Theorem mulgnn0p1 18990

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0p1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0p1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0p1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0p1	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnn0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mulgnn0p1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0p1.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0p1.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnnp1 18987	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
8		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 5, 8	mndlid 18654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
10	3, 8, 4	mulg0 18979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
12	11	oveq1d 7356	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
13	3, 4	mulg1 18986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
15	9, 12, 14	3eqtr4rd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
16	15	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
17		oveq1 7348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18		1e0p1 12622	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
19	17, 18	eqtr4di 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
20	19	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
21		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
22	21	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) ↔ (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋)))
24	16, 23	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋)))
25	24	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
26		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		elnn0 12375	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	26, 27	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
29	7, 25, 28	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  0_gc0g 17335  Mndcmnd 18634  ._gcmg 18972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-seq 13901  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mulg 18973

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  19003  mulginvcom  19004  mulgneg2  19013  mhmmulg  19020  omndmul  20040  srgmulgass  20128  srgpcomp  20129  srgpcompp  20130  srgbinomlem4  20140  srgbinomlem  20141  lmodvsmmulgdi  20823  cnfldmulg  21333  cnfldexp  21334  assamulgscmlem2  21830  mplcoe3  21966  mhppwdeg  22058  psdpw  22078  tmdmulg  24000  clmmulg  25021  rprmdvdspow  33488  primrootsunit1  42109  aks6d1c1p6  42126  idomnnzpownz  42144  deg1pow  42153  unitscyglem5  42211  domnexpgn0cl  42535  abvexp  42544  lmodvsmdi  48389