Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0mulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mulcom 41905
Description: Multiplication is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11176. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
nn0mulcom ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))

Proof of Theorem nn0mulcom
StepHypRef Expression
1 elnn0 12478 . 2 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0))
2 elnn0 12478 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โˆจ ๐ด = 0))
3 nnmulcom 41743 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
4 nnre 12223 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 remul02 41856 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
6 remul01 41858 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
75, 6eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 0))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (0 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 0))
9 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
10 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ต ยท 0))
119, 10eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (0 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 0)))
128, 11syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
1312impcom 407 . . . . 5 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
143, 13jaoian 953 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆจ ๐ด = 0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
152, 14sylanb 580 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
16 nn0re 12485 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 remul01 41858 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
18 remul02 41856 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
1917, 18eqtr4d 2769 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด))
2016, 19syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด))
21 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
22 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
2321, 22eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด)))
2420, 23syl5ibrcom 246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
2524imp 406 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
2615, 25jaodan 954 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต โˆˆ โ„• โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
271, 26sylan2b 593 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-resub 41817
This theorem is referenced by:  zmulcom  41907
  Copyright terms: Public domain W3C validator