MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2d 27433
Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2d (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 𝑁 = (𝐻𝑀)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem7 27432 . 2 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7 eldifi 4141 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 16708 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
98nnred 12279 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
10 prmgt1 16731 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
119, 10jca 511 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
12 1mod 13940 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
131, 7, 11, 124syl 19 . . . . 5 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
1413eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
1514eqeq2d 2746 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
16 neg1z 12651 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℤ
171, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 27422 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
18 zexpcl 14114 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
1916, 17, 18sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
221, 2gausslemma2dlem0b 27416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
2322nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
2421, 23nnexpcld 14281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
2524nnzd 12638 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
2619, 25zmulcld 12726 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
2726zred 12720 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ)
28 1red 11260 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2927, 28jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
311gausslemma2dlem0a 27415 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3231nnrpd 13073 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
3319, 32jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
35 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36 modmul1 13962 . . . . . 6 (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3730, 34, 35, 36syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3837ex 412 . . . 4 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
3919zcnd 12721 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
4024nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
4139, 40, 39mul32d 11469 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
4217nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
43422timesd 12507 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4443eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
4544oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
46 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4847, 17, 17expaddd 14185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
4917nn0zd 12637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
50 m1expeven 14147 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5245, 48, 513eqtr3d 2783 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
5352oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
5440mullidd 11277 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
5541, 53, 543eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
5655oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
5739mullidd 11277 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
5857oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
5956, 58eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
602oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
6160oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
6261eqeq1i 2740 . . . . . 6 (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
63 2z 12647 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
64 lgsvalmod 27375 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6563, 1, 64sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6665eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
6766eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
681, 4, 2, 5gausslemma2dlem0i 27423 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
6967, 68sylbid 240 . . . . . 6 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7062, 69biimtrid 242 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7159, 70sylbid 240 . . . 4 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7238, 71syld 47 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7315, 72sylbid 240 . 2 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
746, 73mpd 15 1 (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  ...cfz 13544  cfl 13827   mod cmo 13906  cexp 14099  cprime 16705   /L clgs 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354
This theorem is referenced by:  2lgs  27466
  Copyright terms: Public domain W3C validator