MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2d 25864
Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S={2,4,6,...,(p-1)}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2d (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 𝑁 = (𝐻𝑀)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem7 25863 . 2 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7 eldifi 4107 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 16008 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
98nnred 11642 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
10 prmgt1 16031 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
119, 10jca 512 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
121, 7, 113syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
13 1mod 13261 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
1514eqcomd 2832 . . . 4 (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
1615eqeq2d 2837 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
17 neg1z 12007 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℤ
181, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 25853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
19 zexpcl 13434 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
2017, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
21 2nn 11699 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
231, 2gausslemma2dlem0b 25847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
2423nnnn0d 11944 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
2522, 24nnexpcld 13596 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
2625nnzd 12075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
2720, 26zmulcld 12082 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
2827zred 12076 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ)
29 1red 10631 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3028, 29jca 512 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
321gausslemma2dlem0a 25846 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3332nnrpd 12419 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
3420, 33jca 512 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
3534adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
36 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
37 modmul1 13282 . . . . . 6 (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3831, 35, 36, 37syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3938ex 413 . . . 4 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
4020zcnd 12077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
4125nncnd 11643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
4240, 41, 40mul32d 10839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
4318nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
44432timesd 11869 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4544eqcomd 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
4645oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
47 neg1cn 11740 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4948, 18, 18expaddd 13502 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
5018nn0zd 12074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
51 m1expeven 13466 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5346, 49, 523eqtr3d 2869 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
5453oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
5541mulid2d 10648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
5642, 54, 553eqtrd 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
5756oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
5840mulid2d 10648 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
5958oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
6057, 59eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
612oveq2i 7159 . . . . . . . 8 (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
6261oveq1i 7158 . . . . . . 7 ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
6362eqeq1i 2831 . . . . . 6 (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
64 2z 12003 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
65 lgsvalmod 25806 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6664, 1, 65sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6766eqcomd 2832 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
6867eqeq1d 2828 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
691, 4, 2, 5gausslemma2dlem0i 25854 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7068, 69sylbid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7163, 70syl5bi 243 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7260, 71sylbid 241 . . . 4 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7339, 72syld 47 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7416, 73sylbid 241 . 2 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
756, 74mpd 15 1 (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cdif 3937  ifcif 4470  {csn 4564   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  4c4 11683  0cn0 11886  cz 11970  +crp 12379  ...cfz 12882  cfl 13150   mod cmo 13227  cexp 13419  cprime 16005   /L clgs 25784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-ioo 12732  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-prod 15250  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-phi 16093  df-pc 16164  df-lgs 25785
This theorem is referenced by:  2lgs  25897
  Copyright terms: Public domain W3C validator