Theorem dvasinbx 46750

Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of A x sin(By), given two constants 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvasinbx	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (sin‘(𝐵 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem dvasinbx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11220	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		0cnd 11226	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
5	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7	5, 6	dvmptc 26190	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
9		mulcl 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℂ)
10	9	sincld 16222	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐵 · 𝑦)) ∈ ℂ)
11	10	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐵 · 𝑦)) ∈ ℂ)
12		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	9	coscld 16223	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐵 · 𝑦)) ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11256	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) ∈ ℂ)
15	14	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) ∈ ℂ)
16		dvsinax 46743	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐵 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦)))))
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐵 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦)))))
18	2, 3, 4, 8, 11, 15, 17	dvmptmul 26193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (sin‘(𝐵 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · (sin‘(𝐵 · 𝑦))) + ((𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) · 𝐴))))
19	11	mul02d 11435	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · (sin‘(𝐵 · 𝑦))) = 0)
20	12	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	13	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐵 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22	20, 21, 3	mul32d 11447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) · (cos‘(𝐵 · 𝑦))))
23		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	23, 24	mulcomd 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
27	26	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐴) · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) = ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦))))
28	22, 27	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦))))
29	19, 28	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · (sin‘(𝐵 · 𝑦))) + ((𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) · 𝐴)) = (0 + ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦)))))
30	3, 20	mulcld 11256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	30, 21	mulcld 11256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11438	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦)))) = ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦))))
33	29, 32	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · (sin‘(𝐵 · 𝑦))) + ((𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦))))
34	33	mpteq2dva 5202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · (sin‘(𝐵 · 𝑦))) + ((𝐵 · (cos‘(𝐵 · 𝑦))) · 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦)))))
35	18, 34	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (sin‘(𝐵 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴 · 𝐵) · (cos‘(𝐵 · 𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4589   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130   · cmul 11132  sincsin 16153  cosccos 16154   D cdv 26095

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-mulg 19195  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-cnfld 21590  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-cld 23248  df-ntr 23249  df-cls 23250  df-nei 23327  df-lp 23365  df-perf 23366  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-haus 23544  df-tx 23792  df-hmeo 23985  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-xms 24550  df-ms 24551  df-tms 24552  df-cncf 25110  df-limc 26098  df-dv 26099

This theorem is used by:  dirkercncflem2  46934  fourierdlem57  46993  fourierdlem58  46994  fourierdlem62  46998