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Theorem quad2 26344

Description: The quadratic equation, without specifying the particular branch 𝐷 to the square root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quad.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
quad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quad2.2	⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

**Assertion**
Ref	Expression
quad2	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)))))

**Proof of Theorem quad2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		quad.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11194	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5		quad.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝑋) ∈ ℂ)
7		quad.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	6, 7	addcld 11233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
10		quad2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
12	9, 11	subeq0ad 11581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
13	5	sqcld 14109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
14	2, 13	mulcld 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
15	7, 5	mulcld 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
16		quad.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	addcld 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶) ∈ ℂ)
18	14, 17	addcld 11233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) ∈ ℂ)
19		0cnd 11207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
20		4cn 12297	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
21		mulcl 11194	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
22	20, 2, 21	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
23	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
24		4ne0 12320	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
26		quad.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
27	23, 2, 25, 26	mulne0d 11866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐴) ≠ 0)
28	18, 19, 22, 27	mulcand 11847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((4 · 𝐴) · 0) ↔ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0))
29	6	sqcld 14109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) ∈ ℂ)
30	6, 7	mulcld 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
31		mulcl 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
32	1, 30, 31	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
33	2, 16	mulcld 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
34		mulcl 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
35	20, 33, 34	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
36	29, 32, 35	addassd 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
37	7	sqcld 14109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
38	29, 32	addcld 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) ∈ ℂ)
39	37, 38, 35	pnncand 11610	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
40	4, 5	sqmuld 14123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) = (((2 · 𝐴)↑2) · (𝑋↑2)))
41		sq2 14161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = 4)
43	2	sqvald 14108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
44	42, 43	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝐴↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐴)))
45		sqmul 14084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2↑2) · (𝐴↑2)))
46	1, 2, 45	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2↑2) · (𝐴↑2)))
47	23, 2, 2	mulassd 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐴) = (4 · (𝐴 · 𝐴)))
48	44, 46, 47	3eqtr4d 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
49	48	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴)↑2) · (𝑋↑2)) = (((4 · 𝐴) · 𝐴) · (𝑋↑2)))
50	22, 2, 13	mulassd 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐴) · (𝑋↑2)) = ((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))))
51	40, 49, 50	3eqtrrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) = (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2))
52	22, 15, 16	adddid 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = (((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) + ((4 · 𝐴) · 𝐶)))
53		2t2e4 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 2) = 4
54	53	oveq1i 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
55	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
56	55, 55, 2	mulassd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
57	54, 56	eqtr3id 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
58	57	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐵) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐵))
59	55, 4, 7	mulassd 11237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)))
60	58, 59	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐵) = (2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)))
61	60	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = ((2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)) · 𝑋))
62	4, 7	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
63	55, 62, 5	mulassd 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)) · 𝑋) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)))
64	61, 63	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)))
65	22, 7, 5	mulassd 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = ((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)))
66	4, 7, 5	mul32d 11424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))
67	66	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))
68	64, 65, 67	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))
69	23, 2, 16	mulassd 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐶) = (4 · (𝐴 · 𝐶)))
70	68, 69	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) + ((4 · 𝐴) · 𝐶)) = ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
71	52, 70	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
72	51, 71	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
73	36, 39, 72	3eqtr4rd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
74	22, 14, 17	adddid 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))))
75		binom2 14181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
76	6, 7, 75	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
77	38, 37, 76	comraddd 11428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = ((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))))
78		quad2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
79	77, 78	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
80	73, 74, 79	3eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)))
81	22	mul01d 11413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
82	80, 81	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((4 · 𝐴) · 0) ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0))
83	28, 82	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0))
84	6, 7	subnegd 11578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = (((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵))
85	84	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2))
86	85	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
87	12, 83, 86	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
88	7	negcld 11558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
89	6, 88	subcld 11571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) ∈ ℂ)
90		sqeqor 14180	. . 3 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷)))
91	89, 10, 90	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷)))
92	6, 88, 10	subaddd 11589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ↔ (-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
93	88, 10	addcld 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ)
94		2ne0 12316	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
95	94	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
96	55, 2, 95, 26	mulne0d 11866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
97	93, 4, 5, 96	divmuld 12012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋 ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵 + 𝐷)))
98		eqcom 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋)
99		eqcom 2740	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵 + 𝐷))
100	97, 98, 99	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
101	92, 100	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴))))
102	88, 10	negsubd 11577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + -𝐷) = (-𝐵 − 𝐷))
103	102	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + -𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ (-𝐵 − 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
104	10	negcld 11558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
105	6, 88, 104	subaddd 11589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷 ↔ (-𝐵 + -𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
106	88, 10	subcld 11571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
107	106, 4, 5, 96	divmuld 12012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋 ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵 − 𝐷)))
108		eqcom 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ((-𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋)
109		eqcom 2740	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 − 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵 − 𝐷))
110	107, 108, 109	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((-𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 − 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
111	103, 105, 110	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷 ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴))))
112	101, 111	orbi12d 918	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷) ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)))))
113	87, 91, 112	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∨ wo 846 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 (class class class)co 7409 ℂcc 11108 0cc0 11110 + caddc 11113 · cmul 11115 − cmin 11444 -cneg 11445 / cdiv 11871 2c2 12267 4c4 12269 ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-seq 13967 df-exp 14028

This theorem is referenced by: quad 26345 dcubic2 26349 dquartlem1 26356

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