Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem8 40522
Description: Derivative of (1-x)^(N-M). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem8.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem8.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem8.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem8 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem lcmineqlem8
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11151 . . . 4 โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚}
21a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚})
3 1cnd 11157 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4 simpr 486 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
53, 4subcld 11519 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6 neg1cn 12274 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
76a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
8 simpr 486 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
9 lcmineqlem8.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
10 lcmineqlem8.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12533 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
12 lcmineqlem8.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1312nnzd 12533 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 znnsub 12556 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•))
1511, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•))
169, 15mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•)
1716nnnn0d 12480 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
1817adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
198, 18expcld 14058 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
2012nncnd 12176 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2120adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2210nncnd 12176 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2322adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2421, 23subcld 11519 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
25 nnm1nn0 12461 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2616, 25syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2726adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
28 expcl 13992 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
298, 27, 28syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3024, 29mulcld 11182 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
31 lcmineqlem7 40521 . . . 4 (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (1 โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -1)
3231a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (1 โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -1))
33 dvexp 25333 . . . 4 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
3416, 33syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
35 oveq1 7369 . . 3 (๐‘ฆ = (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
36 oveq1 7369 . . . 4 (๐‘ฆ = (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))
3736oveq2d 7378 . . 3 (๐‘ฆ = (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))
382, 2, 5, 7, 19, 30, 32, 34, 35, 37dvmptco 25352 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) ยท -1)))
3920adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4022adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4139, 40subcld 11519 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
42 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
43 subcl 11407 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4442, 43mpan 689 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
45 expcl 13992 . . . . . . 7 (((1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
4644, 26, 45syl2anr 598 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
4741, 46, 7mul32d 11372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) ยท -1) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท -1) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))
4820, 22subcld 11519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
496a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
5048, 49mulcomd 11183 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท -1) = (-1 ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
5150oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท -1) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((-1 ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))
5251adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท -1) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((-1 ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))
5347, 52eqtrd 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) ยท -1) = ((-1 ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))
5448mulm1d 11614 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = -(๐‘ โˆ’ ๐‘€))
5554adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = -(๐‘ โˆ’ ๐‘€))
5655oveq1d 7377 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))
5753, 56eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) ยท -1) = (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))
5857mpteq2dva 5210 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) ยท -1)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
5938, 58eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cpr 4593   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ†‘cexp 13974   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  40524
  Copyright terms: Public domain W3C validator