Theorem ioopnfsup 14007

Description: An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ioopnfsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem ioopnfsup

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11366	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
4		nltpnft 13297	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5	4	necon2abid 2997	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
6	5	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
7		ioon0 13505	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)+∞) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < +∞))
8	3, 7	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → ((𝐴(,)+∞) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < +∞))
9	6, 8	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴(,)+∞) ≠ ∅)
10		df-ioo 13483	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		idd 25	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 < +∞))
12		xrltle 13281	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 ≤ +∞))
13		idd 25	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 < 𝑤))
14		xrltle 13281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
15	10, 11, 12, 13, 14	ixxub 13500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)+∞) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  supcsup 9435  +∞cpnf 11343  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346  (,)cioo 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-ioo 13483

This theorem is used by:  rpsup  14009  resup  14010  dvfsumrlim  26356  logno1  26969