MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioopnfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioopnfsup 13901
Description: An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ioopnfsup ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem ioopnfsup
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfxr 11313 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
4 nltpnft 13203 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
54necon2abid 2981 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
65biimpar 477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
7 ioon0 13410 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)+∞) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < +∞))
83, 7syldan 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → ((𝐴(,)+∞) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < +∞))
96, 8mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴(,)+∞) ≠ ∅)
10 df-ioo 13388 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
11 idd 24 . . 3 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 < +∞))
12 xrltle 13188 . . 3 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 < +∞ → 𝑤 ≤ +∞))
13 idd 24 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴 < 𝑤))
14 xrltle 13188 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
1510, 11, 12, 13, 14ixxub 13405 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)+∞) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
161, 3, 9, 15syl3anc 1370 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → sup((𝐴(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  supcsup 9478  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  (,)cioo 13384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388
This theorem is referenced by:  rpsup  13903  resup  13904  dvfsumrlim  26087  logno1  26693
  Copyright terms: Public domain W3C validator