MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom3 14190
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 12277 . . . 4 3 = (2 + 1)
21oveq2i 7415 . . 3 ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘(2 + 1))
3 addcl 11191 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 2nn0 12490 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
5 expp1 14037 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(2 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)))
63, 4, 5sylancl 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(2 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)))
72, 6eqtrid 2778 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)))
8 sqcl 14086 . . . . 5 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
93, 8syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10 simpl 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 simpr 484 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
129, 10, 11adddid 11239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ต)))
13 binom2 14184 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
1413oveq1d 7419 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ด) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด))
15 sqcl 14086 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1610, 15syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17 2cn 12288 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
18 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
19 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2017, 18, 19sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2116, 20addcld 11234 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
22 sqcl 14086 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2311, 22syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2421, 23, 10adddird 11240 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ด) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ด)))
2516, 20, 10adddird 11240 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ด)))
261oveq2i 7415 . . . . . . . . 9 (๐ดโ†‘3) = (๐ดโ†‘(2 + 1))
27 expp1 14037 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
2810, 4, 27sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
2926, 28eqtrid 2778 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘3) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
30 sqval 14083 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
3110, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
3231oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐ต))
3310, 10, 11mul32d 11425 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ด))
3432, 33eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ด))
3534oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ด)))
36 2cnd 12291 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3736, 18, 10mulassd 11238 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ด) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ด)))
3835, 37eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ด))
3929, 38oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ด)))
4025, 39eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
4123, 10mulcomd 11236 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))
4240, 41oveq12d 7422 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ด) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ด)) = (((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))))
4314, 24, 423eqtrd 2770 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))))
4413oveq1d 7419 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ต) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต))
4521, 23, 11adddird 11240 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)))
46 sqval 14083 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
4711, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
4847oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ต)))
4910, 11, 11mulassd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ต)))
5048, 49eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ต))
5150oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ต)))
5236, 18, 11mulassd 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ต) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ต)))
5351, 52eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ต))
5453oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ต)))
5516, 20, 11adddird 11240 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ต)))
5654, 55eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต))
571oveq2i 7415 . . . . . . . 8 (๐ตโ†‘3) = (๐ตโ†‘(2 + 1))
58 expp1 14037 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
5911, 4, 58sylancl 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
6057, 59eqtrid 2778 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘3) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
6156, 60oveq12d 7422 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) + (๐ตโ†‘3)) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)))
6216, 11mulcld 11235 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6310, 23mulcld 11235 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
64 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
6517, 63, 64sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
66 3nn0 12491 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
67 expcl 14048 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
6811, 66, 67sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
6962, 65, 68addassd 11237 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) + (๐ตโ†‘3)) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
7061, 69eqtr3d 2768 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
7144, 45, 703eqtrd 2770 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
7243, 71oveq12d 7422 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))))
73 expcl 14048 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
7410, 66, 73sylancl 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
75 mulcl 11193 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7617, 62, 75sylancr 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7774, 76addcld 11234 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
7865, 68addcld 11234 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
7977, 63, 62, 78add4d 11443 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))))
8012, 72, 793eqtrd 2770 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))))
8174, 76, 62addassd 11237 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘3) + ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
821oveq1i 7414 . . . . . . 7 (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 + 1) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))
83 1cnd 11210 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8436, 83, 62adddird 11240 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 + 1) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
8582, 84eqtrid 2778 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
8662mullidd 11233 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))
8786oveq2d 7420 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) = ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)))
8885, 87eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)))
8988oveq2d 7420 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) = ((๐ดโ†‘3) + ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
9081, 89eqtr4d 2769 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
91 1p2e3 12356 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
9291oveq1i 7414 . . . . . . 7 ((1 + 2) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))
9383, 36, 63adddird 11240 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + 2) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))))
9492, 93eqtr3id 2780 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))))
9563mullidd 11233 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))
9695oveq1d 7419 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))))
9794, 96eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))))
9897oveq1d 7419 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) = (((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) + (๐ตโ†‘3)))
9963, 65, 68addassd 11237 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) + (๐ตโ†‘3)) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
10098, 99eqtr2d 2767 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))
10190, 100oveq12d 7422 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
1027, 80, 1013eqtrd 2770 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  2c2 12268  3c3 12269  โ„•0cn0 12473  โ†‘cexp 14030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14031
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  26726  mcubic  26730  binom4  26733  cu3addd  41977  3cubeslem3r  41984
  Copyright terms: Public domain W3C validator