Theorem chincl 30752

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chincl	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4206	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ))
3		ineq2 4207	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Cℋ ))
5		ifchhv 30497	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
6		ifchhv 30497	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Cℋ
7	5, 6	chincli 30713	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Cℋ
8	2, 4, 7	dedth2h 4588	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948  ifcif 4529   ℋchba 30172   C_ℋ cch 30182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hv0cl 30256  ax-hfvmul 30258

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-map 8822  df-nn 12213  df-hlim 30225  df-sh 30460  df-ch 30474

This theorem is referenced by:  chabs1  30769  chdmj1  30782  fh1  30871  fh2  30872  cm2j  30873  mdbr2  31549  mdbr3  31550  mdbr4  31551  dmdmd  31553  dmdbr2  31556  dmdbr5  31561  mddmd2  31562  mdsl0  31563  mdsl3  31569  mdsl2i  31575  mdslmd1i  31582  cvp  31628  atomli  31635  atordi  31637  atcvat3i  31649  atcvat4i  31650  mdsymlem1  31656  mdsymlem3  31658  mdsymlem5  31660  mdsymlem6  31661  sumdmdii  31668  dmdbr5ati  31675