Theorem pn0sr 10992

Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1idsr 10989	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
2	1	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
3		distrsr 10982	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R))
4		m1p1sr 10983	. . . . 5 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
5	4	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
6		addcomsr 10978	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
7	3, 5, 6	3eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
8		00sr 10990	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
9	7, 8	eqtr3id 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
10	2, 9	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  Rcnr 10756  0_Rc0r 10757  1_Rc1r 10758  -1_Rcm1r 10759   +_R cplr 10760   ·_R cmr 10761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-ni 10763  df-pli 10764  df-mi 10765  df-lti 10766  df-plpq 10799  df-mpq 10800  df-ltpq 10801  df-enq 10802  df-nq 10803  df-erq 10804  df-plq 10805  df-mq 10806  df-1nq 10807  df-rq 10808  df-ltnq 10809  df-np 10872  df-1p 10873  df-plp 10874  df-mp 10875  df-ltp 10876  df-enr 10946  df-nr 10947  df-plr 10948  df-mr 10949  df-0r 10951  df-1r 10952  df-m1r 10953

This theorem is referenced by:  negexsr  10993  sqgt0sr  10997  map2psrpr  11001  axrnegex  11053