MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisumlem2 26371
Description: Lemma for dchrisum 26373. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
dchrisumlem2.1 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
dchrisumlem2.2 (𝜑𝑀𝑈)
dchrisumlem2.3 (𝜑𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
dchrisumlem2.4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
dchrisumlem2.5 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝐼))
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥   1 ,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑢,𝑥   𝑛,𝐼,𝑢,𝑥   𝑛,𝐽,𝑢,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑢,𝑥   𝜑,𝑛,𝑢,𝑥   𝑅,𝑛,𝑢,𝑥   𝑈,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑢,𝑥   𝑛,𝑀,𝑢,𝑥   𝑛,𝑋,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐷(𝑢)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑛)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem2
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 13276 . . . . . . . . 9 ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅)
3 dchrisumlem2.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
43peano2nnd 11847 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
5 nnuz 12477 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘1))
7 dchrisumlem2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝐼))
8 eluzp1p1 12466 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
10 elfzuzb 13106 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))))
116, 9, 10sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)))
12 fzosplit 13275 . . . . . . . . 9 ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
14 fzofi 13547 . . . . . . . . 9 (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
16 elfzouz 13247 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
1716, 5eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
18 rpvmasum.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChr‘𝑁)
19 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20 rpvmasum.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Base‘𝐺)
21 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
22 dchrisum.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐷)
2322adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
24 nnz 12199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
2524adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
2618, 19, 20, 21, 23, 25dchrzrhcl 26126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) ∈ ℂ)
27 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
28 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0g𝐺)
29 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋1 )
30 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
31 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
34 dchrisum.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
35 dchrisum.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
3619, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35dchrisumlema 26369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝑖 / 𝑛𝐴)))
3736simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
38 nnrp 12597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
3937, 38impel 509 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
4039recnd 10861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
4126, 40mulcld 10853 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
4217, 41sylan2 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
432, 13, 15, 42fsumsplit 15305 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
44 eluzelz 12448 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
45 fzval3 13311 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℤ → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
467, 44, 453syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
4746sumeq1d 15265 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
483nnzd 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
49 fzval3 13311 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℤ → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
5150sumeq1d 15265 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
5251oveq1d 7228 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
5343, 47, 523eqtr4d 2787 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
54 elfznn 13141 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ)
55 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
56 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑖
57 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑋‘(𝐿𝑖))
58 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ·
59 nfcsb1v 3836 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
6057, 58, 59nfov 7243 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)
61 2fveq3 6722 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
62 csbeq1a 3825 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
6361, 62oveq12d 7231 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6456, 60, 63, 35fvmptf 6839 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6555, 41, 64syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6654, 65sylan2 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐽)) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
673, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ‘1))
68 uztrn 12456 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (ℤ𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐽 ∈ (ℤ‘1))
697, 67, 68syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘1))
7054, 41sylan2 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐽)) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
7166, 69, 70fsumser 15294 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
7253, 71eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
73 elfznn 13141 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
7473, 65sylan2 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐼)) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
7573, 41sylan2 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐼)) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
7674, 67, 75fsumser 15294 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))
7772, 76oveq12d 7231 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)))
78 fzfid 13546 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝐼) ∈ Fin)
7978, 75fsumcl 15297 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
80 fzofi 13547 . . . . . . 7 ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
8180a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
82 ssun2 4087 . . . . . . . . 9 ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)))
8382, 13sseqtrrid 3954 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ (1..^(𝐽 + 1)))
8483sselda 3901 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)))
8584, 42syldan 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
8681, 85fsumcl 15297 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
8779, 86pncan2d 11191 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
8877, 87eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
8988fveq2d 6721 . 2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
9086abscld 15000 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ∈ ℝ)
91 2re 11904 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
93 dchrisum.9 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
9492, 93remulcld 10863 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
9539ralrimiva 3105 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
96 csbeq1 3814 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 + 1) → 𝑖 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
9796eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
9897rspcv 3532 . . . . 5 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
994, 95, 98sylc 65 . . . 4 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
10094, 99remulcld 10863 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
101 dchrisumlem2.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
10232ralrimiva 3105 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
103 nfcsb1v 3836 . . . . . . 7 𝑛𝑈 / 𝑛𝐴
104103nfel1 2920 . . . . . 6 𝑛𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
105 csbeq1a 3825 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑈𝐴 = 𝑈 / 𝑛𝐴)
106105eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑈 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
107104, 106rspc 3525 . . . . 5 (𝑈 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
108101, 102, 107sylc 65 . . . 4 (𝜑𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
10994, 108remulcld 10863 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
11069, 5eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
111110peano2nnd 11847 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
112111nnrpd 12626 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ+)
11319, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35dchrisumlema 26369 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐽 + 1) ∈ ℝ+(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
114113simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ ℝ+(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
115112, 114mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
116115recnd 10861 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
117 fzofi 13547 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
118117a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
119 elfzoelz 13243 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
12022adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋𝐷)
121 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
12218, 19, 20, 21, 120, 121dchrzrhcl 26126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
123119, 122sylan2 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
124118, 123fsumcl 15297 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
125116, 124mulcld 10853 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
12699recnd 10861 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
127 fzofi 13547 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin)
129 elfzoelz 13243 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
130129, 122sylan2 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
131128, 130fsumcl 15297 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
132126, 131mulcld 10853 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
133125, 132subcld 11189 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℂ)
134133abscld 15000 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
13584, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
136 peano2nn 11842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
137136nnrpd 12626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ+)
138 nfcsb1v 3836 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴
139138nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
140 csbeq1a 3825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
141140eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
142139, 141rspc 3525 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
143142impcom 411 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℝ+) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
144102, 137, 143syl2an 599 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
145144, 39resubcld 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
146145recnd 10861 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
147 fzofi 13547 . . . . . . . . . . . 12 (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin
148147a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
149 elfzoelz 13243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
150149, 122sylan2 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
151148, 150fsumcl 15297 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
152151adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
153146, 152mulcld 10853 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
154135, 153syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
15581, 154fsumcl 15297 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
156155abscld 15000 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
157134, 156readdcld 10862 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
15826, 40mulcomd 10854 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (𝑋‘(𝐿𝑖))))
159 nnnn0 12097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
160159adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
161 nn0uz 12476 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
162160, 161eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
163 elfzelz 13112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
164122adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
165163, 164sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
166162, 165, 61fzosump1 15316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))))
167166oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
168 fzofi 13547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑖) ∈ Fin
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (0..^𝑖) ∈ Fin)
170 elfzoelz 13243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0..^𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
171170, 164sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑖)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
172169, 171fsumcl 15297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
173172, 26pncan2d 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
174167, 173eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
175174oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 / 𝑛𝐴 · (𝑋‘(𝐿𝑖))) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
176158, 175eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
177135, 176syldan 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
178177sumeq2dv 15267 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
179 csbeq1 3814 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
180 oveq2 7221 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (0..^𝑘) = (0..^𝑖))
181180sumeq1d 15265 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
182179, 181jca 515 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
183 csbeq1 3814 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
184 oveq2 7221 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑖 + 1)))
185184sumeq1d 15265 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
186183, 185jca 515 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
187 csbeq1 3814 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐼 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
188 oveq2 7221 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐼 + 1)))
189188sumeq1d 15265 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐼 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
190187, 189jca 515 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
191 csbeq1 3814 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐽 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
192 oveq2 7221 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐽 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐽 + 1)))
193192sumeq1d 15265 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐽 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
194191, 193jca 515 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐽 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
19540ralrimiva 3105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
196 elfzuz 13108 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
197 eluznn 12514 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1984, 196, 197syl2an 599 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
199 csbeq1 3814 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝑘 / 𝑛𝐴)
200199eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ))
201200rspccva 3536 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
202195, 198, 201syl2an2r 685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
203 fzofi 13547 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑘) ∈ Fin
204203a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝑘) ∈ Fin)
205 elfzoelz 13243 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑘) → 𝑛 ∈ ℤ)
206205, 122sylan2 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
207204, 206fsumcl 15297 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
208207adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
209182, 186, 190, 194, 9, 202, 208fsumparts 15370 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
210178, 209eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
211210fveq2d 6721 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (abs‘((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
212133, 155abs2dif2d 15022 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
213211, 212eqbrtrd 5075 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
214115, 99readdcld 10862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
215214, 93remulcld 10863 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
216179, 183, 187, 191, 9, 202telfsumo 15366 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴))
217135, 39syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
218135, 144syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
219217, 218resubcld 11260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
22081, 219fsumrecl 15298 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
221216, 220eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
222221, 93remulcld 10863 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
223125abscld 15000 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
224132abscld 15000 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
225223, 224readdcld 10862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
226125, 132abs2dif2d 15022 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
227115, 93remulcld 10863 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
22899, 93remulcld 10863 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
229116, 124absmuld 15018 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
230 eluzelre 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
231230adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
232 eluzle 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑖)
233232adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑖)
23431nnred 11845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
235234adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
236 elicopnf 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑖)))
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑖)))
238231, 233, 237mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞))
239238ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞)))
240239ssrdv 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))
24131nnzd 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
24248peano2zd 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
243101rpred 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2444nnred 11845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
245 dchrisumlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀𝑈)
246 dchrisumlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
247234, 243, 244, 245, 246letrd 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ≤ (𝐼 + 1))
248 eluz2 12444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐼 + 1)))
249241, 242, 247, 248syl3anbrc 1345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
250 uztrn 12456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2519, 249, 250syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
252240, 251sseldd 3902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
253113simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴))
254252, 253mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
255115, 254absidd 14986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
256255oveq1d 7228 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
257229, 256eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
258124abscld 15000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
259111nnnn0d 12150 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
260 dchrisum.10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
26119, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260dchrisumlem1 26370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
262259, 261mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
263258, 93, 115, 254, 262lemul2ad 11772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
264257, 263eqbrtrd 5075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
265126, 131absmuld 15018 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
266240, 249sseldd 3902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
26719, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35dchrisumlema 26369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐼 + 1) ∈ ℝ+(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)))
268267simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
269266, 268mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
27099, 269absidd 14986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
271270oveq1d 7228 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
272265, 271eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
273131abscld 15000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
2744nnnn0d 12150 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27519, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260dchrisumlem1 26370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
276274, 275mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
277273, 93, 99, 269, 276lemul2ad 11772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
278272, 277eqbrtrd 5075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
279223, 224, 227, 228, 264, 278le2addd 11451 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅)))
28093recnd 10861 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
281116, 126, 280adddird 10858 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅)))
282279, 281breqtrrd 5081 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
283134, 225, 215, 226, 282letrd 10989 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
284154abscld 15000 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
28581, 284fsumrecl 15298 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
28681, 154fsumabs 15365 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
28793adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑅 ∈ ℝ)
288219, 287remulcld 10863 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
289135, 146syldan 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
290151adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
291289, 290absmuld 15018 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
292 elfzouz 13247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
293 uztrn 12456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
294292, 249, 293syl2anr 600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
295 eluznn 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
29631, 295sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
297296, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ+)
298296nnrpd 12626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ+)
299333expia 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
300299ralrimivva 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
301300adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
302 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛+
303 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛(𝑀𝑖𝑖𝑥)
304 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛𝐵
305 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛
306304, 305, 59nfbr 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴
307303, 306nfim 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)
308302, 307nfralw 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)
309 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀𝑛𝑀𝑖))
310 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑥𝑖𝑥))
311309, 310anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝑖𝑖𝑥)))
31262breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝐵𝐴𝐵𝑖 / 𝑛𝐴))
313311, 312imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
314313ralbidv 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
315308, 314rspc 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
316298, 301, 315sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴))
317231lep1d 11763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))
318233, 317jca 515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
319 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖𝑥𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
320319anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑖 + 1) → ((𝑀𝑖𝑖𝑥) ↔ (𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1))))
321 eqvisset 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) ∈ V)
322 eqtr3 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
32330equcoms 2028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑛𝐴 = 𝐵)
324322, 323syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
325321, 324csbied 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝐵)
326325eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
327326breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝐵𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴))
328320, 327imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)))
329328rspcv 3532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)))
330297, 316, 318, 329syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)
331294, 330syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)
332218, 217, 331abssuble0d 14996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) = (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴))
333332oveq1d 7228 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
334291, 333eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
335290abscld 15000 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
336217, 218subge0d 11422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (0 ≤ (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴))
337331, 336mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 0 ≤ (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴))
338135peano2nnd 11847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
339338nnnn0d 12150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
34019, 21, 27, 18, 20, 28, 22, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 93, 260dchrisumlem1 26370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
341339, 340syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
342335, 287, 219, 337, 341lemul2ad 11772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
343334, 342eqbrtrd 5075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
34481, 284, 288, 343fsumle 15363 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
345219recnd 10861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
34681, 280, 345fsummulc1 15349 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
347216oveq1d 7228 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
348346, 347eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
349344, 348breqtrd 5079 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
350156, 285, 222, 286, 349letrd 10989 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
351134, 156, 215, 222, 283, 350le2addd 11451 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
3521262timesd 12073 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
353126, 116, 126ppncand 11229 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
354126, 116addcomd 11034 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
355354oveq1d 7228 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
356352, 353, 3553eqtr2d 2783 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
357356oveq1d 7228 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) · 𝑅))
358 2cnd 11908 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
359358, 126, 280mul32d 11042 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
360214recnd 10861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
361221recnd 10861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
362360, 361, 280adddird 10858 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) · 𝑅) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
363357, 359, 3623eqtr3d 2785 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
364351, 363breqtrrd 5081 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
36590, 157, 100, 213, 364letrd 10989 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
366 2nn0 12107 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
367 nn0ge0 12115 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
368366, 367mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 2)
369 0red 10836 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
370124absge0d 15008 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
371369, 258, 93, 370, 262letrd 10989 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
37292, 93, 368, 371mulge0d 11409 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
3734nnrpd 12626 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ+)
374 nfv 1922 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑀𝑈𝑈𝑥)
375304, 305, 103nfbr 5100 . . . . . . . . 9 𝑛 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴
376374, 375nfim 1904 . . . . . . . 8 𝑛((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)
377302, 376nfralw 3147 . . . . . . 7 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)
378 breq2 5057 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑈 → (𝑀𝑛𝑀𝑈))
379 breq1 5056 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑈 → (𝑛𝑥𝑈𝑥))
380378, 379anbi12d 634 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑈 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝑈𝑈𝑥)))
381105breq2d 5065 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑈 → (𝐵𝐴𝐵𝑈 / 𝑛𝐴))
382380, 381imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑈 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
383382ralbidv 3118 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
384377, 383rspc 3525 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
385101, 300, 384sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴))
386245, 246jca 515 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
387 breq2 5057 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝑈𝑥𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
388387anbi2d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐼 + 1) → ((𝑀𝑈𝑈𝑥) ↔ (𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1))))
389 eqvisset 3425 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) ∈ V)
390 eqtr3 2763 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
391390, 323syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
392389, 391csbied 3849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝐵)
393392eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐼 + 1) → 𝐵 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
394393breq1d 5063 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐵𝑈 / 𝑛𝐴(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴))
395388, 394imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)))
396395rspcv 3532 . . . . 5 ((𝐼 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)))
397373, 385, 386, 396syl3c 66 . . . 4 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)
39899, 108, 94, 372, 397lemul2ad 11772 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
39990, 100, 109, 365, 398letrd 10989 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
40089, 399eqbrtrd 5075 1 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3408  csb 3811  cun 3864  cin 3865  c0 4237   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  +∞cpnf 10864  cle 10868  cmin 11062  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  +crp 12586  [,)cico 12937  ...cfz 13095  ..^cfzo 13238  seqcseq 13574  abscabs 14797  𝑟 crli 15046  Σcsu 15249  Basecbs 16760  0gc0g 16944  ℤRHomczrh 20466  ℤ/nczn 20469  DChrcdchr 26113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-ec 8393  df-qs 8397  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-phi 16319  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-imas 17013  df-qus 17014  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-nsg 18541  df-eqg 18542  df-ghm 18620  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-rnghom 19735  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-lidl 20211  df-rsp 20212  df-2idl 20270  df-cnfld 20364  df-zring 20436  df-zrh 20470  df-zn 20473  df-dchr 26114
This theorem is referenced by:  dchrisumlem3  26372
  Copyright terms: Public domain W3C validator