Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndmul3 32737
Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndmul3.m Β· = (.gβ€˜π‘€)
omndmul3.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
omndmul3.o (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
omndmul3.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
omndmul3.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑃)
omndmul3.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
omndmul3.5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omndmul3 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑃 Β· 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3
StepHypRef Expression
1 omndmul3.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
2 omndmnd 32728 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4 omndmul.0 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
5 omndmul3.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘€)
64, 5mndidcl 18682 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
8 omndmul3.m . . . 4 Β· = (.gβ€˜π‘€)
9 omndmul3.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 omndmul3.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
11 omndmul3.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑃)
12 nn0sub 12526 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ≀ 𝑃 ↔ (𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0))
1312biimpa 476 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ≀ 𝑃) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
149, 10, 11, 13syl21anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
15 omndmul3.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
164, 8, 3, 14, 15mulgnn0cld 19022 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
174, 8, 3, 9, 15mulgnn0cld 19022 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
18 omndmul3.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑋)
19 omndmul.1 . . . . 5 ≀ = (leβ€˜π‘€)
204, 19, 8, 5omndmul2 32736 . . . 4 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋))
211, 15, 14, 18, 20syl121anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋))
22 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
234, 19, 22omndadd 32730 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) ≀ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)))
241, 7, 16, 17, 21, 23syl131anc 1380 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) ≀ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)))
254, 22, 5mndlid 18687 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) = (𝑁 Β· 𝑋))
263, 17, 25syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) = (𝑁 Β· 𝑋))
274, 8, 22mulgnn0dir 19031 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) + 𝑁) Β· 𝑋) = (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)))
283, 14, 9, 15, 27syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) + 𝑁) Β· 𝑋) = (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)))
2910nn0cnd 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
309nn0cnd 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3129, 30npcand 11579 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
3231oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) + 𝑁) Β· 𝑋) = (𝑃 Β· 𝑋))
3328, 32eqtr3d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑁) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑁 Β· 𝑋)) = (𝑃 Β· 𝑋))
3424, 26, 333brtr3d 5172 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑃 Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   + caddc 11115   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  lecple 17213  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995  oMndcomnd 32721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-toset 18382  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996  df-omnd 32723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator