Theorem subge0d 11083

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11006	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4966  (class class class)co 7021  ℝcr 10387  0cc0 10388   ≤ cle 10527   − cmin 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725

This theorem is referenced by:  ofsubge0  11490  uzsubsubfz  12784  modsubdir  13163  modsumfzodifsn  13167  serle  13280  discr  13456  bcval5  13533  fzomaxdiflem  14541  sqreulem  14558  amgm2  14568  climle  14835  rlimle  14843  iseralt  14880  fsumle  14992  cvgcmp  15009  binomrisefac  15234  smuval2  15669  pcz  16051  4sqlem15  16129  mndodconglem  18405  ipcau2  23525  pjthlem1  23728  ovolicc2lem4  23809  vitalilem2  23898  itg1lea  24001  dvlip  24278  dvge0  24291  dvle  24292  dvivthlem1  24293  dvfsumlem2  24312  dvfsumlem4  24314  loglesqrt  25025  emcllem6  25265  harmoniclbnd  25273  basellem9  25353  gausslemma2dlem0h  25626  lgseisenlem1  25638  2sqmod  25699  vmadivsum  25745  rplogsumlem1  25747  dchrisumlem2  25753  rplogsum  25790  vmalogdivsum2  25801  selberg2lem  25813  logdivbnd  25819  pntpbnd2  25850  pntibndlem2  25854  pntlemg  25861  pntlemn  25863  ttgcontlem1  26359  brbtwn2  26379  axpaschlem  26414  axcontlem8  26445  crctcsh  27294  clwlkclwwlklem2a1  27462  clwlkclwwlklem2fv2  27466  pjhthlem1  28864  leop2  29597  pjssposi  29645  fdvposle  31494  rddif2  33432  dnibndlem4  33436  broucube  34483  areacirclem2  34540  areacirclem4  34542  areacirclem5  34543  areacirc  34544  acongrep  39088  lptre2pt  41489  dvnmul  41796  dvnprodlem1  41799  dvnprodlem2  41800  stoweidlem1  41855  stoweidlem26  41880  stoweidlem62  41916  wallispilem4  41922  fourierdlem26  41987  fourierdlem42  42003  fourierdlem65  42025  fourierdlem75  42035  elaa2lem  42087  etransclem3  42091  etransclem7  42095  etransclem10  42098  etransclem20  42108  etransclem21  42109  etransclem22  42110  etransclem24  42112  etransclem27  42115  hoidmvlelem1  42446  nnpw2pmod  44151  2itscp  44276