itschlc0yqe - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itschlc0yqe 44767

Description: Lemma for itsclc0 44778. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a horizontal line and a circle. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
itschlc0yqe	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

**Proof of Theorem itschlc0yqe**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · (𝐵 · 𝑌)))
2	1	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) = (2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))))
3	2	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
4	3	negeqd 10880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
5		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (𝐶↑2) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
6	4, 5	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2)) = (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
7	6	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))))
8	7	eqcoms 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 · 𝑌) = 𝐶 → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))))
9		simp12 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		simp3r 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
12	11	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
14	13	sqcld 13509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
15		2cnd 11716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
16	10, 13	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
17	15, 16	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℂ)
18	17, 12	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ)
19	18	negcld 10984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ)
20		add32r 10859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ ∧ -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
21	14, 19, 14, 20	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
22	14, 14	addcld 10660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) ∈ ℂ)
23	22, 18	negsubd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) − ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
24	15, 16, 12	mulassd 10664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) = (2 · ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌)))
25	10, 13, 12	mul32d 10850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌) · (𝐵 · 𝑌)))
26	13	sqvald 13508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵 · 𝑌) · (𝐵 · 𝑌)))
27	25, 26	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
28	27	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌)) = (2 · ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
29	14	2timesd 11881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
30	24, 28, 29	3eqtrrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
31	22, 30	subeq0bd 11066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) − ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = 0)
32	23, 31	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = 0)
33	21, 32	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = 0)
34	8, 33	sylan9eqr 2878	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝐵 · 𝑌) = 𝐶) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0)
35	34	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌) = 𝐶 → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0))
36		simp3l 1197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
37	36	recnd 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38	37	mul02d 10838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 · 𝑋) = 0)
39	38	oveq1d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (0 + (𝐵 · 𝑌)))
40	13	addid2d 10841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 + (𝐵 · 𝑌)) = (𝐵 · 𝑌))
41	39, 40	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (𝐵 · 𝑌))
42	41	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝑌) = 𝐶))
43	10	sqcld 13509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
44	43	addid2d 10841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
45	44	oveq1d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
46	10, 12	sqmuld 13523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
47	45, 46	eqtr4d 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
48		simp13 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
49	48	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
50	10, 49	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
51	15, 50	mulcld 10661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
52	51, 12	mulneg1d 11093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
53		rpcn 12400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
54	53	sqcld 13509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
55	54	mul02d 10838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 · (𝑅↑2)) = 0)
56	55	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − 0))
57	56	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − 0))
58	49	sqcld 13509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
59	58	subid1d 10986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − 0) = (𝐶↑2))
60	57, 59	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = (𝐶↑2))
61	52, 60	oveq12d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2)))) = (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2)))
62	47, 61	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))))
63	62	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0))
64	35, 42, 63	3imtr4d 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
65	64	3exp 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))))
66	65	3adant1r 1173	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))))
67	66	3imp 1107	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
68	67	adantld 493	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
69		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
70	69	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
71	70	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
72	71	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
73		itscnhlc0yqe.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
74		sq0i 13557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
75	74	oveq1d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
76	73, 75	syl5eq 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝑄 = (0 + (𝐵↑2)))
77	76	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑄 · (𝑌↑2)) = ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
78		itscnhlc0yqe.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
79	78	oveq1i 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
81		itscnhlc0yqe.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
82	74	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) = (0 · (𝑅↑2)))
83	82	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))
84	81, 83	syl5eq 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝑈 = ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))
85	80, 84	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2)))))
86	77, 85	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))))
87	86	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
88	72, 87	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
89	88	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
90	89	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
91	90	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
92	68, 91	mpbird 259	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 + caddc 10540 · cmul 10542 − cmin 10870 -cneg 10871 2c2 11693 ℝ⁺crp 12390 ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-nn 11639 df-2 11701 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-rp 12391 df-seq 13371 df-exp 13431

This theorem is referenced by: itsclc0yqe 44768

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