MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0z 18192
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t · = (.g𝐺)
mulgnn0z.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11887 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3 mulgnn0z.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
53, 4mndidcl 17914 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
6 eqid 2818 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 mulgnn0z.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
8 eqid 2818 . . . . . 6 seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))
93, 6, 7, 8mulgnn 18170 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
102, 5, 9syl2anr 596 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
113, 6, 4mndlid 17919 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
125, 11mpdan 683 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
14 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nnuz 12269 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15eleqtrdi 2920 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
175adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0𝐵)
18 elfznn 12924 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 6956 . . . . . 6 (( 0𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2017, 18, 19syl2an 595 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2113, 16, 20seqid3 13402 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
2210, 21eqtrd 2853 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23 oveq1 7152 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
243, 4, 7mulg0 18169 . . . . 5 ( 0𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
255, 24syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
2623, 25sylan9eqr 2875 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
2722, 26jaodan 951 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
281, 27sylan2b 593 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  cn 11626  0cn0 11885  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899  .gcmg 18162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mulg 18163
This theorem is referenced by:  mulgz  18193  mulgnn0ass  18201  odmodnn0  18597  mulgmhm  18877  srg1expzeq1  19218  lply1binomsc  20403  tsmsxp  22690
  Copyright terms: Public domain W3C validator