Theorem mulgnn0p1 19059

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0p1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0p1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0p1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0p1	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnn0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpl3 1200	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mulgnn0p1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0p1.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0p1.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnnp1 19056	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
8		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 5, 8	mndlid 18720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
10	3, 8, 4	mulg0 19048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
12	11	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
13	3, 4	mulg1 19055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
14	13	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
15	9, 12, 14	3eqtr4rd 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
16	15	3adant2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
17		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18		1e0p1 12684	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
19	17, 18	eqtr4di 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
20	19	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
21		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
22	21	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) ↔ (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋)))
24	16, 23	syl5ibrcom 248	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋)))
25	24	imp 407	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
26		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		elnn0 12437	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	26, 27	sylib 219	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
29	7, 25, 28	mpjaodan 966	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  Mndcmnd 18700  ._gcmg 19041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mulg 19042

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19072  mulginvcom  19073  mulgneg2  19082  mhmmulg  19089  omndmul  20108  srgmulgass  20196  srgpcomp  20197  srgpcompp  20198  srgbinomlem4  20208  srgbinomlem  20209  lmodvsmmulgdi  20894  cnfldmulg  21386  cnfldexp  21387  assamulgscmlem2  21882  mplcoe3  22021  mhppwdeg  22145  psdpw  22165  tmdmulg  24082  clmmulg  25093  ringm1expp1  33322  rprmdvdspow  33623  vietalem  33770  primrootsunit1  42583  aks6d1c1p6  42600  idomnnzpownz  42618  deg1pow  42627  unitscyglem5  42685  domnexpgn0cl  43010  abvexp  43019  lmodvsmdi  48871