Theorem bcp1n 14383

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1n	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13679	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		facp1 14345	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4		fznn0sub 13614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
5		facp1 14345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
7	1	nn0cnd 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9		elfznn0 13678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addsubd 11617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
12	11	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
13	11	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
14	6, 12, 13	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
15	14	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
16	4	faccld 14351	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12276	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
18		nn0p1nn 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
19	4, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
20	11, 19	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12276	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
22	9	faccld 14351	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12276	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
24	17, 21, 23	mul32d 11447	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
25	15, 24	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
26	3, 25	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
27	1	faccld 14351	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12276	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29		nn0p1nn 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
30	1, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12276	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
32	16, 22	nnmulcld 12316	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33		nncn 12268	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34		nnne0 12297	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
35	33, 34	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
36	32, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
37	20	nnne0d 12313	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
38	21, 37	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39		divmuldiv 11942	. . . 4 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
40	28, 31, 36, 38, 39	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
41	26, 40	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42		fzelp1 13634	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43		bcval2 14372	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
44	42, 43	syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45		bcval2 14372	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
46	45	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ...cfz 13564  !cfa 14340  Ccbc 14369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-seq 14069  df-fac 14341  df-bc 14370

This theorem is used by:  bcp1nk  14384  bcpasc  14388  bcp1ctr  27518  bcm1n  33269  bcm1nt  36319