MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eirrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eirrlem 15340
Description: Lemma for eirr 15341. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4 (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
Assertion
Ref Expression
eirrlem ¬ 𝜑
Distinct variable group:   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13095 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
2 elfznn0 12755 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3 eirr.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
4 nn0z 11756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
5 1exp 13211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
76oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
87mpteq2ia 4977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
93, 8eqtr4i 2805 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109eftval 15213 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
1110adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12 ax-1cn 10332 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14 eftcl 15210 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1513, 14sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1611, 15eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
172, 16sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
181, 17fsumcl 14875 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
19 nn0uz 12032 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
20 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(𝑄 + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 1))
21 eirr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
2221peano2nnd 11397 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
2322nnnn0d 11706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
24 eqidd 2779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
25 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
2625oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
27 ovex 6956 . . . . . . . . . . . 12 (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
2826, 3, 27fvmpt 6544 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
2928adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
30 faccl 13392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3130adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3231nnrpd 12183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
3332rpreccld 12195 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
3429, 33eqeltrd 2859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
359efcllem 15214 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3613, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3719, 20, 23, 24, 34, 36isumrpcl 14983 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
3837rpred 12185 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
3938recnd 10407 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
40 esum 15217 . . . . . . . . 9 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
4128sumeq2i 14841 . . . . . . . . 9 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
4240, 41eqtr4i 2805 . . . . . . . 8 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘)
4319, 20, 23, 24, 16, 36isumsplit 14980 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4442, 43syl5eq 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4521nncnd 11396 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
46 pncan 10630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
4745, 12, 46sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
4847oveq2d 6940 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
4948sumeq1d 14843 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))
5049oveq1d 6939 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
5144, 50eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
5218, 39, 51mvrladdd 10790 . . . . 5 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5352oveq2d 6940 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
5421nnnn0d 11706 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
5554faccld 13393 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
5655nncnd 11396 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
57 ere 15225 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
5857recni 10393 . . . . . 6 e ∈ ℂ
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → e ∈ ℂ)
6056, 59, 18subdid 10833 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6153, 60eqtr3d 2816 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
62 eirr.4 . . . . . . 7 (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
6362oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
64 eirr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6564zcnd 11839 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
6621nnne0d 11429 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ≠ 0)
6756, 65, 45, 66div12d 11189 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
6863, 67eqtrd 2814 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
6921nnred 11395 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
7069leidd 10943 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑄)
71 facdiv 13396 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7254, 21, 70, 71syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7372nnzd 11837 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
7464, 73zmulcld 11844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
7568, 74eqeltrd 2859 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
761, 56, 17fsummulc2 14924 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)))
772adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7877, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
7978oveq2d 6940 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8056adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
812, 31sylan2 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8281nncnd 11396 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
83 facne0 13395 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
8477, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
8580, 82, 84divrecd 11156 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8679, 85eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
87 permnn 13435 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
8887adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
8986, 88eqeltrd 2859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℕ)
9089nnzd 11837 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
911, 90fsumzcl 14877 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9276, 91eqeltrd 2859 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9375, 92zsubcld 11843 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) ∈ ℤ)
9461, 93eqeltrd 2859 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
95 0zd 11744 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
9655nnrpd 12183 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
9796, 37rpmulcld 12201 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
9897rpgt0d 12188 . . 3 (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
9922peano2nnd 11397 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
10099nnred 11395 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
10123faccld 13393 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
102101, 22nnmulcld 11432 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103100, 102nndivred 11433 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
10455nnrecred 11430 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
105 abs1 14448 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
106105oveq1i 6934 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
107106oveq1i 6934 . . . . . . . . . 10 (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
108107mpteq2i 4978 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1099, 108eqtr4i 2805 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
110 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
111 1le1 11005 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
112105, 111eqbrtri 4909 . . . . . . . . 9 (abs‘1) ≤ 1
113112a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
1149, 109, 110, 22, 13, 113eftlub 15245 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
11537rprege0d 12192 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
116 absid 14447 . . . . . . . 8 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
117115, 116syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
118105oveq1i 6934 . . . . . . . . . 10 ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
11922nnzd 11837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
120 1exp 13211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122118, 121syl5eq 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
123122oveq1d 6939 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
124103recnd 10407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
125124mulid2d 10397 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
126123, 125eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127114, 117, 1263brtr3d 4919 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
12822nnred 11395 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
129128, 128readdcld 10408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
130128, 128remulcld 10409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131 1red 10379 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13221nnge1d 11427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
133 1nn 11391 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
134 nnleltp1 11788 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
135133, 21, 134sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136132, 135mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
137131, 128, 128, 136ltadd2dd 10537 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
13822nncnd 11396 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
1391382timesd 11629 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
140 df-2 11442 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
141131, 69, 131, 132leadd1dd 10991 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
142140, 141syl5eqbr 4923 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
143 2re 11453 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
14522nngt0d 11428 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
146 lemul1 11231 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
147144, 128, 128, 145, 146syl112anc 1442 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148142, 147mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
149139, 148eqbrtrrd 4912 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150100, 129, 130, 137, 149ltletrd 10538 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151 facp1 13387 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
15254, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
153152oveq1d 6939 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
154101nncnd 11396 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
15555nnne0d 11429 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
156154, 56, 155divrecd 11156 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
157138, 56, 155divcan3d 11158 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
158153, 156, 1573eqtr3rd 2823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
159158oveq1d 6939 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
160104recnd 10407 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
161154, 160, 138mul32d 10588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
162159, 161eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163150, 162breqtrd 4914 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164102nnred 11395 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
165102nngt0d 11428 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
166 ltdivmul 11254 . . . . . . . 8 ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
167100, 104, 164, 165, 166syl112anc 1442 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168163, 167mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
16938, 103, 104, 127, 168lelttrd 10536 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
17038, 131, 96ltmuldiv2d 12233 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
171169, 170mpbird 249 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1)
172 0p1e1 11508 . . . 4 (0 + 1) = 1
173171, 172syl6breqr 4930 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1))
174 btwnnz 11809 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
17595, 98, 173, 174syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
17694, 175pm2.65i 186 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4888  cmpt 4967  dom cdm 5357  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608   / cdiv 11034  cn 11378  2c2 11434  0cn0 11646  cz 11732  cuz 11996  +crp 12141  ...cfz 12647  seqcseq 13123  cexp 13182  !cfa 13382  abscabs 14385  cli 14627  Σcsu 14828  eceu 15199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-ico 12497  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-e 15205
This theorem is referenced by:  eirr  15341
  Copyright terms: Public domain W3C validator