Theorem omndmul3 32822

Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul3.m	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
omndmul3.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
omndmul3.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
omndmul3.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul3.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omndmul3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndmnd 32813	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4		omndmul.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		omndmul3.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
6	4, 5	mndidcl 18718	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
8		omndmul3.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑀)
9		omndmul3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		omndmul3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
11		omndmul3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
12		nn0sub 12562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0))
13	12	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15		omndmul3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	4, 8, 3, 14, 15	mulgnn0cld 19064	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
17	4, 8, 3, 9, 15	mulgnn0cld 19064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18		omndmul3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
19		omndmul.1	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
20	4, 19, 8, 5	omndmul2 32821	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
21	1, 15, 14, 18, 20	syl121anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
22		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	4, 19, 22	omndadd 32815	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
24	1, 7, 16, 17, 21, 23	syl131anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
25	4, 22, 5	mndlid 18723	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
26	3, 17, 25	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
27	4, 8, 22	mulgnn0dir 19073	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
28	3, 14, 9, 15, 27	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
29	10	nn0cnd 12574	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
30	9	nn0cnd 12574	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	npcand 11615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
32	31	oveq1d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (𝑃 · 𝑋))
33	28, 32	eqtr3d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑃 · 𝑋))
34	24, 26, 33	3brtr3d 5183	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   + caddc 11151   ≤ cle 11289   − cmin 11484  ℕ₀cn0 12512  Basecbs 17189  +_gcplusg 17242  lecple 17249  0_gc0g 17430  Mndcmnd 18703  ._gcmg 19037  oMndcomnd 32806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-seq 14009  df-0g 17432  df-proset 18296  df-poset 18314  df-toset 18418  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mulg 19038  df-omnd 32808

This theorem is referenced by: (None)