MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d 27236
Description: Lemma for 2lgslem3d1 27240. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 7)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐พ) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
2 oveq1 7408 . . . . 5 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1))
32oveq1d 7416 . . . 4 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) / 2))
4 fvoveq1 7424 . . . 4 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4)))
53, 4oveq12d 7419 . . 3 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))) = (((((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4))))
61, 5eqtrid 2776 . 2 (๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 7) โ†’ ๐‘ = (((((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4))))
7 8nn0 12491 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„•0
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„•0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
108, 9nn0mulcld 12533 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 12530 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
12 7cn 12302 . . . . . . . . 9 7 โˆˆ โ„‚
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 7 โˆˆ โ„‚)
14 1cnd 11205 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1511, 13, 14addsubassd 11587 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) = ((8 ยท ๐พ) + (7 โˆ’ 1)))
16 4t2e8 12376 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
1716eqcomi 2733 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 ยท 2)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 = (4 ยท 2))
1918oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) = ((4 ยท 2) ยท ๐พ))
20 4cn 12293 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„‚
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
22 2cn 12283 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
24 nn0cn 12478 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2521, 23, 24mul32d 11420 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท 2) ยท ๐พ) = ((4 ยท ๐พ) ยท 2))
2619, 25eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 ยท ๐พ) = ((4 ยท ๐พ) ยท 2))
27 7m1e6 12340 . . . . . . . . 9 (7 โˆ’ 1) = 6
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (7 โˆ’ 1) = 6)
2926, 28oveq12d 7419 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) + (7 โˆ’ 1)) = (((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 6))
3015, 29eqtrd 2764 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) = (((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 6))
3130oveq1d 7416 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 6) / 2))
32 4nn0 12487 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
3433, 9nn0mulcld 12533 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
3534nn0cnd 12530 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
3635, 23mulcld 11230 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ๐พ) ยท 2) โˆˆ โ„‚)
37 6cn 12299 . . . . . . 7 6 โˆˆ โ„‚
3837a1i 11 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 6 โˆˆ โ„‚)
39 2rp 12975 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
4140rpcnne0d 13021 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
42 divdir 11893 . . . . . 6 ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 6) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (6 / 2)))
4336, 38, 41, 42syl3anc 1368 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) + 6) / 2) = ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (6 / 2)))
44 2ne0 12312 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
4544a1i 11 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
4635, 23, 45divcan4d 11992 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) = (4 ยท ๐พ))
47 3t2e6 12374 . . . . . . . . . 10 (3 ยท 2) = 6
4847eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 6 = (3 ยท 2)
4948oveq1i 7411 . . . . . . . 8 (6 / 2) = ((3 ยท 2) / 2)
50 3cn 12289 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„‚
5150, 22, 44divcan4i 11957 . . . . . . . 8 ((3 ยท 2) / 2) = 3
5249, 51eqtri 2752 . . . . . . 7 (6 / 2) = 3
5352a1i 11 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (6 / 2) = 3)
5446, 53oveq12d 7419 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4 ยท ๐พ) ยท 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 ยท ๐พ) + 3))
5531, 43, 543eqtrd 2768 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) / 2) = ((4 ยท ๐พ) + 3))
56 4ne0 12316 . . . . . . . . . 10 4 โ‰  0
5720, 56pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)
5857a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
59 divdir 11893 . . . . . . . 8 (((8 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง 7 โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 7) / 4) = (((8 ยท ๐พ) / 4) + (7 / 4)))
6011, 13, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 7) / 4) = (((8 ยท ๐พ) / 4) + (7 / 4)))
61 8cn 12305 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„‚
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
63 div23 11887 . . . . . . . . . 10 ((8 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท ๐พ))
6462, 24, 58, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = ((8 / 4) ยท ๐พ))
6517oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 ยท 2) / 4)
6622, 20, 56divcan3i 11956 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ยท 2) / 4) = 2
6765, 66eqtri 2752 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 4) = 2)
6968oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 / 4) ยท ๐พ) = (2 ยท ๐พ))
7064, 69eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((8 ยท ๐พ) / 4) = (2 ยท ๐พ))
7170oveq1d 7416 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) / 4) + (7 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4)))
7260, 71eqtrd 2764 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((8 ยท ๐พ) + 7) / 4) = ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4)))
7372fveq2d 6885 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4)) = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))))
74 3lt4 12382 . . . . . 6 3 < 4
75 2nn0 12485 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
7675a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
7776, 9nn0mulcld 12533 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„•0)
7877nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
7978peano2zd 12665 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐พ) + 1) โˆˆ โ„ค)
80 3nn0 12486 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„•0
8180a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
82 4nn 12291 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„•
8382a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
84 adddivflid 13779 . . . . . . . 8 ((((2 ยท ๐พ) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (3 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐พ) + 1) + (3 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1)))
8579, 81, 83, 84syl3anc 1368 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐พ) + 1) + (3 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1)))
8623, 24mulcld 11230 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
8750a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
8856a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โ‰  0)
8987, 21, 88divcld 11986 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / 4) โˆˆ โ„‚)
9086, 14, 89addassd 11232 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐พ) + 1) + (3 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (1 + (3 / 4))))
91 4p3e7 12362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 3) = 7
9291eqcomi 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 7 = (4 + 3)
9392oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
9420, 50, 20, 56divdiri 11967 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
9520, 56dividi 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 4) = 1
9695oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
9793, 94, 963eqtri 2756 . . . . . . . . . . . 12 (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
9998eqcomd 2730 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
10099oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐พ) + (1 + (3 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4)))
10190, 100eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐พ) + 1) + (3 / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + (7 / 4)))
102101fveqeq2d 6889 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐พ) + 1) + (3 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1) โ†” (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1)))
10385, 102bitrd 279 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 < 4 โ†” (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1)))
10474, 103mpbii 232 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐พ) + (7 / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 1))
10573, 104eqtrd 2764 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4)) = ((2 ยท ๐พ) + 1))
10655, 105oveq12d 7419 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4))) = (((4 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ ((2 ยท ๐พ) + 1)))
10777nn0cnd 12530 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
10835, 87, 107, 14addsub4d 11614 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4 ยท ๐พ) + 3) โˆ’ ((2 ยท ๐พ) + 1)) = (((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) + (3 โˆ’ 1)))
109 2t2e4 12372 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 2) = 4
110109eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 4 = (2 ยท 2)
111110a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 = (2 ยท 2))
112111oveq1d 7416 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) = ((2 ยท 2) ยท ๐พ))
11323, 23, 24mulassd 11233 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ)))
114112, 113eqtrd 2764 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ๐พ) = (2 ยท (2 ยท ๐พ)))
115114oveq1d 7416 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)))
116 2txmxeqx 12348 . . . . . 6 ((2 ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
117107, 116syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท (2 ยท ๐พ)) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
118115, 117eqtrd 2764 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) = (2 ยท ๐พ))
119 3m1e2 12336 . . . . 5 (3 โˆ’ 1) = 2
120119a1i 11 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 โˆ’ 1) = 2)
121118, 120oveq12d 7419 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4 ยท ๐พ) โˆ’ (2 ยท ๐พ)) + (3 โˆ’ 1)) = ((2 ยท ๐พ) + 2))
122106, 108, 1213eqtrd 2768 . 2 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((8 ยท ๐พ) + 7) โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((8 ยท ๐พ) + 7) / 4))) = ((2 ยท ๐พ) + 2))
1236, 122sylan9eqr 2786 1 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐พ) + 7)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐พ) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5138  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   ยท cmul 11110   < clt 11244   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  6c6 12267  7c7 12268  8c8 12269  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  โŒŠcfl 13751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753
This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  27240
  Copyright terms: Public domain W3C validator