Theorem stirlinglem3 45997

Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that 𝑉, the Wallis formula for π , can be expressed in terms of 𝐴, the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the 𝐴, in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem3.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem3.2	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem3.3	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem3.4	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem3	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))

Proof of Theorem stirlinglem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem3.4	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
2		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3		faccl 14332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
4		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
6		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 15486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
10		ere 16137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ
11	10	recni 11304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
13		epos 16255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
14	10, 13	gt0ne0ii 11826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
16	7, 12, 15	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
17	16, 2	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
18	9, 17	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
19		2rp 13062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
21		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
22	20, 21	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
23	22	sqrtgt0d 15461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
24	23	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
25		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
26	7, 12, 25, 15	divne0d 12086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
27		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
28	16, 26, 27	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
29	9, 17, 24, 28	mulne0d 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
30	5, 18, 29	divcld 12070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
31		stirlinglem3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32	31	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
33	30, 32	mpdan 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
34	33	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4))
35		stirlinglem3.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
36	35	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑛) = ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
37	18, 36	mpdan 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘𝑛) = ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
38	37	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘𝑛)↑4) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4))
39	34, 38	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) = ((((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
40		4nn0 12572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ0)
42	5, 18, 29, 41	expdivd 14210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) = (((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
43	42	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) = ((((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
44	5, 41	expcld 14196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
45	18, 41	expcld 14196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) ∈ ℂ)
46	41	nn0zd 12665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℤ)
47	18, 29, 46	expne0d 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) ≠ 0)
48	44, 45, 47	divcan1d 12071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) = ((!‘𝑛)↑4))
49	39, 43, 48	3eqtrd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) = ((!‘𝑛)↑4))
50	49	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛)↑4) = (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)))
51	50	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))))
52		2nn0 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
54	53, 2	nn0mulcld 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
55		faccl 14332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ)
56		nncn 12301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
58	57	sqcld 14194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
59	6, 8	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
60	59	sqrtcld 15486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
61	8, 12, 15	divcld 12070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / e) ∈ ℂ)
62	61, 54	expcld 14196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
64	63	sqcld 14194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) ∈ ℂ)
65	20, 22	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
66	65	sqrtgt0d 15461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (2 · 𝑛))))
67	66	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · (2 · 𝑛))) ≠ 0)
68	20	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
69	6, 7, 68, 25	mulne0d 11942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
70	8, 12, 69, 15	divne0d 12086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / e) ≠ 0)
71		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
73	72, 27	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
74	61, 70, 73	expne0d 14202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)) ≠ 0)
75	60, 62, 67, 74	mulne0d 11942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))) ≠ 0)
76	63, 75, 72	expne0d 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) ≠ 0)
77	58, 64, 76	divcan1d 12071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((!‘(2 · 𝑛))↑2))
78	57, 63, 75, 53	expdivd 14210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) = (((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
79	78	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2))
80	79	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
81	77, 80	eqtr3d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
82		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
83		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
84	83	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑚)))
85		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / e) = (𝑚 / e))
86		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
87	85, 86	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑚 / e)↑𝑚))
88	84, 87	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))
89	82, 88	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
90	89	cbvmptv 5279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
91	31, 90	eqtri 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
92		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (!‘𝑚) = (!‘(2 · 𝑛)))
93		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (2 · 𝑚) = (2 · (2 · 𝑛)))
94	93	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (√‘(2 · 𝑚)) = (√‘(2 · (2 · 𝑛))))
95		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (𝑚 / e) = ((2 · 𝑛) / e))
96		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → 𝑚 = (2 · 𝑛))
97	95, 96	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((𝑚 / e)↑𝑚) = (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))
98	94, 97	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
99	92, 98	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
100		2nn 12366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
102		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
103	101, 102	nnmulcld 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
104	57, 63, 75	divcld 12070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))) ∈ ℂ)
105	91, 99, 103, 104	fvmptd3 7052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
106	105	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) = (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2))
107	106	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
108	107	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
109		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
110	98	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (2 · 𝑛)) → ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
111	109, 110, 103, 63	fvmptd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
112	111	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2))
113	112	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2))
114	113	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
115	81, 108, 114	3eqtrd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
116	88	cbvmptv 5279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
118	117	fveq1d 6922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)))
119	118	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)))
120	119	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2))
121	120	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
122	105, 104	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
123		stirlinglem3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
124	123	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
125	122, 124	mpdan 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
126	125	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = (𝐷‘𝑛))
127	126	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) = ((𝐷‘𝑛)↑2))
128	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
129	128	fveq1d 6922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)))
130	129	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)) = (𝐸‘(2 · 𝑛)))
131	130	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2) = ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))
132	127, 131	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))
133	115, 121, 132	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))
134	51, 133	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
135	134	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
136	135	mpteq2ia 5269	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
137	41, 2	nn0mulcld 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 · 𝑛) ∈ ℕ0)
138	6, 137	expcld 14196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
139	49, 44	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) ∈ ℂ)
140	138, 139	mulcomd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))))
141	140	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
142	141	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
143	125, 122	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℂ)
144	143	sqcld 14194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ∈ ℂ)
145	128, 117	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐸 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
146	145, 110, 103, 63	fvmptd 7036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
147	146, 63	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
148	147	sqcld 14194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
149		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
150	54, 55, 149	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
151	57, 63, 150, 75	divne0d 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))) ≠ 0)
152	105, 151	eqnetrd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
153	125, 152	eqnetrd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ≠ 0)
154	143, 153, 72	expne0d 14202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ≠ 0)
155	146, 75	eqnetrd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
156	147, 155, 72	expne0d 14202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) ≠ 0)
157	139, 144, 138, 148, 154, 156	divmuldivd 12111	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
158	157	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
159	158	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
160	33, 30	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
161	160, 41	expcld 14196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
162	38, 45	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
163	161, 162, 144, 154	div23d 12107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)))
164	163	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
165	164	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
166	161, 144, 154	divcld 12070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
167	138, 148, 156	divcld 12070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) ∈ ℂ)
168	166, 162, 167	mulassd 11313	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))))
169	168	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
170	162, 167	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) ∈ ℂ)
171		1cnd 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
172	8, 171	addcld 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
173		0red 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
174	103	nnred 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
175		2re 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
177		nnre 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
178	176, 177	remulcld 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
179		1red 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
180	178, 179	readdcld 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
181	103	nngt0d 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
182	174	ltp1d 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) < ((2 · 𝑛) + 1))
183	173, 174, 180, 181, 182	lttrd 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
184	183	gt0ne0d 11854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
185	166, 170, 172, 184	divassd 12105	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))))
186	162, 138, 148, 156	div12d 12106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
187	9, 17, 41	mulexpd 14211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) = (((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)))
188	60, 62	sqmuld 14208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))
189	187, 188	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
190	146	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2))
191	38, 190	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
192	9, 41	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) ∈ ℂ)
193	60	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) ∈ ℂ)
194	17, 41	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) ∈ ℂ)
195	62	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
196	60, 67, 72	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) ≠ 0)
197	62, 74, 72	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) ≠ 0)
198	192, 193, 194, 195, 196, 197	divmuldivd 12111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
199	189, 191, 198	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
200	199	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))))
201	65	rprege0d 13106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (2 · 𝑛))))
202		resqrtth 15304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (2 · 𝑛))) → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) = (2 · (2 · 𝑛)))
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) = (2 · (2 · 𝑛)))
204	203	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) = (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / (2 · (2 · 𝑛))))
205		2t2e4 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 2) = 4
206	205	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 = (2 · 2)
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 = (2 · 2))
208	207	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) = ((√‘(2 · 𝑛))↑(2 · 2)))
209	9, 53, 53	expmuld 14199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑(2 · 2)) = (((√‘(2 · 𝑛))↑2)↑2))
210	22	rprege0d 13106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛)))
211		resqrtth 15304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛)) → ((√‘(2 · 𝑛))↑2) = (2 · 𝑛))
212	210, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑2) = (2 · 𝑛))
213	212	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑2)↑2) = ((2 · 𝑛)↑2))
214	208, 209, 213	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) = ((2 · 𝑛)↑2))
215	6, 6, 7	mulassd 11313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑛) = (2 · (2 · 𝑛)))
216	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
217	216	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑛) = (4 · 𝑛))
218	215, 217	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) = (4 · 𝑛))
219	214, 218	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / (2 · (2 · 𝑛))) = (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)))
220	6, 7	sqmuld 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑2) = ((2↑2) · (𝑛↑2)))
221		sq2 14246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
223	222	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑛↑2)) = (4 · (𝑛↑2)))
224	220, 223	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑2) = (4 · (𝑛↑2)))
225	224	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)) = ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)))
226		4cn 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℂ
227		4ne0 12401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ≠ 0
228	226, 227	dividi 12027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 / 4) = 1
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 / 4) = 1)
230	7	sqvald 14193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
231	230	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = ((𝑛 · 𝑛) / 𝑛))
232	7, 7, 25	divcan4d 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 · 𝑛) / 𝑛) = 𝑛)
233	231, 232	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = 𝑛)
234	229, 233	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / 4) · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = (1 · 𝑛))
235	41	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
236	7	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
237	227	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
238	235, 235, 236, 7, 237, 25	divmuldivd 12111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / 4) · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)))
239	7	mullidd 11308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
240	234, 238, 239	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)) = 𝑛)
241	225, 240	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)) = 𝑛)
242	204, 219, 241	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) = 𝑛)
243	7, 235	mulcomd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 4) = (4 · 𝑛))
244	243	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(𝑛 · 4)) = ((𝑛 / e)↑(4 · 𝑛)))
245	16, 41, 2	expmuld 14199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(𝑛 · 4)) = (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4))
246	7, 12, 15, 137	expdivd 14210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(4 · 𝑛)) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
247	244, 245, 246	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
248	6, 7, 6	mul32d 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) · 2) = ((2 · 2) · 𝑛))
249	248, 217	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) · 2) = (4 · 𝑛))
250	249	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑((2 · 𝑛) · 2)) = (((2 · 𝑛) / e)↑(4 · 𝑛)))
251	61, 53, 54	expmuld 14199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑((2 · 𝑛) · 2)) = ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))
252	8, 12, 15, 137	expdivd 14210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(4 · 𝑛)) = (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
253	250, 251, 252	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) = (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
254	247, 253	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) / (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛)))))
255	247, 194	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) ∈ ℂ)
256	8, 137	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
257	12, 137	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (e↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
258	46, 27	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 · 𝑛) ∈ ℤ)
259	8, 69, 258	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
260	12, 15, 258	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (e↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
261	255, 256, 257, 259, 260	divdiv2d 12102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) / (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛)))) = ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))))
262	7, 137	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
263	262, 257, 260	divcan1d 12071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) = (𝑛↑(4 · 𝑛)))
264	263	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))))
265	6, 7, 137	mulexpd 14211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛))))
266	265	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))))
267	138, 262	mulcomd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛))))
268	267	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛)))))
269	7, 25, 258	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
270	6, 68, 258	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
271	262, 262, 138, 269, 270	divdiv1d 12101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) / (2↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛)))))
272	262, 269	dividd 12068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) = 1)
273	272	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) / (2↑(4 · 𝑛))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
274	268, 271, 273	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
275	264, 266, 274	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
276	254, 261, 275	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
277	242, 276	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))) = (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛)))))
278	277	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))))
279	138, 270	reccld 12063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (2↑(4 · 𝑛))) ∈ ℂ)
280	138, 7, 279	mul12d 11499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))))
281	7	mulridd 11307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
282	138, 270	recidd 12065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛)))) = 1)
283	282	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = (𝑛 · 1))
284	281, 283, 233	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
285	278, 280, 284	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
286	186, 200, 285	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
287	286	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((𝑛↑2) / 𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
288	236, 7, 172, 25, 184	divdiv1d 12101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) / 𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
289	287, 288	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
290	289	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
291	185, 290	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
292	165, 169, 291	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
293	142, 159, 292	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
294	293	mpteq2ia 5269	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
295	1, 136, 294	3eqtri 2772	1 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  4c4 12350  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  !cfa 14322  √csqrt 15282  eceu 16110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116

This theorem is referenced by:  stirlinglem15  46009