Theorem eirrlem 16250

Description: Lemma for eirr 16251. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4	⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable group:   𝑄,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
2		elfznn0 13639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
4		nn0z 12606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
5		1exp 14118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
7	6	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
8	7	mpteq2ia 5200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
9	3, 8	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftval 16120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	10	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14		eftcl 16117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	13, 14	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
16	11, 15	eqeltrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	2, 16	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	1, 17	fsumcl 15774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19		nn0uz 12891	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(𝑄 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑄 + 1))
21		eirr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
22	21	peano2nnd 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
24		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
25		fveq2 6871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
26	25	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
27		ovex 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
28	26, 3, 27	fvmpt 6979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
29	28	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
30		faccl 14310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnrpd 13049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
33	32	rpreccld 13061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
34	29, 33	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
35	9	efcllem 16121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36	13, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
37	19, 20, 23, 24, 34, 36	isumrpcl 15887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
38	37	rpred 13051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
40		esum 16124	. . . . . . . . 9 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
41	28	sumeq2i 15739	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
42	40, 41	eqtr4i 2791	. . . . . . . 8 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘)
43	19, 20, 23, 24, 16, 36	isumsplit 15884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
44	42, 43	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
45	21	nncnd 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
46		pncan 11451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
47	45, 12, 46	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
48	47	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
49	48	sumeq1d 15741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))
50	49	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
51	44, 50	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
52	18, 39, 51	mvrladdd 11615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
53	52	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
54	21	nnnn0d 12556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
55	54	faccld 14311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
57		ere 16133	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
58	57	recni 11211	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℂ
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℂ)
60	56, 59, 18	subdid 11658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
61	53, 60	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
62		eirr.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
63	62	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
64		eirr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
65	64	zcnd 12692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
66	21	nnne0d 12277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
67	56, 65, 45, 66	div12d 12018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
68	63, 67	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
69	21	nnred 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
70	69	leidd 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑄)
71		facdiv 14314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ≤ 𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
72	54, 21, 70, 71	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
73	72	nnzd 12608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
74	64, 73	zmulcld 12697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
75	68, 74	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
76	1, 56, 17	fsummulc2 15825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)))
77	2	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78	77, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
79	78	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
80	56	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
81	2, 31	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
82	81	nncnd 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
83		facne0 14313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
84	77, 83	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
85	80, 82, 84	divrecd 11985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
86	79, 85	eqtr4d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
87		permnn 14353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
88	87	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
89	86, 88	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ)
90	89	nnzd 12608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
91	1, 90	fsumzcl 15776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
92	76, 91	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
93	75, 92	zsubcld 12696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) ∈ ℤ)
94	61, 93	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
95		0zd 12594	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
96	55	nnrpd 13049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
97	96, 37	rpmulcld 13067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
98	97	rpgt0d 13054	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
99	22	peano2nnd 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
100	99	nnred 12239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
101	23	faccld 14311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
102	101, 22	nnmulcld 12280	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103	100, 102	nndivred 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
104	55	nnrecred 12278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
105		abs1 15338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
106	105	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
107	106	oveq1i 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
108	107	mpteq2i 5201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109	9, 108	eqtr4i 2791	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
110		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
111		1le1 11830	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
112	105, 111	eqbrtri 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) ≤ 1
113	112	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
114	9, 109, 110, 22, 13, 113	eftlub 16155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
115	37	rprege0d 13058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
116		absid 15337	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
117	115, 116	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
118	105	oveq1i 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
119	22	nnzd 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
120		1exp 14118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
121	119, 120	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122	118, 121	eqtrid 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
123	122	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
124	103	recnd 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
125	124	mullidd 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
126	123, 125	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127	114, 117, 126	3brtr3d 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
128	22	nnred 12239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
129	128, 128	readdcld 11226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
130	128, 128	remulcld 11227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131		1red 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
132	21	nnge1d 12275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
133		1nn 12235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
134		nnleltp1 12642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
135	133, 21, 134	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136	132, 135	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
137	131, 128, 128, 136	ltadd2dd 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
138	22	nncnd 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
139	138	2timesd 12478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
140		df-2 12294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
141	131, 69, 131, 132	leadd1dd 11816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
142	140, 141	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
143		2re 12306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
145	22	nngt0d 12276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
146		lemul1 12058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
147	144, 128, 128, 145, 146	syl112anc 1397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148	142, 147	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
149	139, 148	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150	100, 129, 130, 137, 149	ltletrd 11358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151		facp1 14305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
152	54, 151	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
153	152	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
154	101	nncnd 12240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
155	55	nnne0d 12277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
156	154, 56, 155	divrecd 11985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
157	138, 56, 155	divcan3d 11987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
158	153, 156, 157	3eqtr3rd 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
159	158	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
160	104	recnd 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
161	154, 160, 138	mul32d 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
162	159, 161	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163	150, 162	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164	102	nnred 12239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
165	102	nngt0d 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
166		ltdivmul 12081	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
167	100, 104, 164, 165, 166	syl112anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168	163, 167	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
169	38, 103, 104, 127, 168	lelttrd 11356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
170	38, 131, 96	ltmuldiv2d 13099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
171	169, 170	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1)
172		0p1e1 12352	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
173	171, 172	breqtrrdi 5147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1))
174		btwnnz 12663	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
175	95, 98, 173, 174	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
176	94, 175	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  ...cfz 13526  seqcseq 14028  ↑cexp 14088  !cfa 14300  abscabs 15275   ⇝ cli 15525  Σcsu 15727  eceu 16106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-e 16112

This theorem is referenced by:  eirr  16251