Theorem pn0sr 11135

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1idsr 11132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
3		distrsr 11125	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R))
4		m1p1sr 11126	. . . . 5 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
5	4	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
6		addcomsr 11121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
7	3, 5, 6	3eqtr3i 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
8		00sr 11133	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
9	7, 8	eqtr3id 2809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
10	2, 9	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  Rcnr 10899  0_Rc0r 10900  1_Rc1r 10901  -1_Rcm1r 10902   +_R cplr 10903   ·_R cmr 10904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-ni 10906  df-pli 10907  df-mi 10908  df-lti 10909  df-plpq 10942  df-mpq 10943  df-ltpq 10944  df-enq 10945  df-nq 10946  df-erq 10947  df-plq 10948  df-mq 10949  df-1nq 10950  df-rq 10951  df-ltnq 10952  df-np 11015  df-1p 11016  df-plp 11017  df-mp 11018  df-ltp 11019  df-enr 11089  df-nr 11090  df-plr 11091  df-mr 11092  df-0r 11094  df-1r 11095  df-m1r 11096

This theorem is used by:  negexsr  11136  sqgt0sr  11140  map2psrpr  11144  axrnegex  11196