MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d 27443
Description: Lemma for 2lgslem3d1 27447. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
32oveq1d 7446 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4 fvoveq1 7454 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
53, 4oveq12d 7449 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
61, 5eqtrid 2789 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
7 8nn0 12549 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 12592 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 7cn 12360 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
14 1cnd 11256 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1511, 13, 14addsubassd 11640 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
16 4t2e8 12434 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1716eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
1918oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20 4cn 12351 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22 2cn 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24 nn0cn 12536 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2521, 23, 24mul32d 11471 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2619, 25eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27 7m1e6 12398 . . . . . . . . 9 (7 − 1) = 6
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
2926, 28oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3015, 29eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3130oveq1d 7446 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
32 4nn0 12545 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3433, 9nn0mulcld 12592 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12589 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
3635, 23mulcld 11281 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37 6cn 12357 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
39 2rp 13039 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
4140rpcnne0d 13086 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
42 divdir 11947 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
4336, 38, 41, 42syl3anc 1373 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
44 2ne0 12370 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
4635, 23, 45divcan4d 12049 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
47 3t2e6 12432 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
4847eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 6 = (3 · 2)
4948oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
50 3cn 12347 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5150, 22, 44divcan4i 12014 . . . . . . . 8 ((3 · 2) / 2) = 3
5249, 51eqtri 2765 . . . . . . 7 (6 / 2) = 3
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
5446, 53oveq12d 7449 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
5531, 43, 543eqtrd 2781 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
56 4ne0 12374 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
5720, 56pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
5857a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
59 divdir 11947 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
6011, 13, 58, 59syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
61 8cn 12363 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
63 div23 11941 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6462, 24, 58, 63syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6517oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
6622, 20, 56divcan3i 12013 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
6765, 66eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
6968oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
7064, 69eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
7170oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7260, 71eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7372fveq2d 6910 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
74 3lt4 12440 . . . . . 6 3 < 4
75 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
7675a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7776, 9nn0mulcld 12592 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
7877nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
7978peano2zd 12725 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
80 3nn0 12544 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
8180a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
82 4nn 12349 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
8382a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
84 adddivflid 13858 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8579, 81, 83, 84syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8623, 24mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
8750a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
8856a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
8987, 21, 88divcld 12043 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
9086, 14, 89addassd 11283 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
91 4p3e7 12420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 3) = 7
9291eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 7 = (4 + 3)
9392oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
9420, 50, 20, 56divdiri 12024 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
9520, 56dividi 12000 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 4) = 1
9695oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
9793, 94, 963eqtri 2769 . . . . . . . . . . . 12 (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
9998eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
10099oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
10190, 100eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
102101fveqeq2d 6914 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10385, 102bitrd 279 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10474, 103mpbii 233 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
10573, 104eqtrd 2777 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
10655, 105oveq12d 7449 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
10777nn0cnd 12589 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
10835, 87, 107, 14addsub4d 11667 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
109 2t2e4 12430 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
110109eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
111110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
112111oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
11323, 23, 24mulassd 11284 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
114112, 113eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
115114oveq1d 7446 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
116 2txmxeqx 12406 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
117107, 116syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
118115, 117eqtrd 2777 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
119 3m1e2 12394 . . . . 5 (3 − 1) = 2
120119a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
121118, 120oveq12d 7449 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
122106, 108, 1213eqtrd 2781 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
1236, 122sylan9eqr 2799 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  27447
  Copyright terms: Public domain W3C validator