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Theorem itschlc0yqe 46836
Description: Lemma for itsclc0 46847. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a horizontal line and a circle. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
Assertion
Ref Expression
itschlc0yqe ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Proof of Theorem itschlc0yqe
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · (𝐵 · 𝑌)))
21oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) = (2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))))
32oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
43negeqd 11395 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
5 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (𝐶↑2) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
64, 5oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2)) = (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
76oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = (𝐵 · 𝑌) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))))
87eqcoms 2744 . . . . . . . . 9 ((𝐵 · 𝑌) = 𝐶 → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))))
9 simp12 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
1211recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
1310, 12mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
1413sqcld 14049 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
15 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
1610, 13mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
1715, 16mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℂ)
1817, 12mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ)
1918negcld 11499 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ)
20 add32r 11374 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ ∧ -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
2114, 19, 14, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
2214, 14addcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) ∈ ℂ)
2322, 18negsubd 11518 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) − ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)))
2415, 16, 12mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) = (2 · ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌)))
2510, 13, 12mul32d 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌) · (𝐵 · 𝑌)))
2613sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵 · 𝑌) · (𝐵 · 𝑌)))
2725, 26eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
2827oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · (𝐵 · 𝑌)) · 𝑌)) = (2 · ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
29142timesd 12396 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
3024, 28, 293eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌))
3122, 30subeq0bd 11581 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) − ((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = 0)
3223, 31eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + -((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌)) = 0)
3321, 32eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · (𝐵 · 𝑌))) · 𝑌) + ((𝐵 · 𝑌)↑2))) = 0)
348, 33sylan9eqr 2798 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝐵 · 𝑌) = 𝐶) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0)
3534ex 413 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌) = 𝐶 → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0))
36 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
3736recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
3837mul02d 11353 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 · 𝑋) = 0)
3938oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (0 + (𝐵 · 𝑌)))
4013addid2d 11356 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 + (𝐵 · 𝑌)) = (𝐵 · 𝑌))
4139, 40eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (𝐵 · 𝑌))
4241eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝑌) = 𝐶))
4310sqcld 14049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4443addid2d 11356 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
4544oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
4610, 12sqmuld 14063 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
4745, 46eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) = ((𝐵 · 𝑌)↑2))
48 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4948recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5010, 49mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5115, 50mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
5251, 12mulneg1d 11608 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
53 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
5453sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
5554mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 · (𝑅↑2)) = 0)
5655oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − 0))
57563ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − 0))
5849sqcld 14049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
5958subid1d 11501 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − 0) = (𝐶↑2))
6057, 59eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))) = (𝐶↑2))
6152, 60oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2)))) = (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2)))
6247, 61oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))))
6362eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ (((𝐵 · 𝑌)↑2) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + (𝐶↑2))) = 0))
6435, 42, 633imtr4d 293 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
65643exp 1119 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))))
66653adant1r 1177 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))))
67663imp 1111 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
6867adantld 491 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
69 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
7069oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
7170eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
7271anbi2d 629 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
73 itscnhlc0yqe.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
74 sq0i 14097 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
7574oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
7673, 75eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → 𝑄 = (0 + (𝐵↑2)))
7776oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝑄 · (𝑌↑2)) = ((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
78 itscnhlc0yqe.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
7978oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
81 itscnhlc0yqe.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
8274oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) = (0 · (𝑅↑2)))
8382oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))
8481, 83eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → 𝑈 = ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))
8580, 84oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2)))))
8677, 85oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))))
8786eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0))
8872, 87imbi12d 344 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
8988adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
90893ad2ant1 1133 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
91903ad2ant1 1133 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ↔ ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((0 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (((0 + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − (0 · (𝑅↑2))))) = 0)))
9268, 91mpbird 256 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386  2c2 12208  +crp 12915  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  itsclc0yqe  46837
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