Theorem subge0d 11714

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11637	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   ≤ cle 11154   − cmin 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12131  uzsubsubfz  13448  modsubdir  13849  modsumfzodifsn  13853  serle  13966  discr  14149  bcval5  14227  fzomaxdiflem  15252  sqreulem  15269  amgm2  15279  climle  15549  rlimle  15557  iseralt  15594  fsumle  15708  cvgcmp  15725  binomrisefac  15951  smuval2  16395  pcz  16795  4sqlem15  16873  mndodconglem  19455  ipcau2  25162  pjthlem1  25365  ovolicc2lem4  25449  vitalilem2  25538  itg1lea  25641  dvlip  25926  dvge0  25939  dvle  25940  dvivthlem1  25941  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  dvfsumlem4  25964  loglesqrt  26699  emcllem6  26939  harmoniclbnd  26947  basellem9  27027  gausslemma2dlem0h  27302  lgseisenlem1  27314  2sqmod  27375  vmadivsum  27421  rplogsumlem1  27423  dchrisumlem2  27429  rplogsum  27466  vmalogdivsum2  27477  selberg2lem  27489  logdivbnd  27495  pntpbnd2  27526  pntibndlem2  27530  pntlemg  27537  pntlemn  27539  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28885  axpaschlem  28920  axcontlem8  28951  crctcsh  29804  clwlkclwwlklem2a1  29974  clwlkclwwlklem2fv2  29978  pjhthlem1  31373  leop2  32106  pjssposi  32154  fdvposle  34635  rddif2  36542  dnibndlem4  36546  broucube  37715  areacirclem2  37770  areacirclem4  37772  areacirclem5  37773  areacirc  37774  aks6d1c5lem3  42251  bcle2d  42293  acongrep  43098  sqrtcvallem2  43755  sqrtcvallem4  43757  lptre2pt  45763  dvnmul  46066  dvnprodlem1  46069  dvnprodlem2  46070  stoweidlem1  46124  stoweidlem26  46149  stoweidlem62  46185  wallispilem4  46191  fourierdlem26  46256  fourierdlem42  46272  fourierdlem65  46294  fourierdlem75  46304  elaa2lem  46356  etransclem3  46360  etransclem7  46364  etransclem10  46367  etransclem20  46377  etransclem21  46378  etransclem22  46379  etransclem24  46381  etransclem27  46384  hoidmvlelem1  46718  submodlt  47475  nnpw2pmod  48709  2itscp  48907