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Theorem quad2 25987
Description: The quadratic equation, without specifying the particular branch 𝐷 to the square root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quad.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
quad.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quad.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quad.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quad2.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quad2.2 (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
quad2 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)))))

Proof of Theorem quad2
StepHypRef Expression
1 2cn 12048 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2 quad.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10956 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5 quad.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
64, 5mulcld 10996 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝑋) ∈ ℂ)
7 quad.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
86, 7addcld 10995 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
98sqcld 13860 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
10 quad2.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1110sqcld 13860 . . . 4 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
129, 11subeq0ad 11342 . . 3 (𝜑 → ((((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
135sqcld 13860 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
142, 13mulcld 10996 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
157, 5mulcld 10996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
16 quad.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16addcld 10995 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶) ∈ ℂ)
1814, 17addcld 10995 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) ∈ ℂ)
19 0cnd 10969 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
20 4cn 12058 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
21 mulcl 10956 . . . . . 6 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
2220, 2, 21sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
2320a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
24 4ne0 12081 . . . . . . 7 4 ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≠ 0)
26 quad.z . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2723, 2, 25, 26mulne0d 11627 . . . . 5 (𝜑 → (4 · 𝐴) ≠ 0)
2818, 19, 22, 27mulcand 11608 . . . 4 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((4 · 𝐴) · 0) ↔ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0))
296sqcld 13860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) ∈ ℂ)
306, 7mulcld 10996 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
31 mulcl 10956 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
321, 30, 31sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
332, 16mulcld 10996 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
34 mulcl 10956 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
3520, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
3629, 32, 35addassd 10998 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
377sqcld 13860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
3829, 32addcld 10995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) ∈ ℂ)
3937, 38, 35pnncand 11371 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
404, 5sqmuld 13874 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) = (((2 · 𝐴)↑2) · (𝑋↑2)))
41 sq2 13912 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑2) = 4)
432sqvald 13859 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4442, 43oveq12d 7289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑2) · (𝐴↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐴)))
45 sqmul 13837 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2↑2) · (𝐴↑2)))
461, 2, 45sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2↑2) · (𝐴↑2)))
4723, 2, 2mulassd 10999 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐴) = (4 · (𝐴 · 𝐴)))
4844, 46, 473eqtr4d 2790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
4948oveq1d 7286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐴)↑2) · (𝑋↑2)) = (((4 · 𝐴) · 𝐴) · (𝑋↑2)))
5022, 2, 13mulassd 10999 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐴) · (𝑋↑2)) = ((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))))
5140, 49, 503eqtrrd 2785 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) = (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2))
5222, 15, 16adddid 11000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = (((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) + ((4 · 𝐴) · 𝐶)))
53 2t2e4 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 2) = 4
5453oveq1i 7281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
551a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
5655, 55, 2mulassd 10999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
5754, 56eqtr3id 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
5857oveq1d 7286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐵) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐵))
5955, 4, 7mulassd 10999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)))
6058, 59eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐵) = (2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)))
6160oveq1d 7286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = ((2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)) · 𝑋))
624, 7mulcld 10996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
6355, 62, 5mulassd 10999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)) · 𝑋) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)))
6461, 63eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)))
6522, 7, 5mulassd 10999 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = ((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)))
664, 7, 5mul32d 11185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))
6766oveq2d 7287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))
6864, 65, 673eqtr3d 2788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))
6923, 2, 16mulassd 10999 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐶) = (4 · (𝐴 · 𝐶)))
7068, 69oveq12d 7289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) + ((4 · 𝐴) · 𝐶)) = ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
7152, 70eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
7251, 71oveq12d 7289 . . . . . . 7 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
7336, 39, 723eqtr4rd 2791 . . . . . 6 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
7422, 14, 17adddid 11000 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))))
75 binom2 13931 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝐴) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
766, 7, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
7738, 37, 76comraddd 11189 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = ((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))))
78 quad2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
7977, 78oveq12d 7289 . . . . . 6 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
8073, 74, 793eqtr4d 2790 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)))
8122mul01d 11174 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
8280, 81eqeq12d 2756 . . . 4 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((4 · 𝐴) · 0) ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0))
8328, 82bitr3d 280 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0))
846, 7subnegd 11339 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = (((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵))
8584oveq1d 7286 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2))
8685eqeq1d 2742 . . 3 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
8712, 83, 863bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
887negcld 11319 . . . 4 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
896, 88subcld 11332 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) ∈ ℂ)
90 sqeqor 13930 . . 3 (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷)))
9189, 10, 90syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷)))
926, 88, 10subaddd 11350 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ↔ (-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
9388, 10addcld 10995 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ)
94 2ne0 12077 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
9594a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9655, 2, 95, 26mulne0d 11627 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
9793, 4, 5, 96divmuld 11773 . . . . 5 (𝜑 → (((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋 ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵 + 𝐷)))
98 eqcom 2747 . . . . 5 (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋)
99 eqcom 2747 . . . . 5 ((-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵 + 𝐷))
10097, 98, 993bitr4g 314 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
10192, 100bitr4d 281 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴))))
10288, 10negsubd 11338 . . . . 5 (𝜑 → (-𝐵 + -𝐷) = (-𝐵𝐷))
103102eqeq1d 2742 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 + -𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ (-𝐵𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
10410negcld 11319 . . . . 5 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
1056, 88, 104subaddd 11350 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷 ↔ (-𝐵 + -𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
10688, 10subcld 11332 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐵𝐷) ∈ ℂ)
107106, 4, 5, 96divmuld 11773 . . . . 5 (𝜑 → (((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋 ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵𝐷)))
108 eqcom 2747 . . . . 5 (𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋)
109 eqcom 2747 . . . . 5 ((-𝐵𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵𝐷))
110107, 108, 1093bitr4g 314 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
111103, 105, 1103bitr4d 311 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴))))
112101, 111orbi12d 916 . 2 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷) ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)))))
11387, 91, 1123bitrd 305 1 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 844   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  (class class class)co 7271  cc 10870  0cc0 10872   + caddc 10875   · cmul 10877  cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  4c4 12030  cexp 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-seq 13720  df-exp 13781
This theorem is referenced by:  quad  25988  dcubic2  25992  dquartlem1  25999
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