MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d 26882
Description: Lemma for 2lgslem3d1 26886. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 7411 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
32oveq1d 7419 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4 fvoveq1 7427 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
53, 4oveq12d 7422 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
61, 5eqtrid 2785 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
7 8nn0 12491 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 12533 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12530 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 7cn 12302 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
14 1cnd 11205 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1511, 13, 14addsubassd 11587 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
16 4t2e8 12376 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1716eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
1918oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20 4cn 12293 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22 2cn 12283 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24 nn0cn 12478 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2521, 23, 24mul32d 11420 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2619, 25eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27 7m1e6 12340 . . . . . . . . 9 (7 − 1) = 6
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
2926, 28oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3015, 29eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3130oveq1d 7419 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
32 4nn0 12487 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3433, 9nn0mulcld 12533 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12530 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
3635, 23mulcld 11230 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37 6cn 12299 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
39 2rp 12975 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
4140rpcnne0d 13021 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
42 divdir 11893 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
4336, 38, 41, 42syl3anc 1372 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
44 2ne0 12312 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
4635, 23, 45divcan4d 11992 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
47 3t2e6 12374 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
4847eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 6 = (3 · 2)
4948oveq1i 7414 . . . . . . . 8 (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
50 3cn 12289 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5150, 22, 44divcan4i 11957 . . . . . . . 8 ((3 · 2) / 2) = 3
5249, 51eqtri 2761 . . . . . . 7 (6 / 2) = 3
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
5446, 53oveq12d 7422 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
5531, 43, 543eqtrd 2777 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
56 4ne0 12316 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
5720, 56pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
5857a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
59 divdir 11893 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
6011, 13, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
61 8cn 12305 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
63 div23 11887 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6462, 24, 58, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6517oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
6622, 20, 56divcan3i 11956 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
6765, 66eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
6968oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
7064, 69eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
7170oveq1d 7419 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7260, 71eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7372fveq2d 6892 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
74 3lt4 12382 . . . . . 6 3 < 4
75 2nn0 12485 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
7675a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7776, 9nn0mulcld 12533 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
7877nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
7978peano2zd 12665 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
80 3nn0 12486 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
8180a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
82 4nn 12291 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
8382a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
84 adddivflid 13779 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8579, 81, 83, 84syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8623, 24mulcld 11230 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
8750a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
8856a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
8987, 21, 88divcld 11986 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
9086, 14, 89addassd 11232 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
91 4p3e7 12362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 3) = 7
9291eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 7 = (4 + 3)
9392oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . 13 (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
9420, 50, 20, 56divdiri 11967 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
9520, 56dividi 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 4) = 1
9695oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
9793, 94, 963eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
9998eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
10099oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
10190, 100eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
102101fveqeq2d 6896 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10385, 102bitrd 279 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10474, 103mpbii 232 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
10573, 104eqtrd 2773 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
10655, 105oveq12d 7422 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
10777nn0cnd 12530 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
10835, 87, 107, 14addsub4d 11614 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
109 2t2e4 12372 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
110109eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
111110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
112111oveq1d 7419 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
11323, 23, 24mulassd 11233 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
114112, 113eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
115114oveq1d 7419 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
116 2txmxeqx 12348 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
117107, 116syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
118115, 117eqtrd 2773 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
119 3m1e2 12336 . . . . 5 (3 − 1) = 2
120119a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
121118, 120oveq12d 7422 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
122106, 108, 1213eqtrd 2777 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
1236, 122sylan9eqr 2795 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  6c6 12267  7c7 12268  8c8 12269  0cn0 12468  cz 12554  +crp 12970  cfl 13751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753
This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  26886
  Copyright terms: Public domain W3C validator