Theorem gausslemma2d 27342

Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2d	⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem7 27341	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7		eldifi 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmnn 16698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
10		prmgt1 16721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
11	9, 10	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
12		1mod 13925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
13	1, 7, 11, 12	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
14	13	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
15	14	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
16		neg1z 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℤ
17	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 27331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		zexpcl 14099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
19	16, 17, 18	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20		2nn 12318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
22	1, 2	gausslemma2dlem0b 27325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
24	21, 23	nnexpcld 14268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
26	19, 25	zmulcld 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
27	26	zred 12702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ)
28		1red 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
31	1	gausslemma2dlem0a 27324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
32	31	nnrpd 13054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
33	19, 32	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
35		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36		modmul1 13947	. . . . . 6 ⊢ (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
37	30, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
39	19	zcnd 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
40	24	nncnd 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
41	39, 40, 39	mul32d 11450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
42	17	nn0cnd 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42	2timesd 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
44	43	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
45	44	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
46		neg1cn 12359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
48	47, 17, 17	expaddd 14171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
49	17	nn0zd 12619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
50		m1expeven 14132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
52	45, 48, 51	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
53	52	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
54	40	mullidd 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
55	41, 53, 54	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
56	55	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
57	39	mullidd 11258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
58	57	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
59	56, 58	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
60	2	oveq2i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
61	60	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
62	61	eqeq1i 2741	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
63		2z 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
64		lgsvalmod 27284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
65	63, 1, 64	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
66	65	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
67	66	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
68	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0i 27332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
69	67, 68	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
70	62, 69	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
71	59, 70	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
72	38, 71	syld 47	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
73	15, 72	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
74	6, 73	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928  ifcif 4505  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   − cmin 11471  -cneg 11472   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  4c4 12302  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℝ⁺crp 13013  ...cfz 13529  ⌊cfl 13812   mod cmo 13891  ↑cexp 14084  ℙcprime 16695   /_L clgs 27262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-ioo 13371  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-prod 15925  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-phi 16790  df-pc 16862  df-lgs 27263

This theorem is referenced by:  2lgs  27375