MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reccn2 14932
Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2.t 𝑇 = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2))
Assertion
Ref Expression
reccn2 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧

Proof of Theorem reccn2
StepHypRef Expression
1 reccn2.t . . 3 𝑇 = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2))
2 1rp 12371 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
3 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
4 eldifsn 4692 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
53, 4sylib 221 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6 absrpcl 14627 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
8 rpmulcl 12390 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
97, 8sylancom 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
10 ifcl 4484 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
112, 9, 10sylancr 590 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
127rphalfcld 12421 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
1311, 12rpmulcld 12425 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
141, 13eqeltrid 2916 . 2 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
155adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
1615simpld 498 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18 eldifsn 4692 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
1917, 18sylib 221 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
2019simpld 498 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
2116, 20mulcld 10638 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
22 mulne0 11259 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝑧) ≠ 0)
2315, 19, 22syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ≠ 0)
2416, 20, 21, 23divsubdird 11432 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
2516mulid1d 10635 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2625oveq1d 7145 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
27 1cnd 10613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
28 divcan5 11319 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
2927, 19, 15, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
3026, 29eqtr3d 2858 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
3120mulid1d 10635 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
3220, 16mulcomd 10639 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
3331, 32oveq12d 7148 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
34 divcan5 11319 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
3527, 15, 19, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
3633, 35eqtr3d 2858 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
3730, 36oveq12d 7148 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
3824, 37eqtrd 2856 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
3938fveq2d 6647 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
4016, 20subcld 10974 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴𝑧) ∈ ℂ)
4140, 21, 23absdivd 14794 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
4239, 41eqtr3d 2858 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
4316, 20abssubd 14792 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐴)))
4420, 16subcld 10974 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
4544abscld 14775 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
4643, 45eqeltrd 2912 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) ∈ ℝ)
4714adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4847rpred 12409 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
4921abscld 14775 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
50 rpre 12375 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
5150ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5249, 51remulcld 10648 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
53 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)
5443, 53eqbrtrd 5061 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) < 𝑇)
559adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
5655rpred 12409 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
5712adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
5857rpred 12409 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
5956, 58remulcld 10648 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
60 1re 10618 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
61 min2 12561 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
6260, 56, 61sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
6311adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
6463rpred 12409 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
6564, 56, 57lemul1d 12452 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
6662, 65mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
671, 66eqbrtrid 5074 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
6820abscld 14775 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
6916abscld 14775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7069recnd 10646 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
71702halvesd 11861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
7269, 68resubcld 11045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
7316, 20abs2difd 14796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴𝑧)))
74 min1 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
7560, 56, 74sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
76 1red 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
7764, 76, 57lemul1d 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
7875, 77mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
791, 78eqbrtrid 5074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
8058recnd 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
8180mulid2d 10636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
8279, 81breqtrd 5065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
8346, 48, 58, 54, 82ltletrd 10777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
8472, 46, 58, 73, 83lelttrd 10775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
8569, 68, 58ltsubadd2d 11215 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
8684, 85mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
8771, 86eqbrtrd 5061 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
8858, 68, 58ltadd1d 11210 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
8987, 88mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
9058, 68, 55, 89ltmul2dd 12465 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
9116, 20absmuld 14793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
9291oveq1d 7145 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
9368recnd 10646 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
9451recnd 10646 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9570, 93, 94mul32d 10827 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
9692, 95eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
9790, 96breqtrrd 5067 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
9848, 59, 52, 67, 97lelttrd 10775 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
9946, 48, 52, 54, 98lttrd 10778 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
10021, 23absrpcld 14787 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
10146, 51, 100ltdivmuld 12460 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
10299, 101mpbird 260 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
10342, 102eqbrtrd 5061 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
104103expr 460 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
105104ralrimiva 3170 . 2 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
106 breq2 5043 . . 3 (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇))
107106rspceaimv 3605 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
10814, 105, 107syl2anc 587 1 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  wrex 3127  cdif 3907  ifcif 4440  {csn 4540   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   < clt 10652  cle 10653  cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  +crp 12367  abscabs 14572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574
This theorem is referenced by:  rlimdiv  14981  divcn  23451  climrec  42038
  Copyright terms: Public domain W3C validator