Theorem flt4lem5f 43114

Description: Final equation of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. Given 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2, provide a smaller solution. This satisfies the infinite descent condition. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5f	⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))

Proof of Theorem flt4lem5f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2		flt4lem5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3		flt4lem5a.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
4		flt4lem5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
5		flt4lem5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
7		flt4lem5a.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
8		flt4lem5a.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
9		flt4lem5a.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
10		flt4lem5a.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	flt4lem5d 43112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	flt4lem5e 43113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))
13	12	simp2d 1149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
14	13	simp3d 1150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
15	13	simp1d 1148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	13	simp2d 1149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
17	15, 16	nnmulcld 12228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
18	12	simp3d 1150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
19	18	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
20	14	nnzd 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	15	nnzd 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
22	20, 21	gcdcomd 16481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑀))
23	12	simp1d 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
24	23	simp2d 1149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
25	22, 24	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑅) = 1)
26	16	nnzd 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
27	20, 26	gcdcomd 16481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑆) = (𝑆 gcd 𝑀))
28	23	simp3d 1150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
29	27, 28	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑆) = 1)
30		rpmul 16626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑅) = 1 ∧ (𝑀 gcd 𝑆) = 1) → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1))
31	20, 21, 26, 30	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 gcd 𝑅) = 1 ∧ (𝑀 gcd 𝑆) = 1) → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1))
32	25, 29, 31	mp2and 705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1)
33	18	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
34	14, 17, 19, 32, 33	flt4lem4 43106	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ (𝑅 · 𝑆) = (((𝑅 · 𝑆) gcd (𝐵 / 2))↑2)))
35	34	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2))
36	14, 16	nnmulcld 12228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑆) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑆) ∈ ℤ)
38	37, 21	gcdcomd 16481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) gcd 𝑅) = (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)))
39	23	simp1d 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
40		rpmul 16626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑆) = 1) → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1))
41	21, 20, 26, 40	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑆) = 1) → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1))
42	24, 39, 41	mp2and 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1)
43	38, 42	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) gcd 𝑅) = 1)
44	14	nncnd 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45	16	nncnd 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
46	15	nncnd 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	mul32d 11354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆))
48	44, 46, 45	mulassd 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆) = (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
49	48, 33	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆) = ((𝐵 / 2)↑2))
50	47, 49	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) · 𝑅) = ((𝐵 / 2)↑2))
51	36, 15, 19, 43, 50	flt4lem4 43106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) = (((𝑀 · 𝑆) gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ 𝑅 = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)))
52	51	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2))
53	52	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
54		gcdnncl 16474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
55	15, 19, 54	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
57	56	flt4lem 43102	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
58	53, 57	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4))
59	14, 15	nnmulcld 12228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℕ)
60	59	nnzd 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℤ)
61	60, 26	gcdcomd 16481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) gcd 𝑆) = (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)))
62	26, 21	gcdcomd 16481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑆))
63	62, 39	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑅) = 1)
64		rpmul 16626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑅) = 1) → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1))
65	26, 20, 21, 64	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑅) = 1) → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1))
66	28, 63, 65	mp2and 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1)
67	61, 66	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) gcd 𝑆) = 1)
68	59, 16, 19, 67, 49	flt4lem4 43106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) = (((𝑀 · 𝑅) gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ 𝑆 = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)))
69	68	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2))
70	69	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = (((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
71		gcdnncl 16474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ) → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
72	16, 19, 71	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
73	72	nncnd 12188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
74	73	flt4lem 43102	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4) = (((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
75	70, 74	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4))
76	58, 75	oveq12d 7381	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))
77	11, 35, 76	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  4c4 12236  ℤcz 12522  ↑cexp 14021  √csqrt 15193   ∥ cdvds 16219   gcd cgcd 16461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-numer 16703  df-denom 16704

This theorem is referenced by:  flt4lem7  43116