Theorem subge0d 11827

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11750	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   ≤ cle 11270   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12239  uzsubsubfz  13563  modsubdir  13958  modsumfzodifsn  13962  serle  14075  discr  14258  bcval5  14336  fzomaxdiflem  15361  sqreulem  15378  amgm2  15388  climle  15656  rlimle  15664  iseralt  15701  fsumle  15815  cvgcmp  15832  binomrisefac  16058  smuval2  16501  pcz  16901  4sqlem15  16979  mndodconglem  19522  ipcau2  25186  pjthlem1  25389  ovolicc2lem4  25473  vitalilem2  25562  itg1lea  25665  dvlip  25950  dvge0  25963  dvle  25964  dvivthlem1  25965  dvfsumlem2  25985  dvfsumlem2OLD  25986  dvfsumlem4  25988  loglesqrt  26723  emcllem6  26963  harmoniclbnd  26971  basellem9  27051  gausslemma2dlem0h  27326  lgseisenlem1  27338  2sqmod  27399  vmadivsum  27445  rplogsumlem1  27447  dchrisumlem2  27453  rplogsum  27490  vmalogdivsum2  27501  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntlemg  27561  pntlemn  27563  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28884  axpaschlem  28919  axcontlem8  28950  crctcsh  29806  clwlkclwwlklem2a1  29973  clwlkclwwlklem2fv2  29977  pjhthlem1  31372  leop2  32105  pjssposi  32153  fdvposle  34633  rddif2  36495  dnibndlem4  36499  broucube  37678  areacirclem2  37733  areacirclem4  37735  areacirclem5  37736  areacirc  37737  aks6d1c5lem3  42150  bcle2d  42192  metakunt29  42246  acongrep  43004  sqrtcvallem2  43661  sqrtcvallem4  43663  lptre2pt  45669  dvnmul  45972  dvnprodlem1  45975  dvnprodlem2  45976  stoweidlem1  46030  stoweidlem26  46055  stoweidlem62  46091  wallispilem4  46097  fourierdlem26  46162  fourierdlem42  46178  fourierdlem65  46200  fourierdlem75  46210  elaa2lem  46262  etransclem3  46266  etransclem7  46270  etransclem10  46273  etransclem20  46283  etransclem21  46284  etransclem22  46285  etransclem24  46287  etransclem27  46290  hoidmvlelem1  46624  submodlt  47379  nnpw2pmod  48563  2itscp  48761