Theorem subge0d 11495

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   ≤ cle 10941   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  ofsubge0  11902  uzsubsubfz  13207  modsubdir  13588  modsumfzodifsn  13592  serle  13706  discr  13883  bcval5  13960  fzomaxdiflem  14982  sqreulem  14999  amgm2  15009  climle  15277  rlimle  15287  iseralt  15324  fsumle  15439  cvgcmp  15456  binomrisefac  15680  smuval2  16117  pcz  16510  4sqlem15  16588  mndodconglem  19064  ipcau2  24303  pjthlem1  24506  ovolicc2lem4  24589  vitalilem2  24678  itg1lea  24782  dvlip  25062  dvge0  25075  dvle  25076  dvivthlem1  25077  dvfsumlem2  25096  dvfsumlem4  25098  loglesqrt  25816  emcllem6  26055  harmoniclbnd  26063  basellem9  26143  gausslemma2dlem0h  26416  lgseisenlem1  26428  2sqmod  26489  vmadivsum  26535  rplogsumlem1  26537  dchrisumlem2  26543  rplogsum  26580  vmalogdivsum2  26591  selberg2lem  26603  logdivbnd  26609  pntpbnd2  26640  pntibndlem2  26644  pntlemg  26651  pntlemn  26653  ttgcontlem1  27155  brbtwn2  27176  axpaschlem  27211  axcontlem8  27242  crctcsh  28090  clwlkclwwlklem2a1  28257  clwlkclwwlklem2fv2  28261  pjhthlem1  29654  leop2  30387  pjssposi  30435  fdvposle  32481  rddif2  34584  dnibndlem4  34588  broucube  35738  areacirclem2  35793  areacirclem4  35795  areacirclem5  35796  areacirc  35797  metakunt29  40081  acongrep  40718  sqrtcvallem2  41134  sqrtcvallem4  41136  lptre2pt  43071  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  stoweidlem1  43432  stoweidlem26  43457  stoweidlem62  43493  wallispilem4  43499  fourierdlem26  43564  fourierdlem42  43580  fourierdlem65  43602  fourierdlem75  43612  elaa2lem  43664  etransclem3  43668  etransclem7  43672  etransclem10  43675  etransclem20  43685  etransclem21  43686  etransclem22  43687  etransclem24  43689  etransclem27  43692  hoidmvlelem1  44023  nnpw2pmod  45817  2itscp  46015