MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2d 26884
Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
gausslemma2d.n ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2d (๐œ‘ โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘€
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem gausslemma2d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem7 26883 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1)
7 eldifi 4126 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8 prmnn 16613 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
98nnred 12229 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
10 prmgt1 16636 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
119, 10jca 512 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
121, 7, 113syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
13 1mod 13870 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
1514eqcomd 2738 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1 mod ๐‘ƒ))
1615eqeq2d 2743 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†” (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)))
17 neg1z 12600 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„ค
181, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 26873 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
19 zexpcl 14044 . . . . . . . . . . 11 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
2017, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
21 2nn 12287 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
231, 2gausslemma2dlem0b 26867 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•)
2423nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
2522, 24nnexpcld 14210 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„•)
2625nnzd 12587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„ค)
2720, 26zmulcld 12674 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„ค)
2827zred 12668 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„)
29 1red 11217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3028, 29jca 512 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„))
321gausslemma2dlem0a 26866 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
3332nnrpd 13016 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
3420, 33jca 512 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
3534adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
36 simpr 485 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
37 modmul1 13891 . . . . . 6 (((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3831, 35, 36, 37syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3938ex 413 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ)))
4020zcnd 12669 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4125nncnd 12230 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„‚)
4240, 41, 40mul32d 11426 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) ยท (2โ†‘๐ป)))
4318nn0cnd 12536 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
44432timesd 12457 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
4544eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + ๐‘) = (2 ยท ๐‘))
4645oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)))
47 neg1cn 12328 . . . . . . . . . . . 12 -1 โˆˆ โ„‚
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
4948, 18, 18expaddd 14115 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
5018nn0zd 12586 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
51 m1expeven 14077 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
5346, 49, 523eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
5453oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) ยท (2โ†‘๐ป)) = (1 ยท (2โ†‘๐ป)))
5541mullidd 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (2โ†‘๐ป)) = (2โ†‘๐ป))
5642, 54, 553eqtrd 2776 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (2โ†‘๐ป))
5756oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((2โ†‘๐ป) mod ๐‘ƒ))
5840mullidd 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (-1โ†‘๐‘)) = (-1โ†‘๐‘))
5958oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ))
6057, 59eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) โ†” ((2โ†‘๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ)))
612oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (2โ†‘๐ป) = (2โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
6261oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((2โ†‘๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((2โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ)
6362eqeq1i 2737 . . . . . 6 (((2โ†‘๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ) โ†” ((2โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ))
64 2z 12596 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
65 lgsvalmod 26826 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = ((2โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ))
6664, 1, 65sylancr 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 /L ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = ((2โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ))
6766eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((2 /L ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ))
6867eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ) โ†” ((2 /L ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ)))
691, 4, 2, 5gausslemma2dlem0i 26874 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 /L ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ) โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘๐‘)))
7068, 69sylbid 239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ) โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘๐‘)))
7163, 70biimtrid 241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘๐‘) mod ๐‘ƒ) โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘๐‘)))
7260, 71sylbid 239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท (-1โ†‘๐‘)) mod ๐‘ƒ) โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘๐‘)))
7339, 72syld 47 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘๐‘)))
7416, 73sylbid 239 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) mod ๐‘ƒ) = 1 โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘๐‘)))
756, 74mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (2 /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆ– cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„+crp 12976  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757   mod cmo 13836  โ†‘cexp 14029  โ„™cprime 16610   /L clgs 26804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-phi 16701  df-pc 16772  df-lgs 26805
This theorem is referenced by:  2lgs  26917
  Copyright terms: Public domain W3C validator