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Theorem dchrisumlem2 27453

Description: Lemma for dchrisum 27455. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
dchrisumlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
dchrisumlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑈)
dchrisumlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
dchrisumlem2.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
dchrisumlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼))

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥 1 ,𝑛,𝑥 𝑛,𝐹,𝑢,𝑥 𝑛,𝐼,𝑢,𝑥 𝑛,𝐽,𝑢,𝑥 𝑥,𝐴 𝑛,𝑁,𝑢,𝑥 𝜑,𝑛,𝑢,𝑥 𝑅,𝑛,𝑢,𝑥 𝑈,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑛,𝑥 𝑛,𝐿,𝑢,𝑥 𝑛,𝑀,𝑢,𝑥 𝑛,𝑋,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢) 𝐷(𝑢) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑛) 𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem2 Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzodisj 13648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅)
3		dchrisumlem2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 12191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
5		nnuz 12827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	4, 5	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
7		dchrisumlem2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼))
8		eluzp1p1 12816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
10		elfzuzb 13472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1))))
11	6, 9, 10	sylanbrc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)))
12		fzosplit 13647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
14		fzofi 13936	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
16		elfzouz 13618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘1))
17	16, 5	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
18		rpvmasum.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
19		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20		rpvmasum.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
21		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
22		dchrisum.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
24		nnz 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
26	18, 19, 20, 21, 23, 25	dchrzrhcl 27208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) ∈ ℂ)
27		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
28		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
29		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
30		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
31		dchrisum.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32		dchrisum.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		dchrisum.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
34		dchrisum.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
35		dchrisum.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
36	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℝ⁺ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
37	36	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ⁺ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
38		nnrp 12954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
39	37, 38	impel 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
41	26, 40	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
42	17, 41	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
43	2, 13, 15, 42	fsumsplit 15703	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
44		eluzelz 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
45		fzval3 13689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
46	7, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
47	46	sumeq1d 15662	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
48	3	nnzd 12550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
49		fzval3 13689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
51	50	sumeq1d 15662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
52	51	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
53	43, 47, 52	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
54		elfznn 13507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ)
55		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
56		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑖
57		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑋‘(𝐿‘𝑖))
58		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
59		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
60	57, 58, 59	nfov 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
61		2fveq3 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
62		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
63	61, 62	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
64	56, 60, 63, 35	fvmptf 6970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
65	55, 41, 64	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
66	54, 65	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐽)) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
67	3, 5	eleqtrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1))
68		uztrn 12806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘1))
69	7, 67, 68	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘1))
70	54, 41	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐽)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
71	66, 69, 70	fsumser 15692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
72	53, 71	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
73		elfznn 13507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
74	73, 65	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐼)) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
75	73, 41	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐼)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
76	74, 67, 75	fsumser 15692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))
77	72, 76	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)))
78		fzfid 13935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝐼) ∈ Fin)
79	78, 75	fsumcl 15695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
80		fzofi 13936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
82		ssun2 4120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)))
83	82, 13	sseqtrrid 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ (1..^(𝐽 + 1)))
84	83	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)))
85	84, 42	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
86	81, 85	fsumcl 15695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
87	79, 86	pncan2d 11507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
88	77, 87	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
89	88	fveq2d 6845	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
90	86	abscld 15401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ ℝ)
91		2re 12255	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
92	91	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
93		dchrisum.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
94	92, 93	remulcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
95	39	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
96		csbeq1 3841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
97	96	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
98	97	rspcv 3561	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
99	4, 95, 98	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
100	94, 99	remulcld 11175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
101		dchrisumlem2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
102	32	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
103		nfcsb1v 3862	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴
104	103	nfel1 2916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
105		csbeq1a 3852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → 𝐴 = ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
106	105	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
107	104, 106	rspc 3553	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
108	101, 102, 107	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
109	94, 108	remulcld 11175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
110	69, 5	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
111	110	peano2nnd 12191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
112	111	nnrpd 12984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺)
113	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
114	113	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
115	112, 114	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
116	115	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
117		fzofi 13936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
118	117	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
119		elfzoelz 13613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
120	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
121		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
122	18, 19, 20, 21, 120, 121	dchrzrhcl 27208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
123	119, 122	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
124	118, 123	fsumcl 15695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
125	116, 124	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
126	99	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
127		fzofi 13936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin
128	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin)
129		elfzoelz 13613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
130	129, 122	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
131	128, 130	fsumcl 15695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
132	126, 131	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
133	125, 132	subcld 11505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℂ)
134	133	abscld 15401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
135	84, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
136		peano2nn 12186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
137	136	nnrpd 12984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺)
138		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴
139	138	nfel1 2916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
140		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
141	140	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
142	139, 141	rspc 3553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
143	142	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
144	102, 137, 143	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
145	144, 39	resubcld 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
146	145	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
147		fzofi 13936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
149		elfzoelz 13613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
150	149, 122	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
151	148, 150	fsumcl 15695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
152	151	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
153	146, 152	mulcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
154	135, 153	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
155	81, 154	fsumcl 15695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
156	155	abscld 15401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
157	134, 156	readdcld 11174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
158	26, 40	mulcomd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (𝑋‘(𝐿‘𝑖))))
159		nnnn0 12444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ₀)
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
161		nn0uz 12826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
162	160, 161	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
163		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
164	122	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
165	163, 164	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
166	162, 165, 61	fzosump1 15714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))))
167	166	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
168		fzofi 13936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^𝑖) ∈ Fin
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (0..^𝑖) ∈ Fin)
170		elfzoelz 13613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
171	170, 164	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑖)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
172	169, 171	fsumcl 15695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
173	172, 26	pncan2d 11507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
174	167, 173	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
175	174	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
176	158, 175	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
177	135, 176	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
178	177	sumeq2dv 15664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
179		csbeq1 3841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
180		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (0..^𝑘) = (0..^𝑖))
181	180	sumeq1d 15662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
182	179, 181	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
183		csbeq1 3841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
184		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑖 + 1)))
185	184	sumeq1d 15662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
186	183, 185	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
187		csbeq1 3841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
188		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐼 + 1)))
189	188	sumeq1d 15662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
190	187, 189	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
191		csbeq1 3841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
192		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐽 + 1)))
193	192	sumeq1d 15662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
194	191, 193	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
195	40	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
196		elfzuz 13474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
197		eluznn 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
198	4, 196, 197	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
199		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴)
200	199	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ))
201	200	rspccva 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
202	195, 198, 201	syl2an2r 686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
203		fzofi 13936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑘) ∈ Fin
204	203	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑘) ∈ Fin)
205		elfzoelz 13613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑘) → 𝑛 ∈ ℤ)
206	205, 122	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
207	204, 206	fsumcl 15695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
208	207	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
209	182, 186, 190, 194, 9, 202, 208	fsumparts 15769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
210	178, 209	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
211	210	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (abs‘(((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
212	133, 155	abs2dif2d 15423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
213	211, 212	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
214	115, 99	readdcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
215	214, 93	remulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
216	179, 183, 187, 191, 9, 202	telfsumo 15765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
217	135, 39	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
218	135, 144	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
219	217, 218	resubcld 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
220	81, 219	fsumrecl 15696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
221	216, 220	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
222	221, 93	remulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
223	125	abscld 15401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
224	132	abscld 15401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
225	223, 224	readdcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
226	125, 132	abs2dif2d 15423	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
227	115, 93	remulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
228	99, 93	remulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
229	116, 124	absmuld 15419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
230		eluzelre 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
231	230	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
232		eluzle 12801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑖)
233	232	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
234	31	nnred 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
235	234	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
236		elicopnf 13398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖)))
237	235, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖)))
238	231, 233, 237	mpbir2and 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞))
239	238	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞)))
240	239	ssrdv 3928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))
241	31	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
242	48	peano2zd 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
243	101	rpred 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
244	4	nnred 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
245		dchrisumlem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑈)
246		dchrisumlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
247	234, 243, 244, 245, 246	letrd 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐼 + 1))
248		eluz2 12794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐼 + 1)))
249	241, 242, 247, 248	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
250		uztrn 12806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
251	9, 249, 250	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
252	240, 251	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
253	113	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
254	252, 253	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
255	115, 254	absidd 15385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
256	255	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
257	229, 256	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
258	124	abscld 15401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
259	111	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ₀)
260		dchrisum.10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
261	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
262	259, 261	mpdan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
263	258, 93, 115, 254, 262	lemul2ad 12096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
264	257, 263	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
265	126, 131	absmuld 15419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
266	240, 249	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
267	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
268	267	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
269	266, 268	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
270	99, 269	absidd 15385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
271	270	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
272	265, 271	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
273	131	abscld 15401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
274	4	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ₀)
275	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
276	274, 275	mpdan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
277	273, 93, 99, 269, 276	lemul2ad 12096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
278	272, 277	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
279	223, 224, 227, 228, 264, 278	le2addd 11769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅)))
280	93	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
281	116, 126, 280	adddird 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅)))
282	279, 281	breqtrrd 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
283	134, 225, 215, 226, 282	letrd 11303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
284	154	abscld 15401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
285	81, 284	fsumrecl 15696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
286	81, 154	fsumabs 15764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
287	93	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑅 ∈ ℝ)
288	219, 287	remulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
289	135, 146	syldan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
290	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
291	289, 290	absmuld 15419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
292		elfzouz 13618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
293		uztrn 12806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
294	292, 249, 293	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
295		eluznn 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
296	31, 295	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
297	296, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺)
298	296	nnrpd 12984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
299	33	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺)) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
300	299	ralrimivva 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
301	300	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
302		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ⁺
303		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥)
304		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
305		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
306	304, 305, 59	nfbr 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
307	303, 306	nfim 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
308	302, 307	nfralw 3285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
309		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
310		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ 𝑖 ≤ 𝑥))
311	309, 310	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥)))
312	62	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
313	311, 312	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
314	313	ralbidv 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
315	308, 314	rspc 3553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
316	298, 301, 315	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
317	231	lep1d 12087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))
318	233, 317	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
319		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 ≤ 𝑥 ↔ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
320	319	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))))
321		eqvisset 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) ∈ V)
322		eqtr3 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
323	30	equcoms 2022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → 𝐴 = 𝐵)
324	322, 323	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
325	321, 324	csbied 3874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
326	325	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
327	326	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
328	320, 327	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
329	328	rspcv 3561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) → ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
330	297, 316, 318, 329	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
331	294, 330	syldan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
332	218, 217, 331	abssuble0d 15397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
333	332	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
334	291, 333	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
335	290	abscld 15401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
336	217, 218	subge0d 11740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (0 ≤ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
337	331, 336	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 0 ≤ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
338	135	peano2nnd 12191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
339	338	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
340	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
341	339, 340	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
342	335, 287, 219, 337, 341	lemul2ad 12096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
343	334, 342	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
344	81, 284, 288, 343	fsumle 15762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
345	219	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
346	81, 280, 345	fsummulc1 15747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
347	216	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
348	346, 347	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
349	344, 348	breqtrd 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
350	156, 285, 222, 286, 349	letrd 11303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
351	134, 156, 215, 222, 283, 350	le2addd 11769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
352	126	2timesd 12420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
353	126, 116, 126	ppncand 11545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
354	126, 116	addcomd 11348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
355	354	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
356	352, 353, 355	3eqtr2d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
357	356	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) · 𝑅))
358		2cnd 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
359	358, 126, 280	mul32d 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
360	214	recnd 11173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
361	221	recnd 11173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
362	360, 361, 280	adddird 11170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) · 𝑅) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
363	357, 359, 362	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
364	351, 363	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
365	90, 157, 100, 213, 364	letrd 11303	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
366		2nn0 12454	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
367		nn0ge0 12462	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 2)
368	366, 367	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
369		0red 11147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
370	124	absge0d 15409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
371	369, 258, 93, 370, 262	letrd 11303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
372	92, 93, 368, 371	mulge0d 11727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
373	4	nnrpd 12984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺)
374		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥)
375	304, 305, 103	nfbr 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴
376	374, 375	nfim 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
377	302, 376	nfralw 3285	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
378		breq2 5090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 ≤ 𝑈))
379		breq1 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ 𝑥))
380	378, 379	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥)))
381	105	breq2d 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
382	380, 381	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
383	382	ralbidv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
384	377, 383	rspc 3553	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
385	101, 300, 384	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
386	245, 246	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
387		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝑈 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
388	387	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))))
389		eqvisset 3450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) ∈ V)
390		eqtr3 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
391	390, 323	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
392	389, 391	csbied 3874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
393	392	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → 𝐵 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
394	393	breq1d 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ↔ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
395	388, 394	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
396	395	rspcv 3561	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) → ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
397	373, 385, 386, 396	syl3c 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
398	99, 108, 94, 372, 397	lemul2ad 12096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
399	90, 100, 109, 365, 398	letrd 11303	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
400	89, 399	eqbrtrd 5108	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 Vcvv 3430 ⦋csb 3838 ∪ cun 3888 ∩ cin 3889 ∅c0 4274 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 ‘cfv 6499 (class class class)co 7367 Fincfn 8893 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 +∞cpnf 11176 ≤ cle 11180 − cmin 11377 ℕcn 12174 2c2 12236 ℕ₀cn0 12437 ℤcz 12524 ℤ_≥cuz 12788 ℝ⁺crp 12942 [,)cico 13300 ...cfz 13461 ..^cfzo 13608 seqcseq 13963 abscabs 15196 ⇝_𝑟 crli 15447 Σcsu 15648 Basecbs 17179 0_gc0g 17402 ℤRHomczrh 21479 ℤ/nℤczn 21482 DChrcdchr 27195

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5308 ax-pr 5376 ax-un 7689 ax-inf2 9562 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117 ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6266 df-ord 6327 df-on 6328 df-lim 6329 df-suc 6330 df-iota 6455 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-of 7631 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-tpos 8176 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-oadd 8409 df-er 8643 df-ec 8645 df-qs 8649 df-map 8775 df-pm 8776 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-sup 9355 df-inf 9356 df-oi 9425 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-5 12247 df-6 12248 df-7 12249 df-8 12250 df-9 12251 df-n0 12438 df-xnn0 12511 df-z 12525 df-dec 12645 df-uz 12789 df-rp 12943 df-ico 13304 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-fl 13751 df-mod 13829 df-seq 13964 df-exp 14024 df-hash 14293 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15649 df-dvds 16222 df-gcd 16464 df-phi 16736 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-0g 17404 df-imas 17472 df-qus 17473 df-mgm 18608 df-sgrp 18687 df-mnd 18703 df-mhm 18751 df-grp 18912 df-minusg 18913 df-sbg 18914 df-mulg 19044 df-subg 19099 df-nsg 19100 df-eqg 19101 df-ghm 19188 df-cmn 19757 df-abl 19758 df-mgp 20122 df-rng 20134 df-ur 20163 df-ring 20216 df-cring 20217 df-oppr 20317 df-dvdsr 20337 df-unit 20338 df-invr 20368 df-rhm 20452 df-subrng 20523 df-subrg 20547 df-lmod 20857 df-lss 20927 df-lsp 20967 df-sra 21168 df-rgmod 21169 df-lidl 21206 df-rsp 21207 df-2idl 21248 df-cnfld 21353 df-zring 21427 df-zrh 21483 df-zn 21486 df-dchr 27196

This theorem is referenced by: dchrisumlem3 27454

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