Theorem subge0d 11854

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158   ≤ cle 11299   − cmin 11494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12263  uzsubsubfz  13577  modsubdir  13960  modsumfzodifsn  13964  serle  14077  discr  14257  bcval5  14335  fzomaxdiflem  15347  sqreulem  15364  amgm2  15374  climle  15642  rlimle  15652  iseralt  15689  fsumle  15803  cvgcmp  15820  binomrisefac  16044  smuval2  16482  pcz  16883  4sqlem15  16961  mndodconglem  19539  ipcau2  25253  pjthlem1  25456  ovolicc2lem4  25540  vitalilem2  25629  itg1lea  25733  dvlip  26017  dvge0  26030  dvle  26031  dvivthlem1  26032  dvfsumlem2  26052  dvfsumlem2OLD  26053  dvfsumlem4  26055  loglesqrt  26789  emcllem6  27029  harmoniclbnd  27037  basellem9  27117  gausslemma2dlem0h  27392  lgseisenlem1  27404  2sqmod  27465  vmadivsum  27511  rplogsumlem1  27513  dchrisumlem2  27519  rplogsum  27556  vmalogdivsum2  27567  selberg2lem  27579  logdivbnd  27585  pntpbnd2  27616  pntibndlem2  27620  pntlemg  27627  pntlemn  27629  ttgcontlem1  28818  brbtwn2  28839  axpaschlem  28874  axcontlem8  28905  crctcsh  29758  clwlkclwwlklem2a1  29925  clwlkclwwlklem2fv2  29929  pjhthlem1  31324  leop2  32057  pjssposi  32105  fdvposle  34447  rddif2  36180  dnibndlem4  36184  broucube  37355  areacirclem2  37410  areacirclem4  37412  areacirclem5  37413  areacirc  37414  aks6d1c5lem3  41835  bcle2d  41877  metakunt29  41919  acongrep  42638  sqrtcvallem2  43304  sqrtcvallem4  43306  lptre2pt  45261  dvnmul  45564  dvnprodlem1  45567  dvnprodlem2  45568  stoweidlem1  45622  stoweidlem26  45647  stoweidlem62  45683  wallispilem4  45689  fourierdlem26  45754  fourierdlem42  45770  fourierdlem65  45792  fourierdlem75  45802  elaa2lem  45854  etransclem3  45858  etransclem7  45862  etransclem10  45865  etransclem20  45875  etransclem21  45876  etransclem22  45877  etransclem24  45879  etransclem27  45882  hoidmvlelem1  46216  nnpw2pmod  47971  2itscp  48169