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Theorem dquartlem2 25436
Description: Lemma for dquart 25437. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
Assertion
Ref Expression
dquartlem2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

Proof of Theorem dquartlem2
StepHypRef Expression
1 dquart.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
2 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3 dquart.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
4 mulcl 10610 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
65sqcld 13504 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
71, 6eqeltrd 2914 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8 dquart.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
97, 8addcld 10649 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
102a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11 2ne0 11729 . . . . . 6 2 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
139, 10, 12sqdivd 13519 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)))
14 sq2 13556 . . . . 5 (2↑2) = 4
1514oveq2i 7151 . . . 4 (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4)
1613, 15syl6eq 2873 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4))
1716oveq1d 7155 . 2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
189sqcld 13504 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
19 4cn 11710 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21 4ne0 11733 . . . . . 6 4 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ≠ 0)
2318, 20, 22divcld 11405 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) ∈ ℂ)
24 dquart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2524sqcld 13504 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
2625, 20, 22divcld 11405 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
27 dquart.m0 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
2826, 7, 27divcld 11405 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
2923, 28subcld 10986 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
30 dquart.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3123, 28, 7subdird 11086 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)))
3218, 7, 20, 22div23d 11442 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀))
3332eqcomd 2828 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4))
3426, 7, 27divcan1d 11406 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀) = ((𝐶↑2) / 4))
3533, 34oveq12d 7158 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
36 binom2 13575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
377, 8, 36syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
3837oveq1d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀))
397sqcld 13504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
407, 8mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ)
41 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
422, 40, 41sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
4339, 42addcld 10649 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) ∈ ℂ)
448sqcld 13504 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4543, 44, 7adddird 10655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
4639, 42, 7adddird 10655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)))
47 df-3 11689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
4847oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀↑3) = (𝑀↑(2 + 1))
49 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
50 expp1 13432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
517, 49, 50sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
5248, 51syl5req 2870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
53 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
542, 8, 53sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5554, 7, 7mulassd 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
5610, 7, 8mulassd 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = (2 · (𝑀 · 𝐵)))
5710, 7, 8mul32d 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
5856, 57eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
5958oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀))
607sqvald 13503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
6160oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
6255, 59, 613eqtr4d 2867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)))
6352, 62oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
6446, 63eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
6564oveq1d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
6638, 45, 653eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
6766oveq1d 7155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
68 3nn0 11903 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
69 expcl 13443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
707, 68, 69sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
7154, 39mulcld 10650 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
7270, 71addcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
7344, 7mulcld 10650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
74 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
7519, 30, 74sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
7675, 7mulcld 10650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ)
7772, 73, 76addsubassd 11006 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
7844, 75, 7subdird 11086 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) = (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
7978oveq2d 7156 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
8077, 79eqtr4d 2860 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)))
8144, 75subcld 10986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) ∈ ℂ)
8281, 7mulcld 10650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) ∈ ℂ)
8372, 82addcld 10649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) ∈ ℂ)
8425negcld 10973 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝐶↑2) ∈ ℂ)
8572, 82, 84addassd 10652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))))
8683, 25negsubd 10992 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)))
87 dquart.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
8885, 86, 873eqtr3d 2865 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)) = 0)
8983, 25, 88subeq0d 10994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
9067, 80, 893eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
9118, 7mulcld 10650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
92 subsub23 10880 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℂ) → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
9391, 76, 25, 92syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
9490, 93mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀))
9520, 30, 7mulassd 10653 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
9694, 95eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
9796oveq1d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4))
9891, 25, 20, 22divsubdird 11444 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
9930, 7mulcld 10650 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · 𝑀) ∈ ℂ)
10099, 20, 22divcan3d 11410 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4) = (𝐷 · 𝑀))
10197, 98, 1003eqtr3d 2865 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)) = (𝐷 · 𝑀))
10231, 35, 1013eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (𝐷 · 𝑀))
10329, 30, 7, 27, 102mulcan2ad 11265 . 2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
10417, 103eqtrd 2857 1 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  0cn0 11885  cexp 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426
This theorem is referenced by:  dquart  25437
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