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Theorem itschlc0yqe 48610
Description: Lemma for itsclc0 48621. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a horizontal line and a circle. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
Assertion
Ref Expression
itschlc0yqe ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Proof of Theorem itschlc0yqe
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · (𝐵 · 𝑌)))
21oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) = (2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))))
32oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
43negeqd 11500 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
5 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (𝐶↑2) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
64, 5oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2)) = (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
76oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))))
87eqcoms 2743 . . . . . . . . 9 ((𝐵 · 𝑌) = 𝐶 → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))))
9 simp12 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
1211recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
1310, 12mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
1413sqcld 14181 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
15 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
1610, 13mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
1715, 16mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℂ)
1817, 12mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ)
1918negcld 11605 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ)
20 add32r 11479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ ∧ -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
2114, 19, 14, 20syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
2214, 14addcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) ∈ ℂ)
2322, 18negsubd 11624 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) − ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
2415, 16, 12mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) = (2 · ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌)))
2510, 13, 12mul32d 11469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌) · (𝐵 · 𝑌)))
2613sqvald 14180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵 · 𝑌) · (𝐵 · 𝑌)))
2725, 26eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
2827oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌)) = (2 · ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
29142timesd 12507 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
3024, 28, 293eqtrrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
3122, 30subeq0bd 11687 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) − ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = 0)
3223, 31eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = 0)
3321, 32eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = 0)
348, 33sylan9eqr 2797 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝐵 · 𝑌) = 𝐶) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0)
3534ex 412 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌) = 𝐶 → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0))
36 simp3l 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
3736recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
3837mul02d 11457 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 · 𝑋) = 0)
3938oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (0 + (𝐵 · 𝑌)))
4013addlidd 11460 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 + (𝐵 · 𝑌)) = (𝐵 · 𝑌))
4139, 40eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (𝐵 · 𝑌))
4241eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝑌) = 𝐶))
4310sqcld 14181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4443addlidd 11460 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
4544oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
4610, 12sqmuld 14195 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
4745, 46eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
48 simp13 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4948recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5010, 49mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5115, 50mulcld 11279 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
5251, 12mulneg1d 11714 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
53 rpcn 13043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
5453sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
5554mul02d 11457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 · (𝑅↑2)) = 0)
5655oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − 0))
57563ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − 0))
5849sqcld 14181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
5958subid1d 11607 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − 0) = (𝐶↑2))
6057, 59eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = (𝐶↑2))
6152, 60oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2)))) = (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2)))
6247, 61oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))))
6362eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0))
6435, 42, 633imtr4d 294 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
65643exp 1118 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))))
66653adant1r 1176 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))))
67663imp 1110 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
6867adantld 490 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
69 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
7069oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
7170eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
7271anbi2d 630 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
73 itscnhlc0yqe.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
74 sq0i 14229 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
7574oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
7673, 75eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → 𝑄 = (0 + (𝐵↑2)))
7776oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝑄 · (𝑌↑2)) = ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
78 itscnhlc0yqe.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
7978oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
81 itscnhlc0yqe.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
8274oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) = (0 · (𝑅↑2)))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))
8481, 83eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → 𝑈 = ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))
8580, 84oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2)))))
8677, 85oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))))
8786eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
8872, 87imbi12d 344 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
8988adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
90893ad2ant1 1132 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
91903ad2ant1 1132 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
9268, 91mpbird 257 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  2c2 12319  +crp 13032  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  itsclc0yqe  48611
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