Theorem bcp1n 14372

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1n	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13668	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		facp1 14334	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4		fznn0sub 13603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
5		facp1 14334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
7	1	nn0cnd 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9		elfznn0 13667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addsubd 11607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
12	11	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
13	11	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
14	6, 12, 13	3eqtr4d 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
15	14	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
16	4	faccld 14340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12266	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
18		nn0p1nn 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
19	4, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
20	11, 19	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12266	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
22	9	faccld 14340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12266	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
24	17, 21, 23	mul32d 11437	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
25	15, 24	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
26	3, 25	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
27	1	faccld 14340	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12266	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29		nn0p1nn 12560	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
30	1, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12266	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
32	16, 22	nnmulcld 12306	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33		nncn 12258	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34		nnne0 12287	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
35	33, 34	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
36	32, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
37	20	nnne0d 12303	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
38	21, 37	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39		divmuldiv 11932	. . . 4 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
40	28, 31, 36, 38, 39	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
41	26, 40	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42		fzelp1 13623	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43		bcval2 14361	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
44	42, 43	syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45		bcval2 14361	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
46	45	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   − cmin 11458   / cdiv 11888  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ...cfz 13553  !cfa 14329  Ccbc 14358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-fac 14330  df-bc 14359

This theorem is used by:  bcp1nk  14373  bcpasc  14377  bcp1ctr  27496  bcm1n  33212  bcm1nt  36268