Theorem nmopreltpnf 30519

Description: The norm of a Hilbert space operator is real iff it is less than infinity. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopreltpnf	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) < +∞))

Proof of Theorem nmopreltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoprepnf 30517	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) ≠ +∞))
2		nmopxr 30516	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
3		nltpnft 12999	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ* → ((normop‘𝑇) = +∞ ↔ ¬ (normop‘𝑇) < +∞))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) = +∞ ↔ ¬ (normop‘𝑇) < +∞))
5	4	necon2abid 2983	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) < +∞ ↔ (normop‘𝑇) ≠ +∞))
6	1, 5	bitr4d 281	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) < +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   class class class wbr 5092  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  ℝcr 10971  +∞cpnf 11107  ℝ^*cxr 11109   < clt 11110   ℋchba 29569  norm_opcnop 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-hilex 29649  ax-hfvadd 29650  ax-hvcom 29651  ax-hvass 29652  ax-hv0cl 29653  ax-hvaddid 29654  ax-hfvmul 29655  ax-hvmulid 29656  ax-hvmulass 29657  ax-hvdistr1 29658  ax-hvdistr2 29659  ax-hvmul0 29660  ax-hfi 29729  ax-his1 29732  ax-his2 29733  ax-his3 29734  ax-his4 29735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-grpo 29143  df-gid 29144  df-ablo 29195  df-vc 29209  df-nv 29242  df-va 29245  df-ba 29246  df-sm 29247  df-0v 29248  df-nmcv 29250  df-hnorm 29618  df-hba 29619  df-hvsub 29621  df-nmop 30489

This theorem is referenced by:  elbdop2  30521