Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblmulc2nc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblmulc2nc 36541
Description: Choice-free analogue of iblmulc2 25339. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2nc.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2nc.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgmulc2nc.m (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2nc (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem iblmulc2nc
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.m . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn)
2 ifan 4580 . . . . . 6 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
3 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
43adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
6 iblmbf 25276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
97, 8mbfmptcl 25144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
104, 9mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
12 elfzelz 13497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
14 ax-icn 11165 . . . . . . . . . . . . . . 15 i โˆˆ โ„‚
15 ine0 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15 i โ‰  0
16 expclz 14046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1714, 15, 16mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
19 expne0i 14056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
2014, 15, 19mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
2211, 18, 21divcld 11986 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2322recld 15137 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
24 0re 11212 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
25 ifcl 4572 . . . . . . . . . . 11 (((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2726rexrd 11260 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
28 max1 13160 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2924, 23, 28sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
30 elxrge0 13430 . . . . . . . . 9 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
3127, 29, 30sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
32 0e0iccpnf 13432 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
3431, 33ifclda 4562 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3534adantr 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
362, 35eqeltrid 2837 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3736fmpttd 7111 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
389recld 15137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
3938recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4039abscld 15379 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
419imcld 15138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
4241recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4342abscld 15379 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
4440, 43readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
4539absge0d 15387 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)))
4642absge0d 15387 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
4740, 43, 45, 46addge0d 11786 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
48 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . 12 (((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
4944, 47, 48sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ (0[,)+โˆž))
50 0e0icopnf 13431 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
5249, 51ifclda 4562 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5453fmpttd 7111 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
55 reex 11197 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ โˆˆ V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
57 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต))))
5840, 45, 57sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5958, 51ifclda 4562 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
61 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
6243, 46, 61sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
6362, 51ifclda 4562 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
65 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)))
66 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))
6756, 60, 64, 65, 66offval2 7686 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))
68 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) = (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)))
69 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
7068, 69oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
71 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
7270, 71eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
73 00id 11385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
74 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) = 0)
75 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) = 0)
7674, 75oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (0 + 0))
77 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = 0)
7873, 76, 773eqtr4a 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
7972, 78pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . 13 (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)
8079mpteq2i 5252 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
8167, 80eqtr2di 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))
8281fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (โˆซ2โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
83 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))
849iblcn 25307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
855, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
8685simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
878, 5, 83, 86, 38iblabsnclem 36539 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„))
8887simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn)
8960fmpttd 7111 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
9087simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
9164fmpttd 7111 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
92 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))
9385simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
948, 5, 92, 93, 41iblabsnclem 36539 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„))
9594simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
9688, 89, 90, 91, 95itg2addnc 36530 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
9782, 96eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
9890, 95readdcld 11239 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))) โˆˆ โ„)
9997, 98eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) โˆˆ โ„)
1003abscld 15379 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
1013absge0d 15387 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
102 elrege0 13427 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ)))
103100, 101, 102sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
10454, 99, 103itg2mulc 25256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))))
105100adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
106 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . 11 (โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜๐ถ))
107106a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜๐ถ)))
108 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
10956, 105, 53, 107, 108offval2 7686 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))))
11071oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
111 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
112110, 111eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
114100recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
115114mul01d 11409 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท 0) = 0)
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท 0) = 0)
11777adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = 0)
118117oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท 0))
119 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) = 0)
120119adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) = 0)
121116, 118, 1203eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
122113, 121pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
123122mpteq2dv 5249 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
124109, 123eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
125124fveq2d 6892 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))))
12697oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))))
127104, 125, 1263eqtr3d 2780 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))))
128100, 98remulcld 11240 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))) โˆˆ โ„)
129127, 128eqeltrd 2833 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) โˆˆ โ„)
130129adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) โˆˆ โ„)
131100adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
132131, 44remulcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„)
133132rexrd 11260 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„*)
134101adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
135131, 44, 134, 47mulge0d 11787 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
136 elxrge0 13430 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))))
137133, 135, 136sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ (0[,]+โˆž))
13832a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
139137, 138ifclda 4562 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
140139ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
141140fmpttd 7111 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
1429abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
143131, 142remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
144143adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
145132adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„)
14622releabsd 15394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))))
14711, 18, 21absdivd 15398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))))
148 elfznn0 13590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
149 absexp 15247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜))
15014, 148, 149sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜))
151 absi 15229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (absโ€˜i) = 1
152151oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜) = (1โ†‘๐‘˜)
153 1exp 14053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘˜) = 1)
15412, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (1โ†‘๐‘˜) = 1)
155152, 154eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜) = 1)
156150, 155eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = 1)
157156oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1))
158157ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1))
15910abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
160159recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
161160adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
162161div1d 11978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
163147, 158, 1623eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
1644, 9absmuld 15397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
165164adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
166163, 165eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
167146, 166breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
168 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
16914, 42, 168sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
17039, 169abstrid 15399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
1719replimd 15140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
172171fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
173 absmul 15237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
17414, 42, 173sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
175151oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
176174, 175eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
17743recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
178177mullidd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
179176, 178eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) = (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
180179oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
181170, 172, 1803brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
182142, 44, 131, 134, 181lemul2ad 12150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
183182adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
18423, 144, 145, 167, 183letrd 11367 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
185135adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
186 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โ†” if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))))
187 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ†’ (0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โ†” if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))))
188186, 187ifboth 4566 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
189184, 185, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
190 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
191190adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
192111adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
193189, 191, 1923brtr4d 5179 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
194193ex 413 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
195 0le0 12309 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค 0)
197 iffalse 4536 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
198196, 197, 1193brtr4d 5179 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
199194, 198pm2.61d1 180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
2002, 199eqbrtrid 5182 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
201200ralrimivw 3150 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
20255a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ โ„ โˆˆ V)
203 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
204 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
205202, 36, 140, 203, 204ofrfval2 7687 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
206201, 205mpbird 256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
207 itg2le 25248 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))))
20837, 141, 206, 207syl3anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))))
209 itg2lecl 25247 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
21037, 130, 208, 209syl3anc 1371 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
211210ralrimiva 3146 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
212 eqidd 2733 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
213 eqidd 2733 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))))
214212, 213, 10isibl2 25275 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
2151, 211, 214mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7664   โˆ˜r cofr 7665  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   ยท cmul 11111  +โˆžcpnf 11241  โ„*cxr 11243   โ‰ค cle 11245   / cdiv 11867  3c3 12264  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  โ†‘cexp 14023  โ„œcre 15040  โ„‘cim 15041  abscabs 15177  MblFncmbf 25122  โˆซ2citg2 25124  ๐ฟ1cibl 25125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-0p 25178
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem1  36542  itgmulc2nclem2  36543  itgmulc2nc  36544  itgabsnc  36545  ftc1anclem6  36554
  Copyright terms: Public domain W3C validator