Theorem omndmul3 20195

Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul3.m	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
omndmul3.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
omndmul3.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
omndmul3.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul3.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omndmul3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndmnd 20187	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4		omndmul.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		omndmul3.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
6	4, 5	mndidcl 18797	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
8		omndmul3.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑀)
9		omndmul3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		omndmul3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
11		omndmul3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
12		nn0sub 12545	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0))
13	12	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15		omndmul3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	4, 8, 3, 14, 15	mulgnn0cld 19152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
17	4, 8, 3, 9, 15	mulgnn0cld 19152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18		omndmul3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
19		omndmul.1	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
20	4, 19, 8, 5	omndmul2 20194	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
21	1, 15, 14, 18, 20	syl121anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
22		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	4, 19, 22	omndadd 20189	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
24	1, 7, 16, 17, 21, 23	syl131anc 1406	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
25	4, 22, 5	mndlid 18802	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
26	3, 17, 25	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
27	4, 8, 22	mulgnn0dir 19161	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
28	3, 14, 9, 15, 27	syl13anc 1395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
29	10	nn0cnd 12558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
30	9	nn0cnd 12558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	npcand 11561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
32	31	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (𝑃 · 𝑋))
33	28, 32	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑃 · 𝑋))
34	24, 26, 33	3brtr3d 5136	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   + caddc 11091   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  lecple 17307  0_gc0g 17482  Mndcmnd 18782  ._gcmg 19124  oMndcomnd 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-seq 14029  df-0g 17484  df-proset 18340  df-poset 18359  df-toset 18461  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mulg 19125  df-omnd 20182

This theorem is referenced by: (None)