Theorem negexsr 11103

Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
negexsr	⊢ (𝐴 ∈ R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 11083	. . 3 ⊢ -1R ∈ R
2		mulclsr 11085	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
3	1, 2	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
4		pn0sr 11102	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
5		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → (𝐴 +R 𝑥) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
6	5	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → ((𝐴 +R 𝑥) = 0R ↔ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R))
7	6	rspcev 3612	. 2 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
8	3, 4, 7	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  (class class class)co 7412  Rcnr 10866  0_Rc0r 10867  -1_Rcm1r 10869   +_R cplr 10870   ·_R cmr 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-ni 10873  df-pli 10874  df-mi 10875  df-lti 10876  df-plpq 10909  df-mpq 10910  df-ltpq 10911  df-enq 10912  df-nq 10913  df-erq 10914  df-plq 10915  df-mq 10916  df-1nq 10917  df-rq 10918  df-ltnq 10919  df-np 10982  df-1p 10983  df-plp 10984  df-mp 10985  df-ltp 10986  df-enr 11056  df-nr 11057  df-plr 11058  df-mr 11059  df-0r 11061  df-1r 11062  df-m1r 11063

This theorem is referenced by: (None)