Theorem reccn2 15618

Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
reccn2.t	⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
reccn2	⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧

Proof of Theorem reccn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccn2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2))
2		1rp 13017	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
4		eldifsn 4767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
5	3, 4	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6		absrpcl 15312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
8		rpmulcl 13037	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
9	7, 8	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
10		ifcl 4551	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
11	2, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
12	7	rphalfcld 13068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
13	11, 12	rpmulcld 13072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
14	1, 13	eqeltrid 2839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
15	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18		eldifsn 4767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
19	17, 18	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
20	19	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
21	16, 20	mulcld 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
22		mulne0 11884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝑧) ≠ 0)
23	15, 19, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ≠ 0)
24	16, 20, 21, 23	divsubdird 12061	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
25	16	mulridd 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
26	25	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
27		1cnd 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
28		divcan5 11948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
29	27, 19, 15, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
30	26, 29	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
31	20	mulridd 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
32	20, 16	mulcomd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
33	31, 32	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
34		divcan5 11948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
35	27, 15, 19, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
36	33, 35	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
37	30, 36	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
38	24, 37	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
39	38	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
40	16, 20	subcld 11599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
41	40, 21, 23	absdivd 15479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
42	39, 41	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
43	16, 20	abssubd 15477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
44	20, 16	subcld 11599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
45	44	abscld 15460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
46	43, 45	eqeltrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
47	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
48	47	rpred 13056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
49	21	abscld 15460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
50		rpre 13022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
51	50	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52	49, 51	remulcld 11270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
53		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)
54	43, 53	eqbrtrd 5146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < 𝑇)
55	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 13056	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
57	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
58	57	rpred 13056	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
59	56, 58	remulcld 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
60		1re 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
61		min2 13211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
62	60, 56, 61	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
63	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 13056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
65	64, 56, 57	lemul1d 13099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
66	62, 65	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
67	1, 66	eqbrtrid 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
68	20	abscld 15460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
69	16	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
71	70	2halvesd 12492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
72	69, 68	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
73	16, 20	abs2difd 15481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑧)))
74		min1 13210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
75	60, 56, 74	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
76		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
77	64, 76, 57	lemul1d 13099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
78	75, 77	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
79	1, 78	eqbrtrid 5159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
80	58	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
81	80	mullidd 11258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
82	79, 81	breqtrd 5150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
83	46, 48, 58, 54, 82	ltletrd 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
84	72, 46, 58, 73, 83	lelttrd 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
85	69, 68, 58	ltsubadd2d 11840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
86	84, 85	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
87	71, 86	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
88	58, 68, 58	ltadd1d 11835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
89	87, 88	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
90	58, 68, 55, 89	ltmul2dd 13112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
91	16, 20	absmuld 15478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
92	91	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
93	68	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
94	51	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
95	70, 93, 94	mul32d 11450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
96	92, 95	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
97	90, 96	breqtrrd 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
98	48, 59, 52, 67, 97	lelttrd 11398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
99	46, 48, 52, 54, 98	lttrd 11401	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
100	21, 23	absrpcld 15472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
101	46, 51, 100	ltdivmuld 13107	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
102	99, 101	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
103	42, 102	eqbrtrd 5146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
104	103	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
105	104	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
106		breq2 5128	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇))
107	106	rspceaimv 3612	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
108	14, 105, 107	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3928  ifcif 4505  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  2c2 12300  ℝ⁺crp 13013  abscabs 15258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260

This theorem is referenced by:  rlimdiv  15667  divcnOLD  24813  divcn  24815  climrec  45612