Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndmul3 32669
Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1 = (le‘𝑀)
omndmul3.m · = (.g𝑀)
omndmul3.0 0 = (0g𝑀)
omndmul3.o (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul3.2 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
omndmul3.3 (𝜑𝑁𝑃)
omndmul3.4 (𝜑𝑋𝐵)
omndmul3.5 (𝜑0 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omndmul3 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑃 · 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3
StepHypRef Expression
1 omndmul3.o . . 3 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
2 omndmnd 32660 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
4 omndmul.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
5 omndmul3.0 . . . . 5 0 = (0g𝑀)
64, 5mndidcl 18680 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . 3 (𝜑0𝐵)
8 omndmul3.m . . . 4 · = (.g𝑀)
9 omndmul3.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 omndmul3.2 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
11 omndmul3.3 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑃)
12 nn0sub 12529 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑃 ↔ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0))
1312biimpa 476 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
149, 10, 11, 13syl21anc 835 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
15 omndmul3.4 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
164, 8, 3, 14, 15mulgnn0cld 19018 . . 3 (𝜑 → ((𝑃𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
174, 8, 3, 9, 15mulgnn0cld 19018 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18 omndmul3.5 . . . 4 (𝜑0 𝑋)
19 omndmul.1 . . . . 5 = (le‘𝑀)
204, 19, 8, 5omndmul2 32668 . . . 4 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 0 𝑋) → 0 ((𝑃𝑁) · 𝑋))
211, 15, 14, 18, 20syl121anc 1374 . . 3 (𝜑0 ((𝑃𝑁) · 𝑋))
22 eqid 2731 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑀)
234, 19, 22omndadd 32662 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0𝐵 ∧ ((𝑃𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ((𝑃𝑁) · 𝑋)) → ( 0 (+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
241, 7, 16, 17, 21, 23syl131anc 1382 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
254, 22, 5mndlid 18685 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
263, 17, 25syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
274, 8, 22mulgnn0dir 19027 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (((𝑃𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
283, 14, 9, 15, 27syl13anc 1371 . . 3 (𝜑 → (((𝑃𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
2910nn0cnd 12541 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
309nn0cnd 12541 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3129, 30npcand 11582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
3231oveq1d 7427 . . 3 (𝜑 → (((𝑃𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (𝑃 · 𝑋))
3328, 32eqtr3d 2773 . 2 (𝜑 → (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑃 · 𝑋))
3424, 26, 333brtr3d 5179 1 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑃 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412   + caddc 11119  cle 11256  cmin 11451  0cn0 12479  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  lecple 17211  0gc0g 17392  Mndcmnd 18665  .gcmg 18993  oMndcomnd 32653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-toset 18380  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mulg 18994  df-omnd 32655
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator