MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negexsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negexsr 10240
Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
negexsr (𝐴R → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negexsr
StepHypRef Expression
1 m1r 10220 . . 3 -1RR
2 mulclsr 10222 . . 3 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
31, 2mpan2 684 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
4 pn0sr 10239 . 2 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
5 oveq2 6914 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → (𝐴 +R 𝑥) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
65eqeq1d 2828 . . 3 (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → ((𝐴 +R 𝑥) = 0R ↔ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R))
76rspcev 3527 . 2 (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R) → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
83, 4, 7syl2anc 581 1 (𝐴R → ∃𝑥R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3119  (class class class)co 6906  Rcnr 10003  0Rc0r 10004  -1Rcm1r 10006   +R cplr 10007   ·R cmr 10008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-er 8010  df-ec 8012  df-qs 8016  df-ni 10010  df-pli 10011  df-mi 10012  df-lti 10013  df-plpq 10046  df-mpq 10047  df-ltpq 10048  df-enq 10049  df-nq 10050  df-erq 10051  df-plq 10052  df-mq 10053  df-1nq 10054  df-rq 10055  df-ltnq 10056  df-np 10119  df-1p 10120  df-plp 10121  df-mp 10122  df-ltp 10123  df-enr 10193  df-nr 10194  df-plr 10195  df-mr 10196  df-0r 10198  df-1r 10199  df-m1r 10200
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator