Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pntlem1.r |
. . . . . . . . . 10
β’ π
= (π β β+ β¦
((Οβπ) β
π)) |
2 | | pntlem1.a |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β
β+) |
3 | | pntlem1.b |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΅ β
β+) |
4 | | pntlem1.l |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΏ β (0(,)1)) |
5 | | pntlem1.d |
. . . . . . . . . 10
β’ π· = (π΄ + 1) |
6 | | pntlem1.f |
. . . . . . . . . 10
β’ πΉ = ((1 β (1 / π·)) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2))) |
7 | | pntlem1.u |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β
β+) |
8 | | pntlem1.u2 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β€ π΄) |
9 | | pntlem1.e |
. . . . . . . . . 10
β’ πΈ = (π / π·) |
10 | | pntlem1.k |
. . . . . . . . . 10
β’ πΎ = (expβ(π΅ / πΈ)) |
11 | | pntlem1.y |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β β+ β§ 1 β€
π)) |
12 | | pntlem1.x |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β β+ β§ π < π)) |
13 | | pntlem1.c |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΆ β
β+) |
14 | | pntlem1.w |
. . . . . . . . . 10
β’ π = (((π + (4 / (πΏ Β· πΈ)))β2) + (((π Β· (πΎβ2))β4) + (expβ(((;32 Β· π΅) / ((π β πΈ) Β· (πΏ Β· (πΈβ2)))) Β· ((π Β· 3) + πΆ))))) |
15 | | pntlem1.z |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β (π[,)+β)) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15 | pntlemb 26968 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β β+ β§ (1 <
π β§ e β€
(ββπ) β§
(ββπ) β€
(π / π)) β§ ((4 / (πΏ Β· πΈ)) β€ (ββπ) β§ (((logβπ) / (logβπΎ)) + 2) β€ (((logβπ) / (logβπΎ)) / 4) β§ ((π Β· 3) + πΆ) β€ (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))))) |
17 | 16 | simp1d 1143 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β
β+) |
18 | 1 | pntrf 26934 |
. . . . . . . . 9
β’ π
:β+βΆβ |
19 | 18 | ffvelcdmi 7038 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β+
β (π
βπ) β
β) |
20 | 17, 19 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π
βπ) β β) |
21 | 20, 17 | rerpdivcld 12996 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π
βπ) / π) β β) |
22 | 21 | recnd 11191 |
. . . . 5
β’ (π β ((π
βπ) / π) β β) |
23 | 22 | abscld 15330 |
. . . 4
β’ (π β (absβ((π
βπ) / π)) β β) |
24 | 17 | relogcld 26001 |
. . . 4
β’ (π β (logβπ) β
β) |
25 | 23, 24 | remulcld 11193 |
. . 3
β’ (π β ((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β β) |
26 | 7 | rpred 12965 |
. . . . . 6
β’ (π β π β β) |
27 | | 3re 12241 |
. . . . . . . 8
β’ 3 β
β |
28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ (π β 3 β
β) |
29 | 24, 28 | readdcld 11192 |
. . . . . 6
β’ (π β ((logβπ) + 3) β
β) |
30 | 26, 29 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ (π β (π Β· ((logβπ) + 3)) β β) |
31 | | 2re 12235 |
. . . . . . 7
β’ 2 β
β |
32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β 2 β
β) |
33 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | pntlemc 26966 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΈ β β+ β§ πΎ β β+
β§ (πΈ β (0(,)1)
β§ 1 < πΎ β§ (π β πΈ) β
β+))) |
34 | 33 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πΈ β (0(,)1) β§ 1 < πΎ β§ (π β πΈ) β
β+)) |
35 | 34 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β πΈ) β
β+) |
36 | 35 | rpred 12965 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β πΈ) β β) |
37 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | pntlemd 26965 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (πΏ β β+ β§ π· β β+
β§ πΉ β
β+)) |
38 | 37 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΏ β
β+) |
39 | 33 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β πΈ β
β+) |
40 | | 2z 12543 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 2 β
β€ |
41 | | rpexpcl 13995 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΈ β β+
β§ 2 β β€) β (πΈβ2) β
β+) |
42 | 39, 40, 41 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΈβ2) β
β+) |
43 | 38, 42 | rpmulcld 12981 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πΏ Β· (πΈβ2)) β
β+) |
44 | | 3nn0 12439 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 3 β
β0 |
45 | | 2nn 12234 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 2 β
β |
46 | 44, 45 | decnncl 12646 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ;32 β β |
47 | | nnrp 12934 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (;32 β β β ;32 β
β+) |
48 | 46, 47 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ;32 β
β+ |
49 | | rpmulcl 12946 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((;32 β β+ β§
π΅ β
β+) β (;32
Β· π΅) β
β+) |
50 | 48, 3, 49 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (;32 Β· π΅) β
β+) |
51 | 43, 50 | rpdivcld 12982 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) β
β+) |
52 | 51 | rpred 12965 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) β β) |
53 | 36, 52 | remulcld 11193 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) β β) |
54 | 53, 24 | remulcld 11193 |
. . . . . 6
β’ (π β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) β β) |
55 | 32, 54 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ (π β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) β β) |
56 | 30, 55 | resubcld 11591 |
. . . 4
β’ (π β ((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) β β) |
57 | 13 | rpred 12965 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β β) |
58 | 56, 57 | readdcld 11192 |
. . 3
β’ (π β (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) + πΆ) β β) |
59 | 7 | rpcnd 12967 |
. . . . . 6
β’ (π β π β β) |
60 | 53 | recnd 11191 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) β β) |
61 | 24 | recnd 11191 |
. . . . . 6
β’ (π β (logβπ) β
β) |
62 | 59, 60, 61 | subdird 11620 |
. . . . 5
β’ (π β ((π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)))) Β· (logβπ)) = ((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) |
63 | 38 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΏ β β) |
64 | 42 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΈβ2) β β) |
65 | 50 | rpcnne0d 12974 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((;32 Β· π΅) β β β§ (;32 Β· π΅) β 0)) |
66 | | div23 11840 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΏ β β β§ (πΈβ2) β β β§
((;32 Β· π΅) β β β§ (;32 Β· π΅) β 0)) β ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) = ((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· (πΈβ2))) |
67 | 63, 64, 65, 66 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) = ((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· (πΈβ2))) |
68 | 9 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΈβ2) = ((π / π·)β2) |
69 | 37 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π· β
β+) |
70 | 69 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π· β β) |
71 | 69 | rpne0d 12970 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π· β 0) |
72 | 59, 70, 71 | sqdivd 14073 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((π / π·)β2) = ((πβ2) / (π·β2))) |
73 | 68, 72 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΈβ2) = ((πβ2) / (π·β2))) |
74 | 73 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· (πΈβ2)) = ((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· ((πβ2) / (π·β2)))) |
75 | 38, 50 | rpdivcld 12982 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (πΏ / (;32 Β· π΅)) β
β+) |
76 | 75 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΏ / (;32 Β· π΅)) β β) |
77 | 59 | sqcld 14058 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πβ2) β β) |
78 | | rpexpcl 13995 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π· β β+
β§ 2 β β€) β (π·β2) β
β+) |
79 | 69, 40, 78 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (π·β2) β
β+) |
80 | 79 | rpcnne0d 12974 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((π·β2) β β β§ (π·β2) β
0)) |
81 | | divass 11839 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΏ / (;32 Β· π΅)) β β β§ (πβ2) β β β§ ((π·β2) β β β§
(π·β2) β 0)) β
(((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· (πβ2)) / (π·β2)) = ((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· ((πβ2) / (π·β2)))) |
82 | | div23 11840 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΏ / (;32 Β· π΅)) β β β§ (πβ2) β β β§ ((π·β2) β β β§
(π·β2) β 0)) β
(((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· (πβ2)) / (π·β2)) = (((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) Β· (πβ2))) |
83 | 81, 82 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΏ / (;32 Β· π΅)) β β β§ (πβ2) β β β§ ((π·β2) β β β§
(π·β2) β 0)) β
((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· ((πβ2) / (π·β2))) = (((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) Β· (πβ2))) |
84 | 76, 77, 80, 83 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((πΏ / (;32 Β· π΅)) Β· ((πβ2) / (π·β2))) = (((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) Β· (πβ2))) |
85 | 67, 74, 84 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) = (((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) Β· (πβ2))) |
86 | 85 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) = ((π β πΈ) Β· (((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) Β· (πβ2)))) |
87 | | df-3 12225 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 3 = (2 +
1) |
88 | 87 | oveq2i 7372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πβ3) = (πβ(2 + 1)) |
89 | | 2nn0 12438 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 2 β
β0 |
90 | | expp1 13983 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β β§ 2 β
β0) β (πβ(2 + 1)) = ((πβ2) Β· π)) |
91 | 59, 89, 90 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (πβ(2 + 1)) = ((πβ2) Β· π)) |
92 | 88, 91 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πβ3) = ((πβ2) Β· π)) |
93 | 77, 59 | mulcomd 11184 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((πβ2) Β· π) = (π Β· (πβ2))) |
94 | 92, 93 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πβ3) = (π Β· (πβ2))) |
95 | 94 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πΉ Β· (πβ3)) = (πΉ Β· (π Β· (πβ2)))) |
96 | 37 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΉ β
β+) |
97 | 96 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΉ β β) |
98 | 97, 59, 77 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πΉ Β· π) Β· (πβ2)) = (πΉ Β· (π Β· (πβ2)))) |
99 | | 1cnd 11158 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β 1 β
β) |
100 | 69 | rpreccld 12975 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (1 / π·) β
β+) |
101 | 100 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (1 / π·) β β) |
102 | 99, 101, 59 | subdird 11620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((1 β (1 / π·)) Β· π) = ((1 Β· π) β ((1 / π·) Β· π))) |
103 | 59 | mulid2d 11181 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (1 Β· π) = π) |
104 | 59, 70, 71 | divrec2d 11943 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (π / π·) = ((1 / π·) Β· π)) |
105 | 9, 104 | eqtr2id 2786 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β ((1 / π·) Β· π) = πΈ) |
106 | 103, 105 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((1 Β· π) β ((1 / π·) Β· π)) = (π β πΈ)) |
107 | 102, 106 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π β πΈ) = ((1 β (1 / π·)) Β· π)) |
108 | 107 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2))) = (((1 β (1 / π·)) Β· π) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)))) |
109 | 6 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΉ Β· π) = (((1 β (1 / π·)) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2))) Β· π) |
110 | 99, 101 | subcld 11520 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (1 β (1 / π·)) β
β) |
111 | 75, 79 | rpdivcld 12982 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) β
β+) |
112 | 111 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) β β) |
113 | 110, 112,
59 | mul32d 11373 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (((1 β (1 / π·)) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2))) Β· π) = (((1 β (1 / π·)) Β· π) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)))) |
114 | 109, 113 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (πΉ Β· π) = (((1 β (1 / π·)) Β· π) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)))) |
115 | 108, 114 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2))) = (πΉ Β· π)) |
116 | 115 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (((π β πΈ) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2))) Β· (πβ2)) = ((πΉ Β· π) Β· (πβ2))) |
117 | 35 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π β πΈ) β β) |
118 | 117, 112,
77 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (((π β πΈ) Β· ((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2))) Β· (πβ2)) = ((π β πΈ) Β· (((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) Β· (πβ2)))) |
119 | 116, 118 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πΉ Β· π) Β· (πβ2)) = ((π β πΈ) Β· (((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) Β· (πβ2)))) |
120 | 95, 98, 119 | 3eqtr2d 2779 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πΉ Β· (πβ3)) = ((π β πΈ) Β· (((πΏ / (;32 Β· π΅)) / (π·β2)) Β· (πβ2)))) |
121 | 86, 120 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) = (πΉ Β· (πβ3))) |
122 | 121 | oveq2d 7377 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)))) = (π β (πΉ Β· (πβ3)))) |
123 | 122 | oveq1d 7376 |
. . . . 5
β’ (π β ((π β ((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)))) Β· (logβπ)) = ((π β (πΉ Β· (πβ3))) Β· (logβπ))) |
124 | 62, 123 | eqtr3d 2775 |
. . . 4
β’ (π β ((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) = ((π β (πΉ Β· (πβ3))) Β· (logβπ))) |
125 | 26, 24 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ (π β (π Β· (logβπ)) β β) |
126 | 125, 54 | resubcld 11591 |
. . . 4
β’ (π β ((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) β β) |
127 | 124, 126 | eqeltrrd 2835 |
. . 3
β’ (π β ((π β (πΉ Β· (πβ3))) Β· (logβπ)) β
β) |
128 | 17 | rpred 12965 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β β) |
129 | 16 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (1 < π β§ e β€ (ββπ) β§ (ββπ) β€ (π / π))) |
130 | 129 | simp1d 1143 |
. . . . . . . 8
β’ (π β 1 < π) |
131 | 128, 130 | rplogcld 26007 |
. . . . . . 7
β’ (π β (logβπ) β
β+) |
132 | 32, 131 | rerpdivcld 12996 |
. . . . . 6
β’ (π β (2 / (logβπ)) β
β) |
133 | | fzfid 13887 |
. . . . . . 7
β’ (π β (1...(ββ(π / π))) β Fin) |
134 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β π β
β+) |
135 | | elfznn 13479 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β
(1...(ββ(π /
π))) β π β
β) |
136 | 135 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β π β β) |
137 | 136 | nnrpd 12963 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β π β β+) |
138 | 134, 137 | rpdivcld 12982 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (π / π) β
β+) |
139 | 18 | ffvelcdmi 7038 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π / π) β β+ β (π
β(π / π)) β β) |
140 | 138, 139 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (π
β(π / π)) β β) |
141 | 140, 134 | rerpdivcld 12996 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((π
β(π / π)) / π) β β) |
142 | 141 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((π
β(π / π)) / π) β β) |
143 | 142 | abscld 15330 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (absβ((π
β(π / π)) / π)) β β) |
144 | 137 | relogcld 26001 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (logβπ) β β) |
145 | 143, 144 | remulcld 11193 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) β β) |
146 | 133, 145 | fsumrecl 15627 |
. . . . . 6
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) β β) |
147 | 132, 146 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ (π β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) β β) |
148 | 147, 57 | readdcld 11192 |
. . . 4
β’ (π β (((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) + πΆ) β β) |
149 | 20 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π
βπ) β β) |
150 | 149 | abscld 15330 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (absβ(π
βπ)) β β) |
151 | 150 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (absβ(π
βπ)) β β) |
152 | 151, 61 | mulcld 11183 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) β β) |
153 | 132 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (2 / (logβπ)) β
β) |
154 | 140 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (π
β(π / π)) β β) |
155 | 154 | abscld 15330 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (absβ(π
β(π / π))) β β) |
156 | 155, 144 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) β β) |
157 | 133, 156 | fsumrecl 15627 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) β β) |
158 | 157 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) β β) |
159 | 153, 158 | mulcld 11183 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))) β β) |
160 | 17 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β β) |
161 | 17 | rpne0d 12970 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β 0) |
162 | 152, 159,
160, 161 | divsubdird 11978 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)))) / π) = ((((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) / π) β (((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))) / π))) |
163 | 151, 61, 160, 161 | div23d 11976 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) / π) = (((absβ(π
βπ)) / π) Β· (logβπ))) |
164 | 149, 160,
161 | absdivd 15349 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (absβ((π
βπ) / π)) = ((absβ(π
βπ)) / (absβπ))) |
165 | 17 | rprege0d 12972 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π β β β§ 0 β€ π)) |
166 | | absid 15190 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β β§ 0 β€
π) β (absβπ) = π) |
167 | 165, 166 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (absβπ) = π) |
168 | 167 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((absβ(π
βπ)) / (absβπ)) = ((absβ(π
βπ)) / π)) |
169 | 164, 168 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (absβ((π
βπ) / π)) = ((absβ(π
βπ)) / π)) |
170 | 169 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) = (((absβ(π
βπ)) / π) Β· (logβπ))) |
171 | 163, 170 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) / π) = ((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ))) |
172 | 153, 158,
160, 161 | divassd 11974 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))) / π) = ((2 / (logβπ)) Β· (Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π))) |
173 | 160 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β π β β) |
174 | 161 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β π β 0) |
175 | 154, 173,
174 | absdivd 15349 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (absβ((π
β(π / π)) / π)) = ((absβ(π
β(π / π))) / (absβπ))) |
176 | 167 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (absβπ) = π) |
177 | 176 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((absβ(π
β(π / π))) / (absβπ)) = ((absβ(π
β(π / π))) / π)) |
178 | 175, 177 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (absβ((π
β(π / π)) / π)) = ((absβ(π
β(π / π))) / π)) |
179 | 178 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) = (((absβ(π
β(π / π))) / π) Β· (logβπ))) |
180 | 155 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (absβ(π
β(π / π))) β β) |
181 | 144 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (logβπ) β β) |
182 | 17 | rpcnne0d 12974 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (π β β β§ π β 0)) |
183 | 182 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (π β β β§ π β 0)) |
184 | | div23 11840 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((absβ(π
β(π / π))) β β β§ (logβπ) β β β§ (π β β β§ π β 0)) β
(((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π) = (((absβ(π
β(π / π))) / π) Β· (logβπ))) |
185 | 180, 181,
183, 184 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π) = (((absβ(π
β(π / π))) / π) Β· (logβπ))) |
186 | 179, 185 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) = (((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π)) |
187 | 186 | sumeq2dv 15596 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) = Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π)) |
188 | 156 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) β β) |
189 | 133, 160,
188, 161 | fsumdivc 15679 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π) = Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π)) |
190 | 187, 189 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) = (Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π)) |
191 | 190 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) = ((2 / (logβπ)) Β· (Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)) / π))) |
192 | 172, 191 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))) / π) = ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) |
193 | 171, 192 | oveq12d 7379 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) / π) β (((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))) / π)) = (((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))))) |
194 | 162, 193 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
β’ (π β ((((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)))) / π) = (((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))))) |
195 | | 2fveq3 6851 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π§ = π β (absβ(π
βπ§)) = (absβ(π
βπ))) |
196 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π§ = π β (logβπ§) = (logβπ)) |
197 | 195, 196 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π§ = π β ((absβ(π
βπ§)) Β· (logβπ§)) = ((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ))) |
198 | 196 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π§ = π β (2 / (logβπ§)) = (2 / (logβπ))) |
199 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = π β (π§ / π) = (π§ / π)) |
200 | 199 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β (π
β(π§ / π)) = (π
β(π§ / π))) |
201 | 200 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β (absβ(π
β(π§ / π))) = (absβ(π
β(π§ / π)))) |
202 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β (logβπ) = (logβπ)) |
203 | 201, 202 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β ((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)) = ((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ))) |
204 | 203 | cbvsumv 15589 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
Ξ£π β
(1...(ββ(π§ /
π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)) = Ξ£π β (1...(ββ(π§ / π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)) |
205 | | fvoveq1 7384 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π§ = π β (ββ(π§ / π)) = (ββ(π / π))) |
206 | 205 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π§ = π β (1...(ββ(π§ / π))) = (1...(ββ(π / π)))) |
207 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π§ = π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β π§ = π) |
208 | 207 | fvoveq1d 7383 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π§ = π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (π
β(π§ / π)) = (π
β(π / π))) |
209 | 208 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π§ = π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (absβ(π
β(π§ / π))) = (absβ(π
β(π / π)))) |
210 | 209 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π§ = π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)) = ((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))) |
211 | 206, 210 | sumeq12rdv 15600 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π§ = π β Ξ£π β (1...(ββ(π§ / π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)) = Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))) |
212 | 204, 211 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π§ = π β Ξ£π β (1...(ββ(π§ / π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)) = Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))) |
213 | 198, 212 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π§ = π β ((2 / (logβπ§)) Β· Ξ£π β (1...(ββ(π§ / π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ))) = ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)))) |
214 | 197, 213 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = π β (((absβ(π
βπ§)) Β· (logβπ§)) β ((2 / (logβπ§)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π§ /
π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)))) = (((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ))))) |
215 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = π β π§ = π) |
216 | 214, 215 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ = π β ((((absβ(π
βπ§)) Β· (logβπ§)) β ((2 / (logβπ§)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π§ /
π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)))) / π§) = ((((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)))) / π)) |
217 | 216 | breq1d 5119 |
. . . . . . 7
β’ (π§ = π β (((((absβ(π
βπ§)) Β· (logβπ§)) β ((2 / (logβπ§)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π§ /
π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)))) / π§) β€ πΆ β ((((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)))) / π) β€ πΆ)) |
218 | | pntlem1.C |
. . . . . . 7
β’ (π β βπ§ β (1(,)+β)((((absβ(π
βπ§)) Β· (logβπ§)) β ((2 / (logβπ§)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π§ /
π)))((absβ(π
β(π§ / π))) Β· (logβπ)))) / π§) β€ πΆ) |
219 | | 1re 11163 |
. . . . . . . . 9
β’ 1 β
β |
220 | | rexr 11209 |
. . . . . . . . 9
β’ (1 β
β β 1 β β*) |
221 | | elioopnf 13369 |
. . . . . . . . 9
β’ (1 β
β* β (π β (1(,)+β) β (π β β β§ 1 <
π))) |
222 | 219, 220,
221 | mp2b 10 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (1(,)+β) β
(π β β β§ 1
< π)) |
223 | 128, 130,
222 | sylanbrc 584 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (1(,)+β)) |
224 | 217, 218,
223 | rspcdva 3584 |
. . . . . 6
β’ (π β ((((absβ(π
βπ)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ(π
β(π / π))) Β· (logβπ)))) / π) β€ πΆ) |
225 | 194, 224 | eqbrtrrd 5133 |
. . . . 5
β’ (π β (((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) β€ πΆ) |
226 | 25, 147, 57 | lesubadd2d 11762 |
. . . . 5
β’ (π β ((((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) β€ πΆ β ((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β€ (((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) + πΆ))) |
227 | 225, 226 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ (π β ((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β€ (((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) + πΆ)) |
228 | | 2cnd 12239 |
. . . . . . 7
β’ (π β 2 β
β) |
229 | 143 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (absβ((π
β(π / π)) / π)) β β) |
230 | 229, 181 | mulcld 11183 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) β β) |
231 | 133, 230 | fsumcl 15626 |
. . . . . . 7
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) β β) |
232 | 131 | rpne0d 12970 |
. . . . . . 7
β’ (π β (logβπ) β 0) |
233 | 228, 231,
61, 232 | div23d 11976 |
. . . . . 6
β’ (π β ((2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) / (logβπ)) = ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) |
234 | 24 | resqcld 14039 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((logβπ)β2) β
β) |
235 | 52, 234 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)) β β) |
236 | 36, 235 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2))) β β) |
237 | | remulcl 11144 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((2
β β β§ ((π
β πΈ) Β·
(((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2))) β β) β (2
Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))) β
β) |
238 | 31, 236, 237 | sylancr 588 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))) β
β) |
239 | 30, 24 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β
β) |
240 | | remulcl 11144 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((2
β β β§ Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)) β β) β (2 Β·
Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) β β) |
241 | 31, 146, 240 | sylancr 588 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) β β) |
242 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β π β β) |
243 | 242, 136 | nndivred 12215 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (π / π) β β) |
244 | 243, 143 | resubcld 11591 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) β β) |
245 | 244, 144 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)) β β) |
246 | 133, 245 | fsumrecl 15627 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)) β β) |
247 | 32, 246 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ))) β β) |
248 | 239, 241 | resubcld 11591 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β (2 Β·
Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) β β) |
249 | | pntlem1.m |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π =
((ββ((logβπ) / (logβπΎ))) + 1) |
250 | | pntlem1.n |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π =
(ββ(((logβπ) / (logβπΎ)) / 2)) |
251 | | pntlem1.U |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β βπ§ β (π[,)+β)(absβ((π
βπ§) / π§)) β€ π) |
252 | | pntlem1.K |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β βπ¦ β (π(,)+β)βπ§ β β+ ((π¦ < π§ β§ ((1 + (πΏ Β· πΈ)) Β· π§) < (πΎ Β· π¦)) β§ βπ’ β (π§[,]((1 + (πΏ Β· πΈ)) Β· π§))(absβ((π
βπ’) / π’)) β€ πΈ)) |
253 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 249, 250, 251, 252 | pntlemf 26976 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2))) β€ Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ))) |
254 | | 2pos 12264 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 0 <
2 |
255 | 254 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β 0 < 2) |
256 | | lemul2 12016 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2))) β β β§
Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)) β β β§ (2 β β
β§ 0 < 2)) β (((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2))) β€ Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)) β (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))) β€ (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ))))) |
257 | 236, 246,
32, 255, 256 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2))) β€ Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)) β (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))) β€ (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ))))) |
258 | 253, 257 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))) β€ (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)))) |
259 | 243 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (π / π) β β) |
260 | 259, 229,
181 | subdird 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β (((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)) = (((π / π) Β· (logβπ)) β ((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) |
261 | 260 | sumeq2dv 15596 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)) = Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((π / π) Β· (logβπ)) β ((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) |
262 | 243, 144 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((π / π) Β· (logβπ)) β β) |
263 | 262 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (1...(ββ(π / π)))) β ((π / π) Β· (logβπ)) β β) |
264 | 133, 263,
230 | fsumsub 15681 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((π / π) Β· (logβπ)) β ((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) = (Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((π / π) Β· (logβπ)) β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) |
265 | 261, 264 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ)) = (Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((π / π) Β· (logβπ)) β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) |
266 | 265 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ))) = (2 Β· (Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((π / π) Β· (logβπ)) β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))))) |
267 | 133, 262 | fsumrecl 15627 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((π / π) Β· (logβπ)) β β) |
268 | 267 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((π / π) Β· (logβπ)) β β) |
269 | 228, 268,
231 | subdid 11619 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (2 Β· (Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((π / π) Β· (logβπ)) β Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) = ((2 Β· Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((π / π) Β· (logβπ))) β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))))) |
270 | 266, 269 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ))) = ((2 Β· Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((π / π) Β· (logβπ))) β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))))) |
271 | | remulcl 11144 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((2
β β β§ Ξ£π β (1...(ββ(π / π)))((π / π) Β· (logβπ)) β β) β (2 Β·
Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((π / π) Β· (logβπ))) β β) |
272 | 31, 267, 271 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((π / π) Β· (logβπ))) β β) |
273 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 249, 250, 251, 252 | pntlemk 26977 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((π / π) Β· (logβπ))) β€ ((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ))) |
274 | 272, 239,
241, 273 | lesub1dd 11779 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((π / π) Β· (logβπ))) β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ)))) β€ (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β (2 Β·
Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))))) |
275 | 270, 274 | eqbrtrd 5131 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))(((π / π) β (absβ((π
β(π / π)) / π))) Β· (logβπ))) β€ (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β (2 Β·
Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))))) |
276 | 238, 247,
248, 258, 275 | letrd 11320 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))) β€ (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β (2 Β·
Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))))) |
277 | 238, 239,
241, 276 | lesubd 11767 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) β€ (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))))) |
278 | 30 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π Β· ((logβπ) + 3)) β β) |
279 | 55 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) β β) |
280 | 278, 279,
61 | subdird 11620 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) Β· (logβπ)) = (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β ((2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) Β· (logβπ)))) |
281 | 54 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) β β) |
282 | 228, 281,
61 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) Β· (logβπ)) = (2 Β· ((((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) Β· (logβπ)))) |
283 | 60, 61, 61 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β ((((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) Β· (logβπ)) = (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· ((logβπ) Β· (logβπ)))) |
284 | 61 | sqvald 14057 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((logβπ)β2) = ((logβπ) Β· (logβπ))) |
285 | 284 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· ((logβπ)β2)) = (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· ((logβπ) Β· (logβπ)))) |
286 | 51 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) β β) |
287 | 234 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((logβπ)β2) β
β) |
288 | 117, 286,
287 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· ((logβπ)β2)) = ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))) |
289 | 283, 285,
288 | 3eqtr2d 2779 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) Β· (logβπ)) = ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))) |
290 | 289 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (2 Β· ((((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) Β· (logβπ))) = (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2))))) |
291 | 282, 290 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) Β· (logβπ)) = (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2))))) |
292 | 291 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β ((2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) Β· (logβπ))) = (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))))) |
293 | 280, 292 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) Β· (logβπ)) = (((π Β· ((logβπ) + 3)) Β· (logβπ)) β (2 Β· ((π β πΈ) Β· (((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅)) Β· ((logβπ)β2)))))) |
294 | 277, 293 | breqtrrd 5137 |
. . . . . . 7
β’ (π β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) β€ (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) Β· (logβπ))) |
295 | 241, 56, 131 | ledivmul2d 13019 |
. . . . . . 7
β’ (π β (((2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) / (logβπ)) β€ ((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) β (2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) β€ (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) Β· (logβπ)))) |
296 | 294, 295 | mpbird 257 |
. . . . . 6
β’ (π β ((2 Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) / (logβπ)) β€ ((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))))) |
297 | 233, 296 | eqbrtrrd 5133 |
. . . . 5
β’ (π β ((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) β€ ((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))))) |
298 | 147, 56, 57, 297 | leadd1dd 11777 |
. . . 4
β’ (π β (((2 / (logβπ)) Β· Ξ£π β
(1...(ββ(π /
π)))((absβ((π
β(π / π)) / π)) Β· (logβπ))) + πΆ) β€ (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) + πΆ)) |
299 | 25, 148, 58, 227, 298 | letrd 11320 |
. . 3
β’ (π β ((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β€ (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) + πΆ)) |
300 | | remulcl 11144 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β β β§ 3 β
β) β (π Β·
3) β β) |
301 | 26, 27, 300 | sylancl 587 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π Β· 3) β
β) |
302 | 301, 57 | readdcld 11192 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π Β· 3) + πΆ) β β) |
303 | 16 | simp3d 1145 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((4 / (πΏ Β· πΈ)) β€ (ββπ) β§ (((logβπ) / (logβπΎ)) + 2) β€ (((logβπ) / (logβπΎ)) / 4) β§ ((π Β· 3) + πΆ) β€ (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) |
304 | 303 | simp3d 1145 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π Β· 3) + πΆ) β€ (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) |
305 | 302, 54, 125, 304 | leadd2dd 11778 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π Β· (logβπ)) + ((π Β· 3) + πΆ)) β€ ((π Β· (logβπ)) + (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) |
306 | 28 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β 3 β
β) |
307 | 59, 61, 306 | adddid 11187 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π Β· ((logβπ) + 3)) = ((π Β· (logβπ)) + (π Β· 3))) |
308 | 307 | oveq1d 7376 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π Β· ((logβπ) + 3)) + πΆ) = (((π Β· (logβπ)) + (π Β· 3)) + πΆ)) |
309 | 125 | recnd 11191 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π Β· (logβπ)) β β) |
310 | 59, 306 | mulcld 11183 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π Β· 3) β
β) |
311 | 13 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΆ β β) |
312 | 309, 310,
311 | addassd 11185 |
. . . . . . 7
β’ (π β (((π Β· (logβπ)) + (π Β· 3)) + πΆ) = ((π Β· (logβπ)) + ((π Β· 3) + πΆ))) |
313 | 308, 312 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π Β· ((logβπ) + 3)) + πΆ) = ((π Β· (logβπ)) + ((π Β· 3) + πΆ))) |
314 | 281 | 2timesd 12404 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) = ((((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) + (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) |
315 | 314 | oveq2d 7377 |
. . . . . . 7
β’ (π β (((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) + (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) = (((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) + ((((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) + (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))))) |
316 | 309, 281,
281 | nppcan3d 11547 |
. . . . . . 7
β’ (π β (((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) + ((((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)) + (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) = ((π Β· (logβπ)) + (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) |
317 | 315, 316 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
β’ (π β (((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) + (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) = ((π Β· (logβπ)) + (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) |
318 | 305, 313,
317 | 3brtr4d 5141 |
. . . . 5
β’ (π β ((π Β· ((logβπ) + 3)) + πΆ) β€ (((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) + (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))))) |
319 | 30, 57 | readdcld 11192 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π Β· ((logβπ) + 3)) + πΆ) β β) |
320 | 319, 55, 126 | lesubaddd 11760 |
. . . . 5
β’ (π β ((((π Β· ((logβπ) + 3)) + πΆ) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) β€ ((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) β ((π Β· ((logβπ) + 3)) + πΆ) β€ (((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ))) + (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))))) |
321 | 318, 320 | mpbird 257 |
. . . 4
β’ (π β (((π Β· ((logβπ) + 3)) + πΆ) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) β€ ((π Β· (logβπ)) β (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) |
322 | 278, 311,
279 | addsubd 11541 |
. . . 4
β’ (π β (((π Β· ((logβπ) + 3)) + πΆ) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) = (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) + πΆ)) |
323 | 321, 322,
124 | 3brtr3d 5140 |
. . 3
β’ (π β (((π Β· ((logβπ) + 3)) β (2 Β· (((π β πΈ) Β· ((πΏ Β· (πΈβ2)) / (;32 Β· π΅))) Β· (logβπ)))) + πΆ) β€ ((π β (πΉ Β· (πβ3))) Β· (logβπ))) |
324 | 25, 58, 127, 299, 323 | letrd 11320 |
. 2
β’ (π β ((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β€ ((π β (πΉ Β· (πβ3))) Β· (logβπ))) |
325 | | 3z 12544 |
. . . . . . 7
β’ 3 β
β€ |
326 | | rpexpcl 13995 |
. . . . . . 7
β’ ((π β β+
β§ 3 β β€) β (πβ3) β
β+) |
327 | 7, 325, 326 | sylancl 587 |
. . . . . 6
β’ (π β (πβ3) β
β+) |
328 | 96, 327 | rpmulcld 12981 |
. . . . 5
β’ (π β (πΉ Β· (πβ3)) β
β+) |
329 | 328 | rpred 12965 |
. . . 4
β’ (π β (πΉ Β· (πβ3)) β β) |
330 | 26, 329 | resubcld 11591 |
. . 3
β’ (π β (π β (πΉ Β· (πβ3))) β β) |
331 | 23, 330, 131 | lemul1d 13008 |
. 2
β’ (π β ((absβ((π
βπ) / π)) β€ (π β (πΉ Β· (πβ3))) β ((absβ((π
βπ) / π)) Β· (logβπ)) β€ ((π β (πΉ Β· (πβ3))) Β· (logβπ)))) |
332 | 324, 331 | mpbird 257 |
1
β’ (π β (absβ((π
βπ) / π)) β€ (π β (πΉ Β· (πβ3)))) |