Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndmul3 30865
 Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1 = (le‘𝑀)
omndmul3.m · = (.g𝑀)
omndmul3.0 0 = (0g𝑀)
omndmul3.o (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul3.2 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
omndmul3.3 (𝜑𝑁𝑃)
omndmul3.4 (𝜑𝑋𝐵)
omndmul3.5 (𝜑0 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omndmul3 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑃 · 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3
StepHypRef Expression
1 omndmul3.o . . 3 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
2 omndmnd 30856 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
4 omndmul.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
5 omndmul3.0 . . . . 5 0 = (0g𝑀)
64, 5mndidcl 17992 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . 3 (𝜑0𝐵)
8 omndmul3.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 omndmul3.2 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
10 omndmul3.3 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑃)
11 nn0sub 11984 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑃 ↔ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0))
1211biimpa 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
138, 9, 10, 12syl21anc 836 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
14 omndmul3.4 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
15 omndmul3.m . . . . 5 · = (.g𝑀)
164, 15mulgnn0cl 18311 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑃𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
173, 13, 14, 16syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑃𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
184, 15mulgnn0cl 18311 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
193, 8, 14, 18syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20 omndmul3.5 . . . 4 (𝜑0 𝑋)
21 omndmul.1 . . . . 5 = (le‘𝑀)
224, 21, 15, 5omndmul2 30864 . . . 4 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 0 𝑋) → 0 ((𝑃𝑁) · 𝑋))
231, 14, 13, 20, 22syl121anc 1372 . . 3 (𝜑0 ((𝑃𝑁) · 𝑋))
24 eqid 2758 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑀)
254, 21, 24omndadd 30858 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0𝐵 ∧ ((𝑃𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ((𝑃𝑁) · 𝑋)) → ( 0 (+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
261, 7, 17, 19, 23, 25syl131anc 1380 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
274, 24, 5mndlid 17997 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
283, 19, 27syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ( 0 (+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
294, 15, 24mulgnn0dir 18324 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (((𝑃𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
303, 13, 8, 14, 29syl13anc 1369 . . 3 (𝜑 → (((𝑃𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
319nn0cnd 11996 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
328nn0cnd 11996 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3331, 32npcand 11039 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
3433oveq1d 7165 . . 3 (𝜑 → (((𝑃𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (𝑃 · 𝑋))
3530, 34eqtr3d 2795 . 2 (𝜑 → (((𝑃𝑁) · 𝑋)(+g𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑃 · 𝑋))
3626, 28, 353brtr3d 5063 1 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑃 · 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   + caddc 10578   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕ0cn0 11934  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  lecple 16630  0gc0g 16771  Mndcmnd 17977  .gcmg 18291  oMndcomnd 30849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-seq 13419  df-0g 16773  df-proset 17604  df-poset 17622  df-toset 17710  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mulg 18292  df-omnd 30851 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator