Theorem 2lgslem3d 27636

Description: Lemma for 2lgslem3d1 27640. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
3	2	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7437	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
7		8nn0 12552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		7cn 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
14		1cnd 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	11, 13, 14	addsubassd 11614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
16		4t2e8 12434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
17	16	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
19	18	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20		4cn 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22		2cn 12341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	mul32d 11445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
26	19, 25	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27		7m1e6 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 − 1) = 6
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
29	26, 28	oveq12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
30	15, 29	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
31	30	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
32		4nn0 12548	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
34	33, 9	nn0mulcld 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
36	35, 23	mulcld 11254	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37		6cn 12357	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
39		2rp 13048	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
41	40	rpcnne0d 13096	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
42		divdir 11922	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
43	36, 38, 41, 42	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
44		2ne0 12372	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
46	35, 23, 45	divcan4d 12022	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
47		3t2e6 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
48	47	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (3 · 2)
49	48	oveq1i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
50		3cn 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50, 22, 44	divcan4i 11987	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
52	49, 51	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (6 / 2) = 3
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
54	46, 53	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
55	31, 43, 54	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
56		4ne0 12377	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
57	20, 56	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
58	57	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
59		divdir 11922	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
60	11, 13, 58, 59	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
61		8cn 12363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
63		div23 11916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
64	62, 24, 58, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
65	17	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
66	22, 20, 56	divcan3i 11986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
67	65, 66	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
69	68	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
70	64, 69	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
71	70	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
72	60, 71	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
73	72	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
74		3lt4 12442	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
75		2nn0 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
77	76, 9	nn0mulcld 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
78	77	nn0zd 12641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
79	78	peano2zd 12729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
80		3nn0 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
82		4nn 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
83	82	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
84		adddivflid 13880	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
86	23, 24	mulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
87	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
88	56	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
89	87, 21, 88	divcld 12016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
90	86, 14, 89	addassd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
91		4p3e7 12419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 3) = 7
92	91	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 = (4 + 3)
93	92	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
94	20, 50, 20, 56	divdiri 11997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
95	20, 56	dividi 11973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 4) = 1
96	95	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
97	93, 94, 96	3eqtri 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
99	98	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
100	99	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
101	90, 100	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
102	101	fveqeq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
103	85, 102	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
104	74, 103	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
105	73, 104	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
106	55, 105	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
107	77	nn0cnd 12592	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
108	35, 87, 107, 14	addsub4d 11641	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
109		2t2e4 12429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
110	109	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
111	110	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
112	111	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
113	23, 23, 24	mulassd 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
114	112, 113	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
115	114	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
116		2txmxeqx 12405	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
117	107, 116	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
118	115, 117	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
119		3m1e2 12393	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
120	119	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
121	118, 120	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
122	106, 108, 121	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
123	6, 122	sylan9eqr 2817	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   < clt 11268   − cmin 11466   / cdiv 11896  ℕcn 12258  2c2 12320  3c3 12321  4c4 12322  6c6 12324  7c7 12325  8c8 12326  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℝ⁺crp 13043  ⌊cfl 13852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fl 13854

This theorem is used by:  2lgslem3d1  27640