Theorem mulgnn0z 19132

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12526	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	3, 4	mndidcl 18775	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 19106	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
10	2, 5, 9	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
11	3, 6, 4	mndlid 18780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
12	5, 11	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 12919	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ 𝐵)
18		elfznn 13590	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19		fvconst2g 7222	. . . . . 6 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
21	13, 16, 20	seqid3 14084	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
22	10, 21	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
24	3, 4, 7	mulg0 19105	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
25	5, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
26	23, 25	sylan9eqr 2797	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27	22, 26	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
28	1, 27	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Mndcmnd 18760  ._gcmg 19098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mulg 19099

This theorem is referenced by:  mulgz  19133  mulgnn0ass  19141  odmodnn0  19573  mulgmhm  19860  srg1expzeq1  20243  frobrhm  21612  psdmplcl  22184  lply1binomsc  22331  tsmsxp  24179  aks6d1c1p6  42096  aks6d1c2lem3  42108