MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisumlem2 26838
Description: Lemma for dchrisum 26840. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
dchrisumlem2.1 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
dchrisumlem2.2 (𝜑𝑀𝑈)
dchrisumlem2.3 (𝜑𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
dchrisumlem2.4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
dchrisumlem2.5 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝐼))
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥   1 ,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑢,𝑥   𝑛,𝐼,𝑢,𝑥   𝑛,𝐽,𝑢,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑢,𝑥   𝜑,𝑛,𝑢,𝑥   𝑅,𝑛,𝑢,𝑥   𝑈,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑢,𝑥   𝑛,𝑀,𝑢,𝑥   𝑛,𝑋,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐷(𝑢)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑛)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem2
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 13606 . . . . . . . . 9 ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅)
3 dchrisumlem2.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
43peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
5 nnuz 12806 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘1))
7 dchrisumlem2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝐼))
8 eluzp1p1 12791 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
10 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))))
116, 9, 10sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)))
12 fzosplit 13605 . . . . . . . . 9 ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
14 fzofi 13879 . . . . . . . . 9 (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
16 elfzouz 13576 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
1716, 5eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
18 rpvmasum.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChr‘𝑁)
19 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20 rpvmasum.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Base‘𝐺)
21 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
22 dchrisum.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐷)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
24 nnz 12520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
2618, 19, 20, 21, 23, 25dchrzrhcl 26593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) ∈ ℂ)
27 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
28 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0g𝐺)
29 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋1 )
30 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
31 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
34 dchrisum.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
35 dchrisum.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
3619, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35dchrisumlema 26836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝑖 / 𝑛𝐴)))
3736simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
38 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
3937, 38impel 506 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
4039recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
4126, 40mulcld 11175 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
4217, 41sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
432, 13, 15, 42fsumsplit 15626 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
44 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
45 fzval3 13641 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℤ → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
467, 44, 453syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
4746sumeq1d 15586 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
483nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
49 fzval3 13641 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℤ → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
5150sumeq1d 15586 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
5251oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
5343, 47, 523eqtr4d 2786 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
54 elfznn 13470 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ)
55 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
56 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑖
57 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑋‘(𝐿𝑖))
58 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ·
59 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
6057, 58, 59nfov 7387 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)
61 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
62 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
6361, 62oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6456, 60, 63, 35fvmptf 6969 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6555, 41, 64syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6654, 65sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐽)) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
673, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ‘1))
68 uztrn 12781 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (ℤ𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐽 ∈ (ℤ‘1))
697, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘1))
7054, 41sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐽)) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
7166, 69, 70fsumser 15615 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
7253, 71eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
73 elfznn 13470 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
7473, 65sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐼)) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
7573, 41sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐼)) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
7674, 67, 75fsumser 15615 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))
7772, 76oveq12d 7375 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)))
78 fzfid 13878 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝐼) ∈ Fin)
7978, 75fsumcl 15618 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
80 fzofi 13879 . . . . . . 7 ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
8180a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
82 ssun2 4133 . . . . . . . . 9 ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)))
8382, 13sseqtrrid 3997 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ (1..^(𝐽 + 1)))
8483sselda 3944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)))
8584, 42syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
8681, 85fsumcl 15618 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
8779, 86pncan2d 11514 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
8877, 87eqtr3d 2778 . . 3 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
8988fveq2d 6846 . 2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
9086abscld 15321 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ∈ ℝ)
91 2re 12227 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
93 dchrisum.9 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
9492, 93remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
9539ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
96 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 + 1) → 𝑖 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
9796eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
9897rspcv 3577 . . . . 5 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
994, 95, 98sylc 65 . . . 4 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
10094, 99remulcld 11185 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
101 dchrisumlem2.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
10232ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
103 nfcsb1v 3880 . . . . . . 7 𝑛𝑈 / 𝑛𝐴
104103nfel1 2923 . . . . . 6 𝑛𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
105 csbeq1a 3869 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑈𝐴 = 𝑈 / 𝑛𝐴)
106105eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑈 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
107104, 106rspc 3569 . . . . 5 (𝑈 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
108101, 102, 107sylc 65 . . . 4 (𝜑𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
10994, 108remulcld 11185 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
11069, 5eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
111110peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
112111nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ+)
11319, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35dchrisumlema 26836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐽 + 1) ∈ ℝ+(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
114113simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ ℝ+(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
115112, 114mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
116115recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
117 fzofi 13879 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
118117a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
119 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
12022adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋𝐷)
121 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
12218, 19, 20, 21, 120, 121dchrzrhcl 26593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
123119, 122sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
124118, 123fsumcl 15618 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
125116, 124mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
12699recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
127 fzofi 13879 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin)
129 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
130129, 122sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
131128, 130fsumcl 15618 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
132126, 131mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
133125, 132subcld 11512 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℂ)
134133abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
13584, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
136 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
137136nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ+)
138 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴
139138nfel1 2923 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
140 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
141140eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
142139, 141rspc 3569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
143142impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℝ+) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
144102, 137, 143syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
145144, 39resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
146145recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
147 fzofi 13879 . . . . . . . . . . . 12 (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin
148147a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
149 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
150149, 122sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
151148, 150fsumcl 15618 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
152151adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
153146, 152mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
154135, 153syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
15581, 154fsumcl 15618 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
156155abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
157134, 156readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
15826, 40mulcomd 11176 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (𝑋‘(𝐿𝑖))))
159 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
160159adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
161 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
162160, 161eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
163 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
164122adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
165163, 164sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
166162, 165, 61fzosump1 15637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))))
167166oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
168 fzofi 13879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑖) ∈ Fin
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (0..^𝑖) ∈ Fin)
170 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0..^𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
171170, 164sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑖)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
172169, 171fsumcl 15618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
173172, 26pncan2d 11514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
174167, 173eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
175174oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 / 𝑛𝐴 · (𝑋‘(𝐿𝑖))) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
176158, 175eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
177135, 176syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
178177sumeq2dv 15588 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
179 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
180 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (0..^𝑘) = (0..^𝑖))
181180sumeq1d 15586 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
182179, 181jca 512 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
183 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
184 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑖 + 1)))
185184sumeq1d 15586 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
186183, 185jca 512 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
187 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐼 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
188 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐼 + 1)))
189188sumeq1d 15586 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐼 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
190187, 189jca 512 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
191 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐽 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
192 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐽 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐽 + 1)))
193192sumeq1d 15586 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐽 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
194191, 193jca 512 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐽 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
19540ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
196 elfzuz 13437 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
197 eluznn 12843 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1984, 196, 197syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
199 csbeq1 3858 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝑘 / 𝑛𝐴)
200199eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ))
201200rspccva 3580 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
202195, 198, 201syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
203 fzofi 13879 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑘) ∈ Fin
204203a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝑘) ∈ Fin)
205 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑘) → 𝑛 ∈ ℤ)
206205, 122sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
207204, 206fsumcl 15618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
208207adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
209182, 186, 190, 194, 9, 202, 208fsumparts 15691 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
210178, 209eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
211210fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (abs‘((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
212133, 155abs2dif2d 15343 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
213211, 212eqbrtrd 5127 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
214115, 99readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
215214, 93remulcld 11185 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
216179, 183, 187, 191, 9, 202telfsumo 15687 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴))
217135, 39syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
218135, 144syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
219217, 218resubcld 11583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
22081, 219fsumrecl 15619 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
221216, 220eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
222221, 93remulcld 11185 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
223125abscld 15321 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
224132abscld 15321 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
225223, 224readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
226125, 132abs2dif2d 15343 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
227115, 93remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
22899, 93remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
229116, 124absmuld 15339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
230 eluzelre 12774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
231230adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
232 eluzle 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑖)
233232adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑖)
23431nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
235234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
236 elicopnf 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑖)))
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑖)))
238231, 233, 237mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞))
239238ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞)))
240239ssrdv 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))
24131nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
24248peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
243101rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2444nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
245 dchrisumlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀𝑈)
246 dchrisumlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
247234, 243, 244, 245, 246letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ≤ (𝐼 + 1))
248 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐼 + 1)))
249241, 242, 247, 248syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
250 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2519, 249, 250syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
252240, 251sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
253113simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴))
254252, 253mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
255115, 254absidd 15307 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
256255oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
257229, 256eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
258124abscld 15321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
259111nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
260 dchrisum.10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
26119, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260dchrisumlem1 26837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
262259, 261mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
263258, 93, 115, 254, 262lemul2ad 12095 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
264257, 263eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
265126, 131absmuld 15339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
266240, 249sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
26719, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35dchrisumlema 26836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐼 + 1) ∈ ℝ+(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)))
268267simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
269266, 268mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
27099, 269absidd 15307 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
271270oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
272265, 271eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
273131abscld 15321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
2744nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27519, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260dchrisumlem1 26837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
276274, 275mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
277273, 93, 99, 269, 276lemul2ad 12095 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
278272, 277eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
279223, 224, 227, 228, 264, 278le2addd 11774 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅)))
28093recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
281116, 126, 280adddird 11180 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅)))
282279, 281breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
283134, 225, 215, 226, 282letrd 11312 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
284154abscld 15321 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
28581, 284fsumrecl 15619 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
28681, 154fsumabs 15686 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
28793adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑅 ∈ ℝ)
288219, 287remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
289135, 146syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
290151adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
291289, 290absmuld 15339 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
292 elfzouz 13576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
293 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
294292, 249, 293syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
295 eluznn 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
29631, 295sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
297296, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ+)
298296nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ+)
299333expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
300299ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
301300adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
302 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛+
303 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛(𝑀𝑖𝑖𝑥)
304 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛𝐵
305 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛
306304, 305, 59nfbr 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴
307303, 306nfim 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)
308302, 307nfralw 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)
309 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀𝑛𝑀𝑖))
310 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑥𝑖𝑥))
311309, 310anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝑖𝑖𝑥)))
31262breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝐵𝐴𝐵𝑖 / 𝑛𝐴))
313311, 312imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
314313ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
315308, 314rspc 3569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
316298, 301, 315sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴))
317231lep1d 12086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))
318233, 317jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
319 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖𝑥𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
320319anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑖 + 1) → ((𝑀𝑖𝑖𝑥) ↔ (𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1))))
321 eqvisset 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) ∈ V)
322 eqtr3 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
32330equcoms 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑛𝐴 = 𝐵)
324322, 323syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
325321, 324csbied 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝐵)
326325eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
327326breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝐵𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴))
328320, 327imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)))
329328rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)))
330297, 316, 318, 329syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)
331294, 330syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)
332218, 217, 331abssuble0d 15317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) = (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴))
333332oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
334291, 333eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
335290abscld 15321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
336217, 218subge0d 11745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (0 ≤ (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴))
337331, 336mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 0 ≤ (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴))
338135peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
339338nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
34019, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260dchrisumlem1 26837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
341339, 340syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
342335, 287, 219, 337, 341lemul2ad 12095 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
343334, 342eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
34481, 284, 288, 343fsumle 15684 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
345219recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
34681, 280, 345fsummulc1 15670 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
347216oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
348346, 347eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
349344, 348breqtrd 5131 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
350156, 285, 222, 286, 349letrd 11312 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
351134, 156, 215, 222, 283, 350le2addd 11774 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
3521262timesd 12396 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
353126, 116, 126ppncand 11552 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
354126, 116addcomd 11357 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
355354oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
356352, 353, 3553eqtr2d 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
357356oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) · 𝑅))
358 2cnd 12231 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
359358, 126, 280mul32d 11365 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
360214recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
361221recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
362360, 361, 280adddird 11180 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) · 𝑅) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
363357, 359, 3623eqtr3d 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
364351, 363breqtrrd 5133 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
36590, 157, 100, 213, 364letrd 11312 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
366 2nn0 12430 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
367 nn0ge0 12438 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
368366, 367mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 2)
369 0red 11158 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
370124absge0d 15329 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
371369, 258, 93, 370, 262letrd 11312 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
37292, 93, 368, 371mulge0d 11732 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
3734nnrpd 12955 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ+)
374 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑀𝑈𝑈𝑥)
375304, 305, 103nfbr 5152 . . . . . . . . 9 𝑛 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴
376374, 375nfim 1899 . . . . . . . 8 𝑛((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)
377302, 376nfralw 3294 . . . . . . 7 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)
378 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑈 → (𝑀𝑛𝑀𝑈))
379 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑈 → (𝑛𝑥𝑈𝑥))
380378, 379anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑈 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝑈𝑈𝑥)))
381105breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑈 → (𝐵𝐴𝐵𝑈 / 𝑛𝐴))
382380, 381imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑈 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
383382ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
384377, 383rspc 3569 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
385101, 300, 384sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴))
386245, 246jca 512 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
387 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝑈𝑥𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
388387anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐼 + 1) → ((𝑀𝑈𝑈𝑥) ↔ (𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1))))
389 eqvisset 3462 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) ∈ V)
390 eqtr3 2762 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
391390, 323syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
392389, 391csbied 3893 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝐵)
393392eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐼 + 1) → 𝐵 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
394393breq1d 5115 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐵𝑈 / 𝑛𝐴(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴))
395388, 394imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)))
396395rspcv 3577 . . . . 5 ((𝐼 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)))
397373, 385, 386, 396syl3c 66 . . . 4 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)
39899, 108, 94, 372, 397lemul2ad 12095 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
39990, 100, 109, 365, 398letrd 11312 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
40089, 399eqbrtrd 5127 1 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  cun 3908  cin 3909  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  [,)cico 13266  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  seqcseq 13906  abscabs 15119  𝑟 crli 15367  Σcsu 15570  Basecbs 17083  0gc0g 17321  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-phi 16638  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrisumlem3  26839
  Copyright terms: Public domain W3C validator