Theorem 2lgslem3c 27782

Description: Lemma for 2lgslem3c1 27786. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3c	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 7458	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) − 1))
3	2	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2))
4		fvoveq1 7474	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
7		8nn0 12669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		5cn 12471	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 5 ∈ ℂ)
14		1cnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	11, 13, 14	addsubassd 11728	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1)))
16		4t2e8 12551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
17	16	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
19	18	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20		4cn 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22		2cn 12458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	mul32d 11559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
26	19, 25	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27		5m1e4 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 − 1) = 4
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 − 1) = 4)
29	26, 28	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (5 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
30	15, 29	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
31	30	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2))
32		4nn0 12665	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
34	33, 9	nn0mulcld 12712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
36	35, 23	mulcld 11368	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37		2rp 13165	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
39	38	rpcnne0d 13213	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
40		divdir 12039	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
41	36, 21, 39, 40	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
42		2ne0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
44	35, 23, 43	divcan4d 12139	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
45		4div2e2 12554	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 2) = 2
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 / 2) = 2)
47	44, 46	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2))
48	31, 41, 47	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2))
49		4ne0 12494	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
50	20, 49	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
52		divdir 12039	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
53	11, 13, 51, 52	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
54		8cn 12480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
56		div23 12033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
57	55, 24, 51, 56	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
58	17	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
59	22, 20, 49	divcan3i 12103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
60	58, 59	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
62	61	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
63	57, 62	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
64	63	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
65	53, 64	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
66	65	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
67		1lt4 12561	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
68		2nn0 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
70	69, 9	nn0mulcld 12712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
71	70	nn0zd 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
72	71	peano2zd 12846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
73		1nn0 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
75		4nn 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
77		adddivflid 13998	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
78	72, 74, 76, 77	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
79	23, 24	mulcld 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
80	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
81	21, 80	reccld 12126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 / 4) ∈ ℂ)
82	79, 14, 81	addassd 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))))
83		df-5 12448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = (4 + 1)
84	83	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
85		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
86	20, 85, 20, 49	divdiri 12114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
87	20, 49	dividi 12090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 4) = 1
88	87	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
89	84, 86, 88	3eqtri 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 / 4) = (1 + (1 / 4)))
91	90	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (1 / 4)) = (5 / 4))
92	91	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
93	82, 92	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
94	93	fveqeq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
95	78, 94	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
96	67, 95	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
97	66, 96	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
98	48, 97	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)))
99	70	nn0cnd 12709	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
100	35, 23, 99, 14	addsub4d 11755	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)))
101		2t2e4 12546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
102	101	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
104	103	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
105	23, 23, 24	mulassd 11371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
106	104, 105	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
107	106	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
108		2txmxeqx 12522	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
109	99, 108	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
110	107, 109	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
111		2m1e1 12507	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
112	111	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
113	110, 112	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1))
114	98, 100, 113	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
115	6, 114	sylan9eqr 2820	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  4c4 12439  5c5 12440  8c8 12443  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℝ⁺crp 13160  ⌊cfl 13970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fl 13972

This theorem is used by:  2lgslem3c1  27786