MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modprm0 16747
Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm0 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘—

Proof of Theorem modprm0
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reumodprminv 16746 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1)
2 reurex 3374 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1)
3 prmz 16619 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
433ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
54adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
8 elfzoelz 13638 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
983ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
10 zmulcl 12615 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค)
117, 9, 10syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค)
125, 11zsubcld 12675 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) โˆˆ โ„ค)
13 prmnn 16618 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
14133ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1514adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
16 zmodfzo 13865 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0..^๐‘ƒ))
1712, 15, 16syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0..^๐‘ƒ))
188zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
19183ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
2019adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
2113nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
22213ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
246zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
26 remulcl 11197 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„)
2725, 19, 26syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„)
2823, 27resubcld 11646 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) โˆˆ โ„)
29 elfzoelz 13638 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
30293ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3213nnrpd 13020 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
33323ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
35 modaddmulmod 13909 . . . . . . . . 9 (((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3620, 28, 31, 34, 35syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3713nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
38373ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
406zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
428zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
43423ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
44 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
4541, 43, 44syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
4629zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
47463ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4939, 45, 48subdird 11675 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)))
5049oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐ผ + ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘)) = (๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))))
5150oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))) mod ๐‘ƒ))
52 mulcom 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
5337, 46, 52syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
5453oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ))
55 mulmod0 13848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = 0)
5629, 32, 55syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = 0)
5754, 56eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 0)
58573adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 0)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 0)
6041adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
6143adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
6260, 61, 48mul32d 11428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) ยท ๐ผ))
6362oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
6429zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
65643ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
66 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
6725, 65, 66syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
689adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
69 modmulmod 13907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
7067, 68, 34, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
7163, 70eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
7259, 71oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ)) = (0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)))
7372oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
74 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
7521, 64, 74syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
76753adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
7865adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
7927, 78remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
80 modsubmodmod 13901 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
8177, 79, 34, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((((๐‘ƒ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) โˆ’ (((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
82 mulcom 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Ÿ) = (๐‘Ÿ ยท ๐‘))
8347, 40, 82syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Ÿ) = (๐‘Ÿ ยท ๐‘))
8483oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ))
8584eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 1))
8685biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 1))
8786impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 1))
8887imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) = 1)
8988oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) = (1 ยท ๐ผ))
9089oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
9190oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) = (0 โˆ’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)))
9291oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
9361mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (1 ยท ๐ผ) = ๐ผ)
9493oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = (๐ผ mod ๐‘ƒ))
9532, 18anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
96 elfzo2 13641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†” (๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ))
97 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ))
98 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„)
99 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
100 zre 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
10198, 99, 1003jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ (0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„))
103 0le1 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 โ‰ค 1
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โ‰ค 1)
105104anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ (0 โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค ๐ผ))
106 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ))
107102, 105, 106sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ)
1081073adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ผ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ)
10997, 108sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ)
1101093ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ) โ†’ 0 โ‰ค ๐ผ)
111 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ) โ†’ ๐ผ < ๐‘ƒ)
112110, 111jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ผ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ) โ†’ (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ))
11396, 112sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ))
114113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ))
11595, 114jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ)))
1161153adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ)))
117116adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ)))
118 modid 13867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ผ โˆง ๐ผ < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ mod ๐‘ƒ) = ๐ผ)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐ผ mod ๐‘ƒ) = ๐ผ)
12094, 119eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ) = ๐ผ)
121120oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (0 โˆ’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) = (0 โˆ’ ๐ผ))
122121oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((0 โˆ’ ((1 ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
12392, 122eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((0 โˆ’ ((((๐‘Ÿ ยท ๐‘) mod ๐‘ƒ) ยท ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
12473, 81, 1233eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ))
125124oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐ผ + (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ)) = (๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)))
126125oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
12777, 79resubcld 11646 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
128 modadd2mod 13892 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))) mod ๐‘ƒ))
129127, 20, 34, 128syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))) mod ๐‘ƒ))
130 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
131130, 18resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„)
132131adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„)
13318adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
13432adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
135132, 133, 1343jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
1361353adant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
137136adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
138 modadd2mod 13892 . . . . . . . . . . 11 (((0 โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) mod ๐‘ƒ))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) mod ๐‘ƒ))
140 0cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
14142, 140pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) = 0)
1421413ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) = 0)
143142adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) = 0)
144143oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (0 โˆ’ ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
145 0mod 13873 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
14632, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
1471463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
148147adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
149139, 144, 1483eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + ((0 โˆ’ ๐ผ) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = 0)
150126, 129, 1493eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + ((๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆ’ ((๐‘Ÿ ยท ๐ผ) ยท ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = 0)
15136, 51, 1503eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
152 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘— ยท ๐‘) = (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘))
153152oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) = (๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)))
154153oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
155154eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (๐‘— = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
156155rspcev 3606 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โˆง ((๐ผ + (((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘Ÿ ยท ๐ผ)) mod ๐‘ƒ) ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
15717, 151, 156syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
158157ex 412 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
159158rexlimiva 3141 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))((๐‘ ยท ๐‘Ÿ) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
1601, 2, 1593syl 18 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
1611603adant3 1129 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
162161pm2.43i 52 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  โˆƒ!wreu 3368   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633   mod cmo 13840  โ„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708
This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  16748
  Copyright terms: Public domain W3C validator