stirlinglem3 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem3 46032

Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that 𝑉, the Wallis formula for π , can be expressed in terms of 𝐴, the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the 𝐴, in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem3.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem3.2	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem3.3	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem3.4	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem3	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))

Proof of Theorem stirlinglem3 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem3.4	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
2		nnnn0 12531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
3		faccl 14319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
4		nncn 12272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
6		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7		nncn 12272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 15473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
10		ere 16122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ
11	10	recni 11273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
13		epos 16240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
14	10, 13	gt0ne0ii 11797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
16	7, 12, 15	divcld 12041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
17	16, 2	expcld 14183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
18	9, 17	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
19		2rp 13037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
21		nnrp 13044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
22	20, 21	rpmulcld 13091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
23	22	sqrtgt0d 15448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
24	23	gt0ne0d 11825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
25		nnne0 12298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
26	7, 12, 25, 15	divne0d 12057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
27		nnz 12632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
28	16, 26, 27	expne0d 14189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
29	9, 17, 24, 28	mulne0d 11913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
30	5, 18, 29	divcld 12041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
31		stirlinglem3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32	31	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
33	30, 32	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
34	33	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4))
35		stirlinglem3.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
36	35	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑛) = ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
37	18, 36	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘𝑛) = ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
38	37	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘𝑛)↑4) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4))
39	34, 38	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) = ((((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
40		4nn0 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ₀)
42	5, 18, 29, 41	expdivd 14197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) = (((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
43	42	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) = ((((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
44	5, 41	expcld 14183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
45	18, 41	expcld 14183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) ∈ ℂ)
46	41	nn0zd 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℤ)
47	18, 29, 46	expne0d 14189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) ≠ 0)
48	44, 45, 47	divcan1d 12042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) = ((!‘𝑛)↑4))
49	39, 43, 48	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) = ((!‘𝑛)↑4))
50	49	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛)↑4) = (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)))
51	50	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))))
52		2nn0 12541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
54	53, 2	nn0mulcld 12590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
55		faccl 14319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ₀ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ)
56		nncn 12272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
58	57	sqcld 14181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
59	6, 8	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
60	59	sqrtcld 15473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
61	8, 12, 15	divcld 12041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / e) ∈ ℂ)
62	61, 54	expcld 14183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
64	63	sqcld 14181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) ∈ ℂ)
65	20, 22	rpmulcld 13091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
66	65	sqrtgt0d 15448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (2 · 𝑛))))
67	66	gt0ne0d 11825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · (2 · 𝑛))) ≠ 0)
68	20	rpne0d 13080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
69	6, 7, 68, 25	mulne0d 11913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
70	8, 12, 69, 15	divne0d 12057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / e) ≠ 0)
71		2z 12647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
73	72, 27	zmulcld 12726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
74	61, 70, 73	expne0d 14189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)) ≠ 0)
75	60, 62, 67, 74	mulne0d 11913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))) ≠ 0)
76	63, 75, 72	expne0d 14189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) ≠ 0)
77	58, 64, 76	divcan1d 12042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((!‘(2 · 𝑛))↑2))
78	57, 63, 75, 53	expdivd 14197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) = (((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
79	78	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2))
80	79	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
81	77, 80	eqtr3d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
82		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
83		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
84	83	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑚)))
85		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / e) = (𝑚 / e))
86		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
87	85, 86	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑚 / e)↑𝑚))
88	84, 87	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))
89	82, 88	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
90	89	cbvmptv 5261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
91	31, 90	eqtri 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
92		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (!‘𝑚) = (!‘(2 · 𝑛)))
93		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (2 · 𝑚) = (2 · (2 · 𝑛)))
94	93	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (√‘(2 · 𝑚)) = (√‘(2 · (2 · 𝑛))))
95		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (𝑚 / e) = ((2 · 𝑛) / e))
96		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → 𝑚 = (2 · 𝑛))
97	95, 96	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((𝑚 / e)↑𝑚) = (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))
98	94, 97	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
99	92, 98	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
100		2nn 12337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
102		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
103	101, 102	nnmulcld 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
104	57, 63, 75	divcld 12041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))) ∈ ℂ)
105	91, 99, 103, 104	fvmptd3 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
106	105	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) = (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2))
107	106	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
108	107	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
109		eqidd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
110	98	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (2 · 𝑛)) → ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
111	109, 110, 103, 63	fvmptd 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
112	111	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2))
113	112	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2))
114	113	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
115	81, 108, 114	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
116	88	cbvmptv 5261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
118	117	fveq1d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)))
119	118	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)))
120	119	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2))
121	120	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
122	105, 104	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
123		stirlinglem3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
124	123	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
125	122, 124	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
126	125	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = (𝐷‘𝑛))
127	126	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) = ((𝐷‘𝑛)↑2))
128	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
129	128	fveq1d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)))
130	129	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)) = (𝐸‘(2 · 𝑛)))
131	130	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2) = ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))
132	127, 131	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))
133	115, 121, 132	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))
134	51, 133	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
135	134	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
136	135	mpteq2ia 5251	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
137	41, 2	nn0mulcld 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
138	6, 137	expcld 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
139	49, 44	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) ∈ ℂ)
140	138, 139	mulcomd 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))))
141	140	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
142	141	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
143	125, 122	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℂ)
144	143	sqcld 14181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ∈ ℂ)
145	128, 117	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐸 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
146	145, 110, 103, 63	fvmptd 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
147	146, 63	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
148	147	sqcld 14181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
149		nnne0 12298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
150	54, 55, 149	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
151	57, 63, 150, 75	divne0d 12057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))) ≠ 0)
152	105, 151	eqnetrd 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
153	125, 152	eqnetrd 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ≠ 0)
154	143, 153, 72	expne0d 14189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ≠ 0)
155	146, 75	eqnetrd 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
156	147, 155, 72	expne0d 14189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) ≠ 0)
157	139, 144, 138, 148, 154, 156	divmuldivd 12082	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
158	157	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
159	158	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
160	33, 30	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
161	160, 41	expcld 14183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
162	38, 45	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
163	161, 162, 144, 154	div23d 12078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)))
164	163	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
165	164	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
166	161, 144, 154	divcld 12041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
167	138, 148, 156	divcld 12041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) ∈ ℂ)
168	166, 162, 167	mulassd 11282	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))))
169	168	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
170	162, 167	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) ∈ ℂ)
171		1cnd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
172	8, 171	addcld 11278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
173		0red 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
174	103	nnred 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
175		2re 12338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
177		nnre 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
178	176, 177	remulcld 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
179		1red 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
180	178, 179	readdcld 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
181	103	nngt0d 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
182	174	ltp1d 12196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) < ((2 · 𝑛) + 1))
183	173, 174, 180, 181, 182	lttrd 11420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
184	183	gt0ne0d 11825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
185	166, 170, 172, 184	divassd 12076	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))))
186	162, 138, 148, 156	div12d 12077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
187	9, 17, 41	mulexpd 14198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) = (((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)))
188	60, 62	sqmuld 14195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))
189	187, 188	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
190	146	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2))
191	38, 190	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
192	9, 41	expcld 14183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) ∈ ℂ)
193	60	sqcld 14181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) ∈ ℂ)
194	17, 41	expcld 14183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) ∈ ℂ)
195	62	sqcld 14181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
196	60, 67, 72	expne0d 14189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) ≠ 0)
197	62, 74, 72	expne0d 14189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) ≠ 0)
198	192, 193, 194, 195, 196, 197	divmuldivd 12082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
199	189, 191, 198	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
200	199	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))))
201	65	rprege0d 13082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (2 · 𝑛))))
202		resqrtth 15291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (2 · 𝑛))) → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) = (2 · (2 · 𝑛)))
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) = (2 · (2 · 𝑛)))
204	203	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) = (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / (2 · (2 · 𝑛))))
205		2t2e4 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 2) = 4
206	205	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 = (2 · 2)
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 = (2 · 2))
208	207	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) = ((√‘(2 · 𝑛))↑(2 · 2)))
209	9, 53, 53	expmuld 14186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑(2 · 2)) = (((√‘(2 · 𝑛))↑2)↑2))
210	22	rprege0d 13082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛)))
211		resqrtth 15291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛)) → ((√‘(2 · 𝑛))↑2) = (2 · 𝑛))
212	210, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑2) = (2 · 𝑛))
213	212	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑2)↑2) = ((2 · 𝑛)↑2))
214	208, 209, 213	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) = ((2 · 𝑛)↑2))
215	6, 6, 7	mulassd 11282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑛) = (2 · (2 · 𝑛)))
216	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
217	216	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑛) = (4 · 𝑛))
218	215, 217	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) = (4 · 𝑛))
219	214, 218	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / (2 · (2 · 𝑛))) = (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)))
220	6, 7	sqmuld 14195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑2) = ((2↑2) · (𝑛↑2)))
221		sq2 14233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
223	222	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑛↑2)) = (4 · (𝑛↑2)))
224	220, 223	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑2) = (4 · (𝑛↑2)))
225	224	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)) = ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)))
226		4cn 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℂ
227		4ne0 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ≠ 0
228	226, 227	dividi 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 / 4) = 1
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 / 4) = 1)
230	7	sqvald 14180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
231	230	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = ((𝑛 · 𝑛) / 𝑛))
232	7, 7, 25	divcan4d 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 · 𝑛) / 𝑛) = 𝑛)
233	231, 232	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = 𝑛)
234	229, 233	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / 4) · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = (1 · 𝑛))
235	41	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
236	7	sqcld 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
237	227	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
238	235, 235, 236, 7, 237, 25	divmuldivd 12082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / 4) · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)))
239	7	mullidd 11277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
240	234, 238, 239	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)) = 𝑛)
241	225, 240	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)) = 𝑛)
242	204, 219, 241	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) = 𝑛)
243	7, 235	mulcomd 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 4) = (4 · 𝑛))
244	243	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(𝑛 · 4)) = ((𝑛 / e)↑(4 · 𝑛)))
245	16, 41, 2	expmuld 14186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(𝑛 · 4)) = (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4))
246	7, 12, 15, 137	expdivd 14197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(4 · 𝑛)) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
247	244, 245, 246	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
248	6, 7, 6	mul32d 11469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) · 2) = ((2 · 2) · 𝑛))
249	248, 217	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) · 2) = (4 · 𝑛))
250	249	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑((2 · 𝑛) · 2)) = (((2 · 𝑛) / e)↑(4 · 𝑛)))
251	61, 53, 54	expmuld 14186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑((2 · 𝑛) · 2)) = ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))
252	8, 12, 15, 137	expdivd 14197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(4 · 𝑛)) = (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
253	250, 251, 252	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) = (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
254	247, 253	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) / (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛)))))
255	247, 194	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) ∈ ℂ)
256	8, 137	expcld 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
257	12, 137	expcld 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (e↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
258	46, 27	zmulcld 12726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 · 𝑛) ∈ ℤ)
259	8, 69, 258	expne0d 14189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
260	12, 15, 258	expne0d 14189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (e↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
261	255, 256, 257, 259, 260	divdiv2d 12073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) / (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛)))) = ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))))
262	7, 137	expcld 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
263	262, 257, 260	divcan1d 12042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) = (𝑛↑(4 · 𝑛)))
264	263	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))))
265	6, 7, 137	mulexpd 14198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛))))
266	265	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))))
267	138, 262	mulcomd 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛))))
268	267	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛)))))
269	7, 25, 258	expne0d 14189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
270	6, 68, 258	expne0d 14189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
271	262, 262, 138, 269, 270	divdiv1d 12072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) / (2↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛)))))
272	262, 269	dividd 12039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) = 1)
273	272	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) / (2↑(4 · 𝑛))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
274	268, 271, 273	3eqtr2d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
275	264, 266, 274	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
276	254, 261, 275	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
277	242, 276	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))) = (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛)))))
278	277	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))))
279	138, 270	reccld 12034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (2↑(4 · 𝑛))) ∈ ℂ)
280	138, 7, 279	mul12d 11468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))))
281	7	mulridd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
282	138, 270	recidd 12036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛)))) = 1)
283	282	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = (𝑛 · 1))
284	281, 283, 233	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
285	278, 280, 284	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
286	186, 200, 285	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
287	286	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((𝑛↑2) / 𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
288	236, 7, 172, 25, 184	divdiv1d 12072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) / 𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
289	287, 288	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
290	289	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
291	185, 290	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
292	165, 169, 291	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
293	142, 159, 292	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
294	293	mpteq2ia 5251	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
295	1, 136, 294	3eqtri 2767	1 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 ℂcc 11151 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 ≤ cle 11294 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 4c4 12321 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ℝ⁺crp 13032 ↑cexp 14099 !cfa 14309 √csqrt 15269 eceu 16095

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-rep 5285 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-inf2 9679 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-int 4952 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-se 5642 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-isom 6572 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-er 8744 df-pm 8868 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-sup 9480 df-inf 9481 df-oi 9548 df-card 9977 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-n0 12525 df-z 12612 df-uz 12877 df-q 12989 df-rp 13033 df-ico 13390 df-fz 13545 df-fzo 13692 df-fl 13829 df-seq 14040 df-exp 14100 df-fac 14310 df-bc 14339 df-hash 14367 df-shft 15103 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-limsup 15504 df-clim 15521 df-rlim 15522 df-sum 15720 df-ef 16100 df-e 16101

This theorem is referenced by: stirlinglem15 46044

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