MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1n 14277
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with ๐‘ increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1n (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))

Proof of Theorem bcp1n
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 13596 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2 facp1 14239 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
31, 2syl 17 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
4 fznn0sub 13534 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
5 facp1 14239 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
71nn0cnd 12533 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 1cnd 11208 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9 elfznn0 13595 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
109nn0cnd 12533 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
117, 8, 10addsubd 11591 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
1211fveq2d 6886 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
1311oveq2d 7418 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
146, 12, 133eqtr4d 2774 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
1514oveq1d 7417 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))
164faccld 14245 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
1716nncnd 12227 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
18 nn0p1nn 12510 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
2011, 19eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•)
2120nncnd 12227 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
229faccld 14245 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
2322nncnd 12227 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
2417, 21, 23mul32d 11423 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
2515, 24eqtrd 2764 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
263, 25oveq12d 7420 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
271faccld 14245 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2827nncnd 12227 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
29 nn0p1nn 12510 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
301, 29syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12227 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
3216, 22nnmulcld 12264 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
33 nncn 12219 . . . . . 6 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚)
34 nnne0 12245 . . . . . 6 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0)
3533, 34jca 511 . . . . 5 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0))
3632, 35syl 17 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0))
3720nnne0d 12261 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0)
3821, 37jca 511 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0))
39 divmuldiv 11913 . . . 4 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ((((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0) โˆง (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4028, 31, 36, 38, 39syl22anc 836 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4126, 40eqtr4d 2767 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
42 fzelp1 13554 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
43 bcval2 14266 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
4442, 43syl 17 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
45 bcval2 14266 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
4645oveq1d 7417 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4741, 44, 463eqtr4d 2774 1 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  ...cfz 13485  !cfa 14234  Ccbc 14263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-seq 13968  df-fac 14235  df-bc 14264
This theorem is referenced by:  bcp1nk  14278  bcpasc  14282  bcp1ctr  27152  bcm1n  32500  bcm1nt  35229
  Copyright terms: Public domain W3C validator