Theorem eirrlem 16162

Description: Lemma for eirr 16163. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4	⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable group:   𝑄,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
2		elfznn0 13565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
4		nn0z 12539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
5		1exp 14044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
7	6	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
8	7	mpteq2ia 5181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
9	3, 8	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftval 16032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14		eftcl 16029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	13, 14	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
16	11, 15	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	2, 16	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	1, 17	fsumcl 15686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19		nn0uz 12817	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(𝑄 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑄 + 1))
21		eirr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
22	21	peano2nnd 12182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
24		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
25		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
26	25	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
27		ovex 7393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
28	26, 3, 27	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
30		faccl 14236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
33	32	rpreccld 12987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
34	29, 33	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
35	9	efcllem 16033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36	13, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
37	19, 20, 23, 24, 34, 36	isumrpcl 15799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
38	37	rpred 12977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
40		esum 16036	. . . . . . . . 9 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
41	28	sumeq2i 15651	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
42	40, 41	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘)
43	19, 20, 23, 24, 16, 36	isumsplit 15796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
44	42, 43	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
45	21	nncnd 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
46		pncan 11390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
47	45, 12, 46	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
48	47	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
49	48	sumeq1d 15653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))
50	49	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
51	44, 50	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
52	18, 39, 51	mvrladdd 11554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
53	52	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
54	21	nnnn0d 12489	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
55	54	faccld 14237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
57		ere 16045	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
58	57	recni 11150	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℂ
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℂ)
60	56, 59, 18	subdid 11597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
61	53, 60	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
62		eirr.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
63	62	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
64		eirr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
65	64	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
66	21	nnne0d 12218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
67	56, 65, 45, 66	div12d 11958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
68	63, 67	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
69	21	nnred 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
70	69	leidd 11707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑄)
71		facdiv 14240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ≤ 𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
72	54, 21, 70, 71	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
73	72	nnzd 12541	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
74	64, 73	zmulcld 12630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
75	68, 74	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
76	1, 56, 17	fsummulc2 15737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)))
77	2	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78	77, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
79	78	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
80	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
81	2, 31	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
82	81	nncnd 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
83		facne0 14239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
84	77, 83	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
85	80, 82, 84	divrecd 11925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
86	79, 85	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
87		permnn 14279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
88	87	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
89	86, 88	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ)
90	89	nnzd 12541	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
91	1, 90	fsumzcl 15688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
92	76, 91	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
93	75, 92	zsubcld 12629	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) ∈ ℤ)
94	61, 93	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
95		0zd 12527	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
96	55	nnrpd 12975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
97	96, 37	rpmulcld 12993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
98	97	rpgt0d 12980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
99	22	peano2nnd 12182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
100	99	nnred 12180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
101	23	faccld 14237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
102	101, 22	nnmulcld 12221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103	100, 102	nndivred 12222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
104	55	nnrecred 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
105		abs1 15250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
106	105	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
107	106	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
108	107	mpteq2i 5182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109	9, 108	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
110		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
111		1le1 11769	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
112	105, 111	eqbrtri 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) ≤ 1
113	112	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
114	9, 109, 110, 22, 13, 113	eftlub 16067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
115	37	rprege0d 12984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
116		absid 15249	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
118	105	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
119	22	nnzd 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
120		1exp 14044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122	118, 121	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
123	122	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
124	103	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
125	124	mullidd 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
126	123, 125	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127	114, 117, 126	3brtr3d 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
128	22	nnred 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
129	128, 128	readdcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
130	128, 128	remulcld 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131		1red 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
132	21	nnge1d 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
133		1nn 12176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
134		nnleltp1 12575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
135	133, 21, 134	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136	132, 135	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
137	131, 128, 128, 136	ltadd2dd 11296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
138	22	nncnd 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
139	138	2timesd 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
140		df-2 12235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
141	131, 69, 131, 132	leadd1dd 11755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
142	140, 141	eqbrtrid 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
143		2re 12246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
145	22	nngt0d 12217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
146		lemul1 11998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
147	144, 128, 128, 145, 146	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148	142, 147	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
149	139, 148	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150	100, 129, 130, 137, 149	ltletrd 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151		facp1 14231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
152	54, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
153	152	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
154	101	nncnd 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
155	55	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
156	154, 56, 155	divrecd 11925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
157	138, 56, 155	divcan3d 11927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
158	153, 156, 157	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
159	158	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
160	104	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
161	154, 160, 138	mul32d 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
162	159, 161	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163	150, 162	breqtrd 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164	102	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
165	102	nngt0d 12217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
166		ltdivmul 12022	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
167	100, 104, 164, 165, 166	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168	163, 167	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
169	38, 103, 104, 127, 168	lelttrd 11295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
170	38, 131, 96	ltmuldiv2d 13025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
171	169, 170	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1)
172		0p1e1 12289	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
173	171, 172	breqtrrdi 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1))
174		btwnnz 12596	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
175	95, 98, 173, 174	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
176	94, 175	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ...cfz 13452  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  !cfa 14226  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639  eceu 16018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-e 16024

This theorem is referenced by:  eirr  16163