Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem8 39317
 Description: Derivative of (1-x)^(N-M). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem8.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem8.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem8.3 (𝜑𝑀 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem8 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem lcmineqlem8
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 10623 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 1cnd 10629 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
53, 4subcld 10990 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
6 neg1cn 11743 . . . 4 -1 ∈ ℂ
76a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
8 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
9 lcmineqlem8.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 < 𝑁)
10 lcmineqlem8.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 12078 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 lcmineqlem8.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1312nnzd 12078 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
14 znnsub 12020 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
1511, 13, 14syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
169, 15mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 11947 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
1817adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
198, 18expcld 13510 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
2012nncnd 11645 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
2210nncnd 11645 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2421, 23subcld 10990 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
25 nnm1nn0 11930 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2616, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2726adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
28 expcl 13447 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
298, 27, 28syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
3024, 29mulcld 10654 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) · (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
31 lcmineqlem7 39316 . . . 4 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1)
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1))
33 dvexp 24559 . . . 4 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁𝑀)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁𝑀) · (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)))))
3416, 33syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁𝑀)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁𝑀) · (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)))))
35 oveq1 7146 . . 3 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))
36 oveq1 7146 . . . 4 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))
3736oveq2d 7155 . . 3 (𝑦 = (1 − 𝑥) → ((𝑁𝑀) · (𝑦↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
382, 2, 5, 7, 19, 30, 32, 34, 35, 37dvmptco 24578 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1)))
3920adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
4022adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4139, 40subcld 10990 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
42 ax-1cn 10588 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
43 subcl 10878 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
4442, 43mpan 689 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
45 expcl 13447 . . . . . . 7 (((1 − 𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
4644, 26, 45syl2anr 599 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
4741, 46, 7mul32d 10843 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1) = (((𝑁𝑀) · -1) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
4820, 22subcld 10990 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
496a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
5048, 49mulcomd 10655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · -1) = (-1 · (𝑁𝑀)))
5150oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑀) · -1) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((-1 · (𝑁𝑀)) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5251adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑀) · -1) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((-1 · (𝑁𝑀)) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5347, 52eqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1) = ((-1 · (𝑁𝑀)) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5448mulm1d 11085 . . . . . 6 (𝜑 → (-1 · (𝑁𝑀)) = -(𝑁𝑀))
5554adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · (𝑁𝑀)) = -(𝑁𝑀))
5655oveq1d 7154 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · (𝑁𝑀)) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5753, 56eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1) = (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))
5857mpteq2dva 5128 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) · -1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
5938, 58eqtrd 2836 1 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {cpr 4530   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  1c1 10531   · cmul 10535   < clt 10668   − cmin 10863  -cneg 10864  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ↑cexp 13429   D cdv 24469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473 This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  39319
 Copyright terms: Public domain W3C validator