MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d 26127
Description: Lemma for 2lgslem3d1 26131. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 7171 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
32oveq1d 7179 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4 fvoveq1 7187 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
53, 4oveq12d 7182 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
61, 5syl5eq 2785 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
7 8nn0 11992 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 12034 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12031 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 7cn 11803 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
14 1cnd 10707 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1511, 13, 14addsubassd 11088 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
16 4t2e8 11877 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1716eqcomi 2747 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
1918oveq1d 7179 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20 4cn 11794 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22 2cn 11784 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24 nn0cn 11979 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2521, 23, 24mul32d 10921 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2619, 25eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27 7m1e6 11841 . . . . . . . . 9 (7 − 1) = 6
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
2926, 28oveq12d 7182 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3015, 29eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3130oveq1d 7179 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
32 4nn0 11988 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3433, 9nn0mulcld 12034 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12031 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
3635, 23mulcld 10732 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37 6cn 11800 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
39 2rp 12470 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
4140rpcnne0d 12516 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
42 divdir 11394 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
4336, 38, 41, 42syl3anc 1372 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
44 2ne0 11813 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
4635, 23, 45divcan4d 11493 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
47 3t2e6 11875 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
4847eqcomi 2747 . . . . . . . . 9 6 = (3 · 2)
4948oveq1i 7174 . . . . . . . 8 (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
50 3cn 11790 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5150, 22, 44divcan4i 11458 . . . . . . . 8 ((3 · 2) / 2) = 3
5249, 51eqtri 2761 . . . . . . 7 (6 / 2) = 3
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
5446, 53oveq12d 7182 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
5531, 43, 543eqtrd 2777 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
56 4ne0 11817 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
5720, 56pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
5857a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
59 divdir 11394 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
6011, 13, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
61 8cn 11806 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
63 div23 11388 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6462, 24, 58, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6517oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
6622, 20, 56divcan3i 11457 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
6765, 66eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
6968oveq1d 7179 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
7064, 69eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
7170oveq1d 7179 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7260, 71eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7372fveq2d 6672 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
74 3lt4 11883 . . . . . 6 3 < 4
75 2nn0 11986 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
7675a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7776, 9nn0mulcld 12034 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
7877nn0zd 12159 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
7978peano2zd 12164 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
80 3nn0 11987 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
8180a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
82 4nn 11792 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
8382a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
84 adddivflid 13272 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8579, 81, 83, 84syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8623, 24mulcld 10732 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
8750a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
8856a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
8987, 21, 88divcld 11487 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
9086, 14, 89addassd 10734 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
91 4p3e7 11863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 3) = 7
9291eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 7 = (4 + 3)
9392oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . . 13 (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
9420, 50, 20, 56divdiri 11468 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
9520, 56dividi 11444 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 4) = 1
9695oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
9793, 94, 963eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
9998eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
10099oveq2d 7180 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
10190, 100eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
102101fveqeq2d 6676 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10385, 102bitrd 282 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10474, 103mpbii 236 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
10573, 104eqtrd 2773 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
10655, 105oveq12d 7182 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
10777nn0cnd 12031 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
10835, 87, 107, 14addsub4d 11115 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
109 2t2e4 11873 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
110109eqcomi 2747 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
111110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
112111oveq1d 7179 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
11323, 23, 24mulassd 10735 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
114112, 113eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
115114oveq1d 7179 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
116 2txmxeqx 11849 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
117107, 116syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
118115, 117eqtrd 2773 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
119 3m1e2 11837 . . . . 5 (3 − 1) = 2
120119a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
121118, 120oveq12d 7182 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
122106, 108, 1213eqtrd 2777 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
1236, 122sylan9eqr 2795 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613   < clt 10746  cmin 10941   / cdiv 11368  cn 11709  2c2 11764  3c3 11765  4c4 11766  6c6 11768  7c7 11769  8c8 11770  0cn0 11969  cz 12055  +crp 12465  cfl 13244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fl 13246
This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  26131
  Copyright terms: Public domain W3C validator