Theorem gausslemma2d 27419

Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2d	⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem7 27418	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7		eldifi 4130	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmnn 16712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
10		prmgt1 16735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
11	9, 10	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
12		1mod 13944	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
13	1, 7, 11, 12	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
14	13	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
15	14	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
16		neg1z 12655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℤ
17	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 27408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		zexpcl 14118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20		2nn 12340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
22	1, 2	gausslemma2dlem0b 27402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
24	21, 23	nnexpcld 14285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
26	19, 25	zmulcld 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
27	26	zred 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ)
28		1red 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
31	1	gausslemma2dlem0a 27401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
32	31	nnrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
33	19, 32	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
35		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36		modmul1 13966	. . . . . 6 ⊢ (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
37	30, 34, 35, 36	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
39	19	zcnd 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
40	24	nncnd 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
41	39, 40, 39	mul32d 11472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
42	17	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42	2timesd 12511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
44	43	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
45	44	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
46		neg1cn 12381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
48	47, 17, 17	expaddd 14189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
49	17	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
50		m1expeven 14151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
52	45, 48, 51	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
53	52	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
54	40	mullidd 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
55	41, 53, 54	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
56	55	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
57	39	mullidd 11280	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
58	57	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
59	56, 58	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
60	2	oveq2i 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
61	60	oveq1i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
62	61	eqeq1i 2741	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
63		2z 12651	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
64		lgsvalmod 27361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
65	63, 1, 64	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
66	65	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
67	66	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
68	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0i 27409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
69	67, 68	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
70	62, 69	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
71	59, 70	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
72	38, 71	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
73	15, 72	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
74	6, 73	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947  ifcif 4524  {csn 4625   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  ℕcn 12267  2c2 12322  4c4 12324  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  ...cfz 13548  ⌊cfl 13831   mod cmo 13910  ↑cexp 14103  ℙcprime 16709   /_L clgs 27339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-ioo 13392  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-phi 16804  df-pc 16876  df-lgs 27340

This theorem is referenced by:  2lgs  27452