MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisumlem2 25470
Description: Lemma for dchrisum 25472. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
dchrisumlem2.1 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
dchrisumlem2.2 (𝜑𝑀𝑈)
dchrisumlem2.3 (𝜑𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
dchrisumlem2.4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
dchrisumlem2.5 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝐼))
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥   1 ,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑢,𝑥   𝑛,𝐼,𝑢,𝑥   𝑛,𝐽,𝑢,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑢,𝑥   𝜑,𝑛,𝑢,𝑥   𝑅,𝑛,𝑢,𝑥   𝑈,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑢,𝑥   𝑛,𝑀,𝑢,𝑥   𝑛,𝑋,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐷(𝑢)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑛)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem2
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 12710 . . . . . . . . 9 ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1..^(𝐼 + 1)) ∩ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) = ∅)
3 dchrisumlem2.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
43peano2nnd 11293 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
5 nnuz 11923 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5syl6eleq 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘1))
7 dchrisumlem2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝐼))
8 eluzp1p1 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
10 elfzuzb 12543 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))))
116, 9, 10sylanbrc 578 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)))
12 fzosplit 12709 . . . . . . . . 9 ((𝐼 + 1) ∈ (1...(𝐽 + 1)) → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) = ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))))
14 fzofi 12981 . . . . . . . . 9 (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
16 elfzouz 12682 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
1716, 5syl6eleqr 2855 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
18 rpvmasum.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChr‘𝑁)
19 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20 rpvmasum.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Base‘𝐺)
21 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
22 dchrisum.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐷)
2322adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
24 nnz 11646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
2524adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
2618, 19, 20, 21, 23, 25dchrzrhcl 25261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) ∈ ℂ)
27 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
28 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
29 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0g𝐺)
30 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋1 )
31 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
32 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
33 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
35 dchrisum.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
36 dchrisum.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
3719, 21, 28, 18, 20, 29, 22, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36dchrisumlema 25468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝑖 / 𝑛𝐴)))
3837simpld 488 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
3927, 38syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
4039imp 395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
4140recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
4226, 41mulcld 10314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
4317, 42sylan2 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
442, 13, 15, 43fsumsplit 14758 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
45 eluzelz 11896 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
46 fzval3 12745 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℤ → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
477, 45, 463syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝐽) = (1..^(𝐽 + 1)))
4847sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
493nnzd 11728 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
50 fzval3 12745 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℤ → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐼) = (1..^(𝐼 + 1)))
5251sumeq1d 14718 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
5352oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^(𝐼 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
5444, 48, 533eqtr4d 2809 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
55 elfznn 12577 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ)
56 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
57 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑖
58 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑋‘(𝐿𝑖))
59 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ·
60 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
6158, 59, 60nfov 6872 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)
62 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
63 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
6462, 63oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6557, 61, 64, 36fvmptf 6490 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6656, 42, 65syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
6755, 66sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐽)) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
683, 5syl6eleq 2854 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ‘1))
69 uztrn 11903 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (ℤ𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐽 ∈ (ℤ‘1))
707, 68, 69syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘1))
7155, 42sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐽)) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
7267, 70, 71fsumser 14748 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐽)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
7354, 72eqtr3d 2801 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐽))
74 elfznn 12577 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝐼) → 𝑖 ∈ ℕ)
7574, 66sylan2 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐼)) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
7674, 42sylan2 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝐼)) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
7775, 68, 76fsumser 14748 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))
7873, 77oveq12d 6860 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)))
79 fzfid 12980 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝐼) ∈ Fin)
8079, 76fsumcl 14751 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
81 fzofi 12981 . . . . . . 7 ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
8281a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
83 ssun2 3939 . . . . . . . . 9 ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ ((1..^(𝐼 + 1)) ∪ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)))
8483, 13syl5sseqr 3814 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) ⊆ (1..^(𝐽 + 1)))
8584sselda 3761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (1..^(𝐽 + 1)))
8685, 43syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
8782, 86fsumcl 14751 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
8880, 87pncan2d 10648 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) + Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐼)((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
8978, 88eqtr3d 2801 . . 3 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼)) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
9089fveq2d 6379 . 2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)))
9187abscld 14462 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ∈ ℝ)
92 2re 11346 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
9392a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
94 dchrisum.9 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
9593, 94remulcld 10324 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
9640ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
97 csbeq1 3694 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 + 1) → 𝑖 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
9897eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
9998rspcv 3457 . . . . 5 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
1004, 96, 99sylc 65 . . . 4 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
10195, 100remulcld 10324 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
102 dchrisumlem2.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
10333ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
104 nfcsb1v 3707 . . . . . . 7 𝑛𝑈 / 𝑛𝐴
105104nfel1 2922 . . . . . 6 𝑛𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
106 csbeq1a 3700 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑈𝐴 = 𝑈 / 𝑛𝐴)
107106eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑈 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
108105, 107rspc 3455 . . . . 5 (𝑈 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
109102, 103, 108sylc 65 . . . 4 (𝜑𝑈 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
11095, 109remulcld 10324 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
11170, 5syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
112111peano2nnd 11293 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
113112nnrpd 12068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ+)
11419, 21, 28, 18, 20, 29, 22, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36dchrisumlema 25468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐽 + 1) ∈ ℝ+(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
115114simpld 488 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ ℝ+(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
116113, 115mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
117116recnd 10322 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
118 fzofi 12981 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝐽 + 1)) ∈ Fin)
120 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
12122adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋𝐷)
122 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
12318, 19, 20, 21, 121, 122dchrzrhcl 25261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
124120, 123sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
125119, 124fsumcl 14751 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
126117, 125mulcld 10314 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
127100recnd 10322 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
128 fzofi 12981 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin
129128a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝐼 + 1)) ∈ Fin)
130 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
131130, 123sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
132129, 131fsumcl 14751 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
133127, 132mulcld 10314 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
134126, 133subcld 10646 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℂ)
135134abscld 14462 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
13685, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
137 peano2nn 11288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
138137nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ+)
139 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴
140139nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
141 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
142141eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
143140, 142rspc 3455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
144143impcom 396 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℝ+) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
145103, 138, 144syl2an 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
146145, 40resubcld 10712 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
147146recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
148 fzofi 12981 . . . . . . . . . . . 12 (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
150 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
151150, 123sylan2 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
152149, 151fsumcl 14751 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
153152adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
154147, 153mulcld 10314 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
155136, 154syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
15682, 155fsumcl 14751 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℂ)
157156abscld 14462 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
158135, 157readdcld 10323 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
15926, 41mulcomd 10315 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (𝑋‘(𝐿𝑖))))
160 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
161160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
162 nn0uz 11922 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
163161, 162syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
164 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
165123adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
166164, 165sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
167163, 166, 62fzosump1 14768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))))
168167oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
169 fzofi 12981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑖) ∈ Fin
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (0..^𝑖) ∈ Fin)
171 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0..^𝑖) → 𝑛 ∈ ℤ)
172171, 165sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑖)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
173170, 172fsumcl 14751 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
174173, 26pncan2d 10648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)) + (𝑋‘(𝐿𝑖))) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
175168, 174eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
176175oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 / 𝑛𝐴 · (𝑋‘(𝐿𝑖))) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
177159, 176eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
178136, 177syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
179178sumeq2dv 14720 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
180 csbeq1 3694 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
181 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (0..^𝑘) = (0..^𝑖))
182181sumeq1d 14718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
183180, 182jca 507 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
184 csbeq1 3694 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
185 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑖 + 1)))
186185sumeq1d 14718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
187184, 186jca 507 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
188 csbeq1 3694 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐼 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
189 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐼 + 1)))
190189sumeq1d 14718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐼 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
191188, 190jca 507 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
192 csbeq1 3694 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐽 + 1) → 𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
193 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐽 + 1) → (0..^𝑘) = (0..^(𝐽 + 1)))
194193sumeq1d 14718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐽 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
195192, 194jca 507 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐽 + 1) → (𝑘 / 𝑛𝐴 = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 ∧ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
196 elfzuz 12545 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
197 eluznn 11959 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1984, 196, 197syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
19941ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
200 csbeq1 3694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝑘 / 𝑛𝐴)
201200eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ))
202201rspccva 3460 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑖 ∈ ℕ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
203199, 202sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
204198, 203syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
205 fzofi 12981 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑘) ∈ Fin
206205a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝑘) ∈ Fin)
207 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑘) → 𝑛 ∈ ℤ)
208207, 123sylan2 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
209206, 208fsumcl 14751 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
210209adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
211183, 187, 191, 195, 9, 204, 210fsumparts 14824 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
212179, 211eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
213212fveq2d 6379 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) = (abs‘((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
214134, 156abs2dif2d 14484 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) − Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
215213, 214eqbrtrd 4831 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
216116, 100readdcld 10323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
217216, 94remulcld 10324 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
218180, 184, 188, 192, 9, 204telfsumo 14820 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴))
219136, 40syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
220136, 145syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
221219, 220resubcld 10712 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
22282, 221fsumrecl 14752 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
223218, 222eqeltrrd 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
224223, 94remulcld 10324 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
225126abscld 14462 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
226133abscld 14462 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
227225, 226readdcld 10323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ∈ ℝ)
228126, 133abs2dif2d 14484 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))))
229116, 94remulcld 10324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
230100, 94remulcld 10324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
231117, 125absmuld 14480 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
232 eluzelre 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
233232adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
234 eluzle 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑖)
235234adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑖)
23632nnred 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
237236adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
238 elicopnf 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑖)))
239237, 238syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑖)))
240233, 235, 239mpbir2and 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞))
241240ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ (𝑀[,)+∞)))
242241ssrdv 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))
24332nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
24449peano2zd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
245102rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2464nnred 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
247 dchrisumlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀𝑈)
248 dchrisumlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ≤ (𝐼 + 1))
249236, 245, 246, 247, 248letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ≤ (𝐼 + 1))
250 eluz2 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐼 + 1)))
251243, 244, 249, 250syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
252 uztrn 11903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2539, 251, 252syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
254242, 253sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
255114simprd 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐽 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴))
256254, 255mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
257116, 256absidd 14448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) = (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)
258257oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
259231, 258eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
260125abscld 14462 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
261112nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
262 dchrisum.10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
26319, 21, 28, 18, 20, 29, 22, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 94, 262dchrisumlem1 25469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
264261, 263mpdan 678 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
265260, 94, 116, 256, 264lemul2ad 11218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
266259, 265eqbrtrd 4831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
267127, 132absmuld 14480 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
268242, 251sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞))
26919, 21, 28, 18, 20, 29, 22, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36dchrisumlema 25468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐼 + 1) ∈ ℝ+(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)))
270269simprd 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
271268, 270mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
272100, 271absidd 14448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
273272oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
274267, 273eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
275132abscld 14462 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
2764nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27719, 21, 28, 18, 20, 29, 22, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 94, 262dchrisumlem1 25469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
278276, 277mpdan 678 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
279275, 94, 100, 271, 278lemul2ad 11218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
280274, 279eqbrtrd 4831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅))
281225, 226, 229, 230, 266, 280le2addd 10900 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅)))
28294recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
283117, 127, 282adddird 10319 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · 𝑅)))
284281, 283breqtrrd 4837 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) + (abs‘((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
285135, 227, 217, 228, 284letrd 10448 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
286155abscld 14462 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
28782, 286fsumrecl 14752 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ∈ ℝ)
28882, 155fsumabs 14819 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
28994adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑅 ∈ ℝ)
290221, 289remulcld 10324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
291136, 147syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
292152adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
293291, 292absmuld 14480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
294 elfzouz 12682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
295 uztrn 11903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
296294, 251, 295syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
297 eluznn 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
29832, 297sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
299298, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ+)
300298nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ+)
301343expia 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
302301ralrimivva 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
303302adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
304 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛+
305 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛(𝑀𝑖𝑖𝑥)
306 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛𝐵
307 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛
308306, 307, 60nfbr 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴
309305, 308nfim 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)
310304, 309nfral 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)
311 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀𝑛𝑀𝑖))
312 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑥𝑖𝑥))
313311, 312anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝑖𝑖𝑥)))
31463breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝐵𝐴𝐵𝑖 / 𝑛𝐴))
315313, 314imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
316315ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
317310, 316rspc 3455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴)))
318300, 303, 317sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴))
319233lep1d 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ≤ (𝑖 + 1))
320235, 319jca 507 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
321 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖𝑥𝑖 ≤ (𝑖 + 1)))
322321anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑖 + 1) → ((𝑀𝑖𝑖𝑥) ↔ (𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1))))
323 eqvisset 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) ∈ V)
324 eqtr3 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
32531equcoms 2117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑛𝐴 = 𝐵)
326324, 325syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
327323, 326csbied 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝐵)
328327eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑖 + 1) → 𝐵 = (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴)
329328breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (𝐵𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴))
330322, 329imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 + 1) → (((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)))
331330rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑖𝑖𝑥) → 𝐵𝑖 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝑖𝑖 ≤ (𝑖 + 1)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)))
332299, 318, 320, 331syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)
333296, 332syldan 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)
334220, 219, 333abssuble0d 14458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) = (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴))
335334oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((abs‘((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
336293, 335eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) = ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
337292abscld 14462 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ∈ ℝ)
338219, 220subge0d 10871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (0 ≤ (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ↔ (𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴))
339333, 338mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → 0 ≤ (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴))
340136peano2nnd 11293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
341340nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
34219, 21, 28, 18, 20, 29, 22, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 94, 262dchrisumlem1 25469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
343341, 342syldan 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
344337, 289, 221, 339, 343lemul2ad 11218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
345336, 344eqbrtrd 4831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ ((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
34682, 286, 290, 345fsumle 14817 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
347221recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))) → (𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
34882, 282, 347fsummulc1 14803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
349218oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
350348, 349eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑖 / 𝑛𝐴(𝑖 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
351346, 350breqtrd 4835 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(abs‘(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
352157, 287, 224, 288, 351letrd 10448 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))) ≤ (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅))
353135, 157, 217, 224, 285, 352le2addd 10900 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
3541272timesd 11521 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
355127, 117, 127ppncand 10686 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) = ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
356127, 117addcomd 10492 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) = ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
357356oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
358354, 355, 3573eqtr2d 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = (((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)))
359358oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) · 𝑅))
360 2cnd 11350 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
361360, 127, 282mul32d 10500 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) = ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
362216recnd 10322 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
363223recnd 10322 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
364362, 363, 282adddird 10319 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) + ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴)) · 𝑅) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
365359, 361, 3643eqtr3d 2807 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) = ((((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 + (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅) + (((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴(𝐽 + 1) / 𝑛𝐴) · 𝑅)))
366353, 365breqtrrd 4837 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐽 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))) − ((𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐼 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) + (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))(((𝑖 + 1) / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴) · Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑖 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))) ≤ ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
36791, 158, 101, 215, 366letrd 10448 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴))
368 2nn0 11557 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
369 nn0ge0 11565 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
370368, 369mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 2)
371 0red 10297 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
372125absge0d 14470 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝐽 + 1))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
373371, 260, 94, 372, 264letrd 10448 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
37493, 94, 370, 373mulge0d 10858 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
3754nnrpd 12068 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ+)
376 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑀𝑈𝑈𝑥)
377306, 307, 104nfbr 4856 . . . . . . . . 9 𝑛 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴
378376, 377nfim 1995 . . . . . . . 8 𝑛((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)
379304, 378nfral 3092 . . . . . . 7 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)
380 breq2 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑈 → (𝑀𝑛𝑀𝑈))
381 breq1 4812 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑈 → (𝑛𝑥𝑈𝑥))
382380, 381anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑈 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝑈𝑈𝑥)))
383106breq2d 4821 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑈 → (𝐵𝐴𝐵𝑈 / 𝑛𝐴))
384382, 383imbi12d 335 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑈 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
385384ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
386379, 385rspc 3455 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴)))
387102, 302, 386sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴))
388247, 248jca 507 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
389 breq2 4813 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝑈𝑥𝑈 ≤ (𝐼 + 1)))
390389anbi2d 622 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐼 + 1) → ((𝑀𝑈𝑈𝑥) ↔ (𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1))))
391 eqvisset 3364 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) ∈ V)
392 eqtr3 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝑥 = 𝑛)
393392, 325syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝐼 + 1) ∧ 𝑛 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 = 𝐵)
394391, 393csbied 3718 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝐵)
395394eqcomd 2771 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐼 + 1) → 𝐵 = (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴)
396395breq1d 4819 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (𝐵𝑈 / 𝑛𝐴(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴))
397390, 396imbi12d 335 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 + 1) → (((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)))
398397rspcv 3457 . . . . 5 ((𝐼 + 1) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑈𝑈𝑥) → 𝐵𝑈 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝑈𝑈 ≤ (𝐼 + 1)) → (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)))
399375, 387, 388, 398syl3c 66 . . . 4 (𝜑(𝐼 + 1) / 𝑛𝐴𝑈 / 𝑛𝐴)
400100, 109, 95, 374, 399lemul2ad 11218 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑅) · (𝐼 + 1) / 𝑛𝐴) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
40191, 101, 110, 367, 400letrd 10448 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝐼 + 1)..^(𝐽 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
40290, 401eqbrtrd 4831 1 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝐽) − (seq1( + , 𝐹)‘𝐼))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑈 / 𝑛𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3691  cun 3730  cin 3731  c0 4079   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  [,)cico 12379  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  seqcseq 13008  abscabs 14261  𝑟 crli 14503  Σcsu 14703  Basecbs 16132  0gc0g 16368  ℤRHomczrh 20121  ℤ/nczn 20124  DChrcdchr 25248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-phi 15752  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-0g 16370  df-imas 16436  df-qus 16437  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-nsg 17858  df-eqg 17859  df-ghm 17924  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-rnghom 18984  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zn 20128  df-dchr 25249
This theorem is referenced by:  dchrisumlem3  25471
  Copyright terms: Public domain W3C validator