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Theorem dchrisumlem2 27535

Description: Lemma for dchrisum 27537. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
dchrisumlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
dchrisumlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑈)
dchrisumlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
dchrisumlem2.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
dchrisumlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼))

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥 1 ,𝑛,𝑥 𝑛,𝐹,𝑢,𝑥 𝑛,𝐼,𝑢,𝑥 𝑛,𝐽,𝑢,𝑥 𝑥,𝐴 𝑛,𝑁,𝑢,𝑥 𝜑,𝑛,𝑢,𝑥 𝑅,𝑛,𝑢,𝑥 𝑈,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑛,𝑥 𝑛,𝐿,𝑢,𝑥 𝑛,𝑀,𝑢,𝑥 𝑛,𝑋,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢) 𝐷(𝑢) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑛) 𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem2 Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzodisj 13734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅)
3		dchrisumlem2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
5		nnuz 12922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	4, 5	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
7		dchrisumlem2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼))
8		eluzp1p1 12907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
10		elfzuzb 13559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1))))
11	6, 9, 10	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)))
12		fzosplit 13733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
14		fzofi 14016	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
16		elfzouz 13704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘1))
17	16, 5	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
18		rpvmasum.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
19		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20		rpvmasum.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
21		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
22		dchrisum.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
24		nnz 12636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
26	18, 19, 20, 21, 23, 25	dchrzrhcl 27290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) ∈ ℂ)
27		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
28		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
29		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
30		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
31		dchrisum.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32		dchrisum.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		dchrisum.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
34		dchrisum.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
35		dchrisum.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
36	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℝ⁺ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
37	36	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ⁺ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
38		nnrp 13047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
39	37, 38	impel 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
41	26, 40	mulcld 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
42	17, 41	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
43	2, 13, 15, 42	fsumsplit 15778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
44		eluzelz 12889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
45		fzval3 13774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
46	7, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
47	46	sumeq1d 15737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
48	3	nnzd 12642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
49		fzval3 13774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
51	50	sumeq1d 15737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
52	51	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
53	43, 47, 52	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
54		elfznn 13594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ)
55		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
56		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑖
57		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑋‘(𝐿‘𝑖))
58		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
59		nfcsb1v 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
60	57, 58, 59	nfov 7462	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
61		2fveq3 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
62		csbeq1a 3912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
63	61, 62	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
64	56, 60, 63, 35	fvmptf 7036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
65	55, 41, 64	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
66	54, 65	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐽)) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
67	3, 5	eleqtrdi 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1))
68		uztrn 12897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘1))
69	7, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘1))
70	54, 41	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐽)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
71	66, 69, 70	fsumser 15767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
72	53, 71	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
73		elfznn 13594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
74	73, 65	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐼)) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
75	73, 41	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐼)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
76	74, 67, 75	fsumser 15767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))
77	72, 76	oveq12d 7450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)))
78		fzfid 14015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝐼) ∈ Fin)
79	78, 75	fsumcl 15770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
80		fzofi 14016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
82		ssun2 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)))
83	82, 13	sseqtrrid 4026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ (1..^(𝐽 + 1)))
84	83	sselda 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)))
85	84, 42	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
86	81, 85	fsumcl 15770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
87	79, 86	pncan2d 11623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
88	77, 87	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
89	88	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
90	86	abscld 15476	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ ℝ)
91		2re 12341	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
92	91	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
93		dchrisum.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
94	92, 93	remulcld 11292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
95	39	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
96		csbeq1 3901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
97	96	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
98	97	rspcv 3617	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
99	4, 95, 98	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
100	94, 99	remulcld 11292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
101		dchrisumlem2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
102	32	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
103		nfcsb1v 3922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴
104	103	nfel1 2921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
105		csbeq1a 3912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → 𝐴 = ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
106	105	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
107	104, 106	rspc 3609	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
108	101, 102, 107	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
109	94, 108	remulcld 11292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
110	69, 5	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
111	110	peano2nnd 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
112	111	nnrpd 13076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺)
113	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
114	113	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
115	112, 114	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
116	115	recnd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
117		fzofi 14016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
118	117	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
119		elfzoelz 13700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
120	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
121		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
122	18, 19, 20, 21, 120, 121	dchrzrhcl 27290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
123	119, 122	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
124	118, 123	fsumcl 15770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
125	116, 124	mulcld 11282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
126	99	recnd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
127		fzofi 14016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin
128	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin)
129		elfzoelz 13700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
130	129, 122	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
131	128, 130	fsumcl 15770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
132	126, 131	mulcld 11282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
133	125, 132	subcld 11621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℂ)
134	133	abscld 15476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
135	84, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
136		peano2nn 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
137	136	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺)
138		nfcsb1v 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴
139	138	nfel1 2921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
140		csbeq1a 3912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
141	140	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
142	139, 141	rspc 3609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
143	142	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
144	102, 137, 143	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
145	144, 39	resubcld 11692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
146	145	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
147		fzofi 14016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
149		elfzoelz 13700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
150	149, 122	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
151	148, 150	fsumcl 15770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
152	151	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
153	146, 152	mulcld 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
154	135, 153	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
155	81, 154	fsumcl 15770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℂ)
156	155	abscld 15476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
157	134, 156	readdcld 11291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
158	26, 40	mulcomd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (𝑋‘(𝐿‘𝑖))))
159		nnnn0 12535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ₀)
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
161		nn0uz 12921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
162	160, 161	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
163		elfzelz 13565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
164	122	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
165	163, 164	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
166	162, 165, 61	fzosump1 15789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))))
167	166	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
168		fzofi 14016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^𝑖) ∈ Fin
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (0..^𝑖) ∈ Fin)
170		elfzoelz 13700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
171	170, 164	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑖)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
172	169, 171	fsumcl 15770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
173	172, 26	pncan2d 11623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
174	167, 173	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
175	174	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (𝑋‘(𝐿‘𝑖))) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
176	158, 175	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
177	135, 176	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
178	177	sumeq2dv 15739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
179		csbeq1 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
180		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (0..^𝑘) = (0..^𝑖))
181	180	sumeq1d 15737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
182	179, 181	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
183		csbeq1 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
184		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑖 + 1)))
185	184	sumeq1d 15737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
186	183, 185	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
187		csbeq1 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
188		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐼 + 1)))
189	188	sumeq1d 15737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
190	187, 189	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
191		csbeq1 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
192		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐽 + 1)))
193	192	sumeq1d 15737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
194	191, 193	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐽 + 1) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
195	40	ralrimiva 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
196		elfzuz 13561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
197		eluznn 12961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
198	4, 196, 197	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
199		csbeq1 3901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴)
200	199	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ))
201	200	rspccva 3620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℕ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
202	195, 198, 201	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
203		fzofi 14016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑘) ∈ Fin
204	203	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑘) ∈ Fin)
205		elfzoelz 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑘) → 𝑛 ∈ ℤ)
206	205, 122	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
207	204, 206	fsumcl 15770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
208	207	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
209	182, 186, 190, 194, 9, 202, 208	fsumparts 15843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
210	178, 209	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
211	210	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (abs‘(((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
212	133, 155	abs2dif2d 15498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
213	211, 212	eqbrtrd 5164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
214	115, 99	readdcld 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
215	214, 93	remulcld 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
216	179, 183, 187, 191, 9, 202	telfsumo 15839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
217	135, 39	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
218	135, 144	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
219	217, 218	resubcld 11692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
220	81, 219	fsumrecl 15771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
221	216, 220	eqeltrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
222	221, 93	remulcld 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
223	125	abscld 15476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
224	132	abscld 15476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
225	223, 224	readdcld 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ∈ ℝ)
226	125, 132	abs2dif2d 15498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))))
227	115, 93	remulcld 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
228	99, 93	remulcld 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
229	116, 124	absmuld 15494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
230		eluzelre 12890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
231	230	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
232		eluzle 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑖)
233	232	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
234	31	nnred 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
235	234	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
236		elicopnf 13486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖)))
237	235, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖)))
238	231, 233, 237	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞))
239	238	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞)))
240	239	ssrdv 3988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))
241	31	nnzd 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
242	48	peano2zd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
243	101	rpred 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
244	4	nnred 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
245		dchrisumlem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑈)
246		dchrisumlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
247	234, 243, 244, 245, 246	letrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐼 + 1))
248		eluz2 12885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐼 + 1)))
249	241, 242, 247, 248	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
250		uztrn 12897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
251	9, 249, 250	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
252	240, 251	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
253	113	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
254	252, 253	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
255	115, 254	absidd 15462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
256	255	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
257	229, 256	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
258	124	abscld 15476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
259	111	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ₀)
260		dchrisum.10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
261	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
262	259, 261	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
263	258, 93, 115, 254, 262	lemul2ad 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
264	257, 263	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
265	126, 131	absmuld 15494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
266	240, 249	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
267	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dchrisumlema 27533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺ → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
268	267	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
269	266, 268	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
270	99, 269	absidd 15462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
271	270	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
272	265, 271	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
273	131	abscld 15476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
274	4	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ₀)
275	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
276	274, 275	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
277	273, 93, 99, 269, 276	lemul2ad 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
278	272, 277	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅))
279	223, 224, 227, 228, 264, 278	le2addd 11883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅)))
280	93	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
281	116, 126, 280	adddird 11287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · 𝑅)))
282	279, 281	breqtrrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) + (abs‘(⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
283	134, 225, 215, 226, 282	letrd 11419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
284	154	abscld 15476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
285	81, 284	fsumrecl 15771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ∈ ℝ)
286	81, 154	fsumabs 15838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
287	93	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑅 ∈ ℝ)
288	219, 287	remulcld 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
289	135, 146	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
290	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
291	289, 290	absmuld 15494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
292		elfzouz 13704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)))
293		uztrn 12897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
294	292, 249, 293	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
295		eluznn 12961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
296	31, 295	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
297	296, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺)
298	296	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
299	33	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺)) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
300	299	ralrimivva 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
301	300	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴))
302		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ⁺
303		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥)
304		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
305		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
306	304, 305, 59	nfbr 5189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
307	303, 306	nfim 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
308	302, 307	nfralw 3310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
309		breq2 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
310		breq1 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ 𝑖 ≤ 𝑥))
311	309, 310	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥)))
312	62	breq2d 5154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
313	311, 312	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
314	313	ralbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
315	308, 314	rspc 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
316	298, 301, 315	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
317	231	lep1d 12200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))
318	233, 317	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
319		breq2 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 ≤ 𝑥 ↔ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
320	319	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))))
321		eqvisset 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) ∈ V)
322		eqtr3 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
323	30	equcoms 2018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → 𝐴 = 𝐵)
324	322, 323	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
325	321, 324	csbied 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
326	325	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
327	326	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
328	320, 327	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑖 + 1) → (((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
329	328	rspcv 3617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) → ((𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)))
330	297, 316, 318, 329	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
331	294, 330	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
332	218, 217, 331	abssuble0d 15472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
333	332	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((abs‘(⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
334	291, 333	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) = ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
335	290	abscld 15476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ∈ ℝ)
336	217, 218	subge0d 11854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (0 ≤ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
337	331, 336	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 0 ≤ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
338	135	peano2nnd 12284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
339	338	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
340	19, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260	dchrisumlem1 27534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
341	339, 340	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
342	335, 287, 219, 337, 341	lemul2ad 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
343	334, 342	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
344	81, 284, 288, 343	fsumle 15836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
345	219	recnd 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
346	81, 280, 345	fsummulc1 15822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
347	216	oveq1d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
348	346, 347	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
349	344, 348	breqtrd 5168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
350	156, 285, 222, 286, 349	letrd 11419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))) ≤ ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅))
351	134, 156, 215, 222, 283, 350	le2addd 11883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
352	126	2timesd 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
353	126, 116, 126	ppncand 11661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) = (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
354	126, 116	addcomd 11464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
355	354	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
356	352, 353, 355	3eqtr2d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = ((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)))
357	356	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) · 𝑅))
358		2cnd 12345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
359	358, 126, 280	mul32d 11472	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) = ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
360	214	recnd 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
361	221	recnd 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
362	360, 361, 280	adddird 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) + (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴)) · 𝑅) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
363	357, 359, 362	3eqtr3d 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) = (((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 + ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅) + ((⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴) · 𝑅)))
364	351, 363	breqtrrd 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⦋(𝐽 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) − (⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((⦋(𝑖 + 1) / 𝑛⦌𝐴 − ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
365	90, 157, 100, 213, 364	letrd 11419	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴))
366		2nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
367		nn0ge0 12553	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 2)
368	366, 367	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
369		0red 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
370	124	absge0d 15484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
371	369, 258, 93, 370, 262	letrd 11419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
372	92, 93, 368, 371	mulge0d 11841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
373	4	nnrpd 13076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺)
374		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥)
375	304, 305, 103	nfbr 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴
376	374, 375	nfim 1895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
377	302, 376	nfralw 3310	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
378		breq2 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 ≤ 𝑈))
379		breq1 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ 𝑥))
380	378, 379	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥)))
381	105	breq2d 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
382	380, 381	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
383	382	ralbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
384	377, 383	rspc 3609	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
385	101, 300, 384	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
386	245, 246	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
387		breq2 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝑈 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
388	387	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) ↔ (𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1))))
389		eqvisset 3499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) ∈ V)
390		eqtr3 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
391	390, 323	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
392	389, 391	csbied 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
393	392	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → 𝐵 = ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴)
394	393	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴 ↔ ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
395	388, 394	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 1) → (((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
396	395	rspcv 3617	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴) → ((𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)))
397	373, 385, 386, 396	syl3c 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴 ≤ ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴)
398	99, 108, 94, 372, 397	lemul2ad 12209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) · ⦋(𝐼 + 1) / 𝑛⦌𝐴) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
399	90, 100, 109, 365, 398	letrd 11419	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))
400	89, 399	eqbrtrd 5164	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑈 / 𝑛⦌𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2939 ∀wral 3060 Vcvv 3479 ⦋csb 3898 ∪ cun 3948 ∩ cin 3949 ∅c0 4332 class class class wbr 5142 ↦ cmpt 5224 ‘cfv 6560 (class class class)co 7432 Fincfn 8986 ℂcc 11154 ℝcr 11155 0cc0 11156 1c1 11157 + caddc 11159 · cmul 11161 +∞cpnf 11293 ≤ cle 11297 − cmin 11493 ℕcn 12267 2c2 12322 ℕ₀cn0 12528 ℤcz 12615 ℤ_≥cuz 12879 ℝ⁺crp 13035 [,)cico 13390 ...cfz 13548 ..^cfzo 13695 seqcseq 14043 abscabs 15274 ⇝_𝑟 crli 15522 Σcsu 15723 Basecbs 17248 0_gc0g 17485 ℤRHomczrh 21511 ℤ/nℤczn 21514 DChrcdchr 27277

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-rep 5278 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-inf2 9682 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233 ax-pre-sup 11234 ax-addf 11235 ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4907 df-int 4946 df-iun 4992 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-se 5637 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-isom 6569 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-of 7698 df-om 7889 df-1st 8015 df-2nd 8016 df-tpos 8252 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-1o 8507 df-oadd 8511 df-er 8746 df-ec 8748 df-qs 8752 df-map 8869 df-pm 8870 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-fin 8990 df-sup 9483 df-inf 9484 df-oi 9551 df-card 9980 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-div 11922 df-nn 12268 df-2 12330 df-3 12331 df-4 12332 df-5 12333 df-6 12334 df-7 12335 df-8 12336 df-9 12337 df-n0 12529 df-xnn0 12602 df-z 12616 df-dec 12736 df-uz 12880 df-rp 13036 df-ico 13394 df-fz 13549 df-fzo 13696 df-fl 13833 df-mod 13911 df-seq 14044 df-exp 14104 df-hash 14371 df-cj 15139 df-re 15140 df-im 15141 df-sqrt 15275 df-abs 15276 df-clim 15525 df-rlim 15526 df-sum 15724 df-dvds 16292 df-gcd 16533 df-phi 16804 df-struct 17185 df-sets 17202 df-slot 17220 df-ndx 17232 df-base 17249 df-ress 17276 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-0g 17487 df-imas 17554 df-qus 17555 df-mgm 18654 df-sgrp 18733 df-mnd 18749 df-mhm 18797 df-grp 18955 df-minusg 18956 df-sbg 18957 df-mulg 19087 df-subg 19142 df-nsg 19143 df-eqg 19144 df-ghm 19232 df-cmn 19801 df-abl 19802 df-mgp 20139 df-rng 20151 df-ur 20180 df-ring 20233 df-cring 20234 df-oppr 20335 df-dvdsr 20358 df-unit 20359 df-invr 20389 df-rhm 20473 df-subrng 20547 df-subrg 20571 df-lmod 20861 df-lss 20931 df-lsp 20971 df-sra 21173 df-rgmod 21174 df-lidl 21219 df-rsp 21220 df-2idl 21261 df-cnfld 21366 df-zring 21459 df-zrh 21515 df-zn 21518 df-dchr 27278

This theorem is referenced by: dchrisumlem3 27536

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