MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eirrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eirrlem 16093
Description: Lemma for eirr 16094. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
eirr.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
eirr.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
eirr.4 (๐œ‘ โ†’ e = (๐‘ƒ / ๐‘„))
Assertion
Ref Expression
eirrlem ยฌ ๐œ‘
Distinct variable group:   ๐‘„,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘›)   ๐‘ƒ(๐‘›)   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem eirrlem
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘„) โˆˆ Fin)
2 elfznn0 13541 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3 eirr.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
4 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
5 1exp 14004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
76oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / (!โ€˜๐‘›)))
87mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
93, 8eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
109eftval 15966 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
1110adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
12 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
14 eftcl 15963 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1513, 14sylan 581 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1611, 15eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
172, 16sylan2 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
181, 17fsumcl 15625 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
19 nn0uz 12812 . . . . . . . . 9 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
20 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))
21 eirr.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
2221peano2nnd 12177 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + 1) โˆˆ โ„•)
2322nnnn0d 12480 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + 1) โˆˆ โ„•0)
24 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘˜))
25 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘˜))
2625oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
27 ovex 7395 . . . . . . . . . . . 12 (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ V
2826, 3, 27fvmpt 6953 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
2928adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
30 faccl 14190 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3130adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3231nnrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
3332rpreccld 12974 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
3429, 33eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
359efcllem 15967 . . . . . . . . . 10 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3613, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3719, 20, 23, 24, 34, 36isumrpcl 15735 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
3837rpred 12964 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3938recnd 11190 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
40 esum 15970 . . . . . . . . 9 e = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / (!โ€˜๐‘˜))
4128sumeq2i 15591 . . . . . . . . 9 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / (!โ€˜๐‘˜))
4240, 41eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 e = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘˜)
4319, 20, 23, 24, 16, 36isumsplit 15732 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘˜) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘„ + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘˜) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)))
4442, 43eqtrid 2789 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ e = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘„ + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘˜) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)))
4521nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
46 pncan 11414 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘„ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘„)
4745, 12, 46sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘„)
4847oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0...((๐‘„ + 1) โˆ’ 1)) = (0...๐‘„))
4948sumeq1d 15593 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘„ + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜))
5049oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘„ + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘˜) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)))
5144, 50eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ e = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)))
5218, 39, 51mvrladdd 11575 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (e โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜))
5352oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท (e โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)))
5421nnnn0d 12480 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•0)
5554faccld 14191 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘„) โˆˆ โ„•)
5655nncnd 12176 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘„) โˆˆ โ„‚)
57 ere 15978 . . . . . . 7 e โˆˆ โ„
5857recni 11176 . . . . . 6 e โˆˆ โ„‚
5958a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ e โˆˆ โ„‚)
6056, 59, 18subdid 11618 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท (e โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜))) = (((!โ€˜๐‘„) ยท e) โˆ’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜))))
6153, 60eqtr3d 2779 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) = (((!โ€˜๐‘„) ยท e) โˆ’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜))))
62 eirr.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ e = (๐‘ƒ / ๐‘„))
6362oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท e) = ((!โ€˜๐‘„) ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)))
64 eirr.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6564zcnd 12615 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
6621nnne0d 12210 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
6756, 65, 45, 66div12d 11974 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) = (๐‘ƒ ยท ((!โ€˜๐‘„) / ๐‘„)))
6863, 67eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท e) = (๐‘ƒ ยท ((!โ€˜๐‘„) / ๐‘„)))
6921nnred 12175 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
7069leidd 11728 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰ค ๐‘„)
71 facdiv 14194 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘„ โ‰ค ๐‘„) โ†’ ((!โ€˜๐‘„) / ๐‘„) โˆˆ โ„•)
7254, 21, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) / ๐‘„) โˆˆ โ„•)
7372nnzd 12533 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) / ๐‘„) โˆˆ โ„ค)
7464, 73zmulcld 12620 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ((!โ€˜๐‘„) / ๐‘„)) โˆˆ โ„ค)
7568, 74eqeltrd 2838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท e) โˆˆ โ„ค)
761, 56, 17fsummulc2 15676 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)((!โ€˜๐‘„) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
772adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7877, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
7978oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜๐‘„) ยท (1 / (!โ€˜๐‘˜))))
8056adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ (!โ€˜๐‘„) โˆˆ โ„‚)
812, 31sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
8281nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
83 facne0 14193 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8477, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
8580, 82, 84divrecd 11941 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ ((!โ€˜๐‘„) / (!โ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜๐‘„) ยท (1 / (!โ€˜๐‘˜))))
8679, 85eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜๐‘„) / (!โ€˜๐‘˜)))
87 permnn 14233 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„) โ†’ ((!โ€˜๐‘„) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•)
8887adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ ((!โ€˜๐‘„) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•)
8986, 88eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•)
9089nnzd 12533 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)) โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
911, 90fsumzcl 15627 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)((!โ€˜๐‘„) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
9276, 91eqeltrd 2838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
9375, 92zsubcld 12619 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘„) ยท e) โˆ’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘„)(๐นโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
9461, 93eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
95 0zd 12518 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
9655nnrpd 12962 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘„) โˆˆ โ„+)
9796, 37rpmulcld 12980 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
9897rpgt0d 12967 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)))
9922peano2nnd 12177 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) + 1) โˆˆ โ„•)
10099nnred 12175 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) + 1) โˆˆ โ„)
10123faccld 14191 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘„ + 1)) โˆˆ โ„•)
102101, 22nnmulcld 12213 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)) โˆˆ โ„•)
103100, 102nndivred 12214 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1))) โˆˆ โ„)
10455nnrecred 12211 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘„)) โˆˆ โ„)
105 abs1 15189 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜1) = 1
106105oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜1)โ†‘๐‘›) = (1โ†‘๐‘›)
107106oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 (((absโ€˜1)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)) = ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))
108107mpteq2i 5215 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜1)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1099, 108eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜1)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
110 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜1)โ†‘(๐‘„ + 1)) / (!โ€˜(๐‘„ + 1))) ยท ((1 / ((๐‘„ + 1) + 1))โ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜1)โ†‘(๐‘„ + 1)) / (!โ€˜(๐‘„ + 1))) ยท ((1 / ((๐‘„ + 1) + 1))โ†‘๐‘›)))
111 1le1 11790 . . . . . . . . . 10 1 โ‰ค 1
112105, 111eqbrtri 5131 . . . . . . . . 9 (absโ€˜1) โ‰ค 1
113112a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜1) โ‰ค 1)
1149, 109, 110, 22, 13, 113eftlub 15998 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (((absโ€˜1)โ†‘(๐‘„ + 1)) ยท (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)))))
11537rprege0d 12971 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)))
116 absid 15188 . . . . . . . 8 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜))
117115, 116syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜))
118105oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜1)โ†‘(๐‘„ + 1)) = (1โ†‘(๐‘„ + 1))
11922nnzd 12533 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + 1) โˆˆ โ„ค)
120 1exp 14004 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘„ + 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(๐‘„ + 1)) = 1)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘(๐‘„ + 1)) = 1)
122118, 121eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜1)โ†‘(๐‘„ + 1)) = 1)
123122oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜1)โ†‘(๐‘„ + 1)) ยท (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)))) = (1 ยท (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)))))
124103recnd 11190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1))) โˆˆ โ„‚)
125124mulid2d 11180 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)))) = (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1))))
126123, 125eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜1)โ†‘(๐‘„ + 1)) ยท (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)))) = (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1))))
127114, 117, 1263brtr3d 5141 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜) โ‰ค (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1))))
12822nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + 1) โˆˆ โ„)
129128, 128readdcld 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) + (๐‘„ + 1)) โˆˆ โ„)
130128, 128remulcld 11192 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) ยท (๐‘„ + 1)) โˆˆ โ„)
131 1red 11163 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
13221nnge1d 12208 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘„)
133 1nn 12171 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„•
134 nnleltp1 12565 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘„ โ†” 1 < (๐‘„ + 1)))
135133, 21, 134sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘„ โ†” 1 < (๐‘„ + 1)))
136132, 135mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘„ + 1))
137131, 128, 128, 136ltadd2dd 11321 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) + 1) < ((๐‘„ + 1) + (๐‘„ + 1)))
13822nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + 1) โˆˆ โ„‚)
1391382timesd 12403 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘„ + 1)) = ((๐‘„ + 1) + (๐‘„ + 1)))
140 df-2 12223 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
141131, 69, 131, 132leadd1dd 11776 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) โ‰ค (๐‘„ + 1))
142140, 141eqbrtrid 5145 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค (๐‘„ + 1))
143 2re 12234 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
14522nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐‘„ + 1))
146 lemul1 12014 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘„ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘„ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘„ + 1))) โ†’ (2 โ‰ค (๐‘„ + 1) โ†” (2 ยท (๐‘„ + 1)) โ‰ค ((๐‘„ + 1) ยท (๐‘„ + 1))))
147144, 128, 128, 145, 146syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰ค (๐‘„ + 1) โ†” (2 ยท (๐‘„ + 1)) โ‰ค ((๐‘„ + 1) ยท (๐‘„ + 1))))
148142, 147mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘„ + 1)) โ‰ค ((๐‘„ + 1) ยท (๐‘„ + 1)))
149139, 148eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) + (๐‘„ + 1)) โ‰ค ((๐‘„ + 1) ยท (๐‘„ + 1)))
150100, 129, 130, 137, 149ltletrd 11322 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) + 1) < ((๐‘„ + 1) ยท (๐‘„ + 1)))
151 facp1 14185 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘„ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘„ + 1)) = ((!โ€˜๐‘„) ยท (๐‘„ + 1)))
15254, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘„ + 1)) = ((!โ€˜๐‘„) ยท (๐‘„ + 1)))
153152oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) / (!โ€˜๐‘„)) = (((!โ€˜๐‘„) ยท (๐‘„ + 1)) / (!โ€˜๐‘„)))
154101nncnd 12176 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘„ + 1)) โˆˆ โ„‚)
15555nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘„) โ‰  0)
156154, 56, 155divrecd 11941 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) / (!โ€˜๐‘„)) = ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„))))
157138, 56, 155divcan3d 11943 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘„) ยท (๐‘„ + 1)) / (!โ€˜๐‘„)) = (๐‘„ + 1))
158153, 156, 1573eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + 1) = ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„))))
159158oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) ยท (๐‘„ + 1)) = (((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„))) ยท (๐‘„ + 1)))
160104recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
161154, 160, 138mul32d 11372 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„))) ยท (๐‘„ + 1)) = (((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„))))
162159, 161eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) ยท (๐‘„ + 1)) = (((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„))))
163150, 162breqtrd 5136 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + 1) + 1) < (((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„))))
164102nnred 12175 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)) โˆˆ โ„)
165102nngt0d 12209 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)))
166 ltdivmul 12037 . . . . . . . 8 ((((๐‘„ + 1) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (1 / (!โ€˜๐‘„)) โˆˆ โ„ โˆง (((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)))) โ†’ ((((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1))) < (1 / (!โ€˜๐‘„)) โ†” ((๐‘„ + 1) + 1) < (((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„)))))
167100, 104, 164, 165, 166syl112anc 1375 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1))) < (1 / (!โ€˜๐‘„)) โ†” ((๐‘„ + 1) + 1) < (((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1)) ยท (1 / (!โ€˜๐‘„)))))
168163, 167mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ + 1) + 1) / ((!โ€˜(๐‘„ + 1)) ยท (๐‘„ + 1))) < (1 / (!โ€˜๐‘„)))
16938, 103, 104, 127, 168lelttrd 11320 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜) < (1 / (!โ€˜๐‘„)))
17038, 131, 96ltmuldiv2d 13012 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) < 1 โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜) < (1 / (!โ€˜๐‘„))))
171169, 170mpbird 257 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) < 1)
172 0p1e1 12282 . . . 4 (0 + 1) = 1
173171, 172breqtrrdi 5152 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) < (0 + 1))
174 btwnnz 12586 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆง ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) < (0 + 1)) โ†’ ยฌ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
17595, 98, 173, 174syl3anc 1372 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((!โ€˜๐‘„) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘„ + 1))(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
17694, 175pm2.65i 193 1 ยฌ ๐œ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  dom cdm 5638  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974  !cfa 14180  abscabs 15126   โ‡ cli 15373  ฮฃcsu 15577  eceu 15952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958
This theorem is referenced by:  eirr  16094
  Copyright terms: Public domain W3C validator