Theorem reccn2 15764

Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
reccn2.t	⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
reccn2	⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧

Proof of Theorem reccn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccn2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2))
2		1rp 13124	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
4	3	birani 509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
5		absrpcl 15455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
7		rpmulcl 13145	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
8	6, 7	sylancom 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
9		ifcl 4528	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
10	2, 8, 9	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
11	6	rphalfcld 13176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpmulcld 13180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
13	1, 12	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
14	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
15	14	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
18	16, 17	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
19	18	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
20	15, 19	mulcld 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
21		mulne0 11958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝑧) ≠ 0)
22	14, 18, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ≠ 0)
23	15, 19, 20, 22	divsubdird 12132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
24	15	mulridd 11326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	24	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
26		1cnd 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
27		divcan5 12019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
28	26, 18, 14, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
29	25, 28	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
30	19	mulridd 11326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
31	19, 15	mulcomd 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
32	30, 31	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
33		divcan5 12019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
34	26, 14, 18, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
35	32, 34	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
36	29, 35	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
37	23, 36	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
38	37	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
39	15, 19	subcld 11669	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
40	39, 20, 22	absdivd 15625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
41	38, 40	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
42	15, 19	abssubd 15623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
43	19, 15	subcld 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
44	43	abscld 15606	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
45	42, 44	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
46	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
47	46	rpred 13164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
48	20	abscld 15606	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
49		rpre 13129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
50	49	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
51	48, 50	remulcld 11339	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
52		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)
53	42, 52	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < 𝑇)
54	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
55	54	rpred 13164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
56	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 13164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
58	55, 57	remulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
59		1re 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
60		min2 13320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
61	59, 55, 60	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
62	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
63	62	rpred 13164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
64	63, 55, 56	lemul1d 13207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
65	61, 64	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
66	1, 65	eqbrtrid 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
67	19	abscld 15606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
68	15	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
70	69	2halvesd 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
71	68, 67	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
72	15, 19	abs2difd 15627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑧)))
73		min1 13319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
74	59, 55, 73	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
75		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
76	63, 75, 56	lemul1d 13207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
77	74, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
78	1, 77	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
79	57	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
80	79	mullidd 11327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
81	78, 80	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
82	45, 47, 57, 53, 81	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
83	71, 45, 57, 72, 82	lelttrd 11468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
84	68, 67, 57	ltsubadd2d 11914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
85	83, 84	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
86	70, 85	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
87	57, 67, 57	ltadd1d 11909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
88	86, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
89	57, 67, 54, 88	ltmul2dd 13220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
90	15, 19	absmuld 15624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
91	90	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
92	67	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
93	50	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
94	69, 92, 93	mul32d 11520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
95	91, 94	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
96	89, 95	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
97	47, 58, 51, 66, 96	lelttrd 11468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
98	45, 47, 51, 53, 97	lttrd 11471	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
99	20, 22	absrpcld 15618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
100	45, 50, 99	ltdivmuld 13215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
101	98, 100	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
102	41, 101	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
103	102	expr 462	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
104	103	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
105		breq2 5107	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇))
106	105	rspceaimv 3583	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
107	13, 104, 106	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  rlimdiv  15813  divcn  25189  climrec  46614