Theorem chincl 31760

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chincl	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4168	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2850	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ))
3		ineq2 4169	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2850	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Cℋ ))
5		ifchhv 31505	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
6		ifchhv 31505	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Cℋ
7	5, 6	chincli 31721	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Cℋ
8	2, 4, 7	dedth2h 4543	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3906  ifcif 4483   ℋchba 31180   C_ℋ cch 31190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-1cn 11146  ax-addcl 11148  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hv0cl 31264  ax-hfvmul 31266

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-map 8814  df-nn 12225  df-hlim 31233  df-sh 31468  df-ch 31482

This theorem is referenced by:  chabs1  31777  chdmj1  31790  fh1  31879  fh2  31880  cm2j  31881  mdbr2  32557  mdbr3  32558  mdbr4  32559  dmdmd  32561  dmdbr2  32564  dmdbr5  32569  mddmd2  32570  mdsl0  32571  mdsl3  32577  mdsl2i  32583  mdslmd1i  32590  cvp  32636  atomli  32643  atordi  32645  atcvat3i  32657  atcvat4i  32658  mdsymlem1  32664  mdsymlem3  32666  mdsymlem5  32668  mdsymlem6  32669  sumdmdii  32676  dmdbr5ati  32683