HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chincl 29278
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chincl ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵) ∈ C )

Proof of Theorem chincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 4165 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐴𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
21eleq1d 2900 . 2 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → ((𝐴𝐵) ∈ C ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ C ))
3 ineq2 4167 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
43eleq1d 2900 . 2 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ C ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) ∈ C ))
5 ifchhv 29023 . . 3 if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∈ C
6 ifchhv 29023 . . 3 if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∈ C
75, 6chincli 29239 . 2 (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) ∈ C
82, 4, 7dedth2h 4506 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵) ∈ C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3918  ifcif 4449  chba 28698   C cch 28708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-1cn 10587  ax-addcl 10589  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hv0cl 28782  ax-hfvmul 28784
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-map 8398  df-nn 11631  df-hlim 28751  df-sh 28986  df-ch 29000
This theorem is referenced by:  chabs1  29295  chdmj1  29308  fh1  29397  fh2  29398  cm2j  29399  mdbr2  30075  mdbr3  30076  mdbr4  30077  dmdmd  30079  dmdbr2  30082  dmdbr5  30087  mddmd2  30088  mdsl0  30089  mdsl3  30095  mdsl2i  30101  mdslmd1i  30108  cvp  30154  atomli  30161  atordi  30163  atcvat3i  30175  atcvat4i  30176  mdsymlem1  30182  mdsymlem3  30184  mdsymlem5  30186  mdsymlem6  30187  sumdmdii  30194  dmdbr5ati  30201
  Copyright terms: Public domain W3C validator