Theorem chincl 30504

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chincl	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4170	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2817	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ))
3		ineq2 4171	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2817	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Cℋ ))
5		ifchhv 30249	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
6		ifchhv 30249	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Cℋ
7	5, 6	chincli 30465	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Cℋ
8	2, 4, 7	dedth2h 4550	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3912  ifcif 4491   ℋchba 29924   C_ℋ cch 29934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-1cn 11118  ax-addcl 11120  ax-hilex 30004  ax-hfvadd 30005  ax-hv0cl 30008  ax-hfvmul 30010

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-map 8774  df-nn 12163  df-hlim 29977  df-sh 30212  df-ch 30226

This theorem is referenced by:  chabs1  30521  chdmj1  30534  fh1  30623  fh2  30624  cm2j  30625  mdbr2  31301  mdbr3  31302  mdbr4  31303  dmdmd  31305  dmdbr2  31308  dmdbr5  31313  mddmd2  31314  mdsl0  31315  mdsl3  31321  mdsl2i  31327  mdslmd1i  31334  cvp  31380  atomli  31387  atordi  31389  atcvat3i  31401  atcvat4i  31402  mdsymlem1  31408  mdsymlem3  31410  mdsymlem5  31412  mdsymlem6  31413  sumdmdii  31420  dmdbr5ati  31427