Theorem flt4lem5f 42630

Description: Final equation of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. Given 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2, provide a smaller solution. This satisfies the infinite descent condition. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5f	⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))

Proof of Theorem flt4lem5f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2		flt4lem5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3		flt4lem5a.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
4		flt4lem5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
5		flt4lem5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
7		flt4lem5a.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
8		flt4lem5a.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
9		flt4lem5a.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
10		flt4lem5a.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	flt4lem5d 42628	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	flt4lem5e 42629	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))
13	12	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
14	13	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
15	13	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	13	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
17	15, 16	nnmulcld 12199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
18	12	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
19	18	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
20	14	nnzd 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	15	nnzd 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
22	20, 21	gcdcomd 16443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑀))
23	12	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
24	23	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑀) = 1)
25	22, 24	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑅) = 1)
26	16	nnzd 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
27	20, 26	gcdcomd 16443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑆) = (𝑆 gcd 𝑀))
28	23	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑀) = 1)
29	27, 28	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑆) = 1)
30		rpmul 16588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑅) = 1 ∧ (𝑀 gcd 𝑆) = 1) → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1))
31	20, 21, 26, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 gcd 𝑅) = 1 ∧ (𝑀 gcd 𝑆) = 1) → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1))
32	25, 29, 31	mp2and 699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑅 · 𝑆)) = 1)
33	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
34	14, 17, 19, 32, 33	flt4lem4 42622	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ (𝑅 · 𝑆) = (((𝑅 · 𝑆) gcd (𝐵 / 2))↑2)))
35	34	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2))
36	14, 16	nnmulcld 12199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑆) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑆) ∈ ℤ)
38	37, 21	gcdcomd 16443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) gcd 𝑅) = (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)))
39	23	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
40		rpmul 16588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑆) = 1) → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1))
41	21, 20, 26, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑆) = 1) → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1))
42	24, 39, 41	mp2and 699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑀 · 𝑆)) = 1)
43	38, 42	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) gcd 𝑅) = 1)
44	14	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45	16	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
46	15	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	mul32d 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆))
48	44, 46, 45	mulassd 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆) = (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
49	48, 33	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) · 𝑆) = ((𝐵 / 2)↑2))
50	47, 49	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) · 𝑅) = ((𝐵 / 2)↑2))
51	36, 15, 19, 43, 50	flt4lem4 42622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑆) = (((𝑀 · 𝑆) gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ 𝑅 = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)))
52	51	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2))
53	52	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
54		gcdnncl 16436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
55	15, 19, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
57	56	flt4lem 42618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
58	53, 57	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) = ((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4))
59	14, 15	nnmulcld 12199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℕ)
60	59	nnzd 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℤ)
61	60, 26	gcdcomd 16443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) gcd 𝑆) = (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)))
62	26, 21	gcdcomd 16443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑆))
63	62, 39	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd 𝑅) = 1)
64		rpmul 16588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑅) = 1) → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1))
65	26, 20, 21, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑅) = 1) → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1))
66	28, 63, 65	mp2and 699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝑀 · 𝑅)) = 1)
67	61, 66	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) gcd 𝑆) = 1)
68	59, 16, 19, 67, 49	flt4lem4 42622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) = (((𝑀 · 𝑅) gcd (𝐵 / 2))↑2) ∧ 𝑆 = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)))
69	68	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2))
70	69	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = (((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
71		gcdnncl 16436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ) → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
72	16, 19, 71	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℕ)
73	72	nncnd 12162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 gcd (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
74	73	flt4lem 42618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4) = (((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑2)↑2))
75	70, 74	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4))
76	58, 75	oveq12d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))
77	11, 35, 76	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (𝐵 / 2))↑2) = (((𝑅 gcd (𝐵 / 2))↑4) + ((𝑆 gcd (𝐵 / 2))↑4)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  4c4 12203  ℤcz 12489  ↑cexp 13986  √csqrt 15158   ∥ cdvds 16181   gcd cgcd 16423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-numer 16664  df-denom 16665

This theorem is referenced by:  flt4lem7  42632