Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0z 18246
 Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t · = (.g𝐺)
mulgnn0z.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11891 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3 mulgnn0z.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
53, 4mndidcl 17918 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
6 eqid 2819 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 mulgnn0z.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
8 eqid 2819 . . . . . 6 seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))
93, 6, 7, 8mulgnn 18224 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
102, 5, 9syl2anr 598 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
113, 6, 4mndlid 17923 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
125, 11mpdan 685 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1312adantr 483 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
14 simpr 487 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nnuz 12273 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15eleqtrdi 2921 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
175adantr 483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0𝐵)
18 elfznn 12928 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 6957 . . . . . 6 (( 0𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2017, 18, 19syl2an 597 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2113, 16, 20seqid3 13406 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
2210, 21eqtrd 2854 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23 oveq1 7155 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
243, 4, 7mulg0 18223 . . . . 5 ( 0𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
255, 24syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
2623, 25sylan9eqr 2876 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
2722, 26jaodan 954 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
281, 27sylan2b 595 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {csn 4559   × cxp 5546  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12884  seqcseq 13361  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  Mndcmnd 17903  .gcmg 18216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mulg 18217 This theorem is referenced by:  mulgz  18247  mulgnn0ass  18255  odmodnn0  18660  mulgmhm  18940  srg1expzeq1  19281  lply1binomsc  20467  tsmsxp  22755
 Copyright terms: Public domain W3C validator