Theorem mulgnn0z 19317

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12612	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	3, 4	mndidcl 18945	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 19291	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
10	2, 5, 9	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
11	3, 6, 4	mndlid 18950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
12	5, 11	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 13008	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ 𝐵)
18		elfznn 13691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19		fvconst2g 7209	. . . . . 6 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
20	17, 18, 19	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
21	13, 16, 20	seqid3 14193	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
22	10, 21	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23		oveq1 7428	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
24	3, 4, 7	mulg0 19290	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
25	5, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
26	23, 25	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27	22, 26	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
28	1, 27	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584   × cxp 5648  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643  seqcseq 14148  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  Mndcmnd 18929  ._gcmg 19283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-seq 14149  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mulg 19284

This theorem is used by:  mulgz  19318  mulgnn0ass  19326  odmodnn0  19760  mulgmhm  20047  srg1expzeq1  20457  frobrhm  21887  psdmplcl  22489  psdmvr  22496  lply1binomsc  22635  tsmsxp  24480  aks6d1c1p6  43258  aks6d1c2lem3  43270