Theorem omndmul3 20047

Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul3.m	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
omndmul3.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
omndmul3.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
omndmul3.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul3.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omndmul3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Proof of Theorem omndmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndmnd 20039	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4		omndmul.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		omndmul3.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
6	4, 5	mndidcl 18657	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
8		omndmul3.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑀)
9		omndmul3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		omndmul3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
11		omndmul3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
12		nn0sub 12431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑃 ↔ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0))
13	12	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15		omndmul3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	4, 8, 3, 14, 15	mulgnn0cld 19008	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
17	4, 8, 3, 9, 15	mulgnn0cld 19008	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18		omndmul3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
19		omndmul.1	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
20	4, 19, 8, 5	omndmul2 20046	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
21	1, 15, 14, 18, 20	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋))
22		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	4, 19, 22	omndadd 20041	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
24	1, 7, 16, 17, 21, 23	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) ≤ (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
25	4, 22, 5	mndlid 18662	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
26	3, 17, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
27	4, 8, 22	mulgnn0dir 19017	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
28	3, 14, 9, 15, 27	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)))
29	10	nn0cnd 12444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
30	9	nn0cnd 12444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	npcand 11476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑃)
32	31	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (𝑃 · 𝑋))
33	28, 32	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝑀)(𝑁 · 𝑋)) = (𝑃 · 𝑋))
34	24, 26, 33	3brtr3d 5122	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑃 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   + caddc 11009   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  lecple 17168  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642  ._gcmg 18980  oMndcomnd 20032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-toset 18321  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mulg 18981  df-omnd 20034

This theorem is referenced by: (None)