dquartlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dquartlem2 26818

Description: Lemma for dquart 26819. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dquart.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
dquart.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2	⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3	⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
dquartlem2	⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

**Proof of Theorem dquartlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dquart.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
2		2cn 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		dquart.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
4		mulcl 11110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 14067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
7	1, 6	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8		dquart.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcld 11151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 12249	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
13	9, 10, 12	sqdivd 14082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)))
14		sq2 14120	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
15	14	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4)
16	13, 15	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4))
17	16	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
18	9	sqcld 14067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
19		4cn 12230	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21		4ne0 12253	. . . . . 6 ⊢ 4 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
23	18, 20, 22	divcld 11917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) ∈ ℂ)
24		dquart.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	sqcld 14067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
26	25, 20, 22	divcld 11917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
27		dquart.m0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
28	26, 7, 27	divcld 11917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
29	23, 28	subcld 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
30		dquart.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	23, 28, 7	subdird 11594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)))
32	18, 7, 20, 22	div23d 11954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀))
33	32	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4))
34	26, 7, 27	divcan1d 11918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀) = ((𝐶↑2) / 4))
35	33, 34	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
36		binom2 14140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
37	7, 8, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
38	37	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀))
39	7	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
40	7, 8	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ)
41		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
42	2, 40, 41	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
43	39, 42	addcld 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) ∈ ℂ)
44	8	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44, 7	adddird 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
46	39, 42, 7	adddird 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)))
47		df-3 12209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
48	47	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀↑3) = (𝑀↑(2 + 1))
49		2nn0 12418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
50		expp1 13991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
51	7, 49, 50	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
52	48, 51	eqtr2id 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
53		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
54	2, 8, 53	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
55	54, 7, 7	mulassd 11155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
56	10, 7, 8	mulassd 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = (2 · (𝑀 · 𝐵)))
57	10, 7, 8	mul32d 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
58	56, 57	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
59	58	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀))
60	7	sqvald 14066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
61	60	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
62	55, 59, 61	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)))
63	52, 62	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
64	46, 63	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
65	64	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
66	38, 45, 65	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
67	66	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
68		3nn0 12419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
69		expcl 14002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
70	7, 68, 69	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
71	54, 39	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
72	70, 71	addcld 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
73	44, 7	mulcld 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
74		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
75	19, 30, 74	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
76	75, 7	mulcld 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ)
77	72, 73, 76	addsubassd 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
78	44, 75, 7	subdird 11594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) = (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
79	78	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
80	77, 79	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)))
81	44, 75	subcld 11492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) ∈ ℂ)
82	81, 7	mulcld 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) ∈ ℂ)
83	72, 82	addcld 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) ∈ ℂ)
84	25	negcld 11479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -(𝐶↑2) ∈ ℂ)
85	72, 82, 84	addassd 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))))
86	83, 25	negsubd 11498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)))
87		dquart.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
88	85, 86, 87	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)) = 0)
89	83, 25, 88	subeq0d 11500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
90	67, 80, 89	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
91	18, 7	mulcld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
92		subsub23 11385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℂ) → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
93	91, 76, 25, 92	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
94	90, 93	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀))
95	20, 30, 7	mulassd 11155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
96	94, 95	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
97	96	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4))
98	91, 25, 20, 22	divsubdird 11956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
99	30, 7	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑀) ∈ ℂ)
100	99, 20, 22	divcan3d 11922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4) = (𝐷 · 𝑀))
101	97, 98, 100	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)) = (𝐷 · 𝑀))
102	31, 35, 101	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (𝐷 · 𝑀))
103	29, 30, 7, 27, 102	mulcan2ad 11773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
104	17, 103	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 − cmin 11364 -cneg 11365 / cdiv 11794 2c2 12200 3c3 12201 4c4 12202 ℕ₀cn0 12401 ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-seq 13925 df-exp 13985

This theorem is referenced by: dquart 26819

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