Theorem nmopreltpnf 31949

Description: The norm of a Hilbert space operator is real iff it is less than infinity. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopreltpnf	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) < +∞))

Proof of Theorem nmopreltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoprepnf 31947	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) ≠ +∞))
2		nmopxr 31946	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
3		nltpnft 13084	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ* → ((normop‘𝑇) = +∞ ↔ ¬ (normop‘𝑇) < +∞))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) = +∞ ↔ ¬ (normop‘𝑇) < +∞))
5	4	necon2abid 2975	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) < +∞ ↔ (normop‘𝑇) ≠ +∞))
6	1, 5	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) < +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  ℝcr 11030  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ℋchba 30999  norm_opcnop 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-hilex 31079  ax-hfvadd 31080  ax-hvcom 31081  ax-hvass 31082  ax-hv0cl 31083  ax-hvaddid 31084  ax-hfvmul 31085  ax-hvmulid 31086  ax-hvmulass 31087  ax-hvdistr1 31088  ax-hvdistr2 31089  ax-hvmul0 31090  ax-hfi 31159  ax-his1 31162  ax-his2 31163  ax-his3 31164  ax-his4 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-seq 13930  df-exp 13990  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-grpo 30573  df-gid 30574  df-ablo 30625  df-vc 30639  df-nv 30672  df-va 30675  df-ba 30676  df-sm 30677  df-0v 30678  df-nmcv 30680  df-hnorm 31048  df-hba 31049  df-hvsub 31051  df-nmop 31919

This theorem is referenced by:  elbdop2  31951