Theorem ofsubge0 11972

Description: Function analogue of subge0 11488. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubge0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem ofsubge0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffvelrnda 6961	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffvelrnda 6961	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5	2, 4	subge0d 11565	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidva 3111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
7		0cn 10967	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		fnconstg 6662	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
10	1	ffnd 6601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
11	3	ffnd 6601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
12		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		inidm 4152	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
14	10, 11, 12, 12, 13	offn 7546	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐴)
15		c0ex 10969	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	fvconst2 7079	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
18		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
20	10, 11, 12, 12, 13, 18, 19	ofval 7544	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
21	9, 14, 12, 12, 13, 17, 20	ofrfval 7543	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
22	11, 10, 12, 12, 13, 19, 18	ofrfval 7543	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
23	6, 21, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {csn 4561   class class class wbr 5074   × cxp 5587   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   ∘_r cofr 7532  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   ≤ cle 11010   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by: (None)