Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0mulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mulcom 41323
Description: Multiplication is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11170. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
nn0mulcom ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))

Proof of Theorem nn0mulcom
StepHypRef Expression
1 elnn0 12470 . 2 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
2 elnn0 12470 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โˆจ ๐ด = 0))
3 nnmulcom 41183 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
4 nnre 12215 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 remul02 41274 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
6 remul01 41276 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
75, 6eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 0))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (0 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 0))
9 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
10 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ต ยท 0))
119, 10eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (0 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 0)))
128, 11syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
1312impcom 408 . . . . 5 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
143, 13jaoian 955 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆจ ๐ด = 0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
152, 14sylanb 581 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
16 nn0re 12477 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 remul01 41276 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
18 remul02 41274 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
1917, 18eqtr4d 2775 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด))
2016, 19syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด))
21 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
22 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
2321, 22eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด)))
2420, 23syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
2524imp 407 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
2615, 25jaodan 956 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
271, 26sylan2b 594 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106   ยท cmul 11111  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-resub 41235
This theorem is referenced by:  zmulcom  41325
  Copyright terms: Public domain W3C validator