Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ
(โโ(๐ /
4))) |
2 | | oveq1 7365 |
. . . . 5
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ (๐ โ 1) = (((8 ยท ๐พ) + 7) โ
1)) |
3 | 2 | oveq1d 7373 |
. . . 4
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ ((๐ โ 1) / 2) = ((((8
ยท ๐พ) + 7) โ 1)
/ 2)) |
4 | | fvoveq1 7381 |
. . . 4
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ
(โโ(๐ / 4)) =
(โโ(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4))) |
5 | 3, 4 | oveq12d 7376 |
. . 3
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ (((๐ โ 1) / 2) โ
(โโ(๐ / 4))) =
(((((8 ยท ๐พ) + 7)
โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4)))) |
6 | 1, 5 | eqtrid 2789 |
. 2
โข (๐ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ ๐ = (((((8 ยท ๐พ) + 7) โ 1) / 2) โ
(โโ(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4)))) |
7 | | 8nn0 12437 |
. . . . . . . . . . 11
โข 8 โ
โ0 |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 8 โ โ0) |
9 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ ๐พ โ
โ0) |
10 | 8, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ)
โ โ0) |
11 | 10 | nn0cnd 12476 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ)
โ โ) |
12 | | 7cn 12248 |
. . . . . . . . 9
โข 7 โ
โ |
13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 7 โ โ) |
14 | | 1cnd 11151 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 1 โ โ) |
15 | 11, 13, 14 | addsubassd 11533 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
7) โ 1) = ((8 ยท ๐พ) + (7 โ 1))) |
16 | | 4t2e8 12322 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (4
ยท 2) = 8 |
17 | 16 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
โข 8 = (4
ยท 2) |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 8 = (4 ยท 2)) |
19 | 18 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ) = ((4
ยท 2) ยท ๐พ)) |
20 | | 4cn 12239 |
. . . . . . . . . . 11
โข 4 โ
โ |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ) |
22 | | 2cn 12229 |
. . . . . . . . . . 11
โข 2 โ
โ |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ โ) |
24 | | nn0cn 12424 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ ๐พ โ
โ) |
25 | 21, 23, 24 | mul32d 11366 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท 2) ยท ๐พ) = ((4 ยท ๐พ) ยท 2)) |
26 | 19, 25 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (8 ยท ๐พ) = ((4
ยท ๐พ) ยท
2)) |
27 | | 7m1e6 12286 |
. . . . . . . . 9
โข (7
โ 1) = 6 |
28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (7 โ 1) = 6) |
29 | 26, 28 | oveq12d 7376 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) + (7
โ 1)) = (((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 6)) |
30 | 15, 29 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
7) โ 1) = (((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 6)) |
31 | 30 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((((8 ยท ๐พ) +
7) โ 1) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 6) / 2)) |
32 | | 4nn0 12433 |
. . . . . . . . . 10
โข 4 โ
โ0 |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ0) |
34 | 33, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ)
โ โ0) |
35 | 34 | nn0cnd 12476 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ)
โ โ) |
36 | 35, 23 | mulcld 11176 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท ๐พ)
ยท 2) โ โ) |
37 | | 6cn 12245 |
. . . . . . 7
โข 6 โ
โ |
38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ 6 โ โ) |
39 | | 2rp 12921 |
. . . . . . . 8
โข 2 โ
โ+ |
40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ โ+) |
41 | 40 | rpcnne0d 12967 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (2 โ โ โง 2 โ 0)) |
42 | | divdir 11839 |
. . . . . 6
โข ((((4
ยท ๐พ) ยท 2)
โ โ โง 6 โ โ โง (2 โ โ โง 2 โ 0))
โ ((((4 ยท ๐พ)
ยท 2) + 6) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (6 /
2))) |
43 | 36, 38, 41, 42 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((((4 ยท ๐พ)
ยท 2) + 6) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (6 /
2))) |
44 | | 2ne0 12258 |
. . . . . . . 8
โข 2 โ
0 |
45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ 0) |
46 | 35, 23, 45 | divcan4d 11938 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (((4 ยท ๐พ)
ยท 2) / 2) = (4 ยท ๐พ)) |
47 | | 3t2e6 12320 |
. . . . . . . . . 10
โข (3
ยท 2) = 6 |
48 | 47 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . 9
โข 6 = (3
ยท 2) |
49 | 48 | oveq1i 7368 |
. . . . . . . 8
โข (6 / 2) =
((3 ยท 2) / 2) |
50 | | 3cn 12235 |
. . . . . . . . 9
โข 3 โ
โ |
51 | 50, 22, 44 | divcan4i 11903 |
. . . . . . . 8
โข ((3
ยท 2) / 2) = 3 |
52 | 49, 51 | eqtri 2765 |
. . . . . . 7
โข (6 / 2) =
3 |
53 | 52 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (6 / 2) = 3) |
54 | 46, 53 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((((4 ยท ๐พ)
ยท 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 ยท ๐พ) + 3)) |
55 | 31, 43, 54 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ ((((8 ยท ๐พ) +
7) โ 1) / 2) = ((4 ยท ๐พ) + 3)) |
56 | | 4ne0 12262 |
. . . . . . . . . 10
โข 4 โ
0 |
57 | 20, 56 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . 9
โข (4 โ
โ โง 4 โ 0) |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (4 โ โ โง 4 โ 0)) |
59 | | divdir 11839 |
. . . . . . . 8
โข (((8
ยท ๐พ) โ โ
โง 7 โ โ โง (4 โ โ โง 4 โ 0)) โ (((8
ยท ๐พ) + 7) / 4) =
(((8 ยท ๐พ) / 4) + (7
/ 4))) |
60 | 11, 13, 58, 59 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
7) / 4) = (((8 ยท ๐พ)
/ 4) + (7 / 4))) |
61 | | 8cn 12251 |
. . . . . . . . . . 11
โข 8 โ
โ |
62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ 8 โ โ) |
63 | | div23 11833 |
. . . . . . . . . 10
โข ((8
โ โ โง ๐พ
โ โ โง (4 โ โ โง 4 โ 0)) โ ((8 ยท
๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท
๐พ)) |
64 | 62, 24, 58, 63 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) / 4)
= ((8 / 4) ยท ๐พ)) |
65 | 17 | oveq1i 7368 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (8 / 4) =
((4 ยท 2) / 4) |
66 | 22, 20, 56 | divcan3i 11902 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((4
ยท 2) / 4) = 2 |
67 | 65, 66 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . 11
โข (8 / 4) =
2 |
68 | 67 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ (8 / 4) = 2) |
69 | 68 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 / 4) ยท ๐พ)
= (2 ยท ๐พ)) |
70 | 64, 69 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ ((8 ยท ๐พ) / 4)
= (2 ยท ๐พ)) |
71 | 70 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) /
4) + (7 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))) |
72 | 60, 71 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (((8 ยท ๐พ) +
7) / 4) = ((2 ยท ๐พ) +
(7 / 4))) |
73 | 72 | fveq2d 6847 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4)) = (โโ((2 ยท
๐พ) + (7 /
4)))) |
74 | | 3lt4 12328 |
. . . . . 6
โข 3 <
4 |
75 | | 2nn0 12431 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 2 โ
โ0 |
76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐พ โ โ0
โ 2 โ โ0) |
77 | 76, 9 | nn0mulcld 12479 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โ0) |
78 | 77 | nn0zd 12526 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โค) |
79 | 78 | peano2zd 12611 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท ๐พ) + 1)
โ โค) |
80 | | 3nn0 12432 |
. . . . . . . . 9
โข 3 โ
โ0 |
81 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 3 โ โ0) |
82 | | 4nn 12237 |
. . . . . . . . 9
โข 4 โ
โ |
83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ โ) |
84 | | adddivflid 13724 |
. . . . . . . 8
โข ((((2
ยท ๐พ) + 1) โ
โค โง 3 โ โ0 โง 4 โ โ) โ (3
< 4 โ (โโ(((2 ยท ๐พ) + 1) + (3 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1))) |
85 | 79, 81, 83, 84 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (3 < 4 โ (โโ(((2 ยท ๐พ) + 1) + (3 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1))) |
86 | 23, 24 | mulcld 11176 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โ) |
87 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐พ โ โ0
โ 3 โ โ) |
88 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐พ โ โ0
โ 4 โ 0) |
89 | 87, 21, 88 | divcld 11932 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ (3 / 4) โ โ) |
90 | 86, 14, 89 | addassd 11178 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ (((2 ยท ๐พ) +
1) + (3 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (1 + (3 / 4)))) |
91 | | 4p3e7 12308 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (4 + 3) =
7 |
92 | 91 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข 7 = (4 +
3) |
93 | 92 | oveq1i 7368 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (7 / 4) =
((4 + 3) / 4) |
94 | 20, 50, 20, 56 | divdiri 11913 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((4 + 3)
/ 4) = ((4 / 4) + (3 / 4)) |
95 | 20, 56 | dividi 11889 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (4 / 4) =
1 |
96 | 95 | oveq1i 7368 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((4 / 4)
+ (3 / 4)) = (1 + (3 / 4)) |
97 | 93, 94, 96 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (7 / 4) =
(1 + (3 / 4)) |
98 | 97 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐พ โ โ0
โ (7 / 4) = (1 + (3 / 4))) |
99 | 98 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐พ โ โ0
โ (1 + (3 / 4)) = (7 / 4)) |
100 | 99 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . 9
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท ๐พ) + (1
+ (3 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))) |
101 | 90, 100 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ (((2 ยท ๐พ) +
1) + (3 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))) |
102 | 101 | fveqeq2d 6851 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ ((โโ(((2 ยท ๐พ) + 1) + (3 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1) โ (โโ((2
ยท ๐พ) + (7 / 4))) =
((2 ยท ๐พ) +
1))) |
103 | 85, 102 | bitrd 279 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (3 < 4 โ (โโ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1))) |
104 | 74, 103 | mpbii 232 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1)) |
105 | 73, 104 | eqtrd 2777 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + 1)) |
106 | 55, 105 | oveq12d 7376 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ (((((8 ยท ๐พ) +
7) โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4))) = (((4 ยท ๐พ) + 3) โ ((2 ยท
๐พ) + 1))) |
107 | 77 | nn0cnd 12476 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ (2 ยท ๐พ)
โ โ) |
108 | 35, 87, 107, 14 | addsub4d 11560 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ (((4 ยท ๐พ) +
3) โ ((2 ยท ๐พ)
+ 1)) = (((4 ยท ๐พ)
โ (2 ยท ๐พ)) +
(3 โ 1))) |
109 | | 2t2e4 12318 |
. . . . . . . . . 10
โข (2
ยท 2) = 4 |
110 | 109 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . 9
โข 4 = (2
ยท 2) |
111 | 110 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐พ โ โ0
โ 4 = (2 ยท 2)) |
112 | 111 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ) = ((2
ยท 2) ยท ๐พ)) |
113 | 23, 23, 24 | mulassd 11179 |
. . . . . . 7
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท 2) ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ))) |
114 | 112, 113 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐พ โ โ0
โ (4 ยท ๐พ) = (2
ยท (2 ยท ๐พ))) |
115 | 114 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท ๐พ)
โ (2 ยท ๐พ)) =
((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ))) |
116 | | 2txmxeqx 12294 |
. . . . . 6
โข ((2
ยท ๐พ) โ โ
โ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ)) |
117 | 107, 116 | syl 17 |
. . . . 5
โข (๐พ โ โ0
โ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ)) |
118 | 115, 117 | eqtrd 2777 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ ((4 ยท ๐พ)
โ (2 ยท ๐พ)) =
(2 ยท ๐พ)) |
119 | | 3m1e2 12282 |
. . . . 5
โข (3
โ 1) = 2 |
120 | 119 | a1i 11 |
. . . 4
โข (๐พ โ โ0
โ (3 โ 1) = 2) |
121 | 118, 120 | oveq12d 7376 |
. . 3
โข (๐พ โ โ0
โ (((4 ยท ๐พ)
โ (2 ยท ๐พ)) +
(3 โ 1)) = ((2 ยท ๐พ) + 2)) |
122 | 106, 108,
121 | 3eqtrd 2781 |
. 2
โข (๐พ โ โ0
โ (((((8 ยท ๐พ) +
7) โ 1) / 2) โ (โโ(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 2)) |
123 | 6, 122 | sylan9eqr 2799 |
1
โข ((๐พ โ โ0
โง ๐ = ((8 ยท
๐พ) + 7)) โ ๐ = ((2 ยท ๐พ) + 2)) |