Theorem ioopnfsup 13796

Description: An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ioopnfsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem ioopnfsup

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11198	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
4		nltpnft 13091	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5	4	necon2abid 2975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
6	5	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
7		ioon0 13299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)+∞) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < +∞))
8	3, 7	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → ((𝐴(,)+∞) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < +∞))
9	6, 8	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴(,)+∞) ≠ ∅)
10		df-ioo 13277	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		idd 24	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 < +∞))
12		xrltle 13075	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 ≤ +∞))
13		idd 24	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 < 𝑤))
14		xrltle 13075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
15	10, 11, 12, 13, 14	ixxub 13294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)+∞) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  supcsup 9355  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  (,)cioo 13273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-ioo 13277

This theorem is referenced by:  rpsup  13798  resup  13799  dvfsumrlim  26006  logno1  26613