Proof of Theorem 2lgslem3c
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 /
4))) |
| 2 | | oveq1 7438 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) −
1)) |
| 3 | 2 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8
· 𝐾) + 5) − 1)
/ 2)) |
| 4 | | fvoveq1 7454 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) →
(⌊‘(𝑃 / 4)) =
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) |
| 5 | 3, 4 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 / 4))) =
(((((8 · 𝐾) + 5)
− 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))) |
| 6 | 1, 5 | eqtrid 2789 |
. 2
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) −
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))) |
| 7 | | 8nn0 12549 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℕ0 |
| 8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℕ0) |
| 9 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 10 | 8, 9 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
| 11 | 10 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℂ) |
| 12 | | 5cn 12354 |
. . . . . . . . 9
⊢ 5 ∈
ℂ |
| 13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 5 ∈ ℂ) |
| 14 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
| 15 | 11, 13, 14 | addsubassd 11640 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1))) |
| 16 | | 4t2e8 12434 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (4
· 2) = 8 |
| 17 | 16 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 = (4
· 2) |
| 18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 = (4 · 2)) |
| 19 | 18 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((4
· 2) · 𝐾)) |
| 20 | | 4cn 12351 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℂ |
| 21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℂ) |
| 22 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℂ) |
| 24 | | nn0cn 12536 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℂ) |
| 25 | 21, 23, 24 | mul32d 11471 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2)) |
| 26 | 19, 25 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((4
· 𝐾) ·
2)) |
| 27 | | 5m1e4 12396 |
. . . . . . . . 9
⊢ (5
− 1) = 4 |
| 28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (5 − 1) = 4) |
| 29 | 26, 28 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) + (5
− 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4)) |
| 30 | 15, 29 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4)) |
| 31 | 30 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2)) |
| 32 | | 4nn0 12545 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
| 33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ0) |
| 34 | 33, 9 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
| 35 | 34 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℂ) |
| 36 | 35, 23 | mulcld 11281 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
· 2) ∈ ℂ) |
| 37 | | 2rp 13039 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℝ+) |
| 39 | 38 | rpcnne0d 13086 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
| 40 | | divdir 11947 |
. . . . . 6
⊢ ((((4
· 𝐾) · 2)
∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 /
2))) |
| 41 | 36, 21, 39, 40 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 /
2))) |
| 42 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ≠
0 |
| 43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ≠ 0) |
| 44 | 35, 23, 43 | divcan4d 12049 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾)
· 2) / 2) = (4 · 𝐾)) |
| 45 | | 4d2e2 12436 |
. . . . . . 7
⊢ (4 / 2) =
2 |
| 46 | 45 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 / 2) = 2) |
| 47 | 44, 46 | oveq12d 7449 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2)) |
| 48 | 31, 41, 47 | 3eqtrd 2781 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2)) |
| 49 | | 4ne0 12374 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ≠
0 |
| 50 | 20, 49 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
ℂ ∧ 4 ≠ 0) |
| 51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) |
| 52 | | divdir 11947 |
. . . . . . . 8
⊢ (((8
· 𝐾) ∈ ℂ
∧ 5 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8
· 𝐾) + 5) / 4) =
(((8 · 𝐾) / 4) + (5
/ 4))) |
| 53 | 11, 13, 51, 52 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
5) / 4) = (((8 · 𝐾)
/ 4) + (5 / 4))) |
| 54 | | 8cn 12363 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℂ |
| 55 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℂ) |
| 56 | | div23 11941 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((8
∈ ℂ ∧ 𝐾
∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 ·
𝐾) / 4) = ((8 / 4) ·
𝐾)) |
| 57 | 55, 24, 51, 56 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= ((8 / 4) · 𝐾)) |
| 58 | 17 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (8 / 4) =
((4 · 2) / 4) |
| 59 | 22, 20, 49 | divcan3i 12013 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((4
· 2) / 4) = 2 |
| 60 | 58, 59 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (8 / 4) =
2 |
| 61 | 60 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 / 4) = 2) |
| 62 | 61 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 / 4) · 𝐾)
= (2 · 𝐾)) |
| 63 | 57, 62 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= (2 · 𝐾)) |
| 64 | 63 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) /
4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4))) |
| 65 | 53, 64 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
5) / 4) = ((2 · 𝐾) +
(5 / 4))) |
| 66 | 65 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 ·
𝐾) + (5 /
4)))) |
| 67 | | 1lt4 12442 |
. . . . . 6
⊢ 1 <
4 |
| 68 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 69 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℕ0) |
| 70 | 69, 9 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
| 71 | 70 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℤ) |
| 72 | 71 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝐾) + 1)
∈ ℤ) |
| 73 | | 1nn0 12542 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
| 74 | 73 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℕ0) |
| 75 | | 4nn 12349 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℕ |
| 76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ) |
| 77 | | adddivflid 13858 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((2
· 𝐾) + 1) ∈
ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1
< 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
| 78 | 72, 74, 76, 77 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
| 79 | 23, 24 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
| 80 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ≠ 0) |
| 81 | 21, 80 | reccld 12036 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 / 4) ∈ ℂ) |
| 82 | 79, 14, 81 | addassd 11283 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝐾) +
1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4)))) |
| 83 | | df-5 12332 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 5 = (4 +
1) |
| 84 | 83 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (5 / 4) =
((4 + 1) / 4) |
| 85 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 86 | 20, 85, 20, 49 | divdiri 12024 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((4 + 1)
/ 4) = ((4 / 4) + (1 / 4)) |
| 87 | 20, 49 | dividi 12000 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (4 / 4) =
1 |
| 88 | 87 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((4 / 4)
+ (1 / 4)) = (1 + (1 / 4)) |
| 89 | 84, 86, 88 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (5 / 4) =
(1 + (1 / 4)) |
| 90 | 89 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (5 / 4) = (1 + (1 / 4))) |
| 91 | 90 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 + (1 / 4)) = (5 / 4)) |
| 92 | 91 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝐾) + (1
+ (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4))) |
| 93 | 82, 92 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝐾) +
1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4))) |
| 94 | 93 | fveqeq2d 6914 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2
· 𝐾) + (5 / 4))) =
((2 · 𝐾) +
1))) |
| 95 | 78, 94 | bitrd 279 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
| 96 | 67, 95 | mpbii 233 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
| 97 | 66, 96 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
| 98 | 48, 97 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 ·
𝐾) + 1))) |
| 99 | 70 | nn0cnd 12589 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
| 100 | 35, 23, 99, 14 | addsub4d 11667 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾) +
2) − ((2 · 𝐾)
+ 1)) = (((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) +
(2 − 1))) |
| 101 | | 2t2e4 12430 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2
· 2) = 4 |
| 102 | 101 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 = (2
· 2) |
| 103 | 102 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 = (2 · 2)) |
| 104 | 103 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = ((2
· 2) · 𝐾)) |
| 105 | 23, 23, 24 | mulassd 11284 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾))) |
| 106 | 104, 105 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = (2
· (2 · 𝐾))) |
| 107 | 106 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾))) |
| 108 | | 2txmxeqx 12406 |
. . . . . 6
⊢ ((2
· 𝐾) ∈ ℂ
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
| 109 | 99, 108 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
| 110 | 107, 109 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
(2 · 𝐾)) |
| 111 | | 2m1e1 12392 |
. . . . 5
⊢ (2
− 1) = 1 |
| 112 | 111 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 − 1) = 1) |
| 113 | 110, 112 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) +
(2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
| 114 | 98, 100, 113 | 3eqtrd 2781 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
| 115 | 6, 114 | sylan9eqr 2799 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ 𝑃 = ((8 ·
𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1)) |