Theorem eirrlem 15559

Description: Lemma for eirr 15560. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4	⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable group:   𝑄,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
2		elfznn0 13003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
4		nn0z 12008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
5		1exp 13461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
7	6	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
8	7	mpteq2ia 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
9	3, 8	eqtr4i 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftval 15432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	10	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		ax-1cn 10597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14		eftcl 15429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	13, 14	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
16	11, 15	eqeltrd 2915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	2, 16	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	1, 17	fsumcl 15092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19		nn0uz 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(𝑄 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑄 + 1))
21		eirr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
22	21	peano2nnd 11657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
24		eqidd 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
25		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
26	25	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
27		ovex 7191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
28	26, 3, 27	fvmpt 6770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
29	28	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
30		faccl 13646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnrpd 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
33	32	rpreccld 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
34	29, 33	eqeltrd 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
35	9	efcllem 15433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36	13, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
37	19, 20, 23, 24, 34, 36	isumrpcl 15200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
38	37	rpred 12434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
40		esum 15436	. . . . . . . . 9 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
41	28	sumeq2i 15058	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
42	40, 41	eqtr4i 2849	. . . . . . . 8 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘)
43	19, 20, 23, 24, 16, 36	isumsplit 15197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
44	42, 43	syl5eq 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
45	21	nncnd 11656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
46		pncan 10894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
47	45, 12, 46	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
48	47	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
49	48	sumeq1d 15060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))
50	49	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
51	44, 50	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
52	18, 39, 51	mvrladdd 11055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
53	52	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
54	21	nnnn0d 11958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
55	54	faccld 13647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 11656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
57		ere 15444	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
58	57	recni 10657	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℂ
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℂ)
60	56, 59, 18	subdid 11098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
61	53, 60	eqtr3d 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
62		eirr.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
63	62	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
64		eirr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
65	64	zcnd 12091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
66	21	nnne0d 11690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
67	56, 65, 45, 66	div12d 11454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
68	63, 67	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
69	21	nnred 11655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
70	69	leidd 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑄)
71		facdiv 13650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ≤ 𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
72	54, 21, 70, 71	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
73	72	nnzd 12089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
74	64, 73	zmulcld 12096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
75	68, 74	eqeltrd 2915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
76	1, 56, 17	fsummulc2 15141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)))
77	2	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78	77, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
79	78	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
80	56	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
81	2, 31	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
82	81	nncnd 11656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
83		facne0 13649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
84	77, 83	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
85	80, 82, 84	divrecd 11421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
86	79, 85	eqtr4d 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
87		permnn 13689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
88	87	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
89	86, 88	eqeltrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ)
90	89	nnzd 12089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
91	1, 90	fsumzcl 15094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
92	76, 91	eqeltrd 2915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
93	75, 92	zsubcld 12095	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) ∈ ℤ)
94	61, 93	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
95		0zd 11996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
96	55	nnrpd 12432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
97	96, 37	rpmulcld 12450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
98	97	rpgt0d 12437	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
99	22	peano2nnd 11657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
100	99	nnred 11655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
101	23	faccld 13647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
102	101, 22	nnmulcld 11693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103	100, 102	nndivred 11694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
104	55	nnrecred 11691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
105		abs1 14659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
106	105	oveq1i 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
107	106	oveq1i 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
108	107	mpteq2i 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109	9, 108	eqtr4i 2849	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
110		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
111		1le1 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
112	105, 111	eqbrtri 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) ≤ 1
113	112	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
114	9, 109, 110, 22, 13, 113	eftlub 15464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
115	37	rprege0d 12441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
116		absid 14658	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
118	105	oveq1i 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
119	22	nnzd 12089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
120		1exp 13461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122	118, 121	syl5eq 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
123	122	oveq1d 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
124	103	recnd 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
125	124	mulid2d 10661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
126	123, 125	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127	114, 117, 126	3brtr3d 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
128	22	nnred 11655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
129	128, 128	readdcld 10672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
130	128, 128	remulcld 10673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131		1red 10644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
132	21	nnge1d 11688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
133		1nn 11651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
134		nnleltp1 12040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
135	133, 21, 134	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136	132, 135	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
137	131, 128, 128, 136	ltadd2dd 10801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
138	22	nncnd 11656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
139	138	2timesd 11883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
140		df-2 11703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
141	131, 69, 131, 132	leadd1dd 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
142	140, 141	eqbrtrid 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
143		2re 11714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
145	22	nngt0d 11689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
146		lemul1 11494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
147	144, 128, 128, 145, 146	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148	142, 147	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
149	139, 148	eqbrtrrd 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150	100, 129, 130, 137, 149	ltletrd 10802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151		facp1 13641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
152	54, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
153	152	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
154	101	nncnd 11656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
155	55	nnne0d 11690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
156	154, 56, 155	divrecd 11421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
157	138, 56, 155	divcan3d 11423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
158	153, 156, 157	3eqtr3rd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
159	158	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
160	104	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
161	154, 160, 138	mul32d 10852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
162	159, 161	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163	150, 162	breqtrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164	102	nnred 11655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
165	102	nngt0d 11689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
166		ltdivmul 11517	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
167	100, 104, 164, 165, 166	syl112anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168	163, 167	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
169	38, 103, 104, 127, 168	lelttrd 10800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
170	38, 131, 96	ltmuldiv2d 12482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
171	169, 170	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1)
172		0p1e1 11762	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
173	171, 172	breqtrrdi 5110	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1))
174		btwnnz 12061	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
175	95, 98, 173, 174	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
176	94, 175	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392  ...cfz 12895  seqcseq 13372  ↑cexp 13432  !cfa 13636  abscabs 14595   ⇝ cli 14843  Σcsu 15044  eceu 15418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-e 15424

This theorem is referenced by:  eirr  15560