Theorem nn0mulcom 42461

Description: Multiplication is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11139. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem nn0mulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12451	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		elnn0 12451	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
3		nnmulcom 42267	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4		nnre 12200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		remul02 42400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
6		remul01 42402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0))
9		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
10		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 0))
11	9, 10	eqeq12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0)))
12	8, 11	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
13	12	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
14	3, 13	jaoian 958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
15	2, 14	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
16		nn0re 12458	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
17		remul01 42402	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
18		remul02 42400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
19	17, 18	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
21		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
22		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
23	21, 22	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
24	20, 23	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
26	15, 25	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27	1, 26	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-resub 42361

This theorem is referenced by:  zmulcom  42463