Theorem gausslemma2d 26877

Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2d	⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem7 26876	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7		eldifi 4127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmnn 16611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
10		prmgt1 16634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
11	9, 10	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
12	1, 7, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
13		1mod 13868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
15	14	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
16	15	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
17		neg1z 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℤ
18	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 26866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		zexpcl 14042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
21		2nn 12285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23	1, 2	gausslemma2dlem0b 26860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
24	23	nnnn0d 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
25	22, 24	nnexpcld 14208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
27	20, 26	zmulcld 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
28	27	zred 12666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ)
29		1red 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
30	28, 29	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
31	30	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
32	1	gausslemma2dlem0a 26859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
33	32	nnrpd 13014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
34	20, 33	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
35	34	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
36		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
37		modmul1 13889	. . . . . 6 ⊢ (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
39	38	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
40	20	zcnd 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
41	25	nncnd 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
42	40, 41, 40	mul32d 11424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
43	18	nn0cnd 12534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	43	2timesd 12455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
45	44	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
46	45	oveq2d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
47		neg1cn 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
49	48, 18, 18	expaddd 14113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
50	18	nn0zd 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
51		m1expeven 14075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
53	46, 49, 52	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
54	53	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
55	41	mullidd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
56	42, 54, 55	3eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
57	56	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
58	40	mullidd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
59	58	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
60	57, 59	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
61	2	oveq2i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
62	61	oveq1i 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
63	62	eqeq1i 2738	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
64		2z 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
65		lgsvalmod 26819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
66	64, 1, 65	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
67	66	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
68	67	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
69	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0i 26867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
70	68, 69	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
71	63, 70	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
72	60, 71	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
73	39, 72	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
74	16, 73	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
75	6, 74	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  ℕcn 12212  2c2 12267  4c4 12269  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974  ...cfz 13484  ⌊cfl 13755   mod cmo 13834  ↑cexp 14027  ℙcprime 16608   /_L clgs 26797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-lgs 26798

This theorem is referenced by:  2lgs  26910