Theorem pn0sr 11090

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1idsr 11087	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
3		distrsr 11080	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R))
4		m1p1sr 11081	. . . . 5 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
5	4	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
6		addcomsr 11076	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
7	3, 5, 6	3eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
8		00sr 11088	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
9	7, 8	eqtr3id 2812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
10	2, 9	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  Rcnr 10854  0_Rc0r 10855  1_Rc1r 10856  -1_Rcm1r 10857   +_R cplr 10858   ·_R cmr 10859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-ni 10861  df-pli 10862  df-mi 10863  df-lti 10864  df-plpq 10897  df-mpq 10898  df-ltpq 10899  df-enq 10900  df-nq 10901  df-erq 10902  df-plq 10903  df-mq 10904  df-1nq 10905  df-rq 10906  df-ltnq 10907  df-np 10970  df-1p 10971  df-plp 10972  df-mp 10973  df-ltp 10974  df-enr 11044  df-nr 11045  df-plr 11046  df-mr 11047  df-0r 11049  df-1r 11050  df-m1r 11051

This theorem is used by:  negexsr  11091  sqgt0sr  11095  map2psrpr  11099  axrnegex  11151