dquart - Metamath Proof Explorer

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Theorem dquart 26830

Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate 𝑆, which is the square root of a solution 𝑀 to the resolvent cubic equation, apply cubic 26826 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dquart.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
dquart.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2	⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3	⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
dquart.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
dquart.j2	⊢ (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))

**Assertion**
Ref	Expression
dquart	⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆 − 𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆 − 𝐽)))))

**Proof of Theorem dquart**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dquart.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
3		dquart.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
4		2cn 12320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		dquart.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
6		mulcl 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
9	3, 8	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
10		dquart.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
13		binom2 14216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
14	2, 12, 13	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
15		2nn0 12522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
17	1, 16, 16	expmuld 14149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(2 · 2)) = ((𝑋↑2)↑2))
18		2t2e4 12409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
19	18	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋↑(2 · 2)) = (𝑋↑4)
20	17, 19	eqtr3di 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2)↑2) = (𝑋↑4))
21	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	21, 2, 12	mul12d 11455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))))
23		2ne0 12349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
25	11, 21, 24	divcan2d 12025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2)) = (𝑀 + 𝐵))
26	25	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑋↑2) · (𝑀 + 𝐵)))
27	2, 11	mulcomd 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑀 + 𝐵)) = ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)))
28	26, 27	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)))
29	9, 10, 2	adddird 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2))))
30	22, 28, 29	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2))))
31	20, 30	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) = ((𝑋↑4) + ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
32		4nn0 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
33		expcl 14080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
34	1, 32, 33	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
35	9, 2	mulcld 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
36	10, 2	mulcld 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	add12d 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑4) + ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
38	31, 37	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
39	38	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
40	34, 36	addcld 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
41	12	sqcld 14144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) ∈ ℂ)
42	35, 40, 41	addassd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))))
43	14, 39, 42	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))))
44	9	halfcld 12490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
45	44, 1	mulcld 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
46		dquart.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
47		4cn 12330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
49		4ne0 12353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
51	46, 48, 50	divcld 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 4) ∈ ℂ)
52	45, 51	subcld 11603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) ∈ ℂ)
53		dquart.m0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
54	3, 53	eqnetrrd 2998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0)
55		sqne0 14123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
56	7, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
57	54, 56	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ≠ 0)
58		mulne0b 11887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
59	4, 5, 58	sylancr 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
60	57, 59	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
61	60	simprd 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
62	52, 5, 21, 61, 24	divcan5d 12049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) / (2 · 𝑆)) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))
63	21, 45, 51	subdid 11702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) = ((2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) − (2 · (𝐶 / 4))))
64	21, 44, 1	mulassd 11269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑀 / 2)) · 𝑋) = (2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)))
65	9, 21, 24	divcan2d 12025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 / 2)) = 𝑀)
66	65	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑀 / 2)) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
67	64, 66	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
68	21, 46, 48, 50	divassd 12058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 4) = (2 · (𝐶 / 4)))
69	18	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝐶) / (2 · 2)) = ((2 · 𝐶) / 4)
70	46, 21, 21, 24, 24	divcan5d 12049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) / (2 · 2)) = (𝐶 / 2))
71	69, 70	eqtr3id 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 4) = (𝐶 / 2))
72	68, 71	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶 / 4)) = (𝐶 / 2))
73	67, 72	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) − (2 · (𝐶 / 4))) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)))
74	63, 73	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)))
75	74	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) / (2 · 𝑆)) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆)))
76	62, 75	eqtr3d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆)))
77	76	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆))↑2))
78	9, 1	mulcld 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ ℂ)
79	46	halfcld 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℂ)
80	78, 79	subcld 11603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) ∈ ℂ)
81	80, 7, 57	sqdivd 14159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)))
82	9	sqcld 14144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
83	82, 2	mulcld 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
84	78, 46	mulcld 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) ∈ ℂ)
85	83, 84	subcld 11603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) ∈ ℂ)
86	46	sqcld 14144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
87	86, 48, 50	divcld 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
88	85, 87, 9, 53	divdird 12061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) / 𝑀) = (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
89		binom2sub 14218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℂ) → (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)))
90	78, 79, 89	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)))
91	9, 1	sqmuld 14158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋)↑2) = ((𝑀↑2) · (𝑋↑2)))
92	21, 78, 79	mul12d 11455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · (2 · (𝐶 / 2))))
93	46, 21, 24	divcan2d 12025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶 / 2)) = 𝐶)
94	93	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · (2 · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶))
95	92, 94	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶))
96	91, 95	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) = (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)))
97	46, 21, 24	sqdivd 14159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 2)↑2) = ((𝐶↑2) / (2↑2)))
98		sq2 14196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
99	98	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶↑2) / (2↑2)) = ((𝐶↑2) / 4)
100	97, 99	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 2)↑2) = ((𝐶↑2) / 4))
101	96, 100	oveq12d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)) = ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)))
102	90, 101	eqtr2d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2))
103	102, 3	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) / 𝑀) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)))
104	83, 84, 9, 53	divsubdird 12062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) = ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) − (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀)))
105	82, 2, 9, 53	div23d 12060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) = (((𝑀↑2) / 𝑀) · (𝑋↑2)))
106	9	sqvald 14143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
107	106	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 𝑀) = ((𝑀 · 𝑀) / 𝑀))
108	9, 9, 53	divcan3d 12028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑀) / 𝑀) = 𝑀)
109	107, 108	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 𝑀) = 𝑀)
110	109	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 𝑀) · (𝑋↑2)) = (𝑀 · (𝑋↑2)))
111	105, 110	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) = (𝑀 · (𝑋↑2)))
112	9, 1, 46	mul32d 11456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) = ((𝑀 · 𝐶) · 𝑋))
113	9, 46, 1	mulassd 11269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝐶) · 𝑋) = (𝑀 · (𝐶 · 𝑋)))
114	112, 113	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) = (𝑀 · (𝐶 · 𝑋)))
115	114	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀) = ((𝑀 · (𝐶 · 𝑋)) / 𝑀))
116	46, 1	mulcld 11266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
117	116, 9, 53	divcan3d 12028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝐶 · 𝑋)) / 𝑀) = (𝐶 · 𝑋))
118	115, 117	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀) = (𝐶 · 𝑋))
119	111, 118	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) − (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)))
120	104, 119	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)))
121	120	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
122	87, 9, 53	divcld 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
123	35, 116, 122	subsubd 11631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
124	121, 123	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
125	88, 103, 124	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
126	77, 81, 125	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
127	43, 126	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))) − ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))))
128	40, 41	addcld 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) ∈ ℂ)
129	116, 122	subcld 11603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
130	35, 128, 129	pnncand 11642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))) − ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
131	122	negcld 11590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
132	40, 41, 116, 131	add4d 11474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
133	116, 122	negsubd 11609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
134	133	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
135	41, 122	negsubd 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
136		dquart.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
137		dquart.i2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
138		dquart.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
139		dquart.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
140	10, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137, 138, 139	dquartlem2 26829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
141	135, 140	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
142	141	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + 𝐷))
143	40, 116, 138	addassd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + 𝐷) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
144	142, 143	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
145	132, 134, 144	3eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
146	127, 130, 145	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
147	2, 12	addcld 11265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
148	52, 5, 61	divcld 12023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ)
149		subsq 14209	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ) → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
150	147, 148, 149	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
151	146, 150	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
152	151	eqeq1d 2727	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) = 0))
153	147, 148	addcld 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
154	147, 148	subcld 11603	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
155	153, 154	mul0ord 11896	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) = 0 ↔ ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ∨ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0)))
156	10, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137	dquartlem1 26828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆 − 𝐼))))
157	5	negcld 11590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
158		sqneg 14116	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (-(2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 𝑆)↑2))
159	7, 158	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 𝑆)↑2))
160	3, 159	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (-(2 · 𝑆)↑2))
161		mulneg2 11683	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · -𝑆) = -(2 · 𝑆))
162	4, 5, 161	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · -𝑆) = -(2 · 𝑆))
163	162	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · -𝑆)↑2) = (-(2 · 𝑆)↑2))
164	160, 163	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · -𝑆)↑2))
165		dquart.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
166		dquart.j2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
167	5	sqcld 14144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
168	167	negcld 11590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
169	10	halfcld 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℂ)
170	168, 169	subcld 11603	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
171	51, 5, 61	divcld 12023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
172	170, 171	negsubd 11609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + -((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
173		sqneg 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (-𝑆↑2) = (𝑆↑2))
174	5, 173	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-𝑆↑2) = (𝑆↑2))
175	174	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = (-𝑆↑2))
176	175	negeqd 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑆↑2) = -(-𝑆↑2))
177	176	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) = (-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)))
178	51, 5, 61	divneg2d 12037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 / 4) / 𝑆) = ((𝐶 / 4) / -𝑆))
179	177, 178	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + -((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / -𝑆)))
180	166, 172, 179	3eqtr2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / -𝑆)))
181	10, 46, 1, 157, 164, 53, 165, 180	dquartlem1 26828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (--𝑆 − 𝐽))))
182	52, 5, 61	divneg2d 12037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆))
183	182	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)))
184	147, 148	negsubd 11609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)))
185	183, 184	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)))
186	185	eqeq1d 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = 0 ↔ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0))
187	5	negnegd 11594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → --𝑆 = 𝑆)
188	187	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (--𝑆 + 𝐽) = (𝑆 + 𝐽))
189	188	eqeq2d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ↔ 𝑋 = (𝑆 + 𝐽)))
190	187	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (--𝑆 − 𝐽) = (𝑆 − 𝐽))
191	190	eqeq2d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (--𝑆 − 𝐽) ↔ 𝑋 = (𝑆 − 𝐽)))
192	189, 191	orbi12d 916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (--𝑆 − 𝐽)) ↔ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆 − 𝐽))))
193	181, 186, 192	3bitr3d 308	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆 − 𝐽))))
194	156, 193	orbi12d 916	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ∨ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0) ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆 − 𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆 − 𝐽)))))
195	152, 155, 194	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆 − 𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆 − 𝐽)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∨ wo 845 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2929 (class class class)co 7419 ℂcc 11138 0cc0 11140 + caddc 11143 · cmul 11145 − cmin 11476 -cneg 11477 / cdiv 11903 2c2 12300 3c3 12301 4c4 12302 ℕ₀cn0 12505 ↑cexp 14062

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7741 ax-cnex 11196 ax-resscn 11197 ax-1cn 11198 ax-icn 11199 ax-addcl 11200 ax-addrcl 11201 ax-mulcl 11202 ax-mulrcl 11203 ax-mulcom 11204 ax-addass 11205 ax-mulass 11206 ax-distr 11207 ax-i2m1 11208 ax-1ne0 11209 ax-1rid 11210 ax-rnegex 11211 ax-rrecex 11212 ax-cnre 11213 ax-pre-lttri 11214 ax-pre-lttrn 11215 ax-pre-ltadd 11216 ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2930 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3363 df-reu 3364 df-rab 3419 df-v 3463 df-sbc 3774 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3964 df-nul 4323 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4910 df-iun 4999 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6307 df-ord 6374 df-on 6375 df-lim 6376 df-suc 6377 df-iota 6501 df-fun 6551 df-fn 6552 df-f 6553 df-f1 6554 df-fo 6555 df-f1o 6556 df-fv 6557 df-riota 7375 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7872 df-2nd 7995 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11282 df-mnf 11283 df-xr 11284 df-ltxr 11285 df-le 11286 df-sub 11478 df-neg 11479 df-div 11904 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-n0 12506 df-z 12592 df-uz 12856 df-seq 14003 df-exp 14063

This theorem is referenced by: quart 26838

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