binomfallfaclem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem binomfallfaclem2 14977

Description: Lemma for binomfallfac 14978. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomfallfaclem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
binomfallfaclem.4	⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
binomfallfaclem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑘 𝑘,𝑁 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘 Allowed substitution hint: 𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomfallfaclem2 Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomfallfaclem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
2		elfzelz 12549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		bccl 13313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
4	1, 2, 3	syl2an 575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
5	4	nn0cnd 11555	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
6		binomfallfaclem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fznn0sub 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀)
8		fallfaccl 14953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
10		binomfallfaclem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elfznn0 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
12		fallfaccl 14953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
14	9, 13	mulcld 10262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
15	6, 10	addcld 10261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
16	1	nn0cnd 11555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	15, 16	subcld 10594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
18	17	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
19	5, 14, 18	mulassd 10265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))))
20	7	nn0cnd 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ)
21		subcl 10482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
22	6, 20, 21	syl2an 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
23	11	nn0cnd 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
24		subcl 10482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝑘) ∈ ℂ)
25	10, 23, 24	syl2an 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − 𝑘) ∈ ℂ)
26	14, 22, 25	adddid 10266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘))) = ((((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘))))
27	6	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	16	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	27, 28	subcld 10594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℂ)
30	23	adantl 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
31	10	adantr 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	ppncand 10634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 − 𝑁) + 𝑘) + (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝐵))
33	27, 28, 30	subsubd 10622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝑘))
34	33	oveq1d 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘)) = (((𝐴 − 𝑁) + 𝑘) + (𝐵 − 𝑘)))
35	27, 31, 28	addsubd 10615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝐵))
36	32, 34, 35	3eqtr4d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))
37	36	oveq2d 6809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
38	9, 13, 22	mul32d 10448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
39		1cnd 10258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
40	28, 39, 30	addsubd 10615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
41	40	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
42		fallfacp1 14967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
43	6, 7, 42	syl2an 575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
44	41, 43	eqtrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
45	44	oveq1d 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
46	38, 45	eqtr4d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
47	9, 13, 25	mulassd 10265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘))))
48		fallfacp1 14967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘)))
49	10, 11, 48	syl2an 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘)))
50	49	oveq2d 6809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘))))
51	47, 50	eqtr4d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))
52	46, 51	oveq12d 6811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
53	26, 37, 52	3eqtr3d 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
54	53	oveq2d 6809	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
55	1	nn0zd 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
56		uzid 11903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
57		peano2uz 11943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
58		fzss2 12588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
59	55, 56, 57, 58	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
60	59	sselda 3752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
61		fznn0sub 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
62		fallfaccl 14953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
63	6, 61, 62	syl2an 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
64	60, 63	syldan 571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
65	64, 13	mulcld 10262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
66		peano2nn0 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
67	11, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
68		fallfaccl 14953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
69	10, 67, 68	syl2an 575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
70	9, 69	mulcld 10262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
71	5, 65, 70	adddid 10266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
72	19, 54, 71	3eqtrd 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
73	72	sumeq2dv 14641	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
74	73	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
75	15, 1	fallfacp1d 14969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
76		binomfallfaclem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
77	76	oveq1d 6808	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
78	75, 77	sylan9eq 2825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
79		fzfid 12980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
80	5, 14	mulcld 10262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
81	79, 17, 80	fsummulc1 14724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
82	81	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
83	78, 82	eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
84		elfzelz 12549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
85		bcpasc 13312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
86	1, 84, 85	syl2an 575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
87	86	oveq1d 6808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
88	1, 84, 3	syl2an 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
89	88	nn0cnd 11555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
90		peano2zm 11622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
91	84, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
92		bccl 13313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ₀)
93	1, 91, 92	syl2an 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ₀)
94	93	nn0cnd 11555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
95		elfznn0 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
96	10, 95, 12	syl2an 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
97	63, 96	mulcld 10262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
98	89, 94, 97	adddird 10267	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
99	87, 98	eqtr3d 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
100	99	sumeq2dv 14641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
101		nn0uz 11924	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
102	1, 101	syl6eleq 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
103	89, 97	mulcld 10262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
104		oveq2 6801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
105		oveq2 6801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
106	105	oveq2d 6809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))))
107		oveq2 6801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))
108	106, 107	oveq12d 6811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))
109	104, 108	oveq12d 6811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
110	102, 103, 109	fsump1 14695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))))
111		peano2nn0 11535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
112	1, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
113	112	nn0zd 11682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
114	1	nn0red 11554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
115	114	ltp1d 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
116	115	olcd 853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
117		bcval4 13298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
118	1, 113, 116, 117	syl3anc 1476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
119	118	oveq1d 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
120	112	nn0cnd 11555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
121	120	subidd 10582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
122	121	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) = (𝐴 FallFac 0))
123		0nn0 11509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
124		fallfaccl 14953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
125	6, 123, 124	sylancl 566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
126	122, 125	eqeltrd 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
127		fallfaccl 14953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
128	10, 112, 127	syl2anc 565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
129	126, 128	mulcld 10262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
130	129	mul02d 10436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
131	119, 130	eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
132	131	oveq2d 6809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0))
133	60, 103	syldan 571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
134	79, 133	fsumcl 14672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
135	134	addid1d 10438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
136	110, 132, 135	3eqtrd 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
137	112, 101	syl6eleq 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
138	94, 97	mulcld 10262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
139		oveq1 6800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
140		df-neg 10471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
141	139, 140	syl6eqr 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = -1)
142	141	oveq2d 6809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C-1))
143		oveq2 6801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
144	143	oveq2d 6809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)))
145		oveq2 6801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac 0))
146	144, 145	oveq12d 6811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)))
147	142, 146	oveq12d 6811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
148	137, 138, 147	fsum1p 14690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
149		neg1z 11615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℤ
150		neg1lt0 11329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 < 0
151	150	orci 844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)
152		bcval4 13298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)) → (𝑁C-1) = 0)
153	149, 151, 152	mp3an23 1564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C-1) = 0)
154	1, 153	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
155	154	oveq1d 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
156	120	subid1d 10583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
157	156	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) = (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)))
158		fallfaccl 14953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
159	6, 112, 158	syl2anc 565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
160	157, 159	eqeltrd 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) ∈ ℂ)
161		fallfaccl 14953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
162	10, 123, 161	sylancl 566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
163	160, 162	mulcld 10262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)) ∈ ℂ)
164	163	mul02d 10436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
165	155, 164	eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
166		1zzd 11610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
167		0zd 11591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
168	6, 10, 1	binomfallfaclem1 14976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
169		oveq2 6801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170		oveq2 6801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171	170	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) = (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))))
172		oveq1 6800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
173	172	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)) = (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))
174	171, 173	oveq12d 6811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))))
175	169, 174	oveq12d 6811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
176	166, 167, 55, 168, 175	fsumshft 14719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
177	16	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
178		elfzelz 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
179	178	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
180	179	zcnd 11685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
181		1cnd 10258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
182	177, 180, 181	subsub3d 10624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
183	182	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)))
184	180, 181	npcand 10598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
185	184	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐵 FallFac 𝑘))
186	183, 185	oveq12d 6811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
187	186	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
188	187	sumeq2dv 14641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
189	176, 188	eqtr2d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
190		oveq2 6801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑗))
191		oveq2 6801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑗))
192	191	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)))
193		oveq1 6800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
194	193	oveq2d 6809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))
195	192, 194	oveq12d 6811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
196	190, 195	oveq12d 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
197	196	cbvsumv 14634	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
198	189, 197	syl6eqr 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
199	165, 198	oveq12d 6811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
200	6, 10, 1	binomfallfaclem1 14976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
201	79, 200	fsumcl 14672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
202	201	addid2d 10439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
203	148, 199, 202	3eqtrd 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
204	136, 203	oveq12d 6811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
205		fzfid 12980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
206	205, 103, 138	fsumadd 14678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
207	79, 133, 200	fsumadd 14678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
208	204, 206, 207	3eqtr4d 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
209	100, 208	eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
210	209	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
211	74, 83, 210	3eqtr4d 2815	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 382 ∨ wo 826 = wceq 1631 ∈ wcel 2145 ⊆ wss 3723 class class class wbr 4786 ‘cfv 6031 (class class class)co 6793 ℂcc 10136 0cc0 10138 1c1 10139 + caddc 10141 · cmul 10143 < clt 10276 − cmin 10468 -cneg 10469 ℕ₀cn0 11494 ℤcz 11579 ℤ_≥cuz 11888 ...cfz 12533 Ccbc 13293 Σcsu 14624 FallFac cfallfac 14941

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1870 ax-4 1885 ax-5 1991 ax-6 2057 ax-7 2093 ax-8 2147 ax-9 2154 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2203 ax-13 2408 ax-ext 2751 ax-rep 4904 ax-sep 4915 ax-nul 4923 ax-pow 4974 ax-pr 5034 ax-un 7096 ax-inf2 8702 ax-cnex 10194 ax-resscn 10195 ax-1cn 10196 ax-icn 10197 ax-addcl 10198 ax-addrcl 10199 ax-mulcl 10200 ax-mulrcl 10201 ax-mulcom 10202 ax-addass 10203 ax-mulass 10204 ax-distr 10205 ax-i2m1 10206 ax-1ne0 10207 ax-1rid 10208 ax-rnegex 10209 ax-rrecex 10210 ax-cnre 10211 ax-pre-lttri 10212 ax-pre-lttrn 10213 ax-pre-ltadd 10214 ax-pre-mulgt0 10215 ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-an 383 df-or 827 df-3or 1072 df-3an 1073 df-tru 1634 df-fal 1637 df-ex 1853 df-nf 1858 df-sb 2050 df-eu 2622 df-mo 2623 df-clab 2758 df-cleq 2764 df-clel 2767 df-nfc 2902 df-ne 2944 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rmo 3069 df-rab 3070 df-v 3353 df-sbc 3588 df-csb 3683 df-dif 3726 df-un 3728 df-in 3730 df-ss 3737 df-pss 3739 df-nul 4064 df-if 4226 df-pw 4299 df-sn 4317 df-pr 4319 df-tp 4321 df-op 4323 df-uni 4575 df-int 4612 df-iun 4656 df-br 4787 df-opab 4847 df-mpt 4864 df-tr 4887 df-id 5157 df-eprel 5162 df-po 5170 df-so 5171 df-fr 5208 df-se 5209 df-we 5210 df-xp 5255 df-rel 5256 df-cnv 5257 df-co 5258 df-dm 5259 df-rn 5260 df-res 5261 df-ima 5262 df-pred 5823 df-ord 5869 df-on 5870 df-lim 5871 df-suc 5872 df-iota 5994 df-fun 6033 df-fn 6034 df-f 6035 df-f1 6036 df-fo 6037 df-f1o 6038 df-fv 6039 df-isom 6040 df-riota 6754 df-ov 6796 df-oprab 6797 df-mpt2 6798 df-om 7213 df-1st 7315 df-2nd 7316 df-wrecs 7559 df-recs 7621 df-rdg 7659 df-1o 7713 df-oadd 7717 df-er 7896 df-en 8110 df-dom 8111 df-sdom 8112 df-fin 8113 df-sup 8504 df-oi 8571 df-card 8965 df-pnf 10278 df-mnf 10279 df-xr 10280 df-ltxr 10281 df-le 10282 df-sub 10470 df-neg 10471 df-div 10887 df-nn 11223 df-2 11281 df-3 11282 df-n0 11495 df-z 11580 df-uz 11889 df-rp 12036 df-fz 12534 df-fzo 12674 df-seq 13009 df-exp 13068 df-fac 13265 df-bc 13294 df-hash 13322 df-cj 14047 df-re 14048 df-im 14049 df-sqrt 14183 df-abs 14184 df-clim 14427 df-sum 14625 df-prod 14843 df-fallfac 14944

This theorem is referenced by: binomfallfac 14978

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