MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1n 14307
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with ๐‘ increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1n (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))

Proof of Theorem bcp1n
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 13627 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2 facp1 14269 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
31, 2syl 17 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
4 fznn0sub 13565 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
5 facp1 14269 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
71nn0cnd 12564 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 1cnd 11239 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9 elfznn0 13626 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
109nn0cnd 12564 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
117, 8, 10addsubd 11622 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
1211fveq2d 6901 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
1311oveq2d 7436 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
146, 12, 133eqtr4d 2778 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
1514oveq1d 7435 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))
164faccld 14275 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
1716nncnd 12258 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
18 nn0p1nn 12541 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
2011, 19eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•)
2120nncnd 12258 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
229faccld 14275 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
2322nncnd 12258 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
2417, 21, 23mul32d 11454 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
2515, 24eqtrd 2768 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)))
263, 25oveq12d 7438 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
271faccld 14275 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2827nncnd 12258 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
29 nn0p1nn 12541 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
301, 29syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12258 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
3216, 22nnmulcld 12295 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
33 nncn 12250 . . . . . 6 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚)
34 nnne0 12276 . . . . . 6 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0)
3533, 34jca 511 . . . . 5 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0))
3632, 35syl 17 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0))
3720nnne0d 12292 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0)
3821, 37jca 511 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0))
39 divmuldiv 11944 . . . 4 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ((((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0) โˆง (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4028, 31, 36, 38, 39syl22anc 838 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4126, 40eqtr4d 2771 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
42 fzelp1 13585 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
43 bcval2 14296 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
4442, 43syl 17 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) / ((!โ€˜((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
45 bcval2 14296 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
4645oveq1d 7435 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
4741, 44, 463eqtr4d 2778 1 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  ...cfz 13516  !cfa 14264  Ccbc 14293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-fac 14265  df-bc 14294
This theorem is referenced by:  bcp1nk  14308  bcpasc  14312  bcp1ctr  27211  bcm1n  32563  bcm1nt  35331
  Copyright terms: Public domain W3C validator