Theorem negexsr 10524

Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
negexsr	⊢ (𝐴 ∈ R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 10504	. . 3 ⊢ -1R ∈ R
2		mulclsr 10506	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
4		pn0sr 10523	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
5		oveq2 7164	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → (𝐴 +R 𝑥) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
6	5	eqeq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → ((𝐴 +R 𝑥) = 0R ↔ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R))
7	6	rspcev 3623	. 2 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
8	3, 4, 7	syl2anc 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  (class class class)co 7156  Rcnr 10287  0_Rc0r 10288  -1_Rcm1r 10290   +_R cplr 10291   ·_R cmr 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-ec 8291  df-qs 8295  df-ni 10294  df-pli 10295  df-mi 10296  df-lti 10297  df-plpq 10330  df-mpq 10331  df-ltpq 10332  df-enq 10333  df-nq 10334  df-erq 10335  df-plq 10336  df-mq 10337  df-1nq 10338  df-rq 10339  df-ltnq 10340  df-np 10403  df-1p 10404  df-plp 10405  df-mp 10406  df-ltp 10407  df-enr 10477  df-nr 10478  df-plr 10479  df-mr 10480  df-0r 10482  df-1r 10483  df-m1r 10484

This theorem is referenced by: (None)