MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3c 25976
Description: Lemma for 2lgslem3c1 25980. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3c ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3c
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 7165 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) − 1))
32oveq1d 7173 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2))
4 fvoveq1 7181 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))
53, 4oveq12d 7176 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
61, 5syl5eq 2870 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
7 8nn0 11923 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 11963 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11960 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 5cn 11728 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 5 ∈ ℂ)
14 1cnd 10638 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1511, 13, 14addsubassd 11019 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1)))
16 4t2e8 11808 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1716eqcomi 2832 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
1918oveq1d 7173 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20 4cn 11725 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22 2cn 11715 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24 nn0cn 11910 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2521, 23, 24mul32d 10852 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2619, 25eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27 5m1e4 11770 . . . . . . . . 9 (5 − 1) = 4
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 − 1) = 4)
2926, 28oveq12d 7176 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (5 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
3015, 29eqtrd 2858 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
3130oveq1d 7173 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2))
32 4nn0 11919 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3433, 9nn0mulcld 11963 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 11960 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
3635, 23mulcld 10663 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37 2rp 12397 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
3837a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
3938rpcnne0d 12443 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
40 divdir 11325 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
4136, 21, 39, 40syl3anc 1367 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
42 2ne0 11744 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
4435, 23, 43divcan4d 11424 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
45 4d2e2 11810 . . . . . . 7 (4 / 2) = 2
4645a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 / 2) = 2)
4744, 46oveq12d 7176 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2))
4831, 41, 473eqtrd 2862 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2))
49 4ne0 11748 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
5020, 49pm3.2i 473 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
52 divdir 11325 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
5311, 13, 51, 52syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
54 8cn 11737 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
56 div23 11319 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
5755, 24, 51, 56syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
5817oveq1i 7168 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
5922, 20, 49divcan3i 11388 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
6058, 59eqtri 2846 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
6261oveq1d 7173 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
6357, 62eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
6463oveq1d 7173 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
6553, 64eqtrd 2858 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
6665fveq2d 6676 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
67 1lt4 11816 . . . . . 6 1 < 4
68 2nn0 11917 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7069, 9nn0mulcld 11963 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
7170nn0zd 12088 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
7271peano2zd 12093 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
73 1nn0 11916 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
75 4nn 11723 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
7675a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
77 adddivflid 13191 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
7872, 74, 76, 77syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
7923, 24mulcld 10663 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
8049a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
8121, 80reccld 11411 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 / 4) ∈ ℂ)
8279, 14, 81addassd 10665 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))))
83 df-5 11706 . . . . . . . . . . . . . 14 5 = (4 + 1)
8483oveq1i 7168 . . . . . . . . . . . . 13 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
85 ax-1cn 10597 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
8620, 85, 20, 49divdiri 11399 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
8720, 49dividi 11375 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 4) = 1
8887oveq1i 7168 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
8984, 86, 883eqtri 2850 . . . . . . . . . . . 12 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 / 4) = (1 + (1 / 4)))
9190eqcomd 2829 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (1 / 4)) = (5 / 4))
9291oveq2d 7174 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
9382, 92eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
9493fveqeq2d 6680 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
9578, 94bitrd 281 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
9667, 95mpbii 235 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
9766, 96eqtrd 2858 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
9848, 97oveq12d 7176 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)))
9970nn0cnd 11960 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
10035, 23, 99, 14addsub4d 11046 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)))
101 2t2e4 11804 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
102101eqcomi 2832 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
104103oveq1d 7173 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
10523, 23, 24mulassd 10666 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
106104, 105eqtrd 2858 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
107106oveq1d 7173 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
108 2txmxeqx 11780 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
10999, 108syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
110107, 109eqtrd 2858 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
111 2m1e1 11766 . . . . 5 (2 − 1) = 1
112111a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
113110, 112oveq12d 7176 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1))
11498, 100, 1133eqtrd 2862 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
1156, 114sylan9eqr 2880 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3018   class class class wbr 5068  cfv 6357  (class class class)co 7158  cc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677  cmin 10872   / cdiv 11299  cn 11640  2c2 11695  4c4 11697  5c5 11698  8c8 11701  0cn0 11900  cz 11984  +crp 12392  cfl 13163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165
This theorem is referenced by:  2lgslem3c1  25980
  Copyright terms: Public domain W3C validator