Theorem flt4lem5f 40021

Description: Final equation of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. Given 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2, provide a smaller solution. This satisfies the infinite descent condition. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5f	⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))

Proof of Theorem flt4lem5f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2		flt4lem5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3		flt4lem5a.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
4		flt4lem5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
5		flt4lem5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
7		flt4lem5a.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
8		flt4lem5a.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
9		flt4lem5a.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
10		flt4lem5a.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	flt4lem5d 40019	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	flt4lem5e 40020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))
13	12	simp2d 1140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
14	13	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
15	13	simp1d 1139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	13	simp2d 1140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
17	15, 16	nnmulcld 11740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
18	12	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
19	18	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
20	14	nnzd 12138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	15	nnzd 12138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
22	20, 21	gcdcomd 15926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑀))
23	12	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
24	23	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
25	22, 24	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑅) = 1)
26	16	nnzd 12138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
27	20, 26	gcdcomd 15926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑆) = (𝑆 gcd 𝑀))
28	23	simp3d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
29	27, 28	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑆) = 1)
30		rpmul 16068	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑅) = 1 ∧ (𝑀 gcd 𝑆) = 1) → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1))
31	20, 21, 26, 30	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 gcd 𝑅) = 1 ∧ (𝑀 gcd 𝑆) = 1) → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1))
32	25, 29, 31	mp2and 698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1)
33	18	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
34	14, 17, 19, 32, 33	flt4lem4 40013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ (𝑅 · 𝑆) = (((𝑅 · 𝑆) gcd (𝐵 / 2))↑2)))
35	34	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2))
36	14, 16	nnmulcld 11740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑆) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 12138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑆) ∈ ℤ)
38	37, 21	gcdcomd 15926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) gcd 𝑅) = (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)))
39	23	simp1d 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
40		rpmul 16068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑆) = 1) → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1))
41	21, 20, 26, 40	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑆) = 1) → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1))
42	24, 39, 41	mp2and 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1)
43	38, 42	eqtrd 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) gcd 𝑅) = 1)
44	14	nncnd 11703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45	16	nncnd 11703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
46	15	nncnd 11703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	mul32d 10901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆))
48	44, 46, 45	mulassd 10715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆) = (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
49	48, 33	eqtrd 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆) = ((𝐵 / 2)↑2))
50	47, 49	eqtrd 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) · 𝑅) = ((𝐵 / 2)↑2))
51	36, 15, 19, 43, 50	flt4lem4 40013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) = (((𝑀 · 𝑆) gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ 𝑅 = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)))
52	51	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2))
53	52	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
54		gcdnncl 15919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
55	15, 19, 54	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 11703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
57	56	flt4lem 40009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
58	53, 57	eqtr4d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4))
59	14, 15	nnmulcld 11740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℕ)
60	59	nnzd 12138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℤ)
61	60, 26	gcdcomd 15926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) gcd 𝑆) = (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)))
62	26, 21	gcdcomd 15926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑆))
63	62, 39	eqtrd 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑅) = 1)
64		rpmul 16068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑅) = 1) → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1))
65	26, 20, 21, 64	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑅) = 1) → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1))
66	28, 63, 65	mp2and 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1)
67	61, 66	eqtrd 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) gcd 𝑆) = 1)
68	59, 16, 19, 67, 49	flt4lem4 40013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) = (((𝑀 · 𝑅) gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ 𝑆 = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)))
69	68	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2))
70	69	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = (((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
71		gcdnncl 15919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ) → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
72	16, 19, 71	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
73	72	nncnd 11703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
74	73	flt4lem 40009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4) = (((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
75	70, 74	eqtr4d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4))
76	58, 75	oveq12d 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))
77	11, 35, 76	3eqtr3d 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   − cmin 10921   / cdiv 11348  ℕcn 11687  2c2 11742  4c4 11744  ℤcz 12033  ↑cexp 13492  √csqrt 14653   ∥ cdvds 15668   gcd cgcd 15906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16081  df-numer 16143  df-denom 16144

This theorem is referenced by:  flt4lem7  40023