MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1n 14299
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1n (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 13619 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 facp1 14261 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4 fznn0sub 13557 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
5 facp1 14261 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
71nn0cnd 12556 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 11231 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9 elfznn0 13618 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 12556 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
117, 8, 10addsubd 11614 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁𝐾) + 1))
1211fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
1311oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
146, 12, 133eqtr4d 2777 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
1514oveq1d 7429 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
164faccld 14267 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
1716nncnd 12250 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
18 nn0p1nn 12533 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
2011, 19eqeltrd 2828 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
2120nncnd 12250 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
229faccld 14267 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
2322nncnd 12250 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
2417, 21, 23mul32d 11446 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
2515, 24eqtrd 2767 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
263, 25oveq12d 7432 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
271faccld 14267 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2827nncnd 12250 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29 nn0p1nn 12533 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
301, 29syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3130nncnd 12250 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3216, 22nnmulcld 12287 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33 nncn 12242 . . . . . 6 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34 nnne0 12268 . . . . . 6 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
3533, 34jca 511 . . . . 5 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
3632, 35syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
3720nnne0d 12284 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
3821, 37jca 511 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39 divmuldiv 11936 . . . 4 ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4028, 31, 36, 38, 39syl22anc 838 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4126, 40eqtr4d 2770 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42 fzelp1 13577 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43 bcval2 14288 . . 3 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
4442, 43syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45 bcval2 14288 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
4645oveq1d 7429 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4741, 44, 463eqtr4d 2777 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135  cmin 11466   / cdiv 11893  cn 12234  0cn0 12494  ...cfz 13508  !cfa 14256  Ccbc 14285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-seq 13991  df-fac 14257  df-bc 14286
This theorem is referenced by:  bcp1nk  14300  bcpasc  14304  bcp1ctr  27199  bcm1n  32547  bcm1nt  35267
  Copyright terms: Public domain W3C validator