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Theorem quad2 27224

Description: The quadratic equation, without specifying the particular branch 𝐷 to the square root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quad.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
quad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quad2.2	⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

**Assertion**
Ref	Expression
quad2	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = (( -𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = (( -𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)))))

**Proof of Theorem quad2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12458	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		quad.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11323	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5		quad.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝑋) ∈ ℂ)
7		quad.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	6, 7	addcld 11367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
10		quad2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
12	9, 11	subeq0ad 11716	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
13	5	sqcld 14327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
14	2, 13	mulcld 11368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
15	7, 5	mulcld 11368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
16		quad.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	addcld 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶) ∈ ℂ)
18	14, 17	addcld 11367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) ∈ ℂ)
19		0cnd 11338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
20		4cn 12468	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
21		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
22	20, 2, 21	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
23	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
24		4ne0 12494	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
26		quad.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
27	23, 2, 25, 26	mulne0d 12008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐴) ≠ 0)
28	18, 19, 22, 27	mulcand 11989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((4 · 𝐴) · 0) ↔ ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0))
29	6	sqcld 14327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) ∈ ℂ)
30	6, 7	mulcld 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
31		mulcl 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
32	1, 30, 31	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
33	2, 16	mulcld 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
34		mulcl 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
35	20, 33, 34	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
36	29, 32, 35	addassd 11370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
37	7	sqcld 14327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
38	29, 32	addcld 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) ∈ ℂ)
39	37, 38, 35	pnncand 11747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
40	4, 5	sqmuld 14341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) = (((2 · 𝐴)↑2) · (𝑋↑2)))
41		sq2 14380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = 4)
43	2	sqvald 14326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
44	42, 43	oveq12d 7469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝐴↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐴)))
45		sqmul 14302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2↑2) · (𝐴↑2)))
46	1, 2, 45	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2↑2) · (𝐴↑2)))
47	23, 2, 2	mulassd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐴) = (4 · (𝐴 · 𝐴)))
48	44, 46, 47	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
49	48	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴)↑2) · (𝑋↑2)) = (((4 · 𝐴) · 𝐴) · (𝑋↑2)))
50	22, 2, 13	mulassd 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐴) · (𝑋↑2)) = ((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))))
51	40, 49, 50	3eqtrrd 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) = (((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2))
52	22, 15, 16	adddid 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = (((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) + ((4 · 𝐴) · 𝐶)))
53		2t2e4 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 2) = 4
54	53	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
55	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
56	55, 55, 2	mulassd 11371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
57	54, 56	eqtr3id 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
58	57	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐵) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐵))
59	55, 4, 7	mulassd 11371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)))
60	58, 59	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐵) = (2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)))
61	60	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = ((2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)) · 𝑋))
62	4, 7	mulcld 11368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
63	55, 62, 5	mulassd 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝐴) · 𝐵)) · 𝑋) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)))
64	61, 63	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)))
65	22, 7, 5	mulassd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = ((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)))
66	4, 7, 5	mul32d 11559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋) = (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))
67	66	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (((2 · 𝐴) · 𝐵) · 𝑋)) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))
68	64, 65, 67	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) = (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))
69	23, 2, 16	mulassd 11371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 𝐶) = (4 · (𝐴 · 𝐶)))
70	68, 69	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐵 · 𝑋)) + ((4 · 𝐴) · 𝐶)) = ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
71	52, 70	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶))))
72	51, 71	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + ((2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)) + (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
73	36, 39, 72	3eqtr4rd 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
74	22, 14, 17	adddid 11372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((4 · 𝐴) · (𝐴 · (𝑋↑2))) + ((4 · 𝐴) · ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))))
75		binom2 14402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
76	6, 7, 75	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
77	38, 37, 76	comraddd 11563	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = ((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))))
78		quad2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
79	77, 78	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = (((𝐵↑2) + ((((2 · 𝐴) · 𝑋)↑2) + (2 · (((2 · 𝐴) · 𝑋) · 𝐵)))) − ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
80	73, 74, 79	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)))
81	22	mul01d 11548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
82	80, 81	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝐴) · ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))) = ((4 · 𝐴) · 0) ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0))
83	28, 82	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) − (𝐷↑2)) = 0))
84	6, 7	subnegd 11715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = (((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵))
85	84	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2))
86	85	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) + 𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
87	12, 83, 86	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2)))
88	7	negcld 11695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
89	6, 88	subcld 11708	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) ∈ ℂ)
90		sqeqor 14401	. . 3 ⊢ (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷)))
91	89, 10, 90	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵)↑2) = (𝐷↑2) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷)))
92	6, 88, 10	subaddd 11726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ↔ ( -𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
93	88, 10	addcld 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ)
94		2ne0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
95	94	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
96	55, 2, 95, 26	mulne0d 12008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
97	93, 4, 5, 96	divmuld 12155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋 ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = ( -𝐵 + 𝐷)))
98		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (( -𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (( -𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋)
99		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ (( -𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = ( -𝐵 + 𝐷))
100	97, 98, 99	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (( -𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ ( -𝐵 + 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
101	92, 100	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ↔ 𝑋 = (( -𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴))))
102	88, 10	negsubd 11714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 + -𝐷) = ( -𝐵 − 𝐷))
103	102	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 + -𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ( -𝐵 − 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
104	10	negcld 11695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
105	6, 88, 104	subaddd 11726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷 ↔ ( -𝐵 + -𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
106	88, 10	subcld 11708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
107	106, 4, 5, 96	divmuld 12155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋 ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = ( -𝐵 − 𝐷)))
108		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (( -𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (( -𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)) = 𝑋)
109		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ (( -𝐵 − 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋) ↔ ((2 · 𝐴) · 𝑋) = ( -𝐵 − 𝐷))
110	107, 108, 109	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (( -𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ ( -𝐵 − 𝐷) = ((2 · 𝐴) · 𝑋)))
111	103, 105, 110	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷 ↔ 𝑋 = (( -𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴))))
112	101, 111	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = 𝐷 ∨ (((2 · 𝐴) · 𝑋) − -𝐵) = -𝐷) ↔ (𝑋 = (( -𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = (( -𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)))))
113	87, 91, 112	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = (( -𝐵 + 𝐷) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = (( -𝐵 − 𝐷) / (2 · 𝐴)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 (class class class)co 7451 ℂcc 11237 0cc0 11239 + caddc 11242 · cmul 11244 − cmin 11580 -cneg 11581 / cdiv 12013 2c2 12437 4c4 12439 ↑cexp 14244

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4841 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-2nd 8036 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-er 8755 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-4 12447 df-n0 12647 df-z 12734 df-uz 13006 df-seq 14185 df-exp 14245

This theorem is used by: quad 27225 dcubic2 27229 dquartlem1 27236

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