Theorem ofsubge0 12156

Description: Function analogue of subge0 11662. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubge0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem ofsubge0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5	2, 4	subge0d 11739	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidva 3159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
7		0cn 11136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		fnconstg 6730	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
10	1	ffnd 6671	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
11	3	ffnd 6671	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
12		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		inidm 4181	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
14	10, 11, 12, 12, 13	offn 7645	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐴)
15		c0ex 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	fvconst2 7160	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
18		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
20	10, 11, 12, 12, 13, 18, 19	ofval 7643	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
21	9, 14, 12, 12, 13, 17, 20	ofrfval 7642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
22	11, 10, 12, 12, 13, 19, 18	ofrfval 7642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
23	6, 21, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝐺) ↔ 𝐺 ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   ∘_r cofr 7631  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by: (None)