Theorem 2lgslem3d 27366

Description: Lemma for 2lgslem3d1 27370. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
3	2	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7381	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
7		8nn0 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		7cn 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
14		1cnd 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	11, 13, 14	addsubassd 11512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
16		4t2e8 12308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
17	16	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
19	18	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20		4cn 12230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22		2cn 12220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	mul32d 11343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
26	19, 25	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27		7m1e6 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 − 1) = 6
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
29	26, 28	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
30	15, 29	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
31	30	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
32		4nn0 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
34	33, 9	nn0mulcld 12467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
36	35, 23	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37		6cn 12236	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
39		2rp 12910	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
41	40	rpcnne0d 12958	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
42		divdir 11821	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
43	36, 38, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
44		2ne0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
46	35, 23, 45	divcan4d 11923	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
47		3t2e6 12306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
48	47	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (3 · 2)
49	48	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
50		3cn 12226	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50, 22, 44	divcan4i 11888	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
52	49, 51	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (6 / 2) = 3
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
54	46, 53	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
55	31, 43, 54	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
56		4ne0 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
57	20, 56	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
58	57	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
59		divdir 11821	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
60	11, 13, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
61		8cn 12242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
63		div23 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
64	62, 24, 58, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
65	17	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
66	22, 20, 56	divcan3i 11887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
67	65, 66	eqtri 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
69	68	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
70	64, 69	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
71	70	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
72	60, 71	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
73	72	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
74		3lt4 12314	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
75		2nn0 12418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
77	76, 9	nn0mulcld 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
78	77	nn0zd 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
79	78	peano2zd 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
80		3nn0 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
82		4nn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
83	82	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
84		adddivflid 13738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
86	23, 24	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
87	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
88	56	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
89	87, 21, 88	divcld 11917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
90	86, 14, 89	addassd 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
91		4p3e7 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 3) = 7
92	91	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 = (4 + 3)
93	92	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
94	20, 50, 20, 56	divdiri 11898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
95	20, 56	dividi 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 4) = 1
96	95	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
97	93, 94, 96	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
99	98	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
100	99	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
101	90, 100	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
102	101	fveqeq2d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
103	85, 102	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
104	74, 103	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
105	73, 104	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
106	55, 105	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
107	77	nn0cnd 12464	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
108	35, 87, 107, 14	addsub4d 11539	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
109		2t2e4 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
110	109	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
111	110	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
112	111	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
113	23, 23, 24	mulassd 11155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
114	112, 113	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
115	114	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
116		2txmxeqx 12280	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
117	107, 116	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
118	115, 117	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
119		3m1e2 12268	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
120	119	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
121	118, 120	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
122	106, 108, 121	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
123	6, 122	sylan9eqr 2793	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905  ⌊cfl 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712

This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  27370