Theorem chincl 31478

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chincl	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4172	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ))
3		ineq2 4173	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Cℋ ))
5		ifchhv 31223	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
6		ifchhv 31223	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Cℋ
7	5, 6	chincli 31439	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Cℋ
8	2, 4, 7	dedth2h 4544	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910  ifcif 4484   ℋchba 30898   C_ℋ cch 30908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hv0cl 30982  ax-hfvmul 30984

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-map 8778  df-nn 12163  df-hlim 30951  df-sh 31186  df-ch 31200

This theorem is referenced by:  chabs1  31495  chdmj1  31508  fh1  31597  fh2  31598  cm2j  31599  mdbr2  32275  mdbr3  32276  mdbr4  32277  dmdmd  32279  dmdbr2  32282  dmdbr5  32287  mddmd2  32288  mdsl0  32289  mdsl3  32295  mdsl2i  32301  mdslmd1i  32308  cvp  32354  atomli  32361  atordi  32363  atcvat3i  32375  atcvat4i  32376  mdsymlem1  32382  mdsymlem3  32384  mdsymlem5  32386  mdsymlem6  32387  sumdmdii  32394  dmdbr5ati  32401