dquartlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dquartlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem dquartlem2 26841

Description: Lemma for dquart 26842. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dquart.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
dquart.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2	⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3	⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
dquartlem2	⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

**Proof of Theorem dquartlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dquart.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
2		2cn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		dquart.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
4		mulcl 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 14104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
7	1, 6	eqeltrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8		dquart.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcld 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 12283	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
13	9, 10, 12	sqdivd 14119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)))
14		sq2 14157	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
15	14	oveq2i 7374	. . . 4 ⊢ (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4)
16	13, 15	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4))
17	16	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
18	9	sqcld 14104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
19		4cn 12264	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21		4ne0 12287	. . . . . 6 ⊢ 4 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
23	18, 20, 22	divcld 11929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) ∈ ℂ)
24		dquart.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	sqcld 14104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
26	25, 20, 22	divcld 11929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
27		dquart.m0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
28	26, 7, 27	divcld 11929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
29	23, 28	subcld 11503	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
30		dquart.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	23, 28, 7	subdird 11605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)))
32	18, 7, 20, 22	div23d 11966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀))
33	32	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4))
34	26, 7, 27	divcan1d 11930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀) = ((𝐶↑2) / 4))
35	33, 34	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
36		binom2 14177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
37	7, 8, 36	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
38	37	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀))
39	7	sqcld 14104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
40	7, 8	mulcld 11163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ)
41		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
42	2, 40, 41	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
43	39, 42	addcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) ∈ ℂ)
44	8	sqcld 14104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44, 7	adddird 11168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
46	39, 42, 7	adddird 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)))
47		df-3 12243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
48	47	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀↑3) = (𝑀↑(2 + 1))
49		2nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
50		expp1 14028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
51	7, 49, 50	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
52	48, 51	eqtr2id 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
53		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
54	2, 8, 53	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
55	54, 7, 7	mulassd 11166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
56	10, 7, 8	mulassd 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = (2 · (𝑀 · 𝐵)))
57	10, 7, 8	mul32d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
58	56, 57	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
59	58	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀))
60	7	sqvald 14103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
61	60	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
62	55, 59, 61	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)))
63	52, 62	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
64	46, 63	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
65	64	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
66	38, 45, 65	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
67	66	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
68		3nn0 12453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
69		expcl 14039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
70	7, 68, 69	sylancl 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
71	54, 39	mulcld 11163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
72	70, 71	addcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
73	44, 7	mulcld 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
74		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
75	19, 30, 74	sylancr 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
76	75, 7	mulcld 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ)
77	72, 73, 76	addsubassd 11523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
78	44, 75, 7	subdird 11605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) = (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
79	78	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
80	77, 79	eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)))
81	44, 75	subcld 11503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) ∈ ℂ)
82	81, 7	mulcld 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) ∈ ℂ)
83	72, 82	addcld 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) ∈ ℂ)
84	25	negcld 11490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -(𝐶↑2) ∈ ℂ)
85	72, 82, 84	addassd 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))))
86	83, 25	negsubd 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)))
87		dquart.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
88	85, 86, 87	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)) = 0)
89	83, 25, 88	subeq0d 11511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
90	67, 80, 89	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
91	18, 7	mulcld 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
92		subsub23 11396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℂ) → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
93	91, 76, 25, 92	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
94	90, 93	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀))
95	20, 30, 7	mulassd 11166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
96	94, 95	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
97	96	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4))
98	91, 25, 20, 22	divsubdird 11968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
99	30, 7	mulcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑀) ∈ ℂ)
100	99, 20, 22	divcan3d 11934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4) = (𝐷 · 𝑀))
101	97, 98, 100	3eqtr3d 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)) = (𝐷 · 𝑀))
102	31, 35, 101	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (𝐷 · 𝑀))
103	29, 30, 7, 27, 102	mulcan2ad 11784	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
104	17, 103	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 207 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2935 (class class class)co 7363 ℂcc 11034 0cc0 11036 1c1 11037 + caddc 11039 · cmul 11041 − cmin 11375 -cneg 11376 / cdiv 11805 2c2 12234 3c3 12235 4c4 12236 ℕ₀cn0 12435 ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-op 4569 df-uni 4846 df-iun 4930 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-om 7814 df-2nd 7939 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-er 8640 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-4 12244 df-n0 12436 df-z 12523 df-uz 12787 df-seq 13962 df-exp 14022

This theorem is referenced by: dquart 26842

W3C validator