MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modprm0 16781
Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm0 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘—

Proof of Theorem modprm0
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reumodprminv 16780 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1)
2 reurex 3378 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1)
3 prmz 16653 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
433ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
54adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6 elfzelz 13541 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
76adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
8 elfzoelz 13672 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
983ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
10 zmulcl 12649 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค)
117, 9, 10syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค)
125, 11zsubcld 12709 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) โˆˆ โ„ค)
13 prmnn 16652 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
14133ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1514adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
16 zmodfzo 13899 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0..^๐‘ƒ))
1712, 15, 16syl2anc 582 . . . . . . 7 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0..^๐‘ƒ))
188zred 12704 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
19183ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
2019adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
2113nnred 12265 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
22213ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
2322adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
246zred 12704 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
26 remulcl 11231 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„)
2725, 19, 26syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„)
2823, 27resubcld 11680 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) โˆˆ โ„)
29 elfzoelz 13672 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
30293ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3130adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3213nnrpd 13054 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
33323ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
3433adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
35 modaddmulmod 13943 . . . . . . . . 9 (((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3620, 28, 31, 34, 35syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3713nncnd 12266 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
38373ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
3938adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
406zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
428zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
43423ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
44 mulcl 11230 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
4541, 43, 44syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
4629zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
47463ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4847adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4939, 45, 48subdird 11709 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)))
5049oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐ผ + ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘)) = (๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))))
5150oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))) mod ๐‘ƒ))
52 mulcom 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
5337, 46, 52syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
5453oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ))
55 mulmod0 13882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = 0)
5629, 32, 55syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = 0)
5754, 56eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 0)
58573adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 0)
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 0)
6041adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
6143adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
6260, 61, 48mul32d 11462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) ยท ๐ผ))
6362oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
6429zred 12704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
65643ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
66 remulcl 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
6725, 65, 66syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
689adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
69 modmulmod 13941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
7067, 68, 34, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
7163, 70eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
7259, 71oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ)) = (0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)))
7372oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
74 remulcl 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
7521, 64, 74syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
76753adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
7776adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
7865adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
7927, 78remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
80 modsubmodmod 13935 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
8177, 79, 34, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
82 mulcom 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Ÿ) = (๐‘Ÿ ยท ๐‘))
8347, 40, 82syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Ÿ) = (๐‘Ÿ ยท ๐‘))
8483oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ))
8584eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 1))
8685biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 1))
8786impancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 1))
8887imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 1)
8988oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) = (1 ยท ๐ผ))
9089oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
9190oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) = (0 โˆ’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)))
9291oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
9361mullidd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (1 ยท ๐ผ) = ๐ผ)
9493oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = (๐ผ mod ๐‘ƒ))
9532, 18anim12ci 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
96 elfzo2 13675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†” (๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ))
97 eluz2 12866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ))
98 0red 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„)
99 1red 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
100 zre 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
10198, 99, 1003jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„))
102101adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ (0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„))
103 0le1 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 โ‰ค 1
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โ‰ค 1)
105104anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ (0 โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค ๐ผ))
106 letr 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ))
107102, 105, 106sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ)
1081073adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ)
10997, 108sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ)
1101093ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ)
111 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ) โ†’ ๐ผ < ๐‘ƒ)
112110, 111jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ) โ†’ (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ))
11396, 112sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ))
114113adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ))
11595, 114jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ)))
1161153adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ)))
117116adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ)))
118 modid 13901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ mod ๐‘ƒ) = ๐ผ)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐ผ mod ๐‘ƒ) = ๐ผ)
12094, 119eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = ๐ผ)
121120oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (0 โˆ’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) = (0 โˆ’ ๐ผ))
122121oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((0 โˆ’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
12392, 122eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
12473, 81, 1233eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
125124oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐ผ + (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ)) = (๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)))
126125oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
12777, 79resubcld 11680 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
128 modadd2mod 13926 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))) mod ๐‘ƒ))
129127, 20, 34, 128syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))) mod ๐‘ƒ))
130 0red 11255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
131130, 18resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„)
132131adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„)
13318adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
13432adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
135132, 133, 1343jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
1361353adant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
137136adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
138 modadd2mod 13926 . . . . . . . . . . 11 (((0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) mod ๐‘ƒ))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) mod ๐‘ƒ))
140 0cnd 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
14142, 140pncan3d 11612 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) = 0)
1421413ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) = 0)
143142adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) = 0)
144143oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
145 0mod 13907 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
14632, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
1471463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
148147adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
149139, 144, 1483eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 0)
150126, 129, 1493eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = 0)
15136, 51, 1503eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
152 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘— ยท ๐‘) = (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘))
153152oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) = (๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)))
154153oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
155154eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (๐‘— = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
156155rspcev 3611 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โˆง ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
15717, 151, 156syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
158157ex 411 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
159158rexlimiva 3144 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
1601, 2, 1593syl 18 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
1611603adant3 1129 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
162161pm2.43i 52 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067  โˆƒ!wreu 3372   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  โ„•cn 12250  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860  โ„+crp 13014  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667   mod cmo 13874  โ„™cprime 16649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-phi 16742
This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  16782
  Copyright terms: Public domain W3C validator