Theorem nn0mulcom 41323

Description: Multiplication is commutative for nonnegative integers. Proven without ax-mulcom 11170. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem nn0mulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12470	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		elnn0 12470	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
3		nnmulcom 41183	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4		nnre 12215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		remul02 41274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
6		remul01 41276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0))
9		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
10		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 0))
11	9, 10	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (0 · 𝐵) = (𝐵 · 0)))
12	8, 11	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
13	12	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
14	3, 13	jaoian 955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
15	2, 14	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
16		nn0re 12477	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
17		remul01 41276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
18		remul02 41274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
19	17, 18	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
21		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
22		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
23	21, 22	eqeq12d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴)))
24	20, 23	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
25	24	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
26	15, 25	jaodan 956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
27	1, 26	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-resub 41235

This theorem is referenced by:  zmulcom  41325