Theorem ofsubge0 12359

Description: Function analogue of subge0 11869. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubge0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem ofsubge0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffvelcdmda 7116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5	2, 4	subge0d 11946	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidva 3187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
7		0cn 11337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		fnconstg 6800	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
9	7, 8	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
10	1	ffnd 6740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
11	3	ffnd 6740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
12		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		inidm 4126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
14	10, 11, 12, 12, 13	offn 7738	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐴)
15		c0ex 11339	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	fvconst2 7241	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
18		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
20	10, 11, 12, 12, 13, 18, 19	ofval 7736	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
21	9, 14, 12, 12, 13, 17, 20	ofrfval 7735	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
22	11, 10, 12, 12, 13, 19, 18	ofrfval 7735	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
23	6, 21, 22	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5656   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723   ∘_r cofr 7724  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239   ≤ cle 11383   − cmin 11580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by: (None)