Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndmul3 31970
Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndmul3.m Β· = (.gβ€˜π‘€)
omndmul3.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
omndmul3.o (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
omndmul3.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
omndmul3.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑃)
omndmul3.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
omndmul3.5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omndmul3 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑃 Β· 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3
StepHypRef Expression
1 omndmul3.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
2 omndmnd 31961 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4 omndmul.0 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
5 omndmul3.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘€)
64, 5mndidcl 18576 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
8 omndmul3.m . . . 4 Β· = (.gβ€˜π‘€)
9 omndmul3.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 omndmul3.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
11 omndmul3.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑃)
12 nn0sub 12468 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ≀ 𝑃 ↔ (𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0))
1312biimpa 478 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ≀ 𝑃) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
149, 10, 11, 13syl21anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
15 omndmul3.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
164, 8, 3, 14, 15mulgnn0cld 18902 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
174, 8, 3, 9, 15mulgnn0cld 18902 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
18 omndmul3.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑋)
19 omndmul.1 . . . . 5 ≀ = (leβ€˜π‘€)
204, 19, 8, 5omndmul2 31969 . . . 4 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋))
211, 15, 14, 18, 20syl121anc 1376 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋))
22 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
234, 19, 22omndadd 31963 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) ≀ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)))
241, 7, 16, 17, 21, 23syl131anc 1384 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) ≀ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)))
254, 22, 5mndlid 18581 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) = (𝑁 Β· 𝑋))
263, 17, 25syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) = (𝑁 Β· 𝑋))
274, 8, 22mulgnn0dir 18911 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) + 𝑁) Β· 𝑋) = (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)))
283, 14, 9, 15, 27syl13anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) + 𝑁) Β· 𝑋) = (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)))
2910nn0cnd 12480 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
309nn0cnd 12480 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3129, 30npcand 11521 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
3231oveq1d 7373 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) + 𝑁) Β· 𝑋) = (𝑃 Β· 𝑋))
3328, 32eqtr3d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) = (𝑃 Β· 𝑋))
3424, 26, 333brtr3d 5137 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑃 Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   + caddc 11059   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  lecple 17145  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561  .gcmg 18877  oMndcomnd 31954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-0g 17328  df-proset 18189  df-poset 18207  df-toset 18311  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mulg 18878  df-omnd 31956
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator