Theorem bcp1n 14239

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1n	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13537	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		facp1 14201	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4		fznn0sub 13472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
5		facp1 14201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
7	1	nn0cnd 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9		elfznn0 13536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addsubd 11513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
12	11	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
13	11	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
14	6, 12, 13	3eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
15	14	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
16	4	faccld 14207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
18		nn0p1nn 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
20	11, 19	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
22	9	faccld 14207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
24	17, 21, 23	mul32d 11343	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
25	15, 24	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
26	3, 25	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
27	1	faccld 14207	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12161	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29		nn0p1nn 12440	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
30	1, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12161	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
32	16, 22	nnmulcld 12198	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33		nncn 12153	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34		nnne0 12179	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
35	33, 34	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
37	20	nnne0d 12195	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
38	21, 37	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39		divmuldiv 11841	. . . 4 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
40	28, 31, 36, 38, 39	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
41	26, 40	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42		fzelp1 13492	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43		bcval2 14228	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
44	42, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45		bcval2 14228	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
46	45	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ...cfz 13423  !cfa 14196  Ccbc 14225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-fac 14197  df-bc 14226

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14240  bcpasc  14244  bcp1ctr  27246  bcm1n  32875  bcm1nt  35931