binomfallfaclem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem binomfallfaclem2 16119

Description: Lemma for binomfallfac 16120. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomfallfaclem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
binomfallfaclem.4	⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
binomfallfaclem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑘 𝑘,𝑁 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘 Allowed substitution hint: 𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomfallfaclem2 Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomfallfaclem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
2		elfzelz 13570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		bccl 14378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
5	4	nn0cnd 12585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
6		binomfallfaclem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fznn0sub 13603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀)
8		fallfaccl 16096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
10		binomfallfaclem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elfznn0 13667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
12		fallfaccl 16096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
14	9, 13	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
15	6, 10	addcld 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
16	1	nn0cnd 12585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	15, 16	subcld 11587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
19	5, 14, 18	mulassd 11250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))))
20	7	nn0cnd 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ)
21		subcl 11474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
22	6, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
23	11	nn0cnd 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
24		subcl 11474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝑘) ∈ ℂ)
25	10, 23, 24	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − 𝑘) ∈ ℂ)
26	14, 22, 25	adddid 11251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘))) = ((((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘))))
27	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	27, 28	subcld 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℂ)
30	23	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
31	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	ppncand 11627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 − 𝑁) + 𝑘) + (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝐵))
33	27, 28, 30	subsubd 11615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝑘))
34	33	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘)) = (((𝐴 − 𝑁) + 𝑘) + (𝐵 − 𝑘)))
35	27, 31, 28	addsubd 11608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝐵))
36	32, 34, 35	3eqtr4d 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))
37	36	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
38	9, 13, 22	mul32d 11438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
39		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
40	28, 39, 30	addsubd 11608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
41	40	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
42		fallfacp1 16109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
43	6, 7, 42	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
44	41, 43	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
45	44	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
46	38, 45	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
47	9, 13, 25	mulassd 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘))))
48		fallfacp1 16109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘)))
49	10, 11, 48	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘)))
50	49	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘))))
51	47, 50	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))
52	46, 51	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
53	26, 37, 52	3eqtr3d 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
54	53	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
55	1	nn0zd 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
56		uzid 12895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
57		peano2uz 12943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
58		fzss2 13611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
59	55, 56, 57, 58	4syl 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
60	59	sselda 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
61		fznn0sub 13603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
62		fallfaccl 16096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
63	6, 61, 62	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
64	60, 63	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
65	64, 13	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
66		peano2nn0 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
67	11, 66	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
68		fallfaccl 16096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
69	10, 67, 68	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
70	9, 69	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
71	5, 65, 70	adddid 11251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
72	19, 54, 71	3eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
73	72	sumeq2dv 15779	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
74	73	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
75	15, 1	fallfacp1d 16111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
76		binomfallfaclem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
77	76	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
78	75, 77	sylan9eq 2821	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
79		fzfid 14029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
80	5, 14	mulcld 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
81	79, 17, 80	fsummulc1 15862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
82	81	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
83	78, 82	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
84		elfzelz 13570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
85		bcpasc 14377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
86	1, 84, 85	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
87	86	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
88	1, 84, 3	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
89	88	nn0cnd 12585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
90		peano2zm 12655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
91	84, 90	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
92		bccl 14378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ₀)
93	1, 91, 92	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ₀)
94	93	nn0cnd 12585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
95		elfznn0 13667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
96	10, 95, 12	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
97	63, 96	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
98	89, 94, 97	adddird 11252	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
99	87, 98	eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
100	99	sumeq2dv 15779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
101		nn0uz 12918	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
102	1, 101	eleqtrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
103	89, 97	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
104		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
105		oveq2 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
106	105	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))))
107		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))
108	106, 107	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))
109	104, 108	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
110	102, 103, 109	fsump1 15833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))))
111		peano2nn0 12562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
112	1, 111	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
113	112	nn0zd 12634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
114	1	nn0red 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
115	114	ltp1d 12163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
116	115	olcd 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
117		bcval4 14363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
118	1, 113, 116, 117	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
119	118	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
120	112	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
121	120	subidd 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
122	121	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) = (𝐴 FallFac 0))
123		0nn0 12537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
124		fallfaccl 16096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
125	6, 123, 124	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
126	122, 125	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
127		fallfaccl 16096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
128	10, 112, 127	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
129	126, 128	mulcld 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
130	129	mul02d 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
131	119, 130	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
132	131	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0))
133	60, 103	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
134	79, 133	fsumcl 15810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
135	134	addridd 11428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
136	110, 132, 135	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
137	112, 101	eleqtrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
138	94, 97	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
139		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
140		df-neg 11462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
141	139, 140	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = -1)
142	141	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C-1))
143		oveq2 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
144	143	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)))
145		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac 0))
146	144, 145	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)))
147	142, 146	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
148	137, 138, 147	fsum1p 15830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
149		neg1z 12648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℤ
150		neg1lt0 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 < 0
151	150	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)
152		bcval4 14363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)) → (𝑁C-1) = 0)
153	149, 151, 152	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C-1) = 0)
154	1, 153	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
155	154	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
156	120	subid1d 11576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
157	156	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) = (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)))
158		fallfaccl 16096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
159	6, 112, 158	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
160	157, 159	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) ∈ ℂ)
161		fallfaccl 16096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
162	10, 123, 161	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
163	160, 162	mulcld 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)) ∈ ℂ)
164	163	mul02d 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
165	155, 164	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
166		1zzd 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
167		0zd 12621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
168	6, 10, 1	binomfallfaclem1 16118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
169		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171	170	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) = (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))))
172		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
173	172	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)) = (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))
174	171, 173	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))))
175	169, 174	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
176	166, 167, 55, 168, 175	fsumshft 15857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
177	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
178		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
179	178	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
180	179	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
181		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
182	177, 180, 181	subsub3d 11617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
183	182	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)))
184	180, 181	npcand 11591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
185	184	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐵 FallFac 𝑘))
186	183, 185	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
187	186	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
188	187	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
189	176, 188	eqtr2d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
190		oveq2 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑗))
191		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑗))
192	191	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)))
193		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
194	193	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))
195	192, 194	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
196	190, 195	oveq12d 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
197	196	cbvsumv 15773	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
198	189, 197	eqtr4di 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
199	165, 198	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
200	6, 10, 1	binomfallfaclem1 16118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
201	79, 200	fsumcl 15810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
202	201	addlidd 11429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
203	148, 199, 202	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
204	136, 203	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
205		fzfid 14029	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
206	205, 103, 138	fsumadd 15817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
207	79, 133, 200	fsumadd 15817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
208	204, 206, 207	3eqtr4d 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
209	100, 208	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
210	209	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
211	74, 83, 210	3eqtr4d 2811	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ⊆ wss 3908 class class class wbr 5114 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ℂcc 11116 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 · cmul 11123 < clt 11261 − cmin 11459 -cneg 11460 ℕ₀cn0 12522 ℤcz 12609 ℤ_≥cuz 12880 ...cfz 13553 Ccbc 14358 Σcsu 15763 FallFac cfallfac 16084

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-rep 5243 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-inf2 9620 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195 ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-int 4918 df-iun 4963 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-se 5620 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-om 7872 df-1st 7995 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8703 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-sup 9412 df-oi 9482 df-card 9944 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-div 11890 df-nn 12252 df-2 12321 df-3 12322 df-n0 12523 df-z 12610 df-uz 12881 df-rp 13035 df-fz 13554 df-fzo 13702 df-seq 14058 df-exp 14118 df-fac 14330 df-bc 14359 df-hash 14387 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-clim 15565 df-sum 15764 df-prod 15984 df-fallfac 16087

This theorem is used by: binomfallfac 16120

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