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Theorem dchrisumlem2 27410

Description: Lemma for dchrisum 27412. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
dchrisumlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
dchrisumlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑈)
dchrisumlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
dchrisumlem2.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
dchrisumlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼))

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥 1 ,𝑛,𝑥 𝑛,𝐹,𝑢,𝑥 𝑛,𝐼,𝑢,𝑥 𝑛,𝐽,𝑢,𝑥 𝑥,𝐴 𝑛,𝑁,𝑢,𝑥 𝜑,𝑛,𝑢,𝑥 𝑅,𝑛,𝑢,𝑥 𝑈,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑛,𝑥 𝑛,𝐿,𝑢,𝑥 𝑛,𝑀,𝑢,𝑥 𝑛,𝑋,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢) 𝐷(𝑢) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑛) 𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem2 Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzodisj 13690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅)
3		dchrisumlem2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 12251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
5		nnuz 12887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	4, 5	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
7		dchrisumlem2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼))
8		eluzp1p1 12872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
10		elfzuzb 13519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1))))
11	6, 9, 10	sylanbrc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)))
12		fzosplit 13689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
14		fzofi 13963	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
16		elfzouz 13660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘1))
17	16, 5	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
18		rpvmasum.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
19		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20		rpvmasum.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
21		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
22		dchrisum.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
24		nnz 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
26	18, 19, 20, 21, 23, 25	dchrzrhcl 27165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) ∈ ℂ)
27		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
28		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
29		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
30		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
31		dchrisum.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32		dchrisum.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		dchrisum.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
34		dchrisum.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
35		dchrisum.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
36	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℝ⁺ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
37	36	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ⁺ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
38		nnrp 13009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
39	37, 38	impel 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
41	26, 40	mulcld 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
42	17, 41	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
43	2, 13, 15, 42	fsumsplit 15711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
44		eluzelz 12854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
45		fzval3 13725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
46	7, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
47	46	sumeq1d 15671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
48	3	nnzd 12607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
49		fzval3 13725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
51	50	sumeq1d 15671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
52	51	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
53	43, 47, 52	3eqtr4d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
54		elfznn 13554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ)
55		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
56		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑖
57		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑋‘(𝐿‘𝑖))
58		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
59		nfcsb1v 3914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
60	57, 58, 59	nfov 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
61		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
62		csbeq1a 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
63	61, 62	oveq12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
64	56, 60, 63, 35	fvmptf 7020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
65	55, 41, 64	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
66	54, 65	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐽)) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
67	3, 5	eleqtrdi 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1))
68		uztrn 12862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘1))
69	7, 67, 68	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘1))
70	54, 41	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐽)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
71	66, 69, 70	fsumser 15700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
72	53, 71	eqtr3d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
73		elfznn 13554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
74	73, 65	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐼)) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
75	73, 41	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐼)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
76	74, 67, 75	fsumser 15700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))
77	72, 76	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)))
78		fzfid 13962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝐼) ∈ Fin)
79	78, 75	fsumcl 15703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
80		fzofi 13963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
82		ssun2 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)))
83	82, 13	sseqtrrid 4031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ (1..^(𝐽 + 1)))
84	83	sselda 3978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)))
85	84, 42	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
86	81, 85	fsumcl 15703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
87	79, 86	pncan2d 11595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
88	77, 87	eqtr3d 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
89	88	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
90	86	abscld 15407	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ ℝ)
91		2re 12308	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
92	91	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
93		dchrisum.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
94	92, 93	remulcld 11266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
95	39	ralrimiva 3141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
96		csbeq1 3892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
97	96	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
98	97	rspcv 3603	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
99	4, 95, 98	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
100	94, 99	remulcld 11266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
101		dchrisumlem2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
102	32	ralrimiva 3141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
103		nfcsb1v 3914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴
104	103	nfel1 2914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
105		csbeq1a 3903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → 𝐴 = ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
106	105	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
107	104, 106	rspc 3595	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
108	101, 102, 107	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
109	94, 108	remulcld 11266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
110	69, 5	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
111	110	peano2nnd 12251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
112	111	nnrpd 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺)
113	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
114	113	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
115	112, 114	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
116	115	recnd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
117		fzofi 13963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
118	117	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
119		elfzoelz 13656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
120	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
121		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
122	18, 19, 20, 21, 120, 121	dchrzrhcl 27165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
123	119, 122	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
124	118, 123	fsumcl 15703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
125	116, 124	mulcld 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
126	99	recnd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
127		fzofi 13963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin
128	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin)
129		elfzoelz 13656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
130	129, 122	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
131	128, 130	fsumcl 15703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
132	126, 131	mulcld 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
133	125, 132	subcld 11593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℂ)
134	133	abscld 15407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
135	84, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
136		peano2nn 12246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
137	136	nnrpd 13038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺)
138		nfcsb1v 3914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴
139	138	nfel1 2914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
140		csbeq1a 3903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
141	140	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
142	139, 141	rspc 3595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
143	142	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
144	102, 137, 143	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
145	144, 39	resubcld 11664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
146	145	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
147		fzofi 13963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
149		elfzoelz 13656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
150	149, 122	sylan2 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
151	148, 150	fsumcl 15703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
152	151	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
153	146, 152	mulcld 11256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
154	135, 153	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
155	81, 154	fsumcl 15703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
156	155	abscld 15407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
157	134, 156	readdcld 11265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
158	26, 40	mulcomd 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (𝑋‘(𝐿‘𝑖))))
159		nnnn0 12501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ₀)
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
161		nn0uz 12886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
162	160, 161	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
163		elfzelz 13525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
164	122	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
165	163, 164	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
166	162, 165, 61	fzosump1 15722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))))
167	166	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
168		fzofi 13963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^𝑖) ∈ Fin
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (0..^𝑖) ∈ Fin)
170		elfzoelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
171	170, 164	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑖)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
172	169, 171	fsumcl 15703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
173	172, 26	pncan2d 11595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
174	167, 173	eqtr2d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
175	174	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
176	158, 175	eqtrd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
177	135, 176	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
178	177	sumeq2dv 15673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
179		csbeq1 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
180		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (0..^𝑘) = (0..^𝑖))
181	180	sumeq1d 15671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
182	179, 181	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
183		csbeq1 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
184		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑖 + 1)))
185	184	sumeq1d 15671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
186	183, 185	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
187		csbeq1 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
188		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐼 + 1)))
189	188	sumeq1d 15671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
190	187, 189	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
191		csbeq1 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
192		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐽 + 1)))
193	192	sumeq1d 15671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
194	191, 193	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
195	40	ralrimiva 3141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
196		elfzuz 13521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
197		eluznn 12924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
198	4, 196, 197	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
199		csbeq1 3892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴)
200	199	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ))
201	200	rspccva 3606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
202	195, 198, 201	syl2an2r 684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
203		fzofi 13963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑘) ∈ Fin
204	203	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑘) ∈ Fin)
205		elfzoelz 13656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑘) → 𝑛 ∈ ℤ)
206	205, 122	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
207	204, 206	fsumcl 15703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
208	207	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
209	182, 186, 190, 194, 9, 202, 208	fsumparts 15776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
210	178, 209	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
211	210	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (abs‘(((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
212	133, 155	abs2dif2d 15429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
213	211, 212	eqbrtrd 5164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
214	115, 99	readdcld 11265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
215	214, 93	remulcld 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
216	179, 183, 187, 191, 9, 202	telfsumo 15772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
217	135, 39	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
218	135, 144	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
219	217, 218	resubcld 11664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
220	81, 219	fsumrecl 15704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
221	216, 220	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
222	221, 93	remulcld 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
223	125	abscld 15407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
224	132	abscld 15407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
225	223, 224	readdcld 11265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
226	125, 132	abs2dif2d 15429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
227	115, 93	remulcld 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
228	99, 93	remulcld 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
229	116, 124	absmuld 15425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
230		eluzelre 12855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
231	230	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
232		eluzle 12857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑖)
233	232	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
234	31	nnred 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
235	234	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
236		elicopnf 13446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖)))
237	235, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖)))
238	231, 233, 237	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞))
239	238	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞)))
240	239	ssrdv 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))
241	31	nnzd 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
242	48	peano2zd 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
243	101	rpred 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
244	4	nnred 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
245		dchrisumlem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑈)
246		dchrisumlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
247	234, 243, 244, 245, 246	letrd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐼 + 1))
248		eluz2 12850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐼 + 1)))
249	241, 242, 247, 248	syl3anbrc 1341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
250		uztrn 12862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
251	9, 249, 250	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
252	240, 251	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
253	113	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
254	252, 253	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
255	115, 254	absidd 15393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
256	255	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
257	229, 256	eqtrd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
258	124	abscld 15407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
259	111	nnnn0d 12554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ₀)
260		dchrisum.10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
261	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
262	259, 261	mpdan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
263	258, 93, 115, 254, 262	lemul2ad 12176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
264	257, 263	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
265	126, 131	absmuld 15425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
266	240, 249	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
267	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
268	267	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
269	266, 268	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
270	99, 269	absidd 15393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
271	270	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
272	265, 271	eqtrd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
273	131	abscld 15407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
274	4	nnnn0d 12554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ₀)
275	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
276	274, 275	mpdan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
277	273, 93, 99, 269, 276	lemul2ad 12176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
278	272, 277	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
279	223, 224, 227, 228, 264, 278	le2addd 11855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅)))
280	93	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
281	116, 126, 280	adddird 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅)))
282	279, 281	breqtrrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
283	134, 225, 215, 226, 282	letrd 11393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
284	154	abscld 15407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
285	81, 284	fsumrecl 15704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
286	81, 154	fsumabs 15771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
287	93	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑅 ∈ ℝ)
288	219, 287	remulcld 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
289	135, 146	syldan 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
290	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
291	289, 290	absmuld 15425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
292		elfzouz 13660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
293		uztrn 12862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
294	292, 249, 293	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
295		eluznn 12924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
296	31, 295	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
297	296, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺)
298	296	nnrpd 13038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
299	33	3expia 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺)) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
300	299	ralrimivva 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
301	300	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
302		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ⁺
303		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥)
304		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
305		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
306	304, 305, 59	nfbr 5189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
307	303, 306	nfim 1892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
308	302, 307	nfralw 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
309		breq2 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
310		breq1 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ 𝑖 ≤ 𝑥))
311	309, 310	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥)))
312	62	breq2d 5154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
313	311, 312	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
314	313	ralbidv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
315	308, 314	rspc 3595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
316	298, 301, 315	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
317	231	lep1d 12167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))
318	233, 317	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
319		breq2 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 ≤ 𝑥 ↔ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
320	319	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))))
321		eqvisset 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) ∈ V)
322		eqtr3 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
323	30	equcoms 2016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → 𝐴 = 𝐵)
324	322, 323	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
325	321, 324	csbied 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
326	325	eqcomd 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
327	326	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
328	320, 327	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
329	328	rspcv 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) → ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
330	297, 316, 318, 329	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
331	294, 330	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
332	218, 217, 331	abssuble0d 15403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
333	332	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
334	291, 333	eqtrd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
335	290	abscld 15407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
336	217, 218	subge0d 11826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (0 ≤ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
337	331, 336	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 0 ≤ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
338	135	peano2nnd 12251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
339	338	nnnn0d 12554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
340	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
341	339, 340	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
342	335, 287, 219, 337, 341	lemul2ad 12176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
343	334, 342	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
344	81, 284, 288, 343	fsumle 15769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
345	219	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
346	81, 280, 345	fsummulc1 15755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
347	216	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
348	346, 347	eqtr3d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
349	344, 348	breqtrd 5168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
350	156, 285, 222, 286, 349	letrd 11393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
351	134, 156, 215, 222, 283, 350	le2addd 11855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
352	126	2timesd 12477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
353	126, 116, 126	ppncand 11633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
354	126, 116	addcomd 11438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
355	354	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
356	352, 353, 355	3eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
357	356	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) · 𝑅))
358		2cnd 12312	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
359	358, 126, 280	mul32d 11446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
360	214	recnd 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
361	221	recnd 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
362	360, 361, 280	adddird 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) · 𝑅) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
363	357, 359, 362	3eqtr3d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
364	351, 363	breqtrrd 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
365	90, 157, 100, 213, 364	letrd 11393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
366		2nn0 12511	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
367		nn0ge0 12519	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 2)
368	366, 367	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
369		0red 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
370	124	absge0d 15415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
371	369, 258, 93, 370, 262	letrd 11393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
372	92, 93, 368, 371	mulge0d 11813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
373	4	nnrpd 13038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺)
374		nfv 1910	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥)
375	304, 305, 103	nfbr 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴
376	374, 375	nfim 1892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
377	302, 376	nfralw 3303	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
378		breq2 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 ≤ 𝑈))
379		breq1 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ 𝑥))
380	378, 379	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥)))
381	105	breq2d 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
382	380, 381	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
383	382	ralbidv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
384	377, 383	rspc 3595	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
385	101, 300, 384	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
386	245, 246	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
387		breq2 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝑈 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
388	387	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))))
389		eqvisset 3487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) ∈ V)
390		eqtr3 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
391	390, 323	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
392	389, 391	csbied 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
393	392	eqcomd 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → 𝐵 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
394	393	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ↔ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
395	388, 394	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
396	395	rspcv 3603	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) → ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
397	373, 385, 386, 396	syl3c 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
398	99, 108, 94, 372, 397	lemul2ad 12176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
399	90, 100, 109, 365, 398	letrd 11393	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
400	89, 399	eqbrtrd 5164	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2935 ∀wral 3056 Vcvv 3469 ⦋csb 3889 ∪ cun 3942 ∩ cin 3943 ∅c0 4318 class class class wbr 5142 ↦ cmpt 5225 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 Fincfn 8955 ℂcc 11128 ℝcr 11129 0cc0 11130 1c1 11131 + caddc 11133 · cmul 11135 +∞cpnf 11267 ≤ cle 11271 − cmin 11466 ℕcn 12234 2c2 12289 ℕ₀cn0 12494 ℤcz 12580 ℤ_≥cuz 12844 ℝ⁺crp 12998 [,)cico 13350 ...cfz 13508 ..^cfzo 13651 seqcseq 13990 abscabs 15205 ⇝_𝑟 crli 15453 Σcsu 15656 Basecbs 17171 0_gc0g 17412 ℤRHomczrh 21412 ℤ/nℤczn 21415 DChrcdchr 27152

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-inf2 9656 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207 ax-pre-sup 11208 ax-addf 11209 ax-mulf 11210

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7679 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-tpos 8225 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-oadd 8484 df-er 8718 df-ec 8720 df-qs 8724 df-map 8838 df-pm 8839 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-sup 9457 df-inf 9458 df-oi 9525 df-card 9954 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11894 df-nn 12235 df-2 12297 df-3 12298 df-4 12299 df-5 12300 df-6 12301 df-7 12302 df-8 12303 df-9 12304 df-n0 12495 df-xnn0 12567 df-z 12581 df-dec 12700 df-uz 12845 df-rp 12999 df-ico 13354 df-fz 13509 df-fzo 13652 df-fl 13781 df-mod 13859 df-seq 13991 df-exp 14051 df-hash 14314 df-cj 15070 df-re 15071 df-im 15072 df-sqrt 15206 df-abs 15207 df-clim 15456 df-rlim 15457 df-sum 15657 df-dvds 16223 df-gcd 16461 df-phi 16726 df-struct 17107 df-sets 17124 df-slot 17142 df-ndx 17154 df-base 17172 df-ress 17201 df-plusg 17237 df-mulr 17238 df-starv 17239 df-sca 17240 df-vsca 17241 df-ip 17242 df-tset 17243 df-ple 17244 df-ds 17246 df-unif 17247 df-0g 17414 df-imas 17481 df-qus 17482 df-mgm 18591 df-sgrp 18670 df-mnd 18686 df-mhm 18731 df-grp 18884 df-minusg 18885 df-sbg 18886 df-mulg 19015 df-subg 19069 df-nsg 19070 df-eqg 19071 df-ghm 19159 df-cmn 19728 df-abl 19729 df-mgp 20066 df-rng 20084 df-ur 20113 df-ring 20166 df-cring 20167 df-oppr 20262 df-dvdsr 20285 df-unit 20286 df-invr 20316 df-rhm 20400 df-subrng 20472 df-subrg 20497 df-lmod 20734 df-lss 20805 df-lsp 20845 df-sra 21047 df-rgmod 21048 df-lidl 21093 df-rsp 21094 df-2idl 21133 df-cnfld 21267 df-zring 21360 df-zrh 21416 df-zn 21419 df-dchr 27153

This theorem is referenced by: dchrisumlem3 27411

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