Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem8 40349
Description: Derivative of (1-x)^(N-M). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem8.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem8.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem8.3 (𝜑𝑀 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem8 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem lcmineqlem8
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11066 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 1cnd 11072 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
53, 4subcld 11434 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
6 neg1cn 12189 . . . 4 -1 ∈ ℂ
76a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
8 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
9 lcmineqlem8.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 < 𝑁)
10 lcmineqlem8.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 12527 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 lcmineqlem8.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1312nnzd 12527 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
14 znnsub 12468 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
1511, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
169, 15mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 12395 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
198, 18expcld 13966 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
2012nncnd 12091 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
2210nncnd 12091 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2421, 23subcld 11434 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
25 nnm1nn0 12376 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2616, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
28 expcl 13902 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
298, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
3024, 29mulcld 11097 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) · (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
31 lcmineqlem7 40348 . . . 4 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1)
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1))
33 dvexp 25224 . . . 4 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁𝑀)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁𝑀) · (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)))))
3416, 33syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁𝑀)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁𝑀) · (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)))))
35 oveq1 7345 . . 3 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))
36 oveq1 7345 . . . 4 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))
3736oveq2d 7354 . . 3 (𝑦 = (1 − 𝑥) → ((𝑁𝑀) · (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
382, 2, 5, 7, 19, 30, 32, 34, 35, 37dvmptco 25243 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1)))
3920adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
4022adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4139, 40subcld 11434 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
42 ax-1cn 11031 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
43 subcl 11322 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
4442, 43mpan 687 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
45 expcl 13902 . . . . . . 7 (((1 − 𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
4644, 26, 45syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
4741, 46, 7mul32d 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1) = (((𝑁𝑀) · -1) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
4820, 22subcld 11434 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
496a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
5048, 49mulcomd 11098 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · -1) = (-1 · (𝑁𝑀)))
5150oveq1d 7353 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑀) · -1) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((-1 · (𝑁𝑀)) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5251adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑀) · -1) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((-1 · (𝑁𝑀)) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5347, 52eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1) = ((-1 · (𝑁𝑀)) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5448mulm1d 11529 . . . . . 6 (𝜑 → (-1 · (𝑁𝑀)) = -(𝑁𝑀))
5554adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · (𝑁𝑀)) = -(𝑁𝑀))
5655oveq1d 7353 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · (𝑁𝑀)) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5753, 56eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1) = (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5857mpteq2dva 5193 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
5938, 58eqtrd 2776 1 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  {cpr 4576   class class class wbr 5093  cmpt 5176  (class class class)co 7338  cc 10971  cr 10972  1c1 10974   · cmul 10978   < clt 11111  cmin 11307  -cneg 11308  cn 12075  0cn0 12335  cz 12421  cexp 13884   D cdv 25134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051  ax-addf 11052  ax-mulf 11053
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-iin 4945  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-of 7596  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-supp 8049  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-2o 8369  df-er 8570  df-map 8689  df-pm 8690  df-ixp 8758  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fsupp 9228  df-fi 9269  df-sup 9300  df-inf 9301  df-oi 9368  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-q 12791  df-rp 12833  df-xneg 12950  df-xadd 12951  df-xmul 12952  df-icc 13188  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-seq 13824  df-exp 13885  df-hash 14147  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20696  df-xmet 20697  df-met 20698  df-bl 20699  df-mopn 20700  df-fbas 20701  df-fg 20702  df-cnfld 20705  df-top 22150  df-topon 22167  df-topsp 22189  df-bases 22203  df-cld 22277  df-ntr 22278  df-cls 22279  df-nei 22356  df-lp 22394  df-perf 22395  df-cn 22485  df-cnp 22486  df-haus 22573  df-tx 22820  df-hmeo 23013  df-fil 23104  df-fm 23196  df-flim 23197  df-flf 23198  df-xms 23580  df-ms 23581  df-tms 23582  df-cncf 24148  df-limc 25137  df-dv 25138
This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  40351
  Copyright terms: Public domain W3C validator