Theorem ofsubge0 12152

Description: Function analogue of subge0 11657. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubge0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem ofsubge0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffvelcdmda 7031	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7031	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5	2, 4	subge0d 11734	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidva 3159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
7		0cn 11130	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		fnconstg 6723	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
10	1	ffnd 6664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
11	3	ffnd 6664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
12		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		inidm 4168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
14	10, 11, 12, 12, 13	offn 7638	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐴)
15		c0ex 11132	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	fvconst2 7153	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
18		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
20	10, 11, 12, 12, 13, 18, 19	ofval 7636	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
21	9, 14, 12, 12, 13, 17, 20	ofrfval 7635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
22	11, 10, 12, 12, 13, 19, 18	ofrfval 7635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
23	6, 21, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5623   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623   ∘_r cofr 7624  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032   ≤ cle 11174   − cmin 11371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374

This theorem is referenced by: (None)