MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subge0d 11218
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
subge0d (𝜑 → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem subge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 subge0 11141 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  cle 10664  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  ofsubge0  11625  uzsubsubfz  12917  modsubdir  13296  modsumfzodifsn  13300  serle  13413  discr  13589  bcval5  13666  fzomaxdiflem  14690  sqreulem  14707  amgm2  14717  climle  14984  rlimle  14992  iseralt  15029  fsumle  15142  cvgcmp  15159  binomrisefac  15384  smuval2  15819  pcz  16205  4sqlem15  16283  mndodconglem  18598  ipcau2  23764  pjthlem1  23967  ovolicc2lem4  24048  vitalilem2  24137  itg1lea  24240  dvlip  24517  dvge0  24530  dvle  24531  dvivthlem1  24532  dvfsumlem2  24551  dvfsumlem4  24553  loglesqrt  25266  emcllem6  25505  harmoniclbnd  25513  basellem9  25593  gausslemma2dlem0h  25866  lgseisenlem1  25878  2sqmod  25939  vmadivsum  25985  rplogsumlem1  25987  dchrisumlem2  25993  rplogsum  26030  vmalogdivsum2  26041  selberg2lem  26053  logdivbnd  26059  pntpbnd2  26090  pntibndlem2  26094  pntlemg  26101  pntlemn  26103  ttgcontlem1  26598  brbtwn2  26618  axpaschlem  26653  axcontlem8  26684  crctcsh  27529  clwlkclwwlklem2a1  27697  clwlkclwwlklem2fv2  27701  pjhthlem1  29095  leop2  29828  pjssposi  29876  fdvposle  31771  rddif2  33713  dnibndlem4  33717  broucube  34807  areacirclem2  34864  areacirclem4  34866  areacirclem5  34867  areacirc  34868  acongrep  39455  lptre2pt  41797  dvnmul  42104  dvnprodlem1  42107  dvnprodlem2  42108  stoweidlem1  42163  stoweidlem26  42188  stoweidlem62  42224  wallispilem4  42230  fourierdlem26  42295  fourierdlem42  42311  fourierdlem65  42333  fourierdlem75  42343  elaa2lem  42395  etransclem3  42399  etransclem7  42403  etransclem10  42406  etransclem20  42416  etransclem21  42417  etransclem22  42418  etransclem24  42420  etransclem27  42423  hoidmvlelem1  42754  nnpw2pmod  44571  2itscp  44696
  Copyright terms: Public domain W3C validator