Theorem 2lgslem3b 27308

Description: Lemma for 2lgslem3b1 27312. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3b	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 3) − 1))
3	2	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7410	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))))
7		8nn0 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		3cn 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
14		1cnd 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	11, 13, 14	addsubassd 11553	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) − 1) = ((8 · 𝐾) + (3 − 1)))
16		4t2e8 12349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
17	16	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
19	18	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20		4cn 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22		2cn 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	mul32d 11384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
26	19, 25	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27		3m1e2 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
29	26, 28	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (3 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2))
30	15, 29	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2))
31	30	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2))
32		4nn0 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
34	33, 9	nn0mulcld 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12505	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
36	35, 23	mulcld 11194	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37		2rp 12956	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
39	38	rpcnne0d 13004	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
40		divdir 11862	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)))
41	36, 23, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)))
42		2ne0 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
44	35, 23, 43	divcan4d 11964	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
45		2div2e1 12322	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 / 2) = 1)
47	44, 46	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 1))
48	31, 41, 47	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 1))
49		4ne0 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
50	20, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
52		divdir 11862	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)))
53	11, 13, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)))
54		8cn 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
56		div23 11856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
57	55, 24, 51, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
58	17	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
59	22, 20, 49	divcan3i 11928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
60	58, 59	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
62	61	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
63	57, 62	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
64	63	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4)))
65	53, 64	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4)))
66	65	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))))
67		3lt4 12355	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
68		2nn0 12459	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
70	69, 9	nn0mulcld 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
71	70	nn0zd 12555	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
72		3nn0 12460	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
74		4nn 12269	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
75	74	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
76		adddivflid 13780	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)))
77	71, 73, 75, 76	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)))
78	67, 77	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾))
79	66, 78	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (2 · 𝐾))
80	48, 79	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾)))
81	70	nn0cnd 12505	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
82	35, 14, 81	addsubd 11554	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + 1))
83		2t2e4 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
84	83	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
85	84	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
86	85	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
87	23, 23, 24	mulassd 11197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
88	86, 87	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
89	88	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
90		2txmxeqx 12321	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
91	81, 90	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
92	89, 91	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
93	92	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + 1) = ((2 · 𝐾) + 1))
94	80, 82, 93	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
95	6, 94	sylan9eqr 2786	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  8c8 12247  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  ⌊cfl 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  27312