MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0z 18365
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t · = (.g𝐺)
mulgnn0z.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11971 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3 mulgnn0z.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
53, 4mndidcl 18035 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
6 eqid 2738 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 mulgnn0z.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
8 eqid 2738 . . . . . 6 seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))
93, 6, 7, 8mulgnn 18343 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
102, 5, 9syl2anr 600 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
113, 6, 4mndlid 18040 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
125, 11mpdan 687 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
14 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nnuz 12356 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15eleqtrdi 2843 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
175adantr 484 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0𝐵)
18 elfznn 13020 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 6968 . . . . . 6 (( 0𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2017, 18, 19syl2an 599 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2113, 16, 20seqid3 13499 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
2210, 21eqtrd 2773 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23 oveq1 7171 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
243, 4, 7mulg0 18342 . . . . 5 ( 0𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
255, 24syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
2623, 25sylan9eqr 2795 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
2722, 26jaodan 957 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
281, 27sylan2b 597 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2113  {csn 4513   × cxp 5517  cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609  cn 11709  0cn0 11969  cuz 12317  ...cfz 12974  seqcseq 13453  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  0gc0g 16809  Mndcmnd 18020  .gcmg 18335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-seq 13454  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mulg 18336
This theorem is referenced by:  mulgz  18366  mulgnn0ass  18374  odmodnn0  18779  mulgmhm  19060  srg1expzeq1  19401  lply1binomsc  21075  tsmsxp  22899  frobrhm  31054
  Copyright terms: Public domain W3C validator