MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcmpblnr 11012
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 5-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnr ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (((๐ด +P ๐ท) = (๐ต +P ๐ถ) โˆง (๐น +P ๐‘†) = (๐บ +P ๐‘…)) โ†’ โŸจ((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)), ((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น))โŸฉ ~R โŸจ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)), ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))โŸฉ))

Proof of Theorem mulcmpblnr
StepHypRef Expression
1 mulcmpblnrlem 11011 . . 3 (((๐ด +P ๐ท) = (๐ต +P ๐ถ) โˆง (๐น +P ๐‘†) = (๐บ +P ๐‘…)) โ†’ ((๐ท ยทP ๐น) +P (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…)))) = ((๐ท ยทP ๐น) +P (((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)))))
2 mulclpr 10961 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ P โˆง ๐น โˆˆ P) โ†’ (๐ท ยทP ๐น) โˆˆ P)
32ad2ant2lr 747 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P) โˆง (๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P)) โ†’ (๐ท ยทP ๐น) โˆˆ P)
43ad2ant2lr 747 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (๐ท ยทP ๐น) โˆˆ P)
5 simplll 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ๐ด โˆˆ P)
6 simprll 778 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ๐น โˆˆ P)
7 mulclpr 10961 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐น โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐น) โˆˆ P)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (๐ด ยทP ๐น) โˆˆ P)
9 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ๐ต โˆˆ P)
10 simprlr 779 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ๐บ โˆˆ P)
11 mulclpr 10961 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐บ) โˆˆ P)
129, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (๐ต ยทP ๐บ) โˆˆ P)
13 addclpr 10959 . . . . . 6 (((๐ด ยทP ๐น) โˆˆ P โˆง (๐ต ยทP ๐บ) โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) โˆˆ P)
148, 12, 13syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) โˆˆ P)
15 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ๐ถ โˆˆ P)
16 simprrr 781 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ๐‘† โˆˆ P)
17 mulclpr 10961 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P) โ†’ (๐ถ ยทP ๐‘†) โˆˆ P)
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (๐ถ ยทP ๐‘†) โˆˆ P)
19 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ๐ท โˆˆ P)
20 simprrl 780 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ๐‘… โˆˆ P)
21 mulclpr 10961 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ P โˆง ๐‘… โˆˆ P) โ†’ (๐ท ยทP ๐‘…) โˆˆ P)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (๐ท ยทP ๐‘…) โˆˆ P)
23 addclpr 10959 . . . . . 6 (((๐ถ ยทP ๐‘†) โˆˆ P โˆง (๐ท ยทP ๐‘…) โˆˆ P) โ†’ ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…)) โˆˆ P)
2418, 22, 23syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…)) โˆˆ P)
25 addclpr 10959 . . . . 5 ((((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…)) โˆˆ P) โ†’ (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))) โˆˆ P)
2614, 24, 25syl2anc 585 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))) โˆˆ P)
27 addcanpr 10987 . . . 4 (((๐ท ยทP ๐น) โˆˆ P โˆง (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))) โˆˆ P) โ†’ (((๐ท ยทP ๐น) +P (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…)))) = ((๐ท ยทP ๐น) +P (((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)))) โ†’ (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))) = (((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)))))
284, 26, 27syl2anc 585 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (((๐ท ยทP ๐น) +P (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…)))) = ((๐ท ยทP ๐น) +P (((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)))) โ†’ (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))) = (((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)))))
291, 28syl5 34 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (((๐ด +P ๐ท) = (๐ต +P ๐ถ) โˆง (๐น +P ๐‘†) = (๐บ +P ๐‘…)) โ†’ (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))) = (((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)))))
30 mulclpr 10961 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐บ) โˆˆ P)
31 mulclpr 10961 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐น โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐น) โˆˆ P)
32 addclpr 10959 . . . . 5 (((๐ด ยทP ๐บ) โˆˆ P โˆง (๐ต ยทP ๐น) โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) โˆˆ P)
3330, 31, 32syl2an 597 . . . 4 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐น โˆˆ P)) โ†’ ((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) โˆˆ P)
345, 10, 9, 6, 33syl22anc 838 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) โˆˆ P)
35 mulclpr 10961 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ P โˆง ๐‘… โˆˆ P) โ†’ (๐ถ ยทP ๐‘…) โˆˆ P)
36 mulclpr 10961 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P) โ†’ (๐ท ยทP ๐‘†) โˆˆ P)
37 addclpr 10959 . . . . 5 (((๐ถ ยทP ๐‘…) โˆˆ P โˆง (๐ท ยทP ๐‘†) โˆˆ P) โ†’ ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)) โˆˆ P)
3835, 36, 37syl2an 597 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ P โˆง ๐‘… โˆˆ P) โˆง (๐ท โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P)) โ†’ ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)) โˆˆ P)
3915, 20, 19, 16, 38syl22anc 838 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)) โˆˆ P)
40 enrbreq 11006 . . 3 (((((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) โˆˆ P โˆง ((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) โˆˆ P) โˆง (((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)) โˆˆ P โˆง ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…)) โˆˆ P)) โ†’ (โŸจ((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)), ((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น))โŸฉ ~R โŸจ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)), ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))โŸฉ โ†” (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))) = (((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)))))
4114, 34, 39, 24, 40syl22anc 838 . 2 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (โŸจ((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)), ((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น))โŸฉ ~R โŸจ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)), ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))โŸฉ โ†” (((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))) = (((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น)) +P ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)))))
4229, 41sylibrd 259 1 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐ถ โˆˆ P โˆง ๐ท โˆˆ P)) โˆง ((๐น โˆˆ P โˆง ๐บ โˆˆ P) โˆง (๐‘… โˆˆ P โˆง ๐‘† โˆˆ P))) โ†’ (((๐ด +P ๐ท) = (๐ต +P ๐ถ) โˆง (๐น +P ๐‘†) = (๐บ +P ๐‘…)) โ†’ โŸจ((๐ด ยทP ๐น) +P (๐ต ยทP ๐บ)), ((๐ด ยทP ๐บ) +P (๐ต ยทP ๐น))โŸฉ ~R โŸจ((๐ถ ยทP ๐‘…) +P (๐ท ยทP ๐‘†)), ((๐ถ ยทP ๐‘†) +P (๐ท ยทP ๐‘…))โŸฉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4593   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  Pcnp 10800   +P cpp 10802   ยทP cmp 10803   ~R cer 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-ni 10813  df-pli 10814  df-mi 10815  df-lti 10816  df-plpq 10849  df-mpq 10850  df-ltpq 10851  df-enq 10852  df-nq 10853  df-erq 10854  df-plq 10855  df-mq 10856  df-1nq 10857  df-rq 10858  df-ltnq 10859  df-np 10922  df-plp 10924  df-mp 10925  df-ltp 10926  df-enr 10996
This theorem is referenced by:  mulsrmo  11015
  Copyright terms: Public domain W3C validator