Theorem binomfallfaclem2 15053

Description: Lemma for binomfallfac 15054. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomfallfaclem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
binomfallfaclem.4	⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
binomfallfaclem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomfallfaclem2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomfallfaclem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 12549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		bccl 13313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 11600	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
6		binomfallfaclem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fznn0sub 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
8		fallfaccl 15029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
10		binomfallfaclem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elfznn0 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12		fallfaccl 15029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
14	9, 13	mulcld 10314	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
15	6, 10	addcld 10313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
16	1	nn0cnd 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	15, 16	subcld 10646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
18	17	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
19	5, 14, 18	mulassd 10317	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))))
20	7	nn0cnd 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ)
21		subcl 10534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
22	6, 20, 21	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
23	11	nn0cnd 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
24		subcl 10534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝑘) ∈ ℂ)
25	10, 23, 24	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − 𝑘) ∈ ℂ)
26	14, 22, 25	adddid 10318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘))) = ((((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘))))
27	6	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	16	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	27, 28	subcld 10646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℂ)
30	23	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
31	10	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	ppncand 10686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 − 𝑁) + 𝑘) + (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝐵))
33	27, 28, 30	subsubd 10674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝑘))
34	33	oveq1d 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘)) = (((𝐴 − 𝑁) + 𝑘) + (𝐵 − 𝑘)))
35	27, 31, 28	addsubd 10667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐴 − 𝑁) + 𝐵))
36	32, 34, 35	3eqtr4d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))
37	36	oveq2d 6858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁 − 𝑘)) + (𝐵 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
38	9, 13, 22	mul32d 10500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
39		1cnd 10288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
40	28, 39, 30	addsubd 10667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
41	40	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
42		fallfacp1 15043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
43	6, 7, 42	syl2an 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
44	41, 43	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))))
45	44	oveq1d 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
46	38, 45	eqtr4d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
47	9, 13, 25	mulassd 10317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘))))
48		fallfacp1 15043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘)))
49	10, 11, 48	syl2an 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘)))
50	49	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵 − 𝑘))))
51	47, 50	eqtr4d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))
52	46, 51	oveq12d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁 − 𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵 − 𝑘))) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
53	26, 37, 52	3eqtr3d 2807	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
54	53	oveq2d 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
55	1	nn0zd 11727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
56		uzid 11901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
57		peano2uz 11941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
58		fzss2 12588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
59	55, 56, 57, 58	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
60	59	sselda 3761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
61		fznn0sub 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
62		fallfaccl 15029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
63	6, 61, 62	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
64	60, 63	syldan 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
65	64, 13	mulcld 10314	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
66		peano2nn0 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
67	11, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
68		fallfaccl 15029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
69	10, 67, 68	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
70	9, 69	mulcld 10314	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
71	5, 65, 70	adddid 10318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
72	19, 54, 71	3eqtrd 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
73	72	sumeq2dv 14718	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
74	73	adantr 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
75	15, 1	fallfacp1d 15045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
76		binomfallfaclem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
77	76	oveq1d 6857	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
78	75, 77	sylan9eq 2819	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
79		fzfid 12980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
80	5, 14	mulcld 10314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
81	79, 17, 80	fsummulc1 14801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
82	81	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
83	78, 82	eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
84		elfzelz 12549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
85		bcpasc 13312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
86	1, 84, 85	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
87	86	oveq1d 6857	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
88	1, 84, 3	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
89	88	nn0cnd 11600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
90		peano2zm 11667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
91	84, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
92		bccl 13313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
93	1, 91, 92	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
94	93	nn0cnd 11600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
95		elfznn0 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
96	10, 95, 12	syl2an 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
97	63, 96	mulcld 10314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
98	89, 94, 97	adddird 10319	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
99	87, 98	eqtr3d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
100	99	sumeq2dv 14718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
101		nn0uz 11922	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
102	1, 101	syl6eleq 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
103	89, 97	mulcld 10314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
104		oveq2 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
105		oveq2 6850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
106	105	oveq2d 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))))
107		oveq2 6850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))
108	106, 107	oveq12d 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))
109	104, 108	oveq12d 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
110	102, 103, 109	fsump1 14772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))))
111		peano2nn0 11580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
112	1, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
113	112	nn0zd 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
114	1	nn0red 11599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
115	114	ltp1d 11208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
116	115	olcd 900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
117		bcval4 13298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
118	1, 113, 116, 117	syl3anc 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
119	118	oveq1d 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
120	112	nn0cnd 11600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
121	120	subidd 10634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
122	121	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) = (𝐴 FallFac 0))
123		0nn0 11555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
124		fallfaccl 15029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
125	6, 123, 124	sylancl 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
126	122, 125	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
127		fallfaccl 15029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
128	10, 112, 127	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
129	126, 128	mulcld 10314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
130	129	mul02d 10488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
131	119, 130	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
132	131	oveq2d 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0))
133	60, 103	syldan 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
134	79, 133	fsumcl 14749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
135	134	addid1d 10490	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
136	110, 132, 135	3eqtrd 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
137	112, 101	syl6eleq 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
138	94, 97	mulcld 10314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
139		oveq1 6849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
140		df-neg 10523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
141	139, 140	syl6eqr 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = -1)
142	141	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C-1))
143		oveq2 6850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
144	143	oveq2d 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)))
145		oveq2 6850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac 0))
146	144, 145	oveq12d 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)))
147	142, 146	oveq12d 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
148	137, 138, 147	fsum1p 14767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
149		neg1z 11660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℤ
150		neg1lt0 11396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 < 0
151	150	orci 891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)
152		bcval4 13298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ ∧ (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)) → (𝑁C-1) = 0)
153	149, 151, 152	mp3an23 1577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
154	1, 153	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
155	154	oveq1d 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
156	120	subid1d 10635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
157	156	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) = (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)))
158		fallfaccl 15029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
159	6, 112, 158	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
160	157, 159	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) ∈ ℂ)
161		fallfaccl 15029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
162	10, 123, 161	sylancl 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
163	160, 162	mulcld 10314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)) ∈ ℂ)
164	163	mul02d 10488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
165	155, 164	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
166		1zzd 11655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
167		0zd 11636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
168	6, 10, 1	binomfallfaclem1 15052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
169		oveq2 6850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170		oveq2 6850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171	170	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) = (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))))
172		oveq1 6849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
173	172	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)) = (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))
174	171, 173	oveq12d 6860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))))
175	169, 174	oveq12d 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
176	166, 167, 55, 168, 175	fsumshft 14796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
177	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
178		elfzelz 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
179	178	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
180	179	zcnd 11730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
181		1cnd 10288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
182	177, 180, 181	subsub3d 10676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
183	182	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)))
184	180, 181	npcand 10650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
185	184	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐵 FallFac 𝑘))
186	183, 185	oveq12d 6860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
187	186	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
188	187	sumeq2dv 14718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
189	176, 188	eqtr2d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
190		oveq2 6850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑗))
191		oveq2 6850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑗))
192	191	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)))
193		oveq1 6849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
194	193	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))
195	192, 194	oveq12d 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
196	190, 195	oveq12d 6860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
197	196	cbvsumv 14711	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
198	189, 197	syl6eqr 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
199	165, 198	oveq12d 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
200	6, 10, 1	binomfallfaclem1 15052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
201	79, 200	fsumcl 14749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
202	201	addid2d 10491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
203	148, 199, 202	3eqtrd 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
204	136, 203	oveq12d 6860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
205		fzfid 12980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
206	205, 103, 138	fsumadd 14755	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
207	79, 133, 200	fsumadd 14755	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
208	204, 206, 207	3eqtr4d 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
209	100, 208	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
210	209	adantr 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
211	74, 83, 210	3eqtr4d 2809	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ wo 873   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ⊆ wss 3732   class class class wbr 4809  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ℂcc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328   − cmin 10520  -cneg 10521  ℕ₀cn0 11538  ℤcz 11624  ℤ_≥cuz 11886  ...cfz 12533  Ccbc 13293  Σcsu 14701   FallFac cfallfac 15017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-prod 14919  df-fallfac 15020

This theorem is referenced by:  binomfallfac  15054