Theorem modprm0 16132

Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprm0

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reumodprminv 16131	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
2		reurex 3376	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
3		prmz 16009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℤ)
8		elfzoelz 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
9	8	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℤ)
10		zmulcl 12019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
12	5, 11	zsubcld 12080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ)
13		prmnn 16008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℕ)
16		zmodfzo 13257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
17	12, 15, 16	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
18	8	zred 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℝ)
19	18	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
20	19	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℝ)
21	13	nnred 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
22	21	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℝ)
24	6	zred 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℝ)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
26		remulcl 10611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℝ)
27	25, 19, 26	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℝ)
28	23, 27	resubcld 11057	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℝ)
29		elfzoelz 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	29	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
31	30	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	13	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
33	32	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
34	33	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
35		modaddmulmod 13301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
36	20, 28, 31, 34, 35	syl31anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
37	13	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
39	38	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℂ)
40	6	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℂ)
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
42	8	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℂ)
43	42	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℂ)
44		mulcl 10610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝐼 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
45	41, 43, 44	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
46	29	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
48	47	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℂ)
49	39, 45, 48	subdird 11086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁) = ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)))
50	49	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) = (𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))))
51	50	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
52		mulcom 10612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
53	37, 46, 52	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
54	53	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃))
55		mulmod0 13240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
56	29, 32, 55	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
57	54, 56	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
58	57	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
59	58	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
60	41	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑟 ∈ ℂ)
61	43	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℂ)
62	60, 61, 48	mul32d 10839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) = ((𝑟 · 𝑁) · 𝐼))
63	62	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
64	29	zred 12075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℝ)
65	64	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
66		remulcl 10611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℝ)
67	25, 65, 66	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℝ)
68	9	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℤ)
69		modmulmod 13299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
70	67, 68, 34, 69	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
71	63, 70	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃))
72	59, 71	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) = (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)))
73	72	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
74		remulcl 10611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ)
75	21, 64, 74	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ)
76	75	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ)
77	76	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ)
78	65	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℝ)
79	27, 78	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℝ)
80		modsubmodmod 13293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
81	77, 79, 34, 80	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
82		mulcom 10612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
83	47, 40, 82	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
84	83	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃))
85	84	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
86	85	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
87	86	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
88	87	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1)
89	88	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) = (1 · 𝐼))
90	89	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = ((1 · 𝐼) mod 𝑃))
91	90	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)))
92	91	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
93	61	mulid2d 10648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (1 · 𝐼) = 𝐼)
94	93	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = (𝐼 mod 𝑃))
95	32, 18	anim12ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
96		elfzo2 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑃))
97		eluz2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼))
98		0red 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
99		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
100		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
102	101	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
103		0le1 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 0 ≤ 1
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 0 ≤ 1)
105	104	anim1i 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐼))
106		letr 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐼) → 0 ≤ 𝐼))
107	102, 105, 106	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → 0 ≤ 𝐼)
108	107	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → 0 ≤ 𝐼)
109	97, 108	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘1) → 0 ≤ 𝐼)
110	109	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑃) → 0 ≤ 𝐼)
111		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑃) → 𝐼 < 𝑃)
112	110, 111	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑃) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃))
113	96, 112	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃))
114	113	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃))
115	95, 114	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃)))
116	115	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃)))
117	116	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃)))
118		modid 13259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃)) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
120	94, 119	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = 𝐼)
121	120	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − 𝐼))
122	121	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
123	92, 122	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
124	73, 81, 123	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
125	124	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) = (𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)))
126	125	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
127	77, 79	resubcld 11057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℝ)
128		modadd2mod 13284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
129	127, 20, 34, 128	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
130		0red 10633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 0 ∈ ℝ)
131	130, 18	resubcld 11057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (0 − 𝐼) ∈ ℝ)
132	131	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 − 𝐼) ∈ ℝ)
133	18	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
134	32	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
135	132, 133, 134	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
136	135	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
137	136	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
138		modadd2mod 13284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
140		0cnd 10623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 0 ∈ ℂ)
141	42, 140	pncan3d 10989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
142	141	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
143	142	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
144	143	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
145		0mod 13265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
146	32, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
147	146	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
148	147	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 mod 𝑃) = 0)
149	139, 144, 148	3eqtrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 0)
150	126, 129, 149	3eqtr3d 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃) = 0)
151	36, 51, 150	3eqtrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
152		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝑗 · 𝑁) = (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁))
153	152	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)))
154	153	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃))
155	154	eqeq1d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
156	155	rspcev 3571	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
157	17, 151, 156	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
158	157	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
159	158	rexlimiva 3240	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
160	1, 2, 159	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
161	160	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
162	161	pm2.43i 52	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-phi 16093

This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  16133