Theorem bcp1n 14269

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1n	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13566	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		facp1 14231	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4		fznn0sub 13501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
5		facp1 14231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
7	1	nn0cnd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9		elfznn0 13565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addsubd 11517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
12	11	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
13	11	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
14	6, 12, 13	3eqtr4d 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
15	14	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
16	4	faccld 14237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12181	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
18		nn0p1nn 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
20	11, 19	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12181	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
22	9	faccld 14237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12181	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
24	17, 21, 23	mul32d 11347	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
25	15, 24	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
26	3, 25	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
27	1	faccld 14237	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12181	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29		nn0p1nn 12467	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
30	1, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12181	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
32	16, 22	nnmulcld 12221	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33		nncn 12173	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34		nnne0 12202	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
35	33, 34	jca 516	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
37	20	nnne0d 12218	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
38	21, 37	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39		divmuldiv 11846	. . . 4 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
40	28, 31, 36, 38, 39	syl22anc 844	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
41	26, 40	eqtr4d 2777	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42		fzelp1 13521	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43		bcval2 14258	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
44	42, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45		bcval2 14258	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
46	45	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  !cfa 14226  Ccbc 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-fac 14227  df-bc 14256

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14270  bcpasc  14274  bcp1ctr  27260  bcm1n  32887  bcm1nt  35965