MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcmpblnr 10486
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 5-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnr ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (((𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶) ∧ (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)), ((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹))⟩ ~R ⟨((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)), ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnr
StepHypRef Expression
1 mulcmpblnrlem 10485 . . 3 (((𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶) ∧ (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
2 mulclpr 10435 . . . . . 6 ((𝐷P𝐹P) → (𝐷 ·P 𝐹) ∈ P)
32ad2ant2lr 747 . . . . 5 (((𝐶P𝐷P) ∧ (𝐹P𝐺P)) → (𝐷 ·P 𝐹) ∈ P)
43ad2ant2lr 747 . . . 4 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (𝐷 ·P 𝐹) ∈ P)
5 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → 𝐴P)
6 simprll 778 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → 𝐹P)
7 mulclpr 10435 . . . . . . 7 ((𝐴P𝐹P) → (𝐴 ·P 𝐹) ∈ P)
85, 6, 7syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (𝐴 ·P 𝐹) ∈ P)
9 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → 𝐵P)
10 simprlr 779 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → 𝐺P)
11 mulclpr 10435 . . . . . . 7 ((𝐵P𝐺P) → (𝐵 ·P 𝐺) ∈ P)
129, 10, 11syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (𝐵 ·P 𝐺) ∈ P)
13 addclpr 10433 . . . . . 6 (((𝐴 ·P 𝐹) ∈ P ∧ (𝐵 ·P 𝐺) ∈ P) → ((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) ∈ P)
148, 12, 13syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → ((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) ∈ P)
15 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → 𝐶P)
16 simprrr 781 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → 𝑆P)
17 mulclpr 10435 . . . . . . 7 ((𝐶P𝑆P) → (𝐶 ·P 𝑆) ∈ P)
1815, 16, 17syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (𝐶 ·P 𝑆) ∈ P)
19 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → 𝐷P)
20 simprrl 780 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → 𝑅P)
21 mulclpr 10435 . . . . . . 7 ((𝐷P𝑅P) → (𝐷 ·P 𝑅) ∈ P)
2219, 20, 21syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (𝐷 ·P 𝑅) ∈ P)
23 addclpr 10433 . . . . . 6 (((𝐶 ·P 𝑆) ∈ P ∧ (𝐷 ·P 𝑅) ∈ P) → ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)) ∈ P)
2418, 22, 23syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)) ∈ P)
25 addclpr 10433 . . . . 5 ((((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) ∈ P ∧ ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)) ∈ P) → (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) ∈ P)
2614, 24, 25syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) ∈ P)
27 addcanpr 10461 . . . 4 (((𝐷 ·P 𝐹) ∈ P ∧ (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) ∈ P) → (((𝐷 ·P 𝐹) +P (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))) → (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
284, 26, 27syl2anc 587 . . 3 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (((𝐷 ·P 𝐹) +P (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))) → (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
291, 28syl5 34 . 2 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (((𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶) ∧ (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
30 mulclpr 10435 . . . . 5 ((𝐴P𝐺P) → (𝐴 ·P 𝐺) ∈ P)
31 mulclpr 10435 . . . . 5 ((𝐵P𝐹P) → (𝐵 ·P 𝐹) ∈ P)
32 addclpr 10433 . . . . 5 (((𝐴 ·P 𝐺) ∈ P ∧ (𝐵 ·P 𝐹) ∈ P) → ((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) ∈ P)
3330, 31, 32syl2an 598 . . . 4 (((𝐴P𝐺P) ∧ (𝐵P𝐹P)) → ((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) ∈ P)
345, 10, 9, 6, 33syl22anc 837 . . 3 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → ((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) ∈ P)
35 mulclpr 10435 . . . . 5 ((𝐶P𝑅P) → (𝐶 ·P 𝑅) ∈ P)
36 mulclpr 10435 . . . . 5 ((𝐷P𝑆P) → (𝐷 ·P 𝑆) ∈ P)
37 addclpr 10433 . . . . 5 (((𝐶 ·P 𝑅) ∈ P ∧ (𝐷 ·P 𝑆) ∈ P) → ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)) ∈ P)
3835, 36, 37syl2an 598 . . . 4 (((𝐶P𝑅P) ∧ (𝐷P𝑆P)) → ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)) ∈ P)
3915, 20, 19, 16, 38syl22anc 837 . . 3 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)) ∈ P)
40 enrbreq 10480 . . 3 (((((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) ∈ P ∧ ((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) ∈ P) ∧ (((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)) ∈ P ∧ ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)) ∈ P)) → (⟨((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)), ((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹))⟩ ~R ⟨((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)), ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))⟩ ↔ (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
4114, 34, 39, 24, 40syl22anc 837 . 2 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (⟨((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)), ((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹))⟩ ~R ⟨((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)), ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))⟩ ↔ (((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
4229, 41sylibrd 262 1 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ ((𝐹P𝐺P) ∧ (𝑅P𝑆P))) → (((𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶) ∧ (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·P 𝐹) +P (𝐵 ·P 𝐺)), ((𝐴 ·P 𝐺) +P (𝐵 ·P 𝐹))⟩ ~R ⟨((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)), ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  cop 4534   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  Pcnp 10274   +P cpp 10276   ·P cmp 10277   ~R cer 10279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ni 10287  df-pli 10288  df-mi 10289  df-lti 10290  df-plpq 10323  df-mpq 10324  df-ltpq 10325  df-enq 10326  df-nq 10327  df-erq 10328  df-plq 10329  df-mq 10330  df-1nq 10331  df-rq 10332  df-ltnq 10333  df-np 10396  df-plp 10398  df-mp 10399  df-ltp 10400  df-enr 10470
This theorem is referenced by:  mulsrmo  10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator