dquartlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dquartlem2 25907

Description: Lemma for dquart 25908. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dquart.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
dquart.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2	⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3	⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
dquartlem2	⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

**Proof of Theorem dquartlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dquart.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
2		2cn 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		dquart.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
4		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 13790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
7	1, 6	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8		dquart.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcld 10925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 12007	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
13	9, 10, 12	sqdivd 13805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)))
14		sq2 13842	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
15	14	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4)
16	13, 15	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4))
17	16	oveq1d 7270	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
18	9	sqcld 13790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
19		4cn 11988	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21		4ne0 12011	. . . . . 6 ⊢ 4 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
23	18, 20, 22	divcld 11681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) ∈ ℂ)
24		dquart.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	sqcld 13790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
26	25, 20, 22	divcld 11681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
27		dquart.m0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
28	26, 7, 27	divcld 11681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
29	23, 28	subcld 11262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
30		dquart.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	23, 28, 7	subdird 11362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)))
32	18, 7, 20, 22	div23d 11718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀))
33	32	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4))
34	26, 7, 27	divcan1d 11682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀) = ((𝐶↑2) / 4))
35	33, 34	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
36		binom2 13861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
37	7, 8, 36	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
38	37	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀))
39	7	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
40	7, 8	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ)
41		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
42	2, 40, 41	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
43	39, 42	addcld 10925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) ∈ ℂ)
44	8	sqcld 13790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44, 7	adddird 10931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
46	39, 42, 7	adddird 10931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)))
47		df-3 11967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
48	47	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀↑3) = (𝑀↑(2 + 1))
49		2nn0 12180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
50		expp1 13717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
51	7, 49, 50	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
52	48, 51	eqtr2id 2792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
53		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
54	2, 8, 53	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
55	54, 7, 7	mulassd 10929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
56	10, 7, 8	mulassd 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = (2 · (𝑀 · 𝐵)))
57	10, 7, 8	mul32d 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
58	56, 57	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
59	58	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀))
60	7	sqvald 13789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
61	60	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
62	55, 59, 61	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)))
63	52, 62	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
64	46, 63	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
65	64	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
66	38, 45, 65	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
67	66	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
68		3nn0 12181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
69		expcl 13728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
70	7, 68, 69	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
71	54, 39	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
72	70, 71	addcld 10925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
73	44, 7	mulcld 10926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
74		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
75	19, 30, 74	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
76	75, 7	mulcld 10926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ)
77	72, 73, 76	addsubassd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
78	44, 75, 7	subdird 11362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) = (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
79	78	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
80	77, 79	eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)))
81	44, 75	subcld 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) ∈ ℂ)
82	81, 7	mulcld 10926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) ∈ ℂ)
83	72, 82	addcld 10925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) ∈ ℂ)
84	25	negcld 11249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -(𝐶↑2) ∈ ℂ)
85	72, 82, 84	addassd 10928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))))
86	83, 25	negsubd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)))
87		dquart.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
88	85, 86, 87	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)) = 0)
89	83, 25, 88	subeq0d 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
90	67, 80, 89	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
91	18, 7	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
92		subsub23 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℂ) → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
93	91, 76, 25, 92	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
94	90, 93	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀))
95	20, 30, 7	mulassd 10929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
96	94, 95	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
97	96	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4))
98	91, 25, 20, 22	divsubdird 11720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
99	30, 7	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑀) ∈ ℂ)
100	99, 20, 22	divcan3d 11686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4) = (𝐷 · 𝑀))
101	97, 98, 100	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)) = (𝐷 · 𝑀))
102	31, 35, 101	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (𝐷 · 𝑀))
103	29, 30, 7, 27, 102	mulcan2ad 11541	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
104	17, 103	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 − cmin 11135 -cneg 11136 / cdiv 11562 2c2 11958 3c3 11959 4c4 11960 ℕ₀cn0 12163 ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-4 11968 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-seq 13650 df-exp 13711

This theorem is referenced by: dquart 25908

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