![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgnn0z | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0z.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnn0z.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnn0z.o | โข 0 = (0gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0z | โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnn0 12514 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
2 | id 22 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
3 | mulgnn0z.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
4 | mulgnn0z.o | . . . . . 6 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
5 | 3, 4 | mndidcl 18718 | . . . . 5 โข (๐บ โ Mnd โ 0 โ ๐ต) |
6 | eqid 2728 | . . . . . 6 โข (+gโ๐บ) = (+gโ๐บ) | |
7 | mulgnn0z.t | . . . . . 6 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
8 | eqid 2728 | . . . . . 6 โข seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 })) = seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 })) | |
9 | 3, 6, 7, 8 | mulgnn 19045 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง 0 โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = (seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 }))โ๐)) |
10 | 2, 5, 9 | syl2anr 595 | . . . 4 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท 0 ) = (seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 }))โ๐)) |
11 | 3, 6, 4 | mndlid 18723 | . . . . . . 7 โข ((๐บ โ Mnd โง 0 โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐บ) 0 ) = 0 ) |
12 | 5, 11 | mpdan 685 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Mnd โ ( 0 (+gโ๐บ) 0 ) = 0 ) |
13 | 12 | adantr 479 | . . . . 5 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ ( 0 (+gโ๐บ) 0 ) = 0 ) |
14 | simpr 483 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) | |
15 | nnuz 12905 | . . . . . 6 โข โ = (โคโฅโ1) | |
16 | 14, 15 | eleqtrdi 2839 | . . . . 5 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
17 | 5 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ 0 โ ๐ต) |
18 | elfznn 13572 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (1...๐) โ ๐ฅ โ โ) | |
19 | fvconst2g 7220 | . . . . . 6 โข (( 0 โ ๐ต โง ๐ฅ โ โ) โ ((โ ร { 0 })โ๐ฅ) = 0 ) | |
20 | 17, 18, 19 | syl2an 594 | . . . . 5 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โง ๐ฅ โ (1...๐)) โ ((โ ร { 0 })โ๐ฅ) = 0 ) |
21 | 13, 16, 20 | seqid3 14053 | . . . 4 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ (seq1((+gโ๐บ), (โ ร { 0 }))โ๐) = 0 ) |
22 | 10, 21 | eqtrd 2768 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
23 | oveq1 7433 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ (๐ ยท 0 ) = (0 ยท 0 )) | |
24 | 3, 4, 7 | mulg0 19044 | . . . . 5 โข ( 0 โ ๐ต โ (0 ยท 0 ) = 0 ) |
25 | 5, 24 | syl 17 | . . . 4 โข (๐บ โ Mnd โ (0 ยท 0 ) = 0 ) |
26 | 23, 25 | sylan9eqr 2790 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ = 0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
27 | 22, 26 | jaodan 955 | . 2 โข ((๐บ โ Mnd โง (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
28 | 1, 27 | sylan2b 592 | 1 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โจ wo 845 = wceq 1533 โ wcel 2098 {csn 4632 ร cxp 5680 โcfv 6553 (class class class)co 7426 0cc0 11148 1c1 11149 โcn 12252 โ0cn0 12512 โคโฅcuz 12862 ...cfz 13526 seqcseq 14008 Basecbs 17189 +gcplusg 17242 0gc0g 17430 Mndcmnd 18703 .gcmg 19037 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-cnex 11204 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7879 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-er 8733 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-nn 12253 df-n0 12513 df-z 12599 df-uz 12863 df-fz 13527 df-seq 14009 df-0g 17432 df-mgm 18609 df-sgrp 18688 df-mnd 18704 df-mulg 19038 |
This theorem is referenced by: mulgz 19071 mulgnn0ass 19079 odmodnn0 19509 mulgmhm 19796 srg1expzeq1 20179 psdmplcl 22104 lply1binomsc 22249 tsmsxp 24087 frobrhm 32969 aks6d1c1p6 41625 aks6d1c2lem3 41637 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |