MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0z 19070
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnn0z.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnn0z.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ ยท 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12514 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 id 22 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 mulgnn0z.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐บ)
53, 4mndidcl 18718 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
7 mulgnn0z.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
8 eqid 2728 . . . . . 6 seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— { 0 })) = seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— { 0 }))
93, 6, 7, 8mulgnn 19045 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท 0 ) = (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— { 0 }))โ€˜๐‘))
102, 5, 9syl2anr 595 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท 0 ) = (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— { 0 }))โ€˜๐‘))
113, 6, 4mndlid 18723 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐บ) 0 ) = 0 )
125, 11mpdan 685 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐บ) 0 ) = 0 )
1312adantr 479 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐บ) 0 ) = 0 )
14 simpr 483 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
15 nnuz 12905 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1614, 15eleqtrdi 2839 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
175adantr 479 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
18 elfznn 13572 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
19 fvconst2g 7220 . . . . . 6 (( 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— { 0 })โ€˜๐‘ฅ) = 0 )
2017, 18, 19syl2an 594 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— { 0 })โ€˜๐‘ฅ) = 0 )
2113, 16, 20seqid3 14053 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— { 0 }))โ€˜๐‘) = 0 )
2210, 21eqtrd 2768 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท 0 ) = 0 )
23 oveq1 7433 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท 0 ) = (0 ยท 0 ))
243, 4, 7mulg0 19044 . . . . 5 ( 0 โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท 0 ) = 0 )
255, 24syl 17 . . . 4 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ (0 ยท 0 ) = 0 )
2623, 25sylan9eqr 2790 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท 0 ) = 0 )
2722, 26jaodan 955 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘ ยท 0 ) = 0 )
281, 27sylan2b 592 1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ ยท 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {csn 4632   ร— cxp 5680  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  โ„คโ‰ฅcuz 12862  ...cfz 13526  seqcseq 14008  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  0gc0g 17430  Mndcmnd 18703  .gcmg 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-seq 14009  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mulg 19038
This theorem is referenced by:  mulgz  19071  mulgnn0ass  19079  odmodnn0  19509  mulgmhm  19796  srg1expzeq1  20179  psdmplcl  22104  lply1binomsc  22249  tsmsxp  24087  frobrhm  32969  aks6d1c1p6  41625  aks6d1c2lem3  41637
  Copyright terms: Public domain W3C validator