MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reccn2 15574
Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2.t ๐‘‡ = (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))
Assertion
Ref Expression
reccn2 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘ง,๐ด   ๐‘ฆ,๐ต,๐‘ง   ๐‘ฆ,๐‘‡,๐‘ง

Proof of Theorem reccn2
StepHypRef Expression
1 reccn2.t . . 3 ๐‘‡ = (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))
2 1rp 13011 . . . . 5 1 โˆˆ โ„+
3 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
4 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
53, 4sylib 217 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
6 absrpcl 15268 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
8 rpmulcl 13030 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
97, 8sylancom 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
10 ifcl 4574 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„+)
112, 9, 10sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„+)
127rphalfcld 13061 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) โˆˆ โ„+)
1311, 12rpmulcld 13065 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โˆˆ โ„+)
141, 13eqeltrid 2833 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
155adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
1615simpld 494 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
18 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โ‰  0))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โ‰  0))
2019simpld 494 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
2116, 20mulcld 11265 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
22 mulne0 11887 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ง) โ‰  0)
2315, 19, 22syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ง) โ‰  0)
2416, 20, 21, 23divsubdird 12060 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = ((๐ด / (๐ด ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ง / (๐ด ยท ๐‘ง))))
2516mulridd 11262 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
2625oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด ยท 1) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (๐ด / (๐ด ยท ๐‘ง)))
27 1cnd 11240 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
28 divcan5 11947 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท 1) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (1 / ๐‘ง))
2927, 19, 15, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด ยท 1) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (1 / ๐‘ง))
3026, 29eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (1 / ๐‘ง))
3120mulridd 11262 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง ยท 1) = ๐‘ง)
3220, 16mulcomd 11266 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ง))
3331, 32oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ง ยท 1) / (๐‘ง ยท ๐ด)) = (๐‘ง / (๐ด ยท ๐‘ง)))
34 divcan5 11947 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ง ยท 1) / (๐‘ง ยท ๐ด)) = (1 / ๐ด))
3527, 15, 19, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ง ยท 1) / (๐‘ง ยท ๐ด)) = (1 / ๐ด))
3633, 35eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (1 / ๐ด))
3730, 36oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด / (๐ด ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ง / (๐ด ยท ๐‘ง))) = ((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด)))
3824, 37eqtrd 2768 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = ((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด)))
3938fveq2d 6901 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (๐ด ยท ๐‘ง))) = (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))))
4016, 20subcld 11602 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
4140, 21, 23absdivd 15435 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (๐ด ยท ๐‘ง))) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) / (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง))))
4239, 41eqtr3d 2770 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) / (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง))))
4316, 20abssubd 15433 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) = (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)))
4420, 16subcld 11602 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4544abscld 15416 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
4643, 45eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
4714adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
4847rpred 13049 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
4921abscld 15416 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
50 rpre 13015 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5150ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5249, 51remulcld 11275 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
53 simprr 772 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)
5443, 53eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) < ๐‘‡)
559adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
5655rpred 13049 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5712adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) โˆˆ โ„+)
5857rpred 13049 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) โˆˆ โ„)
5956, 58remulcld 11275 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โˆˆ โ„)
60 1re 11245 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
61 min2 13202 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
6260, 56, 61sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
6311adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„+)
6463rpred 13049 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
6564, 56, 57lemul1d 13092 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โ†” (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โ‰ค (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))))
6662, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โ‰ค (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)))
671, 66eqbrtrid 5183 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โ‰ค (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)))
6820abscld 15416 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
6916abscld 15416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
7069recnd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
71702halvesd 12489 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / 2) + ((absโ€˜๐ด) / 2)) = (absโ€˜๐ด))
7269, 68resubcld 11673 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆ’ (absโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
7316, 20abs2difd 15437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆ’ (absโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)))
74 min1 13201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โ‰ค 1)
7560, 56, 74sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โ‰ค 1)
76 1red 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7764, 76, 57lemul1d 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))))
7875, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)))
791, 78eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)))
8058recnd 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) โˆˆ โ„‚)
8180mullidd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (1 ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) = ((absโ€˜๐ด) / 2))
8279, 81breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โ‰ค ((absโ€˜๐ด) / 2))
8346, 48, 58, 54, 82ltletrd 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) < ((absโ€˜๐ด) / 2))
8472, 46, 58, 73, 83lelttrd 11403 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆ’ (absโ€˜๐‘ง)) < ((absโ€˜๐ด) / 2))
8569, 68, 58ltsubadd2d 11843 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) โˆ’ (absโ€˜๐‘ง)) < ((absโ€˜๐ด) / 2) โ†” (absโ€˜๐ด) < ((absโ€˜๐‘ง) + ((absโ€˜๐ด) / 2))))
8684, 85mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐ด) < ((absโ€˜๐‘ง) + ((absโ€˜๐ด) / 2)))
8771, 86eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / 2) + ((absโ€˜๐ด) / 2)) < ((absโ€˜๐‘ง) + ((absโ€˜๐ด) / 2)))
8858, 68, 58ltadd1d 11838 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / 2) < (absโ€˜๐‘ง) โ†” (((absโ€˜๐ด) / 2) + ((absโ€˜๐ด) / 2)) < ((absโ€˜๐‘ง) + ((absโ€˜๐ด) / 2))))
8987, 88mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) < (absโ€˜๐‘ง))
9058, 68, 55, 89ltmul2dd 13105 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) < (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท (absโ€˜๐‘ง)))
9116, 20absmuld 15434 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐‘ง)))
9291oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต) = (((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐‘ง)) ยท ๐ต))
9368recnd 11273 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
9451recnd 11273 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9570, 93, 94mul32d 11455 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐‘ง)) ยท ๐ต) = (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท (absโ€˜๐‘ง)))
9692, 95eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต) = (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท (absโ€˜๐‘ง)))
9790, 96breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) < ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต))
9848, 59, 52, 67, 97lelttrd 11403 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ < ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต))
9946, 48, 52, 54, 98lttrd 11406 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) < ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต))
10021, 23absrpcld 15428 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„+)
10146, 51, 100ltdivmuld 13100 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) / (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง))) < ๐ต โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) < ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต)))
10299, 101mpbird 257 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) / (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง))) < ๐ต)
10342, 102eqbrtrd 5170 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต)
104103expr 456 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
105104ralrimiva 3143 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
106 breq2 5152 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘‡ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†” (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡))
107106rspceaimv 3615 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
10814, 105, 107syl2anc 583 1 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   โˆ– cdif 3944  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144   < clt 11279   โ‰ค cle 11280   โˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  2c2 12298  โ„+crp 13007  abscabs 15214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216
This theorem is referenced by:  rlimdiv  15625  divcnOLD  24797  divcn  24799  climrec  44991
  Copyright terms: Public domain W3C validator