Theorem 2lgslem3b 27379

Description: Lemma for 2lgslem3b1 27383. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3b	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 3) − 1))
3	2	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7391	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))))
7		8nn0 12436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		3cn 12238	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
14		1cnd 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	11, 13, 14	addsubassd 11524	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) − 1) = ((8 · 𝐾) + (3 − 1)))
16		4t2e8 12320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
17	16	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
19	18	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20		4cn 12242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22		2cn 12232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	mul32d 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
26	19, 25	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27		3m1e2 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
29	26, 28	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (3 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2))
30	15, 29	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2))
31	30	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2))
32		4nn0 12432	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
34	33, 9	nn0mulcld 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
36	35, 23	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37		2rp 12922	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
39	38	rpcnne0d 12970	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
40		divdir 11833	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)))
41	36, 23, 39, 40	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)))
42		2ne0 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
44	35, 23, 43	divcan4d 11935	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
45		2div2e1 12293	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 / 2) = 1)
47	44, 46	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 1))
48	31, 41, 47	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 1))
49		4ne0 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
50	20, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
52		divdir 11833	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)))
53	11, 13, 51, 52	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)))
54		8cn 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
56		div23 11827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
57	55, 24, 51, 56	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
58	17	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
59	22, 20, 49	divcan3i 11899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
60	58, 59	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
62	61	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
63	57, 62	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
64	63	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4)))
65	53, 64	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4)))
66	65	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))))
67		3lt4 12326	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
68		2nn0 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
70	69, 9	nn0mulcld 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
71	70	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
72		3nn0 12431	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
74		4nn 12240	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
75	74	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
76		adddivflid 13750	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)))
77	71, 73, 75, 76	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)))
78	67, 77	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾))
79	66, 78	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (2 · 𝐾))
80	48, 79	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾)))
81	70	nn0cnd 12476	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
82	35, 14, 81	addsubd 11525	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + 1))
83		2t2e4 12316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
84	83	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
85	84	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
86	85	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
87	23, 23, 24	mulassd 11167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
88	86, 87	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
89	88	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
90		2txmxeqx 12292	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
91	81, 90	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
92	89, 91	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
93	92	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + 1) = ((2 · 𝐾) + 1))
94	80, 82, 93	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
95	6, 94	sylan9eqr 2794	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  8c8 12218  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917  ⌊cfl 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  27383