![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgnn0z | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0z.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnn0z.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnn0z.o | โข 0 = (0gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0z | โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnn0 12478 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
2 | id 22 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
3 | mulgnn0z.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
4 | mulgnn0z.o | . . . . . 6 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
5 | 3, 4 | mndidcl 18682 | . . . . 5 โข (๐บ โ Mnd โ 0 โ ๐ต) |
6 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (+gโ๐บ) = (+gโ๐บ) | |
7 | mulgnn0z.t | . . . . . 6 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
8 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 })) = seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 })) | |
9 | 3, 6, 7, 8 | mulgnn 19003 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง 0 โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = (seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 }))โ๐)) |
10 | 2, 5, 9 | syl2anr 596 | . . . 4 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท 0 ) = (seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 }))โ๐)) |
11 | 3, 6, 4 | mndlid 18687 | . . . . . . 7 โข ((๐บ โ Mnd โง 0 โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐บ) 0 ) = 0 ) |
12 | 5, 11 | mpdan 684 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Mnd โ ( 0 (+gโ๐บ) 0 ) = 0 ) |
13 | 12 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ ( 0 (+gโ๐บ) 0 ) = 0 ) |
14 | simpr 484 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) | |
15 | nnuz 12869 | . . . . . 6 โข โ = (โคโฅโ1) | |
16 | 14, 15 | eleqtrdi 2837 | . . . . 5 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
17 | 5 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ 0 โ ๐ต) |
18 | elfznn 13536 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (1...๐) โ ๐ฅ โ โ) | |
19 | fvconst2g 7199 | . . . . . 6 โข (( 0 โ ๐ต โง ๐ฅ โ โ) โ ((โ ร { 0 })โ๐ฅ) = 0 ) | |
20 | 17, 18, 19 | syl2an 595 | . . . . 5 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โง ๐ฅ โ (1...๐)) โ ((โ ร { 0 })โ๐ฅ) = 0 ) |
21 | 13, 16, 20 | seqid3 14017 | . . . 4 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ (seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 }))โ๐) = 0 ) |
22 | 10, 21 | eqtrd 2766 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
23 | oveq1 7412 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ (๐ ยท 0 ) = (0 ยท 0 )) | |
24 | 3, 4, 7 | mulg0 19002 | . . . . 5 โข ( 0 โ ๐ต โ (0 ยท 0 ) = 0 ) |
25 | 5, 24 | syl 17 | . . . 4 โข (๐บ โ Mnd โ (0 ยท 0 ) = 0 ) |
26 | 23, 25 | sylan9eqr 2788 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ = 0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
27 | 22, 26 | jaodan 954 | . 2 โข ((๐บ โ Mnd โง (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
28 | 1, 27 | sylan2b 593 | 1 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โจ wo 844 = wceq 1533 โ wcel 2098 {csn 4623 ร cxp 5667 โcfv 6537 (class class class)co 7405 0cc0 11112 1c1 11113 โcn 12216 โ0cn0 12476 โคโฅcuz 12826 ...cfz 13490 seqcseq 13972 Basecbs 17153 +gcplusg 17206 0gc0g 17394 Mndcmnd 18667 .gcmg 18995 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-fz 13491 df-seq 13973 df-0g 17396 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mulg 18996 |
This theorem is referenced by: mulgz 19029 mulgnn0ass 19037 odmodnn0 19460 mulgmhm 19747 srg1expzeq1 20130 psdmplcl 22045 lply1binomsc 22185 tsmsxp 24014 frobrhm 32884 aks6d1c1p6 41491 aks6d1c2lem3 41502 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |