Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblmulc2nc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblmulc2nc 37214
Description: Choice-free analogue of iblmulc2 25776. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2nc.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2nc.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgmulc2nc.m (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2nc (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem iblmulc2nc
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.m . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn)
2 ifan 4577 . . . . . 6 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
3 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
43adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
6 iblmbf 25713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
97, 8mbfmptcl 25581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
104, 9mulcld 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
12 elfzelz 13531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
14 ax-icn 11195 . . . . . . . . . . . . . . 15 i โˆˆ โ„‚
15 ine0 11677 . . . . . . . . . . . . . . 15 i โ‰  0
16 expclz 14079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1714, 15, 16mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
19 expne0i 14089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
2014, 15, 19mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
2211, 18, 21divcld 12018 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2322recld 15171 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
24 0re 11244 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
25 ifcl 4569 . . . . . . . . . . 11 (((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2623, 24, 25sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2726rexrd 11292 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
28 max1 13194 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2924, 23, 28sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
30 elxrge0 13464 . . . . . . . . 9 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
3127, 29, 30sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
32 0e0iccpnf 13466 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
3431, 33ifclda 4559 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3534adantr 479 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
362, 35eqeltrid 2829 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3736fmpttd 7119 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
389recld 15171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
3938recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4039abscld 15413 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
419imcld 15172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
4241recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4342abscld 15413 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
4440, 43readdcld 11271 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
4539absge0d 15421 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)))
4642absge0d 15421 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
4740, 43, 45, 46addge0d 11818 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
48 elrege0 13461 . . . . . . . . . . . 12 (((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
4944, 47, 48sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ (0[,)+โˆž))
50 0e0icopnf 13465 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
5249, 51ifclda 4559 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5352adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5453fmpttd 7119 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
55 reex 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ โˆˆ V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
57 elrege0 13461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต))))
5840, 45, 57sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
5958, 51ifclda 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
6059adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
61 elrege0 13461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
6243, 46, 61sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ (0[,)+โˆž))
6362, 51ifclda 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
65 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)))
66 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))
6756, 60, 64, 65, 66offval2 7701 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))
68 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) = (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)))
69 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
7068, 69oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
71 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
7270, 71eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
73 00id 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
74 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) = 0)
75 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0) = 0)
7674, 75oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (0 + 0))
77 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = 0)
7873, 76, 773eqtr4a 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
7972, 78pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . 13 (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)
8079mpteq2i 5248 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0) + if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))
8167, 80eqtr2di 2782 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))
8281fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (โˆซ2โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
83 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))
849iblcn 25744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
855, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
8685simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
878, 5, 83, 86, 38iblabsnclem 37212 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„))
8887simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn)
8960fmpttd 7119 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
9087simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
9164fmpttd 7119 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
92 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))
9385simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
948, 5, 92, 93, 41iblabsnclem 37212 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„))
9594simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))) โˆˆ โ„)
9688, 89, 90, 91, 95itg2addnc 37203 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0)) โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
9782, 96eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))))
9890, 95readdcld 11271 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0)))) โˆˆ โ„)
9997, 98eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) โˆˆ โ„)
1003abscld 15413 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
1013absge0d 15421 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
102 elrege0 13461 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ)))
103100, 101, 102sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
10454, 99, 103itg2mulc 25693 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))))
105100adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
106 fconstmpt 5734 . . . . . . . . . . 11 (โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜๐ถ))
107106a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜๐ถ)))
108 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))
10956, 105, 53, 107, 108offval2 7701 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))))
11071oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
111 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
112110, 111eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
113112adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
114100recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
115114mul01d 11441 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท 0) = 0)
116115adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท 0) = 0)
11777adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0) = 0)
118117oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท 0))
119 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) = 0)
120119adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) = 0)
121116, 118, 1203eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
122113, 121pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
123122mpteq2dv 5245 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((absโ€˜๐ถ) ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
124109, 123eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
125124fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {(absโ€˜๐ถ)}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))))
12697oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))), 0)))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))))
127104, 125, 1263eqtr3d 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))))
128100, 98remulcld 11272 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)), 0))) + (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)), 0))))) โˆˆ โ„)
129127, 128eqeltrd 2825 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) โˆˆ โ„)
130129adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) โˆˆ โ„)
131100adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
132131, 44remulcld 11272 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„)
133132rexrd 11292 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„*)
134101adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
135131, 44, 134, 47mulge0d 11819 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
136 elxrge0 13464 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))))
137133, 135, 136sylanbrc 581 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ (0[,]+โˆž))
13832a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
139137, 138ifclda 4559 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
140139ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
141140fmpttd 7119 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
1429abscld 15413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
143131, 142remulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
144143adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
145132adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„)
14622releabsd 15428 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))))
14711, 18, 21absdivd 15432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))))
148 elfznn0 13624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
149 absexp 15281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜))
15014, 148, 149sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜))
151 absi 15263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (absโ€˜i) = 1
152151oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜) = (1โ†‘๐‘˜)
153 1exp 14086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘˜) = 1)
15412, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (1โ†‘๐‘˜) = 1)
155152, 154eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((absโ€˜i)โ†‘๐‘˜) = 1)
156150, 155eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜)) = 1)
157156oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1))
158157ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / (absโ€˜(iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1))
15910abscld 15413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
160159recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
161160adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
162161div1d 12010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) / 1) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
163147, 158, 1623eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
1644, 9absmuld 15431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
165164adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
166163, 165eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
167146, 166breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)))
168 mulcl 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
16914, 42, 168sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
17039, 169abstrid 15433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
1719replimd 15174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
172171fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
173 absmul 15271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
17414, 42, 173sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
175151oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
176174, 175eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
17743recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
178177mullidd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))
179176, 178eqtr2d 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) = (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
180179oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
181170, 172, 1803brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))
182142, 44, 131, 134, 181lemul2ad 12182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
183182adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((absโ€˜๐ถ) ยท (absโ€˜๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
18423, 144, 145, 167, 183letrd 11399 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
185135adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
186 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โ†” if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))))
187 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ†’ (0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โ†” if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))))
188186, 187ifboth 4563 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต))))) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
189184, 185, 188syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
190 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
191190adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
192111adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0) = ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))))
193189, 191, 1923brtr4d 5175 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
194193ex 411 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
195 0le0 12341 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค 0)
197 iffalse 4533 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) = 0)
198196, 197, 1193brtr4d 5175 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
199194, 198pm2.61d1 180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
2002, 199eqbrtrid 5178 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
201200ralrimivw 3140 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))
20255a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ โ„ โˆˆ V)
203 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
204 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
205202, 36, 140, 203, 204ofrfval2 7702 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
206201, 205mpbird 256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))
207 itg2le 25685 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))))
20837, 141, 206, 207syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))))
209 itg2lecl 25684 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ((absโ€˜๐ถ) ยท ((absโ€˜(โ„œโ€˜๐ต)) + (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)))), 0)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
21037, 130, 208, 209syl3anc 1368 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
211210ralrimiva 3136 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
212 eqidd 2726 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
213 eqidd 2726 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))))
214212, 213, 10isibl2 25712 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜((๐ถ ยท ๐ต) / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
2151, 211, 214mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  Vcvv 3463  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226   ร— cxp 5670  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โˆ˜f cof 7679   โˆ˜r cofr 7680  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137  ici 11138   + caddc 11139   ยท cmul 11141  +โˆžcpnf 11273  โ„*cxr 11275   โ‰ค cle 11277   / cdiv 11899  3c3 12296  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  [,)cico 13356  [,]cicc 13357  ...cfz 13514  โ†‘cexp 14056  โ„œcre 15074  โ„‘cim 15075  abscabs 15211  MblFncmbf 25559  โˆซ2citg2 25561  ๐ฟ1cibl 25562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-rest 17401  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-cmp 23307  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-ibl 25567  df-0p 25615
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem1  37215  itgmulc2nclem2  37216  itgmulc2nc  37217  itgabsnc  37218  ftc1anclem6  37227
  Copyright terms: Public domain W3C validator