itschlc0yqe - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itschlc0yqe 48686

Description: Lemma for itsclc0 48697. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a horizontal line and a circle. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
itschlc0yqe	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

**Proof of Theorem itschlc0yqe**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · (𝐵 · 𝑌)))
2	1	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) = (2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))))
3	2	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
4	3	negeqd 11503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
5		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (𝐶↑2) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
6	4, 5	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2)) = (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
7	6	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))))
8	7	eqcoms 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 · 𝑌) = 𝐶 → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))))
9		simp12 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		simp3r 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
14	13	sqcld 14185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
15		2cnd 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
16	10, 13	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
17	15, 16	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℂ)
18	17, 12	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ)
19	18	negcld 11608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ)
20		add32r 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ ∧ -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
21	14, 19, 14, 20	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
22	14, 14	addcld 11281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) ∈ ℂ)
23	22, 18	negsubd 11627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) − ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
24	15, 16, 12	mulassd 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) = (2 · ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌)))
25	10, 13, 12	mul32d 11472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌) · (𝐵 · 𝑌)))
26	13	sqvald 14184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵 · 𝑌) · (𝐵 · 𝑌)))
27	25, 26	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
28	27	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌)) = (2 · ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
29	14	2timesd 12511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
30	24, 28, 29	3eqtrrd 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
31	22, 30	subeq0bd 11690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) − ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = 0)
32	23, 31	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = 0)
33	21, 32	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = 0)
34	8, 33	sylan9eqr 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝐵 · 𝑌) = 𝐶) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0)
35	34	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌) = 𝐶 → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0))
36		simp3l 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
37	36	recnd 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
38	37	mul02d 11460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 · 𝑋) = 0)
39	38	oveq1d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (0 + (𝐵 · 𝑌)))
40	13	addlidd 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 + (𝐵 · 𝑌)) = (𝐵 · 𝑌))
41	39, 40	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (𝐵 · 𝑌))
42	41	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝑌) = 𝐶))
43	10	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
44	43	addlidd 11463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
45	44	oveq1d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
46	10, 12	sqmuld 14199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
47	45, 46	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
48		simp13 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
49	48	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
50	10, 49	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
51	15, 50	mulcld 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
52	51, 12	mulneg1d 11717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
53		rpcn 13046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
54	53	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
55	54	mul02d 11460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 · (𝑅↑2)) = 0)
56	55	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − 0))
57	56	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − 0))
58	49	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
59	58	subid1d 11610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − 0) = (𝐶↑2))
60	57, 59	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = (𝐶↑2))
61	52, 60	oveq12d 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2)))) = (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2)))
62	47, 61	oveq12d 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))))
63	62	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0))
64	35, 42, 63	3imtr4d 294	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
65	64	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))))
66	65	3adant1r 1177	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))))
67	66	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
68	67	adantld 490	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
69		oveq1 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
70	69	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
71	70	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
72	71	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
73		itscnhlc0yqe.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
74		sq0i 14233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
75	74	oveq1d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
76	73, 75	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝑄 = (0 + (𝐵↑2)))
77	76	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑄 · (𝑌↑2)) = ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
78		itscnhlc0yqe.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
79	78	oveq1i 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
81		itscnhlc0yqe.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
82	74	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) = (0 · (𝑅↑2)))
83	82	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))
84	81, 83	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝑈 = ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))
85	80, 84	oveq12d 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2)))))
86	77, 85	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))))
87	86	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
88	72, 87	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
89	88	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
90	89	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
91	90	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
92	68, 91	mpbird 257	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 (class class class)co 7432 ℂcc 11154 ℝcr 11155 0cc0 11156 + caddc 11159 · cmul 11161 − cmin 11493 -cneg 11494 2c2 12322 ℝ⁺crp 13035 ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4907 df-iun 4992 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-om 7889 df-2nd 8016 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-er 8746 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-nn 12268 df-2 12330 df-n0 12529 df-z 12616 df-uz 12880 df-rp 13036 df-seq 14044 df-exp 14104

This theorem is referenced by: itsclc0yqe 48687

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