Proof of Theorem 2lgslem3d
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 /
4))) |
| 2 | | oveq1 7438 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) −
1)) |
| 3 | 2 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8
· 𝐾) + 7) − 1)
/ 2)) |
| 4 | | fvoveq1 7454 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) →
(⌊‘(𝑃 / 4)) =
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) |
| 5 | 3, 4 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 / 4))) =
(((((8 · 𝐾) + 7)
− 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))) |
| 6 | 1, 5 | eqtrid 2789 |
. 2
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) −
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))) |
| 7 | | 8nn0 12549 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℕ0 |
| 8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℕ0) |
| 9 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 10 | 8, 9 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
| 11 | 10 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℂ) |
| 12 | | 7cn 12360 |
. . . . . . . . 9
⊢ 7 ∈
ℂ |
| 13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 7 ∈ ℂ) |
| 14 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
| 15 | 11, 13, 14 | addsubassd 11640 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1))) |
| 16 | | 4t2e8 12434 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (4
· 2) = 8 |
| 17 | 16 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 = (4
· 2) |
| 18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 = (4 · 2)) |
| 19 | 18 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((4
· 2) · 𝐾)) |
| 20 | | 4cn 12351 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℂ |
| 21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℂ) |
| 22 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℂ) |
| 24 | | nn0cn 12536 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℂ) |
| 25 | 21, 23, 24 | mul32d 11471 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2)) |
| 26 | 19, 25 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((4
· 𝐾) ·
2)) |
| 27 | | 7m1e6 12398 |
. . . . . . . . 9
⊢ (7
− 1) = 6 |
| 28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (7 − 1) = 6) |
| 29 | 26, 28 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) + (7
− 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6)) |
| 30 | 15, 29 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6)) |
| 31 | 30 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2)) |
| 32 | | 4nn0 12545 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
| 33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ0) |
| 34 | 33, 9 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
| 35 | 34 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℂ) |
| 36 | 35, 23 | mulcld 11281 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
· 2) ∈ ℂ) |
| 37 | | 6cn 12357 |
. . . . . . 7
⊢ 6 ∈
ℂ |
| 38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 6 ∈ ℂ) |
| 39 | | 2rp 13039 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℝ+) |
| 41 | 40 | rpcnne0d 13086 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
| 42 | | divdir 11947 |
. . . . . 6
⊢ ((((4
· 𝐾) · 2)
∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 /
2))) |
| 43 | 36, 38, 41, 42 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 /
2))) |
| 44 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ≠
0 |
| 45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ≠ 0) |
| 46 | 35, 23, 45 | divcan4d 12049 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾)
· 2) / 2) = (4 · 𝐾)) |
| 47 | | 3t2e6 12432 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3
· 2) = 6 |
| 48 | 47 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . 9
⊢ 6 = (3
· 2) |
| 49 | 48 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . 8
⊢ (6 / 2) =
((3 · 2) / 2) |
| 50 | | 3cn 12347 |
. . . . . . . . 9
⊢ 3 ∈
ℂ |
| 51 | 50, 22, 44 | divcan4i 12014 |
. . . . . . . 8
⊢ ((3
· 2) / 2) = 3 |
| 52 | 49, 51 | eqtri 2765 |
. . . . . . 7
⊢ (6 / 2) =
3 |
| 53 | 52 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (6 / 2) = 3) |
| 54 | 46, 53 | oveq12d 7449 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3)) |
| 55 | 31, 43, 54 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3)) |
| 56 | | 4ne0 12374 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ≠
0 |
| 57 | 20, 56 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
ℂ ∧ 4 ≠ 0) |
| 58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) |
| 59 | | divdir 11947 |
. . . . . . . 8
⊢ (((8
· 𝐾) ∈ ℂ
∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8
· 𝐾) + 7) / 4) =
(((8 · 𝐾) / 4) + (7
/ 4))) |
| 60 | 11, 13, 58, 59 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
7) / 4) = (((8 · 𝐾)
/ 4) + (7 / 4))) |
| 61 | | 8cn 12363 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℂ |
| 62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℂ) |
| 63 | | div23 11941 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((8
∈ ℂ ∧ 𝐾
∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 ·
𝐾) / 4) = ((8 / 4) ·
𝐾)) |
| 64 | 62, 24, 58, 63 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= ((8 / 4) · 𝐾)) |
| 65 | 17 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (8 / 4) =
((4 · 2) / 4) |
| 66 | 22, 20, 56 | divcan3i 12013 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((4
· 2) / 4) = 2 |
| 67 | 65, 66 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (8 / 4) =
2 |
| 68 | 67 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 / 4) = 2) |
| 69 | 68 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 / 4) · 𝐾)
= (2 · 𝐾)) |
| 70 | 64, 69 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= (2 · 𝐾)) |
| 71 | 70 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) /
4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4))) |
| 72 | 60, 71 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
7) / 4) = ((2 · 𝐾) +
(7 / 4))) |
| 73 | 72 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 ·
𝐾) + (7 /
4)))) |
| 74 | | 3lt4 12440 |
. . . . . 6
⊢ 3 <
4 |
| 75 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℕ0) |
| 77 | 76, 9 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
| 78 | 77 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℤ) |
| 79 | 78 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝐾) + 1)
∈ ℤ) |
| 80 | | 3nn0 12544 |
. . . . . . . . 9
⊢ 3 ∈
ℕ0 |
| 81 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 3 ∈ ℕ0) |
| 82 | | 4nn 12349 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℕ |
| 83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ) |
| 84 | | adddivflid 13858 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((2
· 𝐾) + 1) ∈
ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3
< 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
| 85 | 79, 81, 83, 84 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
| 86 | 23, 24 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
| 87 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 3 ∈ ℂ) |
| 88 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ≠ 0) |
| 89 | 87, 21, 88 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (3 / 4) ∈ ℂ) |
| 90 | 86, 14, 89 | addassd 11283 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝐾) +
1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4)))) |
| 91 | | 4p3e7 12420 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (4 + 3) =
7 |
| 92 | 91 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 7 = (4 +
3) |
| 93 | 92 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (7 / 4) =
((4 + 3) / 4) |
| 94 | 20, 50, 20, 56 | divdiri 12024 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((4 + 3)
/ 4) = ((4 / 4) + (3 / 4)) |
| 95 | 20, 56 | dividi 12000 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (4 / 4) =
1 |
| 96 | 95 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((4 / 4)
+ (3 / 4)) = (1 + (3 / 4)) |
| 97 | 93, 94, 96 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (7 / 4) =
(1 + (3 / 4)) |
| 98 | 97 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (7 / 4) = (1 + (3 / 4))) |
| 99 | 98 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 + (3 / 4)) = (7 / 4)) |
| 100 | 99 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝐾) + (1
+ (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4))) |
| 101 | 90, 100 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝐾) +
1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4))) |
| 102 | 101 | fveqeq2d 6914 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2
· 𝐾) + (7 / 4))) =
((2 · 𝐾) +
1))) |
| 103 | 85, 102 | bitrd 279 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
| 104 | 74, 103 | mpbii 233 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
| 105 | 73, 104 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
| 106 | 55, 105 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 ·
𝐾) + 1))) |
| 107 | 77 | nn0cnd 12589 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
| 108 | 35, 87, 107, 14 | addsub4d 11667 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾) +
3) − ((2 · 𝐾)
+ 1)) = (((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) +
(3 − 1))) |
| 109 | | 2t2e4 12430 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2
· 2) = 4 |
| 110 | 109 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 = (2
· 2) |
| 111 | 110 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 = (2 · 2)) |
| 112 | 111 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = ((2
· 2) · 𝐾)) |
| 113 | 23, 23, 24 | mulassd 11284 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾))) |
| 114 | 112, 113 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = (2
· (2 · 𝐾))) |
| 115 | 114 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾))) |
| 116 | | 2txmxeqx 12406 |
. . . . . 6
⊢ ((2
· 𝐾) ∈ ℂ
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
| 117 | 107, 116 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
| 118 | 115, 117 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
(2 · 𝐾)) |
| 119 | | 3m1e2 12394 |
. . . . 5
⊢ (3
− 1) = 2 |
| 120 | 119 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (3 − 1) = 2) |
| 121 | 118, 120 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) +
(3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2)) |
| 122 | 106, 108,
121 | 3eqtrd 2781 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2)) |
| 123 | 6, 122 | sylan9eqr 2799 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ 𝑃 = ((8 ·
𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2)) |