MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negexsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negexsr 10513
Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
negexsr (𝐴R → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negexsr
StepHypRef Expression
1 m1r 10493 . . 3 -1RR
2 mulclsr 10495 . . 3 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
31, 2mpan2 690 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
4 pn0sr 10512 . 2 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
5 oveq2 7148 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → (𝐴 +R 𝑥) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
65eqeq1d 2824 . . 3 (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → ((𝐴 +R 𝑥) = 0R ↔ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R))
76rspcev 3598 . 2 (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R) → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
83, 4, 7syl2anc 587 1 (𝐴R → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131  (class class class)co 7140  Rcnr 10276  0Rc0r 10277  -1Rcm1r 10279   +R cplr 10280   ·R cmr 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-mpq 10320  df-ltpq 10321  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-mq 10326  df-1nq 10327  df-rq 10328  df-ltnq 10329  df-np 10392  df-1p 10393  df-plp 10394  df-mp 10395  df-ltp 10396  df-enr 10466  df-nr 10467  df-plr 10468  df-mr 10469  df-0r 10471  df-1r 10472  df-m1r 10473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator