Theorem omndmul3 20157

Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul3.m	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
omndmul3.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
omndmul3.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
omndmul3.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul3.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omndmul3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndmnd 20149	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4		omndmul.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		omndmul3.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
6	4, 5	mndidcl 18766	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
8		omndmul3.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑀)
9		omndmul3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		omndmul3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
11		omndmul3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
12		nn0sub 12528	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0))
13	12	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15		omndmul3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	4, 8, 3, 14, 15	mulgnn0cld 19120	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
17	4, 8, 3, 9, 15	mulgnn0cld 19120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18		omndmul3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
19		omndmul.1	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
20	4, 19, 8, 5	omndmul2 20156	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
21	1, 15, 14, 18, 20	syl121anc 1393	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	4, 19, 22	omndadd 20151	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
24	1, 7, 16, 17, 21, 23	syl131anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
25	4, 22, 5	mndlid 18771	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
26	3, 17, 25	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
27	4, 8, 22	mulgnn0dir 19129	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
28	3, 14, 9, 15, 27	syl13anc 1390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
29	10	nn0cnd 12541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
30	9	nn0cnd 12541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	npcand 11543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
32	31	oveq1d 7407	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (𝑃 · 𝑋))
33	28, 32	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑃 · 𝑋))
34	24, 26, 33	3brtr3d 5130	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   + caddc 11073   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  lecple 17276  0_gc0g 17451  Mndcmnd 18751  ._gcmg 19092  oMndcomnd 20142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-seq 14012  df-0g 17453  df-proset 18309  df-poset 18328  df-toset 18430  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mulg 19093  df-omnd 20144

This theorem is referenced by: (None)