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Theorem quad2 25028
Description: The quadratic equation, without specifying the particular branch 𝐷 to the square root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quad.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
quad.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quad.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quad.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quad2.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quad2.2 (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
quad2 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)))))

Proof of Theorem quad2
StepHypRef Expression
1 2cn 11455 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2 quad.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10358 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5 quad.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
64, 5mulcld 10399 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝑋) ∈ ℂ)
7 quad.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
86, 7addcld 10398 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
98sqcld 13330 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
10 quad2.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1110sqcld 13330 . . . 4 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
129, 11subeq0ad 10746 . . 3 (𝜑 → ((((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
135sqcld 13330 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
142, 13mulcld 10399 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
157, 5mulcld 10399 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
16 quad.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16addcld 10398 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶) ∈ ℂ)
1814, 17addcld 10398 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) ∈ ℂ)
19 0cnd 10371 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
20 4cn 11466 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
21 mulcl 10358 . . . . . 6 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
2220, 2, 21sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
2320a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
24 4ne0 11495 . . . . . . 7 4 ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≠ 0)
26 quad.z . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2723, 2, 25, 26mulne0d 11030 . . . . 5 (𝜑 → (4 · 𝐴) ≠ 0)
2818, 19, 22, 27mulcand 11011 . . . 4 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((4 · 𝐴) · 0) ↔ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0))
296sqcld 13330 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) ∈ ℂ)
306, 7mulcld 10399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
31 mulcl 10358 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
321, 30, 31sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
332, 16mulcld 10399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
34 mulcl 10358 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
3520, 33, 34sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
3629, 32, 35addassd 10401 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
377sqcld 13330 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
3829, 32addcld 10398 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) ∈ ℂ)
3937, 38, 35pnncand 10775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
404, 5sqmuld 13344 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) = (((2 · 𝐴)↑2) · (𝑋↑2)))
41 sq2 13284 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑2) = 4)
432sqvald 13329 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4442, 43oveq12d 6942 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑2) · (𝐴↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐴)))
45 sqmul 13249 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2↑2) · (𝐴↑2)))
461, 2, 45sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2↑2) · (𝐴↑2)))
4723, 2, 2mulassd 10402 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐴) = (4 · (𝐴 · 𝐴)))
4844, 46, 473eqtr4d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
4948oveq1d 6939 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐴)↑2) · (𝑋↑2)) = (((4 · 𝐴) · 𝐴) · (𝑋↑2)))
5022, 2, 13mulassd 10402 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐴) · (𝑋↑2)) = ((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))))
5140, 49, 503eqtrrd 2819 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) = (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2))
5222, 15, 16adddid 10403 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = (((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) + ((4 · 𝐴) · 𝐶)))
53 2t2e4 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 2) = 4
5453oveq1i 6934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
551a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
5655, 55, 2mulassd 10402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
5754, 56syl5eqr 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
5857oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐵) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐵))
5955, 4, 7mulassd 10402 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)))
6058, 59eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐵) = (2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)))
6160oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = ((2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)) · 𝑋))
624, 7mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
6355, 62, 5mulassd 10402 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)) · 𝑋) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)))
6461, 63eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)))
6522, 7, 5mulassd 10402 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = ((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)))
664, 7, 5mul32d 10588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))
6766oveq2d 6940 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))
6864, 65, 673eqtr3d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))
6923, 2, 16mulassd 10402 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐶) = (4 · (𝐴 · 𝐶)))
7068, 69oveq12d 6942 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) + ((4 · 𝐴) · 𝐶)) = ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
7152, 70eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
7251, 71oveq12d 6942 . . . . . . 7 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
7336, 39, 723eqtr4rd 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
7422, 14, 17adddid 10403 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))))
75 binom2 13303 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝐴) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
766, 7, 75syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
7738, 37addcomd 10580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))))
7876, 77eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = ((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))))
79 quad2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
8078, 79oveq12d 6942 . . . . . 6 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
8173, 74, 803eqtr4d 2824 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)))
8222mul01d 10577 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
8381, 82eqeq12d 2793 . . . 4 (𝜑 → (((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((4 · 𝐴) · 0) ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0))
8428, 83bitr3d 273 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0))
856, 7subnegd 10743 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = (((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵))
8685oveq1d 6939 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2))
8786eqeq1d 2780 . . 3 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
8812, 84, 873bitr4d 303 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
897negcld 10723 . . . 4 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
906, 89subcld 10736 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) ∈ ℂ)
91 sqeqor 13302 . . 3 (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷)))
9290, 10, 91syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷)))
936, 89, 10subaddd 10754 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ↔ (-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
9489, 10addcld 10398 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ)
95 2ne0 11491 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
9695a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9755, 2, 96, 26mulne0d 11030 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
9894, 4, 5, 97divmuld 11176 . . . . 5 (𝜑 → (((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋 ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵 + 𝐷)))
99 eqcom 2785 . . . . 5 (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋)
100 eqcom 2785 . . . . 5 ((-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵 + 𝐷))
10198, 99, 1003bitr4g 306 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
10293, 101bitr4d 274 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴))))
10389, 10negsubd 10742 . . . . 5 (𝜑 → (-𝐵 + -𝐷) = (-𝐵𝐷))
104103eqeq1d 2780 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 + -𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ (-𝐵𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
10510negcld 10723 . . . . 5 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
1066, 89, 105subaddd 10754 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷 ↔ (-𝐵 + -𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
10789, 10subcld 10736 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐵𝐷) ∈ ℂ)
108107, 4, 5, 97divmuld 11176 . . . . 5 (𝜑 → (((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋 ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵𝐷)))
109 eqcom 2785 . . . . 5 (𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋)
110 eqcom 2785 . . . . 5 ((-𝐵𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = (-𝐵𝐷))
111108, 109, 1103bitr4g 306 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (-𝐵𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
112104, 106, 1113bitr4d 303 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴))))
113102, 112orbi12d 905 . 2 (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷) ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)))))
11488, 92, 1133bitrd 297 1 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵𝐷) / (2 · 𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  (class class class)co 6924  cc 10272  0cc0 10274   + caddc 10277   · cmul 10279  cmin 10608  -cneg 10609   / cdiv 11035  2c2 11435  4c4 11437  cexp 13183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-seq 13125  df-exp 13184
This theorem is referenced by:  quad  25029  dcubic2  25033  dquartlem1  25040
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