MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dquartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dquartlem2 26739
Description: Lemma for dquart 26740. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
dquart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dquart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dquart.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
dquart.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
dquart.m0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
dquart.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
dquart.i2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
dquart.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
dquart.3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) + -(๐ถโ†‘2))) = 0)
Assertion
Ref Expression
dquartlem2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ๐ท)

Proof of Theorem dquartlem2
StepHypRef Expression
1 dquart.m . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
2 2cn 12291 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
3 dquart.s . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11196 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
65sqcld 14114 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
71, 6eqeltrd 2827 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 dquart.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
97, 8addcld 11237 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
102a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
11 2ne0 12320 . . . . . 6 2 โ‰  0
1211a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
139, 10, 12sqdivd 14129 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) = (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / (2โ†‘2)))
14 sq2 14166 . . . . 5 (2โ†‘2) = 4
1514oveq2i 7416 . . . 4 (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / (2โ†‘2)) = (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4)
1613, 15eqtrdi 2782 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) = (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4))
1716oveq1d 7420 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))
189sqcld 14114 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
19 4cn 12301 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
2019a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
21 4ne0 12324 . . . . . 6 4 โ‰  0
2221a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
2318, 20, 22divcld 11994 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆˆ โ„‚)
24 dquart.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2524sqcld 14114 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2625, 20, 22divcld 11994 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) / 4) โˆˆ โ„‚)
27 dquart.m0 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
2826, 7, 27divcld 11994 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2923, 28subcld 11575 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
30 dquart.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3123, 28, 7subdird 11675 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) ยท ๐‘€) = (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) ยท ๐‘€) โˆ’ ((((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) ยท ๐‘€)))
3218, 7, 20, 22div23d 12031 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4) = ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) ยท ๐‘€))
3332eqcomd 2732 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) ยท ๐‘€) = ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4))
3426, 7, 27divcan1d 11995 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ((๐ถโ†‘2) / 4))
3533, 34oveq12d 7423 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) ยท ๐‘€) โˆ’ ((((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) ยท ๐‘€)) = (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) / 4)))
36 binom2 14186 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
377, 8, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
3837oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) = ((((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐‘€))
397sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
407, 8mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
41 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
422, 40, 41sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4339, 42addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
448sqcld 14114 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4543, 44, 7adddird 11243 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐‘€) = ((((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) ยท ๐‘€) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)))
4639, 42, 7adddird 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) ยท ๐‘€) = (((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€) + ((2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) ยท ๐‘€)))
47 df-3 12280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
4847oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€โ†‘3) = (๐‘€โ†‘(2 + 1))
49 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„•0
50 expp1 14039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(2 + 1)) = ((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€))
517, 49, 50sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘(2 + 1)) = ((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€))
5248, 51eqtr2id 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€) = (๐‘€โ†‘3))
53 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
542, 8, 53sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5554, 7, 7mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘€) ยท ๐‘€) = ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€ ยท ๐‘€)))
5610, 7, 8mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘€) ยท ๐ต) = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)))
5710, 7, 8mul32d 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘€) ยท ๐ต) = ((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘€))
5856, 57eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) = ((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘€))
5958oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) ยท ๐‘€) = (((2 ยท ๐ต) ยท ๐‘€) ยท ๐‘€))
607sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
6160oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2)) = ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€ ยท ๐‘€)))
6255, 59, 613eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) ยท ๐‘€) = ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2)))
6352, 62oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) ยท ๐‘€) + ((2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต)) ยท ๐‘€)) = ((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))))
6446, 63eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) ยท ๐‘€) = ((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))))
6564oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) + (2 ยท (๐‘€ ยท ๐ต))) ยท ๐‘€) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)))
6638, 45, 653eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)))
6766oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)))
68 3nn0 12494 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„•0
69 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
707, 68, 69sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
7154, 39mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7270, 71addcld 11237 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
7344, 7mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
74 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7519, 30, 74sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7675, 7mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
7772, 73, 76addsubassd 11595 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€))))
7844, 75, 7subdird 11675 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)))
7978oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€))))
8077, 79eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐‘€)) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)))
8144, 75subcld 11575 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
8281, 7mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
8372, 82addcld 11237 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
8425negcld 11562 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -(๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8572, 82, 84addassd 11240 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) + -(๐ถโ†‘2)) = (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) + -(๐ถโ†‘2))))
8683, 25negsubd 11581 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) + -(๐ถโ†‘2)) = ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
87 dquart.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) + -(๐ถโ†‘2))) = 0)
8885, 86, 873eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = 0)
8983, 25, 88subeq0d 11583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€)) = (๐ถโ†‘2))
9067, 80, 893eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (๐ถโ†‘2))
9118, 7mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
92 subsub23 11469 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (๐ถโ†‘2) โ†” ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)))
9391, 76, 25, 92syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)) = (๐ถโ†‘2) โ†” ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€))
9520, 30, 7mulassd 11241 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((4 ยท ๐ท) ยท ๐‘€) = (4 ยท (๐ท ยท ๐‘€)))
9694, 95eqtrd 2766 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = (4 ยท (๐ท ยท ๐‘€)))
9796oveq1d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) / 4) = ((4 ยท (๐ท ยท ๐‘€)) / 4))
9891, 25, 20, 22divsubdird 12033 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) / 4) = (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) / 4)))
9930, 7mulcld 11238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
10099, 20, 22divcan3d 11999 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((4 ยท (๐ท ยท ๐‘€)) / 4) = (๐ท ยท ๐‘€))
10197, 98, 1003eqtr3d 2774 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐‘€) / 4) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) / 4)) = (๐ท ยท ๐‘€))
10231, 35, 1013eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) ยท ๐‘€) = (๐ท ยท ๐‘€))
10329, 30, 7, 27, 102mulcan2ad 11854 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต)โ†‘2) / 4) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ๐ท)
10417, 103eqtrd 2766 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  dquart  26740
  Copyright terms: Public domain W3C validator