Theorem nn0mulcom 42074

Description: Multiplication is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11202. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem nn0mulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12504	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		elnn0 12504	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
3		nnmulcom 41912	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4		nnre 12249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		remul02 42025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
6		remul01 42027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0))
9		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
10		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 0))
11	9, 10	eqeq12d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0)))
12	8, 11	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
13	12	impcom 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
14	3, 13	jaoian 954	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
15	2, 14	sylanb 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
16		nn0re 12511	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
17		remul01 42027	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
18		remul02 42025	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
19	17, 18	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
21		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
22		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
23	21, 22	eqeq12d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
24	20, 23	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
25	24	imp 405	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
26	15, 25	jaodan 955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27	1, 26	sylan2b 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7416  ℝcr 11137  0cc0 11138   · cmul 11143  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-resub 41986

This theorem is referenced by:  zmulcom  42076