Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ
(โโ(๐ /
4))) |
2 | | oveq1 7365 |
. . . . 5
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ (๐ โ 1) = (((8 ยท ๐พ) + 3) โ
1)) |
3 | 2 | oveq1d 7373 |
. . . 4
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ ((๐ โ 1) / 2) = ((((8
ยท ๐พ) + 3) โ 1)
/ 2)) |
4 | | fvoveq1 7381 |
. . . 4
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ
(โโ(๐ / 4)) =
(โโ(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4))) |
5 | 3, 4 | oveq12d 7376 |
. . 3
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ (((๐ โ 1) / 2) โ
(โโ(๐ / 4))) =
(((((8 ยท ๐พ) + 3)
โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4)))) |
6 | 1, 5 | eqtrid 2789 |
. 2
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 3) โ ๐ = (((((8 ยท ๐พ) + 3) โ 1) / 2) โ
(โโ(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4)))) |
7 | | 8nn0 12437 |
. . . . . . . . . . 11
โข 8 โ
โ0 |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 8 โ โ0) |
9 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ ๐พ โ
โ0) |
10 | 8, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ)
โ โ0) |
11 | 10 | nn0cnd 12476 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ)
โ โ) |
12 | | 3cn 12235 |
. . . . . . . . 9
โข 3 โ
โ |
13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 3 โ โ) |
14 | | 1cnd 11151 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 1 โ โ) |
15 | 11, 13, 14 | addsubassd 11533 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
3) โ 1) = ((8 ยท ๐พ) + (3 โ 1))) |
16 | | 4t2e8 12322 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (4
ยท 2) = 8 |
17 | 16 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
โข 8 = (4
ยท 2) |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 8 = (4 ยท 2)) |
19 | 18 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ) = ((4
ยท 2) ยท ๐พ)) |
20 | | 4cn 12239 |
. . . . . . . . . . 11
โข 4 โ
โ |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ) |
22 | | 2cn 12229 |
. . . . . . . . . . 11
โข 2 โ
โ |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ โ) |
24 | | nn0cn 12424 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ ๐พ โ
โ) |
25 | 21, 23, 24 | mul32d 11366 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท 2) ยท ๐พ) = ((4 ยท ๐พ) ยท 2)) |
26 | 19, 25 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ) = ((4
ยท ๐พ) ยท
2)) |
27 | | 3m1e2 12282 |
. . . . . . . . 9
โข (3
โ 1) = 2 |
28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (3 โ 1) = 2) |
29 | 26, 28 | oveq12d 7376 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) + (3
โ 1)) = (((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 2)) |
30 | 15, 29 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
3) โ 1) = (((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 2)) |
31 | 30 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((((8 ยท ๐พ) +
3) โ 1) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 2) / 2)) |
32 | | 4nn0 12433 |
. . . . . . . . . 10
โข 4 โ
โ0 |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ0) |
34 | 33, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ)
โ โ0) |
35 | 34 | nn0cnd 12476 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ)
โ โ) |
36 | 35, 23 | mulcld 11176 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท ๐พ)
ยท 2) โ โ) |
37 | | 2rp 12921 |
. . . . . . . 8
โข 2 โ
โ+ |
38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ โ+) |
39 | 38 | rpcnne0d 12967 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (2 โ โ โง 2 โ 0)) |
40 | | divdir 11839 |
. . . . . 6
โข ((((4
ยท ๐พ) ยท 2)
โ โ โง 2 โ โ โง (2 โ โ โง 2 โ 0))
โ ((((4 ยท ๐พ)
ยท 2) + 2) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (2 /
2))) |
41 | 36, 23, 39, 40 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((((4 ยท ๐พ)
ยท 2) + 2) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (2 /
2))) |
42 | | 2ne0 12258 |
. . . . . . . 8
โข 2 โ
0 |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ 0) |
44 | 35, 23, 43 | divcan4d 11938 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (((4 ยท ๐พ)
ยท 2) / 2) = (4 ยท ๐พ)) |
45 | | 2div2e1 12295 |
. . . . . . 7
โข (2 / 2) =
1 |
46 | 45 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (2 / 2) = 1) |
47 | 44, 46 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((((4 ยท ๐พ)
ยท 2) / 2) + (2 / 2)) = ((4 ยท ๐พ) + 1)) |
48 | 31, 41, 47 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ ((((8 ยท ๐พ) +
3) โ 1) / 2) = ((4 ยท ๐พ) + 1)) |
49 | | 4ne0 12262 |
. . . . . . . . . 10
โข 4 โ
0 |
50 | 20, 49 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . 9
โข (4 โ
โ โง 4 โ 0) |
51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (4 โ โ โง 4 โ 0)) |
52 | | divdir 11839 |
. . . . . . . 8
โข (((8
ยท ๐พ) โ โ
โง 3 โ โ โง (4 โ โ โง 4 โ 0)) โ (((8
ยท ๐พ) + 3) / 4) =
(((8 ยท ๐พ) / 4) + (3
/ 4))) |
53 | 11, 13, 51, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
3) / 4) = (((8 ยท ๐พ)
/ 4) + (3 / 4))) |
54 | | 8cn 12251 |
. . . . . . . . . . 11
โข 8 โ
โ |
55 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 8 โ โ) |
56 | | div23 11833 |
. . . . . . . . . 10
โข ((8
โ โ โง ๐พ
โ โ โง (4 โ โ โง 4 โ 0)) โ ((8 ยท
๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท
๐พ)) |
57 | 55, 24, 51, 56 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) / 4)
= ((8 / 4) ยท ๐พ)) |
58 | 17 | oveq1i 7368 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (8 / 4) =
((4 ยท 2) / 4) |
59 | 22, 20, 49 | divcan3i 11902 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((4
ยท 2) / 4) = 2 |
60 | 58, 59 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . 11
โข (8 / 4) =
2 |
61 | 60 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ (8 / 4) = 2) |
62 | 61 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 / 4) ยท ๐พ)
= (2 ยท ๐พ)) |
63 | 57, 62 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) / 4)
= (2 ยท ๐พ)) |
64 | 63 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) /
4) + (3 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (3 / 4))) |
65 | 53, 64 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
3) / 4) = ((2 ยท ๐พ) +
(3 / 4))) |
66 | 65 | fveq2d 6847 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4)) = (โโ((2 ยท
๐พ) + (3 /
4)))) |
67 | | 3lt4 12328 |
. . . . . 6
โข 3 <
4 |
68 | | 2nn0 12431 |
. . . . . . . . . 10
โข 2 โ
โ0 |
69 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ โ0) |
70 | 69, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โ0) |
71 | 70 | nn0zd 12526 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โค) |
72 | | 3nn0 12432 |
. . . . . . . 8
โข 3 โ
โ0 |
73 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ 3 โ โ0) |
74 | | 4nn 12237 |
. . . . . . . 8
โข 4 โ
โ |
75 | 74 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ) |
76 | | adddivflid 13724 |
. . . . . . 7
โข (((2
ยท ๐พ) โ โค
โง 3 โ โ0 โง 4 โ โ) โ (3 < 4
โ (โโ((2 ยท ๐พ) + (3 / 4))) = (2 ยท ๐พ))) |
77 | 71, 73, 75, 76 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (3 < 4 โ (โโ((2 ยท ๐พ) + (3 / 4))) = (2 ยท ๐พ))) |
78 | 67, 77 | mpbii 232 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ((2 ยท ๐พ) + (3 / 4))) = (2 ยท ๐พ)) |
79 | 66, 78 | eqtrd 2777 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4)) = (2 ยท ๐พ)) |
80 | 48, 79 | oveq12d 7376 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ (((((8 ยท ๐พ) +
3) โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4))) = (((4 ยท ๐พ) + 1) โ (2 ยท ๐พ))) |
81 | 70 | nn0cnd 12476 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โ) |
82 | 35, 14, 81 | addsubd 11534 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ (((4 ยท ๐พ) +
1) โ (2 ยท ๐พ))
= (((4 ยท ๐พ) โ
(2 ยท ๐พ)) +
1)) |
83 | | 2t2e4 12318 |
. . . . . . . . . 10
โข (2
ยท 2) = 4 |
84 | 83 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . 9
โข 4 = (2
ยท 2) |
85 | 84 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 4 = (2 ยท 2)) |
86 | 85 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ) = ((2
ยท 2) ยท ๐พ)) |
87 | 23, 23, 24 | mulassd 11179 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท 2) ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ))) |
88 | 86, 87 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ) = (2
ยท (2 ยท ๐พ))) |
89 | 88 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท ๐พ)
โ (2 ยท ๐พ)) =
((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ))) |
90 | | 2txmxeqx 12294 |
. . . . . 6
โข ((2
ยท ๐พ) โ โ
โ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ)) |
91 | 81, 90 | syl 17 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ)) |
92 | 89, 91 | eqtrd 2777 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท ๐พ)
โ (2 ยท ๐พ)) =
(2 ยท ๐พ)) |
93 | 92 | oveq1d 7373 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ (((4 ยท ๐พ)
โ (2 ยท ๐พ)) +
1) = ((2 ยท ๐พ) +
1)) |
94 | 80, 82, 93 | 3eqtrd 2781 |
. 2
โข (๐พ โ โ0
โ (((((8 ยท ๐พ) +
3) โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 3) / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1)) |
95 | 6, 94 | sylan9eqr 2799 |
1
โข ((๐พ โ โ0
โง ๐ = ((8 ยท
๐พ) + 3)) โ ๐ = ((2 ยท ๐พ) + 1)) |