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Theorem dquartlem2 26202
Description: Lemma for dquart 26203. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
Assertion
Ref Expression
dquartlem2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

Proof of Theorem dquartlem2
StepHypRef Expression
1 dquart.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
2 2cn 12228 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3 dquart.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
4 mulcl 11135 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
65sqcld 14049 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
71, 6eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8 dquart.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
97, 8addcld 11174 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
102a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11 2ne0 12257 . . . . . 6 2 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
139, 10, 12sqdivd 14064 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)))
14 sq2 14101 . . . . 5 (2↑2) = 4
1514oveq2i 7368 . . . 4 (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4)
1613, 15eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4))
1716oveq1d 7372 . 2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
189sqcld 14049 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
19 4cn 12238 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21 4ne0 12261 . . . . . 6 4 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ≠ 0)
2318, 20, 22divcld 11931 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) ∈ ℂ)
24 dquart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2524sqcld 14049 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
2625, 20, 22divcld 11931 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
27 dquart.m0 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
2826, 7, 27divcld 11931 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
2923, 28subcld 11512 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
30 dquart.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3123, 28, 7subdird 11612 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)))
3218, 7, 20, 22div23d 11968 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀))
3332eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4))
3426, 7, 27divcan1d 11932 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀) = ((𝐶↑2) / 4))
3533, 34oveq12d 7375 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
36 binom2 14121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
377, 8, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
3837oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀))
397sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
407, 8mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ)
41 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
422, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
4339, 42addcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) ∈ ℂ)
448sqcld 14049 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4543, 44, 7adddird 11180 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
4639, 42, 7adddird 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)))
47 df-3 12217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
4847oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀↑3) = (𝑀↑(2 + 1))
49 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
50 expp1 13974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
517, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
5248, 51eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
53 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
542, 8, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5554, 7, 7mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
5610, 7, 8mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = (2 · (𝑀 · 𝐵)))
5710, 7, 8mul32d 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
5856, 57eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
5958oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀))
607sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
6160oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
6255, 59, 613eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)))
6352, 62oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
6446, 63eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
6564oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
6638, 45, 653eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
6766oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
68 3nn0 12431 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
69 expcl 13985 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
707, 68, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
7154, 39mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
7270, 71addcld 11174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
7344, 7mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
74 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
7519, 30, 74sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
7675, 7mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ)
7772, 73, 76addsubassd 11532 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
7844, 75, 7subdird 11612 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) = (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
7978oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
8077, 79eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)))
8144, 75subcld 11512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) ∈ ℂ)
8281, 7mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) ∈ ℂ)
8372, 82addcld 11174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) ∈ ℂ)
8425negcld 11499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝐶↑2) ∈ ℂ)
8572, 82, 84addassd 11177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))))
8683, 25negsubd 11518 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)))
87 dquart.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
8885, 86, 873eqtr3d 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)) = 0)
8983, 25, 88subeq0d 11520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
9067, 80, 893eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
9118, 7mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
92 subsub23 11406 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℂ) → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
9391, 76, 25, 92syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀))
9520, 30, 7mulassd 11178 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
9694, 95eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
9796oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4))
9891, 25, 20, 22divsubdird 11970 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
9930, 7mulcld 11175 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · 𝑀) ∈ ℂ)
10099, 20, 22divcan3d 11936 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4) = (𝐷 · 𝑀))
10197, 98, 1003eqtr3d 2784 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)) = (𝐷 · 𝑀))
10231, 35, 1013eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (𝐷 · 𝑀))
10329, 30, 7, 27, 102mulcan2ad 11791 . 2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
10417, 103eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  0cn0 12413  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  dquart  26203
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