Theorem pn0sr 10950

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1idsr 10947	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7344	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
3		distrsr 10940	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R))
4		m1p1sr 10941	. . . . 5 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
5	4	oveq2i 7340	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
6		addcomsr 10936	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
7	3, 5, 6	3eqtr3i 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
8		00sr 10948	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
9	7, 8	eqtr3id 2790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
10	2, 9	eqtr3d 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7329  Rcnr 10714  0_Rc0r 10715  1_Rc1r 10716  -1_Rcm1r 10717   +_R cplr 10718   ·_R cmr 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-oadd 8363  df-omul 8364  df-er 8561  df-ec 8563  df-qs 8567  df-ni 10721  df-pli 10722  df-mi 10723  df-lti 10724  df-plpq 10757  df-mpq 10758  df-ltpq 10759  df-enq 10760  df-nq 10761  df-erq 10762  df-plq 10763  df-mq 10764  df-1nq 10765  df-rq 10766  df-ltnq 10767  df-np 10830  df-1p 10831  df-plp 10832  df-mp 10833  df-ltp 10834  df-enr 10904  df-nr 10905  df-plr 10906  df-mr 10907  df-0r 10909  df-1r 10910  df-m1r 10911

This theorem is referenced by:  negexsr  10951  sqgt0sr  10955  map2psrpr  10959  axrnegex  11011