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Theorem pntlemo 27651
Description: Lemma for pnt 27658. Combine all the estimates to establish a smaller eventual bound on 𝑅(𝑍) / 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.C (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
pntlemo (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑧,𝑢,𝐿   𝑦,𝐾,𝑧   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑢,𝑖,𝑦,𝑧,𝑅   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑦,𝑋,𝑧   𝑖,𝑌,𝑧   𝑢,𝑎,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑖,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑖,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑖,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑖,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑖,𝑎)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑖,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑖,𝑎)   𝐿(𝑖,𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑖,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑖,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑖,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑖,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntlemo
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
12 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
13 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
15 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlemb 27641 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
1716simp1d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
181pntrf 27607 . . . . . . . . 9 𝑅:ℝ+⟶ℝ
1918ffvelcdmi 7103 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑍) ∈ ℝ)
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝑍) ∈ ℝ)
2120, 17rerpdivcld 13108 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝑍) / 𝑍) ∈ ℝ)
2221recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅𝑍) / 𝑍) ∈ ℂ)
2322abscld 15475 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) ∈ ℝ)
2417relogcld 26665 . . . 4 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
2523, 24remulcld 11291 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
267rpred 13077 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
27 3re 12346 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
2924, 28readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑍) + 3) ∈ ℝ)
3026, 29remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) ∈ ℝ)
31 2re 12340 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 27639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
3433simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
3534simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
3635rpred 13077 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
371, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 27638 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
3837simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
3933simp1d 1143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
40 2z 12649 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
41 rpexpcl 14121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
4338, 42rpmulcld 13093 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
44 3nn0 12544 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
45 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
4644, 45decnncl 12753 . . . . . . . . . . . 12 32 ∈ ℕ
47 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . 12 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 32 ∈ ℝ+
49 rpmulcl 13058 . . . . . . . . . . 11 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
5048, 3, 49sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
5143, 50rpdivcld 13094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
5251rpred 13077 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ)
5336, 52remulcld 11291 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) ∈ ℝ)
5453, 24remulcld 11291 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
5532, 54remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ)
5630, 55resubcld 11691 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) ∈ ℝ)
5713rpred 13077 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5856, 57readdcld 11290 . . 3 (𝜑 → (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) + 𝐶) ∈ ℝ)
597rpcnd 13079 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
6053recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) ∈ ℂ)
6124recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℂ)
6259, 60, 61subdird 11720 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 − ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)))) · (log‘𝑍)) = ((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
6338rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
6442rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
6550rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0))
66 div23 11941 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) = ((𝐿 / (32 · 𝐵)) · (𝐸↑2)))
6763, 64, 65, 66syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) = ((𝐿 / (32 · 𝐵)) · (𝐸↑2)))
689oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸↑2) = ((𝑈 / 𝐷)↑2)
6937simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
7069rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
7169rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ≠ 0)
7259, 70, 71sqdivd 14199 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈 / 𝐷)↑2) = ((𝑈↑2) / (𝐷↑2)))
7368, 72eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) = ((𝑈↑2) / (𝐷↑2)))
7473oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) · (𝐸↑2)) = ((𝐿 / (32 · 𝐵)) · ((𝑈↑2) / (𝐷↑2))))
7538, 50rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
7675rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℂ)
7759sqcld 14184 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈↑2) ∈ ℂ)
78 rpexpcl 14121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
7969, 40, 78sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
8079rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ≠ 0))
81 divass 11940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑈↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐷↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ≠ 0)) → (((𝐿 / (32 · 𝐵)) · (𝑈↑2)) / (𝐷↑2)) = ((𝐿 / (32 · 𝐵)) · ((𝑈↑2) / (𝐷↑2))))
82 div23 11941 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑈↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐷↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ≠ 0)) → (((𝐿 / (32 · 𝐵)) · (𝑈↑2)) / (𝐷↑2)) = (((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) · (𝑈↑2)))
8381, 82eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑈↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐷↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ≠ 0)) → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) · ((𝑈↑2) / (𝐷↑2))) = (((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) · (𝑈↑2)))
8476, 77, 80, 83syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) · ((𝑈↑2) / (𝐷↑2))) = (((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) · (𝑈↑2)))
8567, 74, 843eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) = (((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) · (𝑈↑2)))
8685oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) = ((𝑈𝐸) · (((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) · (𝑈↑2))))
87 df-3 12330 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
8887oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈↑3) = (𝑈↑(2 + 1))
89 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
90 expp1 14109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑈↑(2 + 1)) = ((𝑈↑2) · 𝑈))
9159, 89, 90sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈↑(2 + 1)) = ((𝑈↑2) · 𝑈))
9288, 91eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈↑3) = ((𝑈↑2) · 𝑈))
9377, 59mulcomd 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈↑2) · 𝑈) = (𝑈 · (𝑈↑2)))
9492, 93eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈↑3) = (𝑈 · (𝑈↑2)))
9594oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 · (𝑈↑3)) = (𝐹 · (𝑈 · (𝑈↑2))))
9637simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
9796rpcnd 13079 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
9897, 59, 77mulassd 11284 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 · 𝑈) · (𝑈↑2)) = (𝐹 · (𝑈 · (𝑈↑2))))
99 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10069rpreccld 13087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ+)
101100rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℂ)
10299, 101, 59subdird 11720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · 𝑈) = ((1 · 𝑈) − ((1 / 𝐷) · 𝑈)))
10359mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · 𝑈) = 𝑈)
10459, 70, 71divrec2d 12047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) = ((1 / 𝐷) · 𝑈))
1059, 104eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 / 𝐷) · 𝑈) = 𝐸)
106103, 105oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 · 𝑈) − ((1 / 𝐷) · 𝑈)) = (𝑈𝐸))
107102, 106eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈𝐸) = ((1 − (1 / 𝐷)) · 𝑈))
108107oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) = (((1 − (1 / 𝐷)) · 𝑈) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))))
1096oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 · 𝑈) = (((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) · 𝑈)
11099, 101subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℂ)
11175, 79rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
112111rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
113110, 112, 59mul32d 11471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) · 𝑈) = (((1 − (1 / 𝐷)) · 𝑈) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))))
114109, 113eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 · 𝑈) = (((1 − (1 / 𝐷)) · 𝑈) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))))
115108, 114eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) = (𝐹 · 𝑈))
116115oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) · (𝑈↑2)) = ((𝐹 · 𝑈) · (𝑈↑2)))
11735rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
118117, 112, 77mulassd 11284 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) · (𝑈↑2)) = ((𝑈𝐸) · (((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) · (𝑈↑2))))
119116, 118eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 · 𝑈) · (𝑈↑2)) = ((𝑈𝐸) · (((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) · (𝑈↑2))))
12095, 98, 1193eqtr2d 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 · (𝑈↑3)) = ((𝑈𝐸) · (((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) · (𝑈↑2))))
12186, 120eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) = (𝐹 · (𝑈↑3)))
122121oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 − ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)))) = (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
123122oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 − ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)))) · (log‘𝑍)) = ((𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) · (log‘𝑍)))
12462, 123eqtr3d 2779 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) = ((𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) · (log‘𝑍)))
12526, 24remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
126125, 54resubcld 11691 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ)
127124, 126eqeltrrd 2842 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
12817rpred 13077 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
12916simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
130129simp1d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < 𝑍)
131128, 130rplogcld 26671 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ+)
13232, 131rerpdivcld 13108 . . . . . 6 (𝜑 → (2 / (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
133 fzfid 14014 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌))) ∈ Fin)
13417adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
135 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ)
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
137136nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
138134, 137rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+)
13918ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
141140, 134rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℝ)
142141recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
143142abscld 15475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
144137relogcld 26665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
145143, 144remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
146133, 145fsumrecl 15770 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
147132, 146remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
148147, 57readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → (((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) + 𝐶) ∈ ℝ)
14920recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅𝑍) ∈ ℂ)
150149abscld 15475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑍)) ∈ ℝ)
151150recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑍)) ∈ ℂ)
152151, 61mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) ∈ ℂ)
153132recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 / (log‘𝑍)) ∈ ℂ)
154140recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ)
155154abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) ∈ ℝ)
156155, 144remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
157133, 156fsumrecl 15770 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
158157recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
159153, 158mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℂ)
16017rpcnd 13079 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
16117rpne0d 13082 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ≠ 0)
162152, 159, 160, 161divsubdird 12082 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑍) = ((((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) / 𝑍) − (((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) / 𝑍)))
163151, 61, 160, 161div23d 12080 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) / 𝑍) = (((abs‘(𝑅𝑍)) / 𝑍) · (log‘𝑍)))
164149, 160, 161absdivd 15494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) = ((abs‘(𝑅𝑍)) / (abs‘𝑍)))
16517rprege0d 13084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
166 absid 15335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → (abs‘𝑍) = 𝑍)
167165, 166syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝑍) = 𝑍)
168167oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑍)) / (abs‘𝑍)) = ((abs‘(𝑅𝑍)) / 𝑍))
169164, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) = ((abs‘(𝑅𝑍)) / 𝑍))
170169oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) = (((abs‘(𝑅𝑍)) / 𝑍) · (log‘𝑍)))
171163, 170eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) / 𝑍) = ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)))
172153, 158, 160, 161divassd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) / 𝑍) = ((2 / (log‘𝑍)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍)))
173160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → 𝑍 ∈ ℂ)
174161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → 𝑍 ≠ 0)
175154, 173, 174absdivd 15494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) = ((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) / (abs‘𝑍)))
176167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (abs‘𝑍) = 𝑍)
177176oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) / (abs‘𝑍)) = ((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) / 𝑍))
178175, 177eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) = ((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) / 𝑍))
179178oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) = (((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) / 𝑍) · (log‘𝑛)))
180155recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) ∈ ℂ)
181144recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
18217rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
184 div23 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍) = (((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) / 𝑍) · (log‘𝑛)))
185180, 181, 183, 184syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍) = (((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) / 𝑍) · (log‘𝑛)))
186179, 185eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) = (((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍))
187186sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍))
188156recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
189133, 160, 188, 161fsumdivc 15822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍))
190187, 189eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍))
191190oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) = ((2 / (log‘𝑍)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) / 𝑍)))
192172, 191eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) / 𝑍) = ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))))
193171, 192oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) / 𝑍) − (((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) / 𝑍)) = (((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))))
194162, 193eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑍) = (((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))))
195 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (abs‘(𝑅𝑧)) = (abs‘(𝑅𝑍)))
196 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (log‘𝑧) = (log‘𝑍))
197195, 196oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → ((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) = ((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)))
198196oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (2 / (log‘𝑧)) = (2 / (log‘𝑍)))
199 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑛 → (𝑧 / 𝑖) = (𝑧 / 𝑛))
200199fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑛 → (𝑅‘(𝑧 / 𝑖)) = (𝑅‘(𝑧 / 𝑛)))
201200fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) = (abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))))
202 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (log‘𝑖) = (log‘𝑛))
203201, 202oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)) = ((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
204203cbvsumv 15732 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛))
205 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑍 → (⌊‘(𝑧 / 𝑌)) = (⌊‘(𝑍 / 𝑌)))
206205oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑍 → (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌))) = (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌))))
207 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 = 𝑍𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → 𝑧 = 𝑍)
208207fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 = 𝑍𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (𝑅‘(𝑧 / 𝑛)) = (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)))
209208fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 = 𝑍𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) = (abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))))
210209oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑍𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) = ((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
211206, 210sumeq12rdv 15743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑍 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
212204, 211eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
213198, 212oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖))) = ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
214197, 213oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → (((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) = (((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
215 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍𝑧 = 𝑍)
216214, 215oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 → ((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) = ((((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑍))
217216breq1d 5153 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑍 → (((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶 ↔ ((((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑍) ≤ 𝐶))
218 pntlem1.C . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘(𝑧 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑖))) · (log‘𝑖)))) / 𝑧) ≤ 𝐶)
219 1re 11261 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
220 rexr 11307 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
221 elioopnf 13483 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ* → (𝑍 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑍)))
222219, 220, 221mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑍))
223128, 130, 222sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (1(,)+∞))
224217, 218, 223rspcdva 3623 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘(𝑅𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑍 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑍) ≤ 𝐶)
225194, 224eqbrtrrd 5167 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))) ≤ 𝐶)
22625, 147, 57lesubadd2d 11862 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) − ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))) ≤ 𝐶 ↔ ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) ≤ (((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) + 𝐶)))
227225, 226mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) ≤ (((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) + 𝐶))
228 2cnd 12344 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
229143recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℂ)
230229, 181mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
231133, 230fsumcl 15769 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
232131rpne0d 13082 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑍) ≠ 0)
233228, 231, 61, 232div23d 12080 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) / (log‘𝑍)) = ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))))
23424resqcld 14165 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑍)↑2) ∈ ℝ)
23552, 234remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)) ∈ ℝ)
23636, 235remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))) ∈ ℝ)
237 remulcl 11240 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)))) ∈ ℝ)
23831, 236, 237sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)))) ∈ ℝ)
23930, 24remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
240 remulcl 11240 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
24131, 146, 240sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
24226adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
243242, 136nndivred 12320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
244243, 143resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
245244, 144remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
246133, 245fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
24732, 246remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
248239, 241resubcld 11691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
249 pntlem1.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
250 pntlem1.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
251 pntlem1.U . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
252 pntlem1.K . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
2531, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 249, 250, 251, 252pntlemf 27649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
254 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 2)
256 lemul2 12120 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))) ∈ ℝ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)))) ≤ (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))))
257236, 246, 32, 255, 256syl112anc 1376 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)))) ≤ (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))))
258253, 257mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)))) ≤ (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
259243recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℂ)
260259, 229, 181subdird 11720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) = (((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) − ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))))
261260sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) − ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))))
262243, 144remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
263262recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))) → ((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
264133, 263, 230fsumsub 15824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) − ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))))
265261, 264eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))))
266265oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))) = (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))))
267133, 262fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
268267recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
269228, 268, 231subdid 11719 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))) = ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛))) − (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))))
270266, 269eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))) = ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛))) − (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))))
271 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
27231, 267, 271sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
2731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 249, 250, 251, 252pntlemk 27650 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛))) ≤ ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)))
274272, 239, 241, 273lesub1dd 11879 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((𝑈 / 𝑛) · (log‘𝑛))) − (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))) ≤ (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))))
275270, 274eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))(((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))) ≤ (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))))
276238, 247, 248, 258, 275letrd 11418 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)))) ≤ (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛)))))
277238, 239, 241, 276lesubd 11867 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) ≤ (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))))))
27830recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) ∈ ℂ)
27955recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) ∈ ℂ)
280278, 279, 61subdird 11720 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) · (log‘𝑍)) = (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − ((2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) · (log‘𝑍))))
28154recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) ∈ ℂ)
282228, 281, 61mulassd 11284 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) · (log‘𝑍)) = (2 · ((((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) · (log‘𝑍))))
28360, 61, 61mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) · (log‘𝑍)) = (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · ((log‘𝑍) · (log‘𝑍))))
28461sqvald 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((log‘𝑍)↑2) = ((log‘𝑍) · (log‘𝑍)))
285284oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · ((log‘𝑍)↑2)) = (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · ((log‘𝑍) · (log‘𝑍))))
28651rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) ∈ ℂ)
287234recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((log‘𝑍)↑2) ∈ ℂ)
288117, 286, 287mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · ((log‘𝑍)↑2)) = ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))))
289283, 285, 2883eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) · (log‘𝑍)) = ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))))
290289oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) · (log‘𝑍))) = (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)))))
291282, 290eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) · (log‘𝑍)) = (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2)))))
292291oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − ((2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) · (log‘𝑍))) = (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))))))
293280, 292eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) · (log‘𝑍)) = (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) · (log‘𝑍)) − (2 · ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵)) · ((log‘𝑍)↑2))))))
294277, 293breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) ≤ (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) · (log‘𝑍)))
295241, 56, 131ledivmul2d 13131 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) / (log‘𝑍)) ≤ ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) ↔ (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) ≤ (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) · (log‘𝑍))))
296294, 295mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) / (log‘𝑍)) ≤ ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
297233, 296eqbrtrrd 5167 . . . . 5 (𝜑 → ((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) ≤ ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
298147, 56, 57, 297leadd1dd 11877 . . . 4 (𝜑 → (((2 / (log‘𝑍)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑍 / 𝑌)))((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (log‘𝑛))) + 𝐶) ≤ (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) + 𝐶))
29925, 148, 58, 227, 298letrd 11418 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) ≤ (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) + 𝐶))
300 remulcl 11240 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ)
30126, 27, 300sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ)
302301, 57readdcld 11290 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ)
30316simp3d 1145 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
304303simp3d 1145 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
305302, 54, 125, 304leadd2dd 11878 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 · (log‘𝑍)) + ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ≤ ((𝑈 · (log‘𝑍)) + (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
30628recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
30759, 61, 306adddid 11285 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) = ((𝑈 · (log‘𝑍)) + (𝑈 · 3)))
308307oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) + 𝐶) = (((𝑈 · (log‘𝑍)) + (𝑈 · 3)) + 𝐶))
309125recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (log‘𝑍)) ∈ ℂ)
31059, 306mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℂ)
31113rpcnd 13079 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
312309, 310, 311addassd 11283 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈 · (log‘𝑍)) + (𝑈 · 3)) + 𝐶) = ((𝑈 · (log‘𝑍)) + ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
313308, 312eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) + 𝐶) = ((𝑈 · (log‘𝑍)) + ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
3142812timesd 12509 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) = ((((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) + (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
315314oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) + (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) = (((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) + ((((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) + (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
316309, 281, 281nppcan3d 11647 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) + ((((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)) + (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) = ((𝑈 · (log‘𝑍)) + (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
317315, 316eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) + (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) = ((𝑈 · (log‘𝑍)) + (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
318305, 313, 3173brtr4d 5175 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) + 𝐶) ≤ (((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) + (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
31930, 57readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) + 𝐶) ∈ ℝ)
320319, 55, 126lesubaddd 11860 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) + 𝐶) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) ≤ ((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) ↔ ((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) + 𝐶) ≤ (((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))) + (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))))
321318, 320mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) + 𝐶) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) ≤ ((𝑈 · (log‘𝑍)) − (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
322278, 311, 279addsubd 11641 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) + 𝐶) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) = (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) + 𝐶))
323321, 322, 1243brtr3d 5174 . . 3 (𝜑 → (((𝑈 · ((log‘𝑍) + 3)) − (2 · (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))) + 𝐶) ≤ ((𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) · (log‘𝑍)))
32425, 58, 127, 299, 323letrd 11418 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) ≤ ((𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) · (log‘𝑍)))
325 3z 12650 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
326 rpexpcl 14121 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑈↑3) ∈ ℝ+)
3277, 325, 326sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℝ+)
32896, 327rpmulcld 13093 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 · (𝑈↑3)) ∈ ℝ+)
329328rpred 13077 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 · (𝑈↑3)) ∈ ℝ)
33026, 329resubcld 11691 . . 3 (𝜑 → (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) ∈ ℝ)
33123, 330, 131lemul1d 13120 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) ↔ ((abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) · (log‘𝑍)) ≤ ((𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))) · (log‘𝑍))))
332324, 331mpbird 257 1 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑍) / 𝑍)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  0cn0 12526  cz 12613  cdc 12733  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  cfl 13830  cexp 14102  csqrt 15272  abscabs 15273  Σcsu 15722  expce 16097  eceu 16098  logclog 26596  ψcchp 27136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-atan 26910  df-em 27036  df-vma 27141  df-chp 27142
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