MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dquart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dquart 26219
Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate ๐‘†, which is the square root of a solution ๐‘€ to the resolvent cubic equation, apply cubic 26215 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
dquart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dquart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dquart.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
dquart.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
dquart.m0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
dquart.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
dquart.i2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
dquart.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
dquart.3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) + -(๐ถโ†‘2))) = 0)
dquart.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
dquart.j2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
Assertion
Ref Expression
dquart (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)) = 0 โ†” ((๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)) โˆจ (๐‘‹ = (๐‘† + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)))))

Proof of Theorem dquart
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21sqcld 14056 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3 dquart.m . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
4 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„‚
5 dquart.s . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
87sqcld 14056 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
93, 8eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10 dquart.b . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
119, 10addcld 11181 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1211halfcld 12405 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
13 binom2 14128 . . . . . . . 8 (((๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2))โ†‘2) = ((((๐‘‹โ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘‹โ†‘2) ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2)))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)))
142, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2))โ†‘2) = ((((๐‘‹โ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘‹โ†‘2) ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2)))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)))
15 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•0
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
171, 16, 16expmuld 14061 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘(2 ยท 2)) = ((๐‘‹โ†‘2)โ†‘2))
18 2t2e4 12324 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 2) = 4
1918oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹โ†‘(2 ยท 2)) = (๐‘‹โ†‘4)
2017, 19eqtr3di 2792 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2)โ†‘2) = (๐‘‹โ†‘4))
214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2221, 2, 12mul12d 11371 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘‹โ†‘2) ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2))) = ((๐‘‹โ†‘2) ยท (2 ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2))))
23 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
2511, 21, 24divcan2d 11940 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) = (๐‘€ + ๐ต))
2625oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) ยท (2 ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2))) = ((๐‘‹โ†‘2) ยท (๐‘€ + ๐ต)))
272, 11mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) ยท (๐‘€ + ๐ต)) = ((๐‘€ + ๐ต) ยท (๐‘‹โ†‘2)))
2826, 27eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) ยท (2 ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2))) = ((๐‘€ + ๐ต) ยท (๐‘‹โ†‘2)))
299, 10, 2adddird 11187 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) ยท (๐‘‹โ†‘2)) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))))
3022, 28, 293eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘‹โ†‘2) ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2))) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))))
3120, 30oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘‹โ†‘2) ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2)))) = ((๐‘‹โ†‘4) + ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)))))
32 4nn0 12439 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„•0
33 expcl 13992 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
341, 32, 33sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
359, 2mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3610, 2mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3734, 35, 36add12d 11388 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘4) + ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)))) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)))))
3831, 37eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘‹โ†‘2) ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2)))) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)))))
3938oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘‹โ†‘2) ยท ((๐‘€ + ๐ต) / 2)))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)) = (((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)))
4034, 36addcld 11181 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
4112sqcld 14056 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4235, 40, 41addassd 11184 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2)))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2))))
4314, 39, 423eqtrd 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2))โ†‘2) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2))))
449halfcld 12405 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
4544, 1mulcld 11182 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
46 dquart.c . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
47 4cn 12245 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„‚
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
49 4ne0 12268 . . . . . . . . . . . . 13 4 โ‰  0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
5146, 48, 50divcld 11938 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / 4) โˆˆ โ„‚)
5245, 51subcld 11519 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) โˆˆ โ„‚)
53 dquart.m0 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
543, 53eqnetrrd 3013 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0)
55 sqne0 14035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
567, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
5754, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โ‰  0)
58 mulne0b 11803 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
594, 5, 58sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
6057, 59mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0))
6160simprd 497 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)
6252, 5, 21, 61, 24divcan5d 11964 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4))) / (2 ยท ๐‘†)) = ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))
6321, 45, 51subdid 11618 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4))) = ((2 ยท ((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹)) โˆ’ (2 ยท (๐ถ / 4))))
6421, 44, 1mulassd 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘‹) = (2 ยท ((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹)))
659, 21, 24divcan2d 11940 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ / 2)) = ๐‘€)
6665oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
6764, 66eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
6821, 46, 48, 50divassd 11973 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) / 4) = (2 ยท (๐ถ / 4)))
6918oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยท ๐ถ) / (2 ยท 2)) = ((2 ยท ๐ถ) / 4)
7046, 21, 21, 24, 24divcan5d 11964 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) / (2 ยท 2)) = (๐ถ / 2))
7169, 70eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) / 4) = (๐ถ / 2))
7268, 71eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ถ / 4)) = (๐ถ / 2))
7367, 72oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹)) โˆ’ (2 ยท (๐ถ / 4))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2)))
7463, 73eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2)))
7574oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4))) / (2 ยท ๐‘†)) = (((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2)) / (2 ยท ๐‘†)))
7662, 75eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) = (((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2)) / (2 ยท ๐‘†)))
7776oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)โ†‘2) = ((((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2)) / (2 ยท ๐‘†))โ†‘2))
789, 1mulcld 11182 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
7946halfcld 12405 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / 2) โˆˆ โ„‚)
8078, 79subcld 11519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2)) โˆˆ โ„‚)
8180, 7, 57sqdivd 14071 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2)) / (2 ยท ๐‘†))โ†‘2) = ((((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2))โ†‘2) / ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2)))
829sqcld 14056 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8382, 2mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8478, 46mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8583, 84subcld 11519 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
8646sqcld 14056 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8786, 48, 50divcld 11938 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) / 4) โˆˆ โ„‚)
8885, 87, 9, 53divdird 11976 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) + ((๐ถโ†‘2) / 4)) / ๐‘€) = (((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) / ๐‘€) + (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))
89 binom2sub 14130 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2))โ†‘2) = ((((๐‘€ ยท ๐‘‹)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท (๐ถ / 2)))) + ((๐ถ / 2)โ†‘2)))
9078, 79, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2))โ†‘2) = ((((๐‘€ ยท ๐‘‹)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท (๐ถ / 2)))) + ((๐ถ / 2)โ†‘2)))
919, 1sqmuld 14070 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)))
9221, 78, 79mul12d 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท (๐ถ / 2))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท (2 ยท (๐ถ / 2))))
9346, 21, 24divcan2d 11940 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ถ / 2)) = ๐ถ)
9493oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท (2 ยท (๐ถ / 2))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ))
9592, 94eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท (๐ถ / 2))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ))
9691, 95oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท (๐ถ / 2)))) = (((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)))
9746, 21, 24sqdivd 14071 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / 2)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) / (2โ†‘2)))
98 sq2 14108 . . . . . . . . . . . . 13 (2โ†‘2) = 4
9998oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถโ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) / 4)
10097, 99eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / 2)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) / 4))
10196, 100oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ ยท ๐‘‹)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท (๐ถ / 2)))) + ((๐ถ / 2)โ†‘2)) = ((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) + ((๐ถโ†‘2) / 4)))
10290, 101eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) + ((๐ถโ†‘2) / 4)) = (((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2))โ†‘2))
103102, 3oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) + ((๐ถโ†‘2) / 4)) / ๐‘€) = ((((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2))โ†‘2) / ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2)))
10483, 84, 9, 53divsubdird 11977 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) / ๐‘€) = ((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) / ๐‘€) โˆ’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ) / ๐‘€)))
10582, 2, 9, 53div23d 11975 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) / ๐‘€) = (((๐‘€โ†‘2) / ๐‘€) ยท (๐‘‹โ†‘2)))
1069sqvald 14055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
107106oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / ๐‘€) = ((๐‘€ ยท ๐‘€) / ๐‘€))
1089, 9, 53divcan3d 11943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) / ๐‘€) = ๐‘€)
109107, 108eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / ๐‘€) = ๐‘€)
110109oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / ๐‘€) ยท (๐‘‹โ†‘2)) = (๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)))
111105, 110eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) / ๐‘€) = (๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)))
1129, 1, 46mul32d 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ) = ((๐‘€ ยท ๐ถ) ยท ๐‘‹))
1139, 46, 1mulassd 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐ถ) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐ถ ยท ๐‘‹)))
114112, 113eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ) = (๐‘€ ยท (๐ถ ยท ๐‘‹)))
115114oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ) / ๐‘€) = ((๐‘€ ยท (๐ถ ยท ๐‘‹)) / ๐‘€))
11646, 1mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
117116, 9, 53divcan3d 11943 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท (๐ถ ยท ๐‘‹)) / ๐‘€) = (๐ถ ยท ๐‘‹))
118115, 117eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ) / ๐‘€) = (๐ถ ยท ๐‘‹))
119111, 118oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) / ๐‘€) โˆ’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ) / ๐‘€)) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐‘‹)))
120104, 119eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) / ๐‘€) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐‘‹)))
121120oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) / ๐‘€) + (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = (((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐‘‹)) + (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))
12287, 9, 53divcld 11938 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
12335, 116, 122subsubd 11547 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))) = (((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐‘‹)) + (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))
124121, 123eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) ยท ๐ถ)) / ๐‘€) + (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))))
12588, 103, 1243eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 2))โ†‘2) / ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2)) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))))
12677, 81, 1253eqtrd 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)โ†‘2) = ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))))
12743, 126oveq12d 7380 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2))โ†‘2) โˆ’ (((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)โ†‘2)) = (((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2))) โˆ’ ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))))
12840, 41addcld 11181 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
129116, 122subcld 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
13035, 128, 129pnncand 11558 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2))) โˆ’ ((๐‘€ ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))) = ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))))
131122negcld 11506 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
13240, 41, 116, 131add4d 11390 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))) = ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (๐ถ ยท ๐‘‹)) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) + -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))))
133116, 122negsubd 11525 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘‹) + -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))
134133oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))) = ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))))
13541, 122negsubd 11525 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) + -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)))
136 dquart.i . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
137 dquart.i2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
138 dquart.d . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
139 dquart.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘3) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐‘€โ†‘2))) + ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท ๐ท)) ยท ๐‘€) + -(๐ถโ†‘2))) = 0)
14010, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137, 138, 139dquartlem2 26218 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ๐ท)
141135, 140eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) + -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€)) = ๐ท)
142141oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (๐ถ ยท ๐‘‹)) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) + -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))) = ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (๐ถ ยท ๐‘‹)) + ๐ท))
14340, 116, 138addassd 11184 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (๐ถ ยท ๐‘‹)) + ๐ท) = (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)))
144142, 143eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (๐ถ ยท ๐‘‹)) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2) + -(((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))) = (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)))
145132, 134, 1443eqtr3d 2785 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2)โ†‘2)) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (((๐ถโ†‘2) / 4) / ๐‘€))) = (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)))
146127, 130, 1453eqtrd 2781 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2))โ†‘2) โˆ’ (((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)โ†‘2)) = (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)))
1472, 12addcld 11181 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆˆ โ„‚)
14852, 5, 61divcld 11938 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
149 subsq 14121 . . . . 5 ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2))โ†‘2) โˆ’ (((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)โ†‘2)) = ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) ยท (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))))
150147, 148, 149syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2))โ†‘2) โˆ’ (((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)โ†‘2)) = ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) ยท (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))))
151146, 150eqtr3d 2779 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)) = ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) ยท (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))))
152151eqeq1d 2739 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)) = 0 โ†” ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) ยท (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))) = 0))
153147, 148addcld 11181 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
154147, 148subcld 11519 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
155153, 154mul0ord 11812 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) ยท (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))) = 0 โ†” ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โˆจ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0)))
15610, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137dquartlem1 26217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))
1575negcld 11506 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
158 sqneg 14028 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
1597, 158syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
1603, 159eqtr4d 2780 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (-(2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
161 mulneg2 11599 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท -๐‘†) = -(2 ยท ๐‘†))
1624, 5, 161sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท -๐‘†) = -(2 ยท ๐‘†))
163162oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท -๐‘†)โ†‘2) = (-(2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
164160, 163eqtr4d 2780 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท -๐‘†)โ†‘2))
165 dquart.j . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
166 dquart.j2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
1675sqcld 14056 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
168167negcld 11506 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
16910halfcld 12405 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„‚)
170168, 169subcld 11519 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) โˆˆ โ„‚)
17151, 5, 61divcld 11938 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
172170, 171negsubd 11525 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + -((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
173 sqneg 14028 . . . . . . . . . . 11 (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘†โ†‘2) = (๐‘†โ†‘2))
1745, 173syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘†โ†‘2) = (๐‘†โ†‘2))
175174eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) = (-๐‘†โ†‘2))
176175negeqd 11402 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘†โ†‘2) = -(-๐‘†โ†‘2))
177176oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) = (-(-๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)))
17851, 5, 61divneg2d 11952 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((๐ถ / 4) / ๐‘†) = ((๐ถ / 4) / -๐‘†))
179177, 178oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + -((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = ((-(-๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / -๐‘†)))
180166, 172, 1793eqtr2d 2783 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘2) = ((-(-๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / -๐‘†)))
18110, 46, 1, 157, 164, 53, 165, 180dquartlem1 26217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / -๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (--๐‘† + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = (--๐‘† โˆ’ ๐ฝ))))
18252, 5, 61divneg2d 11952 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) = ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / -๐‘†))
183182oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + -((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / -๐‘†)))
184147, 148negsubd 11525 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + -((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)))
185183, 184eqtr3d 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / -๐‘†)) = (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)))
186185eqeq1d 2739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / -๐‘†)) = 0 โ†” (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0))
1875negnegd 11510 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ --๐‘† = ๐‘†)
188187oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (--๐‘† + ๐ฝ) = (๐‘† + ๐ฝ))
189188eqeq2d 2748 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = (--๐‘† + ๐ฝ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘† + ๐ฝ)))
190187oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (--๐‘† โˆ’ ๐ฝ) = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ))
191190eqeq2d 2748 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = (--๐‘† โˆ’ ๐ฝ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)))
192189, 191orbi12d 918 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = (--๐‘† + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = (--๐‘† โˆ’ ๐ฝ)) โ†” (๐‘‹ = (๐‘† + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ))))
193181, 186, 1923bitr3d 309 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (๐‘† + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ))))
194156, 193orbi12d 918 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โˆจ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆ’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0) โ†” ((๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)) โˆจ (๐‘‹ = (๐‘† + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)))))
195152, 155, 1943bitrd 305 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘4) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)) = 0 โ†” ((๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)) โˆจ (๐‘‹ = (๐‘† + ๐ฝ) โˆจ ๐‘‹ = (๐‘† โˆ’ ๐ฝ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  quart  26227
  Copyright terms: Public domain W3C validator