Theorem mulgnn0z 19163

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12502	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	3, 4	mndidcl 18803	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
6		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 19137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
10	2, 5, 9	syl2anr 608	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
11	3, 6, 4	mndlid 18808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
12	5, 11	mpdan 699	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 12897	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2879	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ 𝐵)
18		elfznn 13577	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19		fvconst2g 7198	. . . . . 6 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
20	17, 18, 19	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
21	13, 16, 20	seqid3 14078	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
22	10, 21	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
24	3, 4, 7	mulg0 19136	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
25	5, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
26	23, 25	sylan9eqr 2826	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27	22, 26	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
28	1, 27	sylan2b 605	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4591   × cxp 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  seqcseq 14033  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  0_gc0g 17488  Mndcmnd 18788  ._gcmg 19129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-seq 14034  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mulg 19130

This theorem is referenced by:  mulgz  19164  mulgnn0ass  19172  odmodnn0  19606  mulgmhm  19893  srg1expzeq1  20303  frobrhm  21690  psdmplcl  22290  psdmvr  22297  lply1binomsc  22436  tsmsxp  24277  aks6d1c1p6  42766  aks6d1c2lem3  42778