Theorem nn0mulcom 42427

Description: Multiplication is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11108. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem nn0mulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12420	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		elnn0 12420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
3		nnmulcom 42233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4		nnre 12169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		remul02 42366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
6		remul01 42368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0))
9		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
10		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 0))
11	9, 10	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0)))
12	8, 11	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
13	12	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
14	3, 13	jaoian 958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
15	2, 14	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
16		nn0re 12427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
17		remul01 42368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
18		remul02 42366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
19	17, 18	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
21		oveq2 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
22		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
23	21, 22	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
24	20, 23	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
26	15, 25	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27	1, 26	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   · cmul 11049  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-resub 42327

This theorem is referenced by:  zmulcom  42429