Theorem subge0d 11728

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11651	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   ≤ cle 11169   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12145  uzsubsubfz  13467  modsubdir  13865  modsumfzodifsn  13869  serle  13982  discr  14165  bcval5  14243  fzomaxdiflem  15268  sqreulem  15285  amgm2  15295  climle  15565  rlimle  15573  iseralt  15610  fsumle  15724  cvgcmp  15741  binomrisefac  15967  smuval2  16411  pcz  16811  4sqlem15  16889  mndodconglem  19438  ipcau2  25150  pjthlem1  25353  ovolicc2lem4  25437  vitalilem2  25526  itg1lea  25629  dvlip  25914  dvge0  25927  dvle  25928  dvivthlem1  25929  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  dvfsumlem4  25952  loglesqrt  26687  emcllem6  26927  harmoniclbnd  26935  basellem9  27015  gausslemma2dlem0h  27290  lgseisenlem1  27302  2sqmod  27363  vmadivsum  27409  rplogsumlem1  27411  dchrisumlem2  27417  rplogsum  27454  vmalogdivsum2  27465  selberg2lem  27477  logdivbnd  27483  pntpbnd2  27514  pntibndlem2  27518  pntlemg  27525  pntlemn  27527  ttgcontlem1  28848  brbtwn2  28868  axpaschlem  28903  axcontlem8  28934  crctcsh  29787  clwlkclwwlklem2a1  29954  clwlkclwwlklem2fv2  29958  pjhthlem1  31353  leop2  32086  pjssposi  32134  fdvposle  34568  rddif2  36450  dnibndlem4  36454  broucube  37633  areacirclem2  37688  areacirclem4  37690  areacirclem5  37691  areacirc  37692  aks6d1c5lem3  42110  bcle2d  42152  acongrep  42953  sqrtcvallem2  43610  sqrtcvallem4  43612  lptre2pt  45622  dvnmul  45925  dvnprodlem1  45928  dvnprodlem2  45929  stoweidlem1  45983  stoweidlem26  46008  stoweidlem62  46044  wallispilem4  46050  fourierdlem26  46115  fourierdlem42  46131  fourierdlem65  46153  fourierdlem75  46163  elaa2lem  46215  etransclem3  46219  etransclem7  46223  etransclem10  46226  etransclem20  46236  etransclem21  46237  etransclem22  46238  etransclem24  46240  etransclem27  46243  hoidmvlelem1  46577  submodlt  47335  nnpw2pmod  48569  2itscp  48767