Theorem mulgnn0p1 19019

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0p1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0p1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0p1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0p1	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnn0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mulgnn0p1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0p1.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0p1.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnnp1 19016	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 5, 8	mndlid 18680	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
10	3, 8, 4	mulg0 19008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
12	11	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
13	3, 4	mulg1 19015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
15	9, 12, 14	3eqtr4rd 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
16	15	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
17		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18		1e0p1 12650	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
19	17, 18	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
20	19	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
21		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
22	21	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) ↔ (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋)))
24	16, 23	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋)))
25	24	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
26		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		elnn0 12404	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	26, 27	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
29	7, 25, 28	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  0_gc0g 17360  Mndcmnd 18660  ._gcmg 19001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-seq 13926  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mulg 19002

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19032  mulginvcom  19033  mulgneg2  19042  mhmmulg  19049  omndmul  20068  srgmulgass  20156  srgpcomp  20157  srgpcompp  20158  srgbinomlem4  20168  srgbinomlem  20169  lmodvsmmulgdi  20850  cnfldmulg  21360  cnfldexp  21361  assamulgscmlem2  21857  mplcoe3  21994  mhppwdeg  22094  psdpw  22114  tmdmulg  24035  clmmulg  25046  ringm1expp1  33300  rprmdvdspow  33598  vietalem  33728  primrootsunit1  42528  aks6d1c1p6  42545  idomnnzpownz  42563  deg1pow  42572  unitscyglem5  42630  domnexpgn0cl  42967  abvexp  42976  lmodvsmdi  48813