbf 25132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
97, 8mbfmptcl 25000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
104, 9mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
12 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 ax-icn 11110 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
15 ine0 11590 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
16 expclz 13990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1714, 15, 16mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
19 expne0i 14000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2014, 15, 19mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2211, 18, 21divcld 11931 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
2322recld 15079 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
24 0re 11157 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
25 ifcl 4531 . . . . . . . . . . 11 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2726rexrd 11205 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
28 max1 13104 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
2924, 23, 28sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
30 elxrge0 13374 . . . . . . . . 9 (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
3127, 29, 30sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
32 0e0iccpnf 13376 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]+∞)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
3431, 33ifclda 4521 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
3534adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
362, 35eqeltrid 2842 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
3736fmpttd 7063 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
389recld 15079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
3938recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
4039abscld 15321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
419imcld 15080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4241recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
4342abscld 15321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
4440, 43readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
4539absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵)))
4642absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵)))
4740, 43, 45, 46addge0d 11731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
48 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
4944, 47, 48sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,)+∞))
50 0e0icopnf 13375 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5249, 51ifclda 4521 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,)+∞))
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,)+∞))
5453fmpttd 7063 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
55 reex 11142 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
57 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵))))
5840, 45, 57sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
5958, 51ifclda 4521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
61 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵))))
6243, 46, 61sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
6362, 51ifclda 4521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
65 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)))
66 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))
6756, 60, 64, 65, 66offval2 7637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
68 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℜ‘𝐵)))
69 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
7068, 69oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
71 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
7270, 71eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
73 00id 11330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
74 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = 0)
75 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = 0)
7674, 75oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (0 + 0))
77 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
7873, 76, 773eqtr4a 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
7972, 78pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)
8079mpteq2i 5210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
8167, 80eqtr2di 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
8281fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
83 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))
849iblcn 25163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
855, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
8685simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
878, 5, 83, 86, 38iblabsnclem 36141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
8887simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
8960fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
9087simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
9164fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
92 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))
9385simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
948, 5, 92, 93, 41iblabsnclem 36141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
9594simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
9688, 89, 90, 91, 95itg2addnc 36132 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
9782, 96eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
9890, 95readdcld 11184 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) ∈ ℝ)
9997, 98eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ)
1003abscld 15321 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
1013absge0d 15329 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
102 elrege0 13371 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)))
103100, 101, 102sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞))
10454, 99, 103itg2mulc 25112 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))))
105100adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
106 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . . 11 (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶))
107106a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶)))
108 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
10956, 105, 53, 107, 108offval2 7637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
11071oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
111 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
112110, 111eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
114100recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
115114mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 0) = 0)
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · 0) = 0)
11777adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
118117oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((abs‘𝐶) · 0))
119 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = 0)
120119adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = 0)
121116, 118, 1203eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
122113, 121pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
123122mpteq2dv 5207 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
124109, 123eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
125124fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
12697oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) = ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))))
127104, 125, 1263eqtr3d 2784 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) = ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))))
128100, 98remulcld 11185 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))) ∈ ℝ)
129127, 128eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ)
130129adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ)
131100adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
132131, 44remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ)
133132rexrd 11205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ*)
134101adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
135131, 44, 134, 47mulge0d 11732 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
136 elxrge0 13374 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
137133, 135, 136sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ (0[,]+∞))
13832a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
139137, 138ifclda 4521 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
140139ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
141140fmpttd 7063 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
1429abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
143131, 142remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
144143adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
145132adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∈ ℝ)
14622releabsd 15336 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
14711, 18, 21absdivd 15340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))))
148 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
149 absexp 15189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
15014, 148, 149sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...3) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
151 absi 15171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs‘i) = 1
152151oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((abs‘i)↑𝑘) = (1↑𝑘)
153 1exp 13997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
15412, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...3) → (1↑𝑘) = 1)
155152, 154eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...3) → ((abs‘i)↑𝑘) = 1)
156150, 155eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...3) → (abs‘(i↑𝑘)) = 1)
157156oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (0...3) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1))
158157ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1))
15910abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
160159recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
161160adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
162161div1d 11923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
163147, 158, 1623eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
1644, 9absmuld 15339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
165164adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
166163, 165eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
167146, 166breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
168 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
16914, 42, 168sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17039, 169abstrid 15341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
1719replimd 15082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
172171fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
173 absmul 15179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
17414, 42, 173sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
175151oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵)))
176174, 175eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
17743recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
178177mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
179176, 178eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))))
180179oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
181170, 172, 1803brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
182142, 44, 131, 134, 181lemul2ad 12095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
183182adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
18423, 144, 145, 167, 183letrd 11312 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
185135adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
186 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
187 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → (0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))))
188186, 187ifboth 4525 . . . . . . . . . . . 12 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))) ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
189184, 185, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
190 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
191190adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
192111adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0) = ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
193189, 191, 1923brtr4d 5137 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
194193ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
195 0le0 12254 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
197 iffalse 4495 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
198196, 197, 1193brtr4d 5137 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
199194, 198pm2.61d1 180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
2002, 199eqbrtrid 5140 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
201200ralrimivw 3147 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))
20255a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ℝ ∈ V)
203 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
204 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
205202, 36, 140, 203, 204ofrfval2 7638 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
206201, 205mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))
207 itg2le 25104 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
20837, 141, 206, 207syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))))
209 itg2lecl 25103 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
21037, 130, 208, 209syl3anc 1371 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
211210ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
212 eqidd 2737 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
213 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
214212, 213, 10isibl2 25131 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
2151, 211, 214mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  r cofr 7616  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190   / cdiv 11812  3c3 12209  0cn0 12413  cz 12499  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cexp 13967  cre 14982  cim 14983  abscabs 15119  MblFncmbf 24978  2citg2 24980  𝐿1cibl 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem1  36144  itgmulc2nclem2  36145  itgmulc2nc  36146  itgabsnc  36147  ftc1anclem6  36156
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