Theorem mulgnn0z 19009

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12420	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	3, 4	mndidcl 18652	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 18983	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
10	2, 5, 9	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
11	3, 6, 4	mndlid 18657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
12	5, 11	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 12812	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ 𝐵)
18		elfznn 13490	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19		fvconst2g 7158	. . . . . 6 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
21	13, 16, 20	seqid3 13987	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
22	10, 21	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
24	3, 4, 7	mulg0 18982	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
25	5, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
26	23, 25	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27	22, 26	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
28	1, 27	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  seqcseq 13942  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378  Mndcmnd 18637  ._gcmg 18975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mulg 18976

This theorem is referenced by:  mulgz  19010  mulgnn0ass  19018  odmodnn0  19446  mulgmhm  19733  srg1expzeq1  20110  frobrhm  21461  psdmplcl  22025  psdmvr  22032  lply1binomsc  22174  tsmsxp  24018  aks6d1c1p6  42075  aks6d1c2lem3  42087