Theorem omndmul3 33027

Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul3.m	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
omndmul3.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
omndmul3.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
omndmul3.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul3.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omndmul3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndmnd 33018	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4		omndmul.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		omndmul3.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
6	4, 5	mndidcl 18676	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
8		omndmul3.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑀)
9		omndmul3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		omndmul3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
11		omndmul3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
12		nn0sub 12492	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0))
13	12	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15		omndmul3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	4, 8, 3, 14, 15	mulgnn0cld 19027	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
17	4, 8, 3, 9, 15	mulgnn0cld 19027	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18		omndmul3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
19		omndmul.1	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
20	4, 19, 8, 5	omndmul2 33026	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
21	1, 15, 14, 18, 20	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	4, 19, 22	omndadd 33020	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
24	1, 7, 16, 17, 21, 23	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
25	4, 22, 5	mndlid 18681	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
26	3, 17, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
27	4, 8, 22	mulgnn0dir 19036	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
28	3, 14, 9, 15, 27	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
29	10	nn0cnd 12505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
30	9	nn0cnd 12505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	npcand 11537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
32	31	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (𝑃 · 𝑋))
33	28, 32	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑃 · 𝑋))
34	24, 26, 33	3brtr3d 5138	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   + caddc 11071   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  lecple 17227  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999  oMndcomnd 33011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-0g 17404  df-proset 18255  df-poset 18274  df-toset 18376  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mulg 19000  df-omnd 33013

This theorem is referenced by: (None)