MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3b 26748
Description: Lemma for 2lgslem3b1 26752. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3b ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 3)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐พ) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3b
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
2 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1))
32oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) / 2))
4 fvoveq1 7381 . . . 4 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4)))
53, 4oveq12d 7376 . . 3 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (((((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4))))
61, 5eqtrid 2789 . 2 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ†’ ๐‘ = (((((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4))))
7 8nn0 12437 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„•0
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„•0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
108, 9nn0mulcld 12479 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 12476 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
12 3cn 12235 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„‚
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
14 1cnd 11151 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1511, 13, 14addsubassd 11533 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) = ((8 ยท ๐พ) + (3 โˆ’ 1)))
16 4t2e8 12322 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
1716eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 ยท 2)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 = (4 ยท 2))
1918oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) = ((4 ยท 2) ยท ๐พ))
20 4cn 12239 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„‚
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
22 2cn 12229 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
24 nn0cn 12424 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2521, 23, 24mul32d 11366 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท 2) ยท ๐พ) = ((4 ยท ๐พ) ยท 2))
2619, 25eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) = ((4 ยท ๐พ) ยท 2))
27 3m1e2 12282 . . . . . . . . 9 (3 โˆ’ 1) = 2
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 โˆ’ 1) = 2)
2926, 28oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) + (3 โˆ’ 1)) = (((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 2))
3015, 29eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) = (((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 2))
3130oveq1d 7373 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 2) / 2))
32 4nn0 12433 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
3433, 9nn0mulcld 12479 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
3534nn0cnd 12476 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
3635, 23mulcld 11176 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ๐พ) ยท 2) โˆˆ โ„‚)
37 2rp 12921 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
3837a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
3938rpcnne0d 12967 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
40 divdir 11839 . . . . . 6 ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 2) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (2 / 2)))
4136, 23, 39, 40syl3anc 1372 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 2) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (2 / 2)))
42 2ne0 12258 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
4342a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
4435, 23, 43divcan4d 11938 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) = (4 ยท ๐พ))
45 2div2e1 12295 . . . . . . 7 (2 / 2) = 1
4645a1i 11 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / 2) = 1)
4744, 46oveq12d 7376 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (2 / 2)) = ((4 ยท ๐พ) + 1))
4831, 41, 473eqtrd 2781 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) / 2) = ((4 ยท ๐พ) + 1))
49 4ne0 12262 . . . . . . . . . 10 4 โ‰  0
5020, 49pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
52 divdir 11839 . . . . . . . 8 (((8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 3) / 4) = (((8 ยท ๐พ) / 4) + (3 / 4)))
5311, 13, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 3) / 4) = (((8 ยท ๐พ) / 4) + (3 / 4)))
54 8cn 12251 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„‚
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
56 div23 11833 . . . . . . . . . 10 ((8 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท ๐พ))
5755, 24, 51, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท ๐พ))
5817oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 ยท 2) / 4)
5922, 20, 49divcan3i 11902 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ยท 2) / 4) = 2
6058, 59eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 4) = 2)
6261oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 / 4) ยท ๐พ) = (2 ยท ๐พ))
6357, 62eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = (2 ยท ๐พ))
6463oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) / 4) + (3 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (3 / 4)))
6553, 64eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 3) / 4) = ((2 ยท ๐พ) + (3 / 4)))
6665fveq2d 6847 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4)) = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (3 / 4))))
67 3lt4 12328 . . . . . 6 3 < 4
68 2nn0 12431 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
6968a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
7069, 9nn0mulcld 12479 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
7170nn0zd 12526 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
72 3nn0 12432 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
7372a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
74 4nn 12237 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•
7574a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
76 adddivflid 13724 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (3 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (3 / 4))) = (2 ยท ๐พ)))
7771, 73, 75, 76syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (3 / 4))) = (2 ยท ๐พ)))
7867, 77mpbii 232 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (3 / 4))) = (2 ยท ๐พ))
7966, 78eqtrd 2777 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4)) = (2 ยท ๐พ))
8048, 79oveq12d 7376 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4))) = (((4 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ (2 ยท ๐พ)))
8170nn0cnd 12476 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
8235, 14, 81addsubd 11534 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4 ยท ๐พ) + 1) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) + 1))
83 2t2e4 12318 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 2) = 4
8483eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 4 = (2 ยท 2)
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 = (2 ยท 2))
8685oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) = ((2 ยท 2) ยท ๐พ))
8723, 23, 24mulassd 11179 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ)))
8886, 87eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ)))
8988oveq1d 7373 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)))
90 2txmxeqx 12294 . . . . . 6 ((2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
9181, 90syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
9289, 91eqtrd 2777 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
9392oveq1d 7373 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) + 1) = ((2 ยท ๐พ) + 1))
9480, 82, 933eqtrd 2781 . 2 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((8 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1))
956, 94sylan9eqr 2799 1 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 3)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐พ) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  3c3 12210  4c4 12211  8c8 12215  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ„+crp 12916  โŒŠcfl 13696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698
This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  26752
  Copyright terms: Public domain W3C validator