MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1n 14222
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with ๐‘ increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1n (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))

Proof of Theorem bcp1n
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 13541 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2 facp1 14184 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
31, 2syl 17 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
4 fznn0sub 13479 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
5 facp1 14184 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
71nn0cnd 12480 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 1cnd 11155 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9 elfznn0 13540 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
109nn0cnd 12480 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
117, 8, 10addsubd 11538 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
1211fveq2d 6847 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
1311oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
146, 12, 133eqtr4d 2783 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
1514oveq1d 7373 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))
164faccld 14190 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
1716nncnd 12174 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
18 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
2011, 19eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•)
2120nncnd 12174 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
229faccld 14190 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
2322nncnd 12174 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
2417, 21, 23mul32d 11370 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
2515, 24eqtrd 2773 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
263, 25oveq12d 7376 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
271faccld 14190 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2827nncnd 12174 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
29 nn0p1nn 12457 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
301, 29syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12174 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
3216, 22nnmulcld 12211 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
33 nncn 12166 . . . . . 6 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚)
34 nnne0 12192 . . . . . 6 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0)
3533, 34jca 513 . . . . 5 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0))
3632, 35syl 17 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0))
3720nnne0d 12208 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0)
3821, 37jca 513 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0))
39 divmuldiv 11860 . . . 4 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ((((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0) โˆง (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4028, 31, 36, 38, 39syl22anc 838 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4126, 40eqtr4d 2776 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
42 fzelp1 13499 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
43 bcval2 14211 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
4442, 43syl 17 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
45 bcval2 14211 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
4645oveq1d 7373 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4741, 44, 463eqtr4d 2783 1 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  !cfa 14179  Ccbc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-fac 14180  df-bc 14209
This theorem is referenced by:  bcp1nk  14223  bcpasc  14227  bcp1ctr  26643  bcm1n  31745  bcm1nt  34366
  Copyright terms: Public domain W3C validator