Theorem nmopreltpnf 32079

Description: The norm of a Hilbert space operator is real iff it is less than infinity. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopreltpnf	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) < +∞))

Proof of Theorem nmopreltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoprepnf 32077	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) ≠ +∞))
2		nmopxr 32076	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
3		nltpnft 13177	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ* → ((normop‘𝑇) = +∞ ↔ ¬ (normop‘𝑇) < +∞))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) = +∞ ↔ ¬ (normop‘𝑇) < +∞))
5	4	necon2abid 3000	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) < +∞ ↔ (normop‘𝑇) ≠ +∞))
6	1, 5	bitr4d 284	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) < +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5101  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  ℝcr 11083  +∞cpnf 11224  ℝ^*cxr 11226   < clt 11227   ℋchba 31129  norm_opcnop 31155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-hilex 31209  ax-hfvadd 31210  ax-hvcom 31211  ax-hvass 31212  ax-hv0cl 31213  ax-hvaddid 31214  ax-hfvmul 31215  ax-hvmulid 31216  ax-hvmulass 31217  ax-hvdistr1 31218  ax-hvdistr2 31219  ax-hvmul0 31220  ax-hfi 31289  ax-his1 31292  ax-his2 31293  ax-his3 31294  ax-his4 31295

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9386  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-rp 13004  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-grpo 30703  df-gid 30704  df-ablo 30755  df-vc 30769  df-nv 30802  df-va 30805  df-ba 30806  df-sm 30807  df-0v 30808  df-nmcv 30810  df-hnorm 31178  df-hba 31179  df-hvsub 31181  df-nmop 32049

This theorem is referenced by:  elbdop2  32081