Theorem flt4lem5f 40531

Description: Final equation of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. Given 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2, provide a smaller solution. This satisfies the infinite descent condition. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5f	⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))

Proof of Theorem flt4lem5f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2		flt4lem5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3		flt4lem5a.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
4		flt4lem5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
5		flt4lem5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
7		flt4lem5a.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
8		flt4lem5a.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
9		flt4lem5a.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
10		flt4lem5a.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	flt4lem5d 40529	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	flt4lem5e 40530	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))
13	12	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
14	13	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
15	13	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	13	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
17	15, 16	nnmulcld 12072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
18	12	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
19	18	simprd 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
20	14	nnzd 12471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	15	nnzd 12471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
22	20, 21	gcdcomd 16266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑀))
23	12	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
24	23	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
25	22, 24	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑅) = 1)
26	16	nnzd 12471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
27	20, 26	gcdcomd 16266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑆) = (𝑆 gcd 𝑀))
28	23	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
29	27, 28	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑆) = 1)
30		rpmul 16409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑅) = 1 ∧ (𝑀 gcd 𝑆) = 1) → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1))
31	20, 21, 26, 30	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 gcd 𝑅) = 1 ∧ (𝑀 gcd 𝑆) = 1) → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1))
32	25, 29, 31	mp2and 697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1)
33	18	simpld 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
34	14, 17, 19, 32, 33	flt4lem4 40523	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ (𝑅 · 𝑆) = (((𝑅 · 𝑆) gcd (𝐵 / 2))↑2)))
35	34	simpld 496	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2))
36	14, 16	nnmulcld 12072	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑆) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 12471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑆) ∈ ℤ)
38	37, 21	gcdcomd 16266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) gcd 𝑅) = (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)))
39	23	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
40		rpmul 16409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑆) = 1) → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1))
41	21, 20, 26, 40	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑆) = 1) → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1))
42	24, 39, 41	mp2and 697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1)
43	38, 42	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) gcd 𝑅) = 1)
44	14	nncnd 12035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45	16	nncnd 12035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
46	15	nncnd 12035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	mul32d 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆))
48	44, 46, 45	mulassd 11044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆) = (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
49	48, 33	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆) = ((𝐵 / 2)↑2))
50	47, 49	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) · 𝑅) = ((𝐵 / 2)↑2))
51	36, 15, 19, 43, 50	flt4lem4 40523	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) = (((𝑀 · 𝑆) gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ 𝑅 = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)))
52	51	simprd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2))
53	52	oveq1d 7322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
54		gcdnncl 16259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
55	15, 19, 54	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
57	56	flt4lem 40519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
58	53, 57	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4))
59	14, 15	nnmulcld 12072	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℕ)
60	59	nnzd 12471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℤ)
61	60, 26	gcdcomd 16266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) gcd 𝑆) = (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)))
62	26, 21	gcdcomd 16266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑆))
63	62, 39	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑅) = 1)
64		rpmul 16409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑅) = 1) → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1))
65	26, 20, 21, 64	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑅) = 1) → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1))
66	28, 63, 65	mp2and 697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1)
67	61, 66	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) gcd 𝑆) = 1)
68	59, 16, 19, 67, 49	flt4lem4 40523	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) = (((𝑀 · 𝑅) gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ 𝑆 = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)))
69	68	simprd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2))
70	69	oveq1d 7322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = (((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
71		gcdnncl 16259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ) → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
72	16, 19, 71	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
73	72	nncnd 12035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
74	73	flt4lem 40519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4) = (((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
75	70, 74	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4))
76	58, 75	oveq12d 7325	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))
77	11, 35, 76	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922   − cmin 11251   / cdiv 11678  ℕcn 12019  2c2 12074  4c4 12076  ℤcz 12365  ↑cexp 13828  √csqrt 14989   ∥ cdvds 16008   gcd cgcd 16246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-fz 13286  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-gcd 16247  df-prm 16422  df-numer 16484  df-denom 16485

This theorem is referenced by:  flt4lem7  40533