Theorem subge0d 11810

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11733	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11250   − cmin 11447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  ofsubge0  12223  uzsubsubfz  13581  modsubdir  13983  modsumfzodifsn  13987  serle  14100  discr  14283  bcval5  14361  fzomaxdiflem  15401  sqreulem  15418  amgm2  15428  climle  15698  rlimle  15706  iseralt  15743  fsumle  15858  cvgcmp  15875  binomrisefac  16102  smuval2  16546  pcz  16947  4sqlem15  17025  mndodconglem  19617  ipcau2  25404  pjthlem1  25607  ovolicc2lem4  25690  vitalilem2  25779  itg1lea  25882  dvlip  26163  dvge0  26176  dvle  26177  dvivthlem1  26178  dvfsumlem2  26197  dvfsumlem4  26199  loglesqrt  26937  emcllem6  27176  harmoniclbnd  27184  basellem9  27264  gausslemma2dlem0h  27538  lgseisenlem1  27550  2sqmod  27611  vmadivsum  27657  rplogsumlem1  27659  dchrisumlem2  27665  rplogsum  27702  vmalogdivsum2  27713  selberg2lem  27725  logdivbnd  27731  pntpbnd2  27762  pntibndlem2  27766  pntlemg  27773  pntlemn  27775  ttgcontlem1  29245  brbtwn2  29266  axpaschlem  29301  axcontlem8  29332  crctcsh  30184  clwlkclwwlklem2a1  30354  clwlkclwwlklem2fv2  30358  pjhthlem1  31754  leop2  32487  pjssposi  32535  fdvposle  34997  rddif2  37094  dnibndlem4  37098  broucube  38333  areacirclem2  38388  areacirclem4  38390  areacirclem5  38391  areacirc  38392  aks6d1c5lem3  42932  bcle2d  42974  acongrep  43735  sqrtcvallem2  44391  sqrtcvallem4  44393  lptre2pt  46382  dvnmul  46685  dvnprodlem1  46688  dvnprodlem2  46689  stoweidlem1  46743  stoweidlem26  46768  stoweidlem62  46804  wallispilem4  46810  fourierdlem26  46875  fourierdlem42  46891  fourierdlem65  46913  fourierdlem75  46923  elaa2lem  46975  etransclem3  46979  etransclem7  46983  etransclem10  46986  etransclem20  46996  etransclem21  46997  etransclem22  46998  etransclem24  47000  etransclem27  47003  hoidmvlelem1  47337  flmrecm1  48108  submodlt  48121  nnpw2pmod  49391  2itscp  49589