Theorem eirrlem 16129

Description: Lemma for eirr 16130. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4	⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable group:   𝑄,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
2		elfznn0 13536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
4		nn0z 12512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
5		1exp 14014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
7	6	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
8	7	mpteq2ia 5193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
9	3, 8	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftval 15999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14		eftcl 15996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	13, 14	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
16	11, 15	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	2, 16	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	1, 17	fsumcl 15656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19		nn0uz 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(𝑄 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑄 + 1))
21		eirr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
22	21	peano2nnd 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
24		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
25		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
26	25	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
27		ovex 7391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
28	26, 3, 27	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
30		faccl 14206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
33	32	rpreccld 12959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
34	29, 33	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
35	9	efcllem 16000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36	13, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
37	19, 20, 23, 24, 34, 36	isumrpcl 15766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
38	37	rpred 12949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
40		esum 16003	. . . . . . . . 9 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
41	28	sumeq2i 15621	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
42	40, 41	eqtr4i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘)
43	19, 20, 23, 24, 16, 36	isumsplit 15763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
44	42, 43	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
45	21	nncnd 12161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
46		pncan 11386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
47	45, 12, 46	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
48	47	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
49	48	sumeq1d 15623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))
50	49	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
51	44, 50	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
52	18, 39, 51	mvrladdd 11550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
53	52	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
54	21	nnnn0d 12462	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
55	54	faccld 14207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
57		ere 16012	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
58	57	recni 11146	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℂ
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℂ)
60	56, 59, 18	subdid 11593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
61	53, 60	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
62		eirr.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
63	62	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
64		eirr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
65	64	zcnd 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
66	21	nnne0d 12195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
67	56, 65, 45, 66	div12d 11953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
68	63, 67	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
69	21	nnred 12160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
70	69	leidd 11703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑄)
71		facdiv 14210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ≤ 𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
72	54, 21, 70, 71	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
73	72	nnzd 12514	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
74	64, 73	zmulcld 12602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
75	68, 74	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
76	1, 56, 17	fsummulc2 15707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)))
77	2	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78	77, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
79	78	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
80	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
81	2, 31	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
82	81	nncnd 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
83		facne0 14209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
84	77, 83	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
85	80, 82, 84	divrecd 11920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
86	79, 85	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
87		permnn 14249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
88	87	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
89	86, 88	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ)
90	89	nnzd 12514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
91	1, 90	fsumzcl 15658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
92	76, 91	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
93	75, 92	zsubcld 12601	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) ∈ ℤ)
94	61, 93	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
95		0zd 12500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
96	55	nnrpd 12947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
97	96, 37	rpmulcld 12965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
98	97	rpgt0d 12952	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
99	22	peano2nnd 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
100	99	nnred 12160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
101	23	faccld 14207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
102	101, 22	nnmulcld 12198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103	100, 102	nndivred 12199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
104	55	nnrecred 12196	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
105		abs1 15220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
106	105	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
107	106	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
108	107	mpteq2i 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109	9, 108	eqtr4i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
110		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
111		1le1 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
112	105, 111	eqbrtri 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) ≤ 1
113	112	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
114	9, 109, 110, 22, 13, 113	eftlub 16034	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
115	37	rprege0d 12956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
116		absid 15219	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
118	105	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
119	22	nnzd 12514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
120		1exp 14014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122	118, 121	eqtrid 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
123	122	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
124	103	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
125	124	mullidd 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
126	123, 125	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127	114, 117, 126	3brtr3d 5129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
128	22	nnred 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
129	128, 128	readdcld 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
130	128, 128	remulcld 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131		1red 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
132	21	nnge1d 12193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
133		1nn 12156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
134		nnleltp1 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
135	133, 21, 134	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136	132, 135	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
137	131, 128, 128, 136	ltadd2dd 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
138	22	nncnd 12161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
139	138	2timesd 12384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
140		df-2 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
141	131, 69, 131, 132	leadd1dd 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
142	140, 141	eqbrtrid 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
143		2re 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
145	22	nngt0d 12194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
146		lemul1 11993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
147	144, 128, 128, 145, 146	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148	142, 147	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
149	139, 148	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150	100, 129, 130, 137, 149	ltletrd 11293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151		facp1 14201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
152	54, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
153	152	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
154	101	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
155	55	nnne0d 12195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
156	154, 56, 155	divrecd 11920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
157	138, 56, 155	divcan3d 11922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
158	153, 156, 157	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
159	158	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
160	104	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
161	154, 160, 138	mul32d 11343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
162	159, 161	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163	150, 162	breqtrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164	102	nnred 12160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
165	102	nngt0d 12194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
166		ltdivmul 12017	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
167	100, 104, 164, 165, 166	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168	163, 167	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
169	38, 103, 104, 127, 168	lelttrd 11291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
170	38, 131, 96	ltmuldiv2d 12997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
171	169, 170	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1)
172		0p1e1 12262	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
173	171, 172	breqtrrdi 5140	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1))
174		btwnnz 12568	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
175	95, 98, 173, 174	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
176	94, 175	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  ...cfz 13423  seqcseq 13924  ↑cexp 13984  !cfa 14196  abscabs 15157   ⇝ cli 15407  Σcsu 15609  eceu 15985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-e 15991

This theorem is referenced by:  eirr  16130