Theorem bcp1n 14237

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1n	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13535	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		facp1 14199	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4		fznn0sub 13470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
5		facp1 14199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
7	1	nn0cnd 12462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9		elfznn0 13534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
11	7, 8, 10	addsubd 11511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
12	11	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
13	11	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
14	6, 12, 13	3eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
15	14	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
16	4	faccld 14205	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12159	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
18		nn0p1nn 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
20	11, 19	eqeltrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12159	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
22	9	faccld 14205	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12159	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
24	17, 21, 23	mul32d 11341	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
25	15, 24	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
26	3, 25	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
27	1	faccld 14205	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12159	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
29		nn0p1nn 12438	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
30	1, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12159	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
32	16, 22	nnmulcld 12196	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
33		nncn 12151	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
34		nnne0 12177	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
35	33, 34	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0))
37	20	nnne0d 12193	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
38	21, 37	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))
39		divmuldiv 11839	. . . 4 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0) ∧ (((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
40	28, 31, 36, 38, 39	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
41	26, 40	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
42		fzelp1 13490	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
43		bcval2 14226	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
44	42, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45		bcval2 14226	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
46	45	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ...cfz 13421  !cfa 14194  Ccbc 14223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-seq 13923  df-fac 14195  df-bc 14224

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14238  bcpasc  14242  bcp1ctr  27244  bcm1n  32824  bcm1nt  35880