MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dquartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dquartlem2 26218
Description: Lemma for dquart 26219. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
dquart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dquart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dquart.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
dquart.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
dquart.m0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
dquart.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
dquart.i2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
dquart.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
dquart.3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) + -(๐ถโ†‘2))) = 0)
Assertion
Ref Expression
dquartlem2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ๐ท)

Proof of Theorem dquartlem2
StepHypRef Expression
1 dquart.m . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
2 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
3 dquart.s . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
65sqcld 14056 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
71, 6eqeltrd 2838 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 dquart.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
97, 8addcld 11181 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
102a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
11 2ne0 12264 . . . . . 6 2 โ‰  0
1211a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
139, 10, 12sqdivd 14071 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) = (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / (2โ†‘2)))
14 sq2 14108 . . . . 5 (2โ†‘2) = 4
1514oveq2i 7373 . . . 4 (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / (2โ†‘2)) = (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4)
1613, 15eqtrdi 2793 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) = (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4))
1716oveq1d 7377 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))
189sqcld 14056 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
19 4cn 12245 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
2019a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
21 4ne0 12268 . . . . . 6 4 โ‰  0
2221a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
2318, 20, 22divcld 11938 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆˆ โ„‚)
24 dquart.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2524sqcld 14056 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2625, 20, 22divcld 11938 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) / 4) โˆˆ โ„‚)
27 dquart.m0 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
2826, 7, 27divcld 11938 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2923, 28subcld 11519 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
30 dquart.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3123, 28, 7subdird 11619 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) ยท ๐‘€) = (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) ยท ๐‘€) โˆ’ ((((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) ยท ๐‘€)))
3218, 7, 20, 22div23d 11975 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4) = ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) ยท ๐‘€))
3332eqcomd 2743 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) ยท ๐‘€) = ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4))
3426, 7, 27divcan1d 11939 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ถโ†‘2) / 4))
3533, 34oveq12d 7380 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) ยท ๐‘€) โˆ’ ((((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) ยท ๐‘€)) = (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) / 4)))
36 binom2 14128 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
377, 8, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
3837oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) = ((((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐‘€))
397sqcld 14056 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
407, 8mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
41 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
422, 40, 41sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4339, 42addcld 11181 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
448sqcld 14056 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4543, 44, 7adddird 11187 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐‘€) = ((((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) ยท ๐‘€) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)))
4639, 42, 7adddird 11187 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) ยท ๐‘€) = (((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€) + ((2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) ยท ๐‘€)))
47 df-3 12224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
4847oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€โ†‘3) = (๐‘€โ†‘(2 + 1))
49 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„•0
50 expp1 13981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(2 + 1)) = ((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€))
517, 49, 50sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘(2 + 1)) = ((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€))
5248, 51eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€) = (๐‘€โ†‘3))
53 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
542, 8, 53sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5554, 7, 7mulassd 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘€) ยท ๐‘€) = ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€ ยท ๐‘€)))
5610, 7, 8mulassd 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘€) ยท ๐ต) = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)))
5710, 7, 8mul32d 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘€) ยท ๐ต) = ((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘€))
5856, 57eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) = ((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘€))
5958oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) ยท ๐‘€) = (((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘€) ยท ๐‘€))
607sqvald 14055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
6160oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2)) = ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€ ยท ๐‘€)))
6255, 59, 613eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) ยท ๐‘€) = ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2)))
6352, 62oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€) + ((2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) ยท ๐‘€)) = ((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))))
6446, 63eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) ยท ๐‘€) = ((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))))
6564oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) ยท ๐‘€) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)))
6638, 45, 653eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)))
6766oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)))
68 3nn0 12438 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„•0
69 expcl 13992 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
707, 68, 69sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
7154, 39mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7270, 71addcld 11181 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
7344, 7mulcld 11182 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
74 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7519, 30, 74sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7675, 7mulcld 11182 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
7772, 73, 76addsubassd 11539 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€))))
7844, 75, 7subdird 11619 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)))
7978oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€))))
8077, 79eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)))
8144, 75subcld 11519 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
8281, 7mulcld 11182 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
8372, 82addcld 11181 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
8425negcld 11506 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -(๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8572, 82, 84addassd 11184 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) + -(๐ถโ†‘2)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) + -(๐ถโ†‘2))))
8683, 25negsubd 11525 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) + -(๐ถโ†‘2)) = ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
87 dquart.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) + -(๐ถโ†‘2))) = 0)
8885, 86, 873eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = 0)
8983, 25, 88subeq0d 11527 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) = (๐ถโ†‘2))
9067, 80, 893eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (๐ถโ†‘2))
9118, 7mulcld 11182 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
92 subsub23 11413 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (๐ถโ†‘2) โ†” ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)))
9391, 76, 25, 92syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (๐ถโ†‘2) โ†” ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€))
9520, 30, 7mulassd 11185 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€) = (4 ยท (๐ท ยท ๐‘€)))
9694, 95eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = (4 ยท (๐ท ยท ๐‘€)))
9796oveq1d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) / 4) = ((4 ยท (๐ท ยท ๐‘€)) / 4))
9891, 25, 20, 22divsubdird 11977 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) / 4) = (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) / 4)))
9930, 7mulcld 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
10099, 20, 22divcan3d 11943 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((4 ยท (๐ท ยท ๐‘€)) / 4) = (๐ท ยท ๐‘€))
10197, 98, 1003eqtr3d 2785 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) / 4)) = (๐ท ยท ๐‘€))
10231, 35, 1013eqtrd 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) ยท ๐‘€) = (๐ท ยท ๐‘€))
10329, 30, 7, 27, 102mulcan2ad 11798 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ๐ท)
10417, 103eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  dquart  26219
  Copyright terms: Public domain W3C validator