MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1n 13396
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1n (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 12728 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 facp1 13358 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4 fznn0sub 12666 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
5 facp1 13358 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
71nn0cnd 11680 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 10351 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12727 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11680 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
117, 8, 10addsubd 10734 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁𝐾) + 1))
1211fveq2d 6437 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
1311oveq2d 6921 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
146, 12, 133eqtr4d 2871 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
1514oveq1d 6920 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
164faccld 13364 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
1716nncnd 11368 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
18 nn0p1nn 11659 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
2011, 19eqeltrd 2906 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
2120nncnd 11368 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
229faccld 13364 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
2322nncnd 11368 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
2417, 21, 23mul32d 10565 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
2515, 24eqtrd 2861 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
263, 25oveq12d 6923 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
271faccld 13364 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2827nncnd 11368 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29 nn0p1nn 11659 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
301, 29syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3130nncnd 11368 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3216, 22nnmulcld 11404 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33 nncn 11359 . . . . . 6 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34 nnne0 11386 . . . . . 6 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
3533, 34jca 509 . . . . 5 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
3632, 35syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
3720nnne0d 11401 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
3821, 37jca 509 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39 divmuldiv 11051 . . . 4 ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4028, 31, 36, 38, 39syl22anc 874 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4126, 40eqtr4d 2864 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42 fzelp1 12686 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43 bcval2 13385 . . 3 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
4442, 43syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45 bcval2 13385 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
4645oveq1d 6920 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4741, 44, 463eqtr4d 2871 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  cmin 10585   / cdiv 11009  cn 11350  0cn0 11618  ...cfz 12619  !cfa 13353  Ccbc 13382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-seq 13096  df-fac 13354  df-bc 13383
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13397  bcpasc  13401  bcp1ctr  25417  bcm1n  30101  bcm1nt  32165
  Copyright terms: Public domain W3C validator