MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2d 27419
Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2d (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 𝑁 = (𝐻𝑀)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem7 27418 . 2 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7 eldifi 4130 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 16712 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
98nnred 12282 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
10 prmgt1 16735 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
119, 10jca 511 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
12 1mod 13944 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
131, 7, 11, 124syl 19 . . . . 5 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
1413eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
1514eqeq2d 2747 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
16 neg1z 12655 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℤ
171, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 27408 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
18 zexpcl 14118 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
1916, 17, 18sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20 2nn 12340 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
221, 2gausslemma2dlem0b 27402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
2322nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
2421, 23nnexpcld 14285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
2524nnzd 12642 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
2619, 25zmulcld 12730 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
2726zred 12724 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ)
28 1red 11263 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2927, 28jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
311gausslemma2dlem0a 27401 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3231nnrpd 13076 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
3319, 32jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
35 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36 modmul1 13966 . . . . . 6 (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3730, 34, 35, 36syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3837ex 412 . . . 4 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
3919zcnd 12725 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
4024nncnd 12283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
4139, 40, 39mul32d 11472 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
4217nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
43422timesd 12511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4443eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
4544oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
46 neg1cn 12381 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4847, 17, 17expaddd 14189 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
4917nn0zd 12641 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
50 m1expeven 14151 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5245, 48, 513eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
5352oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
5440mullidd 11280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
5541, 53, 543eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
5655oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
5739mullidd 11280 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
5857oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
5956, 58eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
602oveq2i 7443 . . . . . . . 8 (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
6160oveq1i 7442 . . . . . . 7 ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
6261eqeq1i 2741 . . . . . 6 (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
63 2z 12651 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
64 lgsvalmod 27361 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6563, 1, 64sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6665eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
6766eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
681, 4, 2, 5gausslemma2dlem0i 27409 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
6967, 68sylbid 240 . . . . . 6 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7062, 69biimtrid 242 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7159, 70sylbid 240 . . . 4 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7238, 71syld 47 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7315, 72sylbid 240 . 2 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
746, 73mpd 15 1 (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947  ifcif 4524  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  4c4 12324  0cn0 12528  cz 12615  +crp 13035  ...cfz 13548  cfl 13831   mod cmo 13910  cexp 14103  cprime 16709   /L clgs 27339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-ioo 13392  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-phi 16804  df-pc 16876  df-lgs 27340
This theorem is referenced by:  2lgs  27452
  Copyright terms: Public domain W3C validator