MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0p1 19115
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0p1.t · = (.g𝐺)
mulgnn0p1.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simpl3 1192 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3 mulgnn0p1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0p1.t . . . 4 · = (.g𝐺)
5 mulgnn0p1.p . . . 4 + = (+g𝐺)
63, 4, 5mulgnnp1 19112 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 584 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
8 eqid 2734 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
93, 5, 8mndlid 18779 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
103, 8, 4mulg0 19104 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1211oveq1d 7445 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
133, 4mulg1 19111 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
1413adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
159, 12, 143eqtr4rd 2785 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
16153adant2 1130 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
17 oveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18 1e0p1 12772 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1917, 18eqtr4di 2792 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
2019oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
21 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2221oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2750 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) ↔ (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋)))
2416, 23syl5ibrcom 247 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋)))
2524imp 406 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
26 simp2 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 elnn0 12525 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2826, 27sylib 218 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
297, 25, 28mpjaodan 960 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  .gcmg 19097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mulg 19098
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19128  mulginvcom  19129  mulgneg2  19138  mhmmulg  19145  srgmulgass  20234  srgpcomp  20235  srgpcompp  20236  srgbinomlem4  20246  srgbinomlem  20247  lmodvsmmulgdi  20911  cnfldmulg  21433  cnfldexp  21434  assamulgscmlem2  21937  mplcoe3  22073  mhppwdeg  22171  tmdmulg  24115  clmmulg  25147  omndmul  33073  rprmdvdspow  33540  primrootsunit1  42078  aks6d1c1p6  42095  idomnnzpownz  42113  deg1pow  42122  unitscyglem5  42180  domnexpgn0cl  42509  abvexp  42518  lmodvsmdi  48223
  Copyright terms: Public domain W3C validator