Theorem sge0rernmpt 46079

Description: If the sum of nonnegative extended reals is not +∞ then no term is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0rernmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0rernmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0rernmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0rernmpt.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0rernmpt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0rernmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11302	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11309	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13455	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		sge0rernmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	5, 6	sselid 3976	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		iccgelb 13428	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
9	2, 4, 6, 8	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → ¬ 𝐵 < +∞)
11		nltpnft 13191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
13	12	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
14	10, 13	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → 𝐵 = +∞)
15	14	eqcomd 2732	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → +∞ = 𝐵)
16		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
17		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
18	17	elrnmpt1 5956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
19	16, 6, 18	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
20	19	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → 𝐵 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
21	15, 20	eqeltrd 2826	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
22		sge0rernmpt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
23		sge0rernmpt.xph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
24	23, 6, 17	fmptdf 7123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
25		sge0rernmpt.re	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	22, 24, 25	sge0rern 46045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
27	26	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
28	21, 27	condan 816	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 < +∞)
29	2, 4, 7, 9, 28	elicod 13422	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228  ran crn 5675  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149  +∞cpnf 11286  ℝ^*cxr 11288   < clt 11289   ≤ cle 11290  [,)cico 13374  [,]cicc 13375  Σ^{^}csumge0 46019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-sumge0 46020

This theorem is referenced by:  sge0ltfirpmpt2  46083  sge0xadd  46092