Theorem subge0d 11808

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   ≤ cle 11253   − cmin 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12215  uzsubsubfz  13527  modsubdir  13909  modsumfzodifsn  13913  serle  14027  discr  14207  bcval5  14282  fzomaxdiflem  15293  sqreulem  15310  amgm2  15320  climle  15588  rlimle  15598  iseralt  15635  fsumle  15749  cvgcmp  15766  binomrisefac  15990  smuval2  16427  pcz  16818  4sqlem15  16896  mndodconglem  19450  ipcau2  24982  pjthlem1  25185  ovolicc2lem4  25269  vitalilem2  25358  itg1lea  25462  dvlip  25745  dvge0  25758  dvle  25759  dvivthlem1  25760  dvfsumlem2  25779  dvfsumlem4  25781  loglesqrt  26502  emcllem6  26741  harmoniclbnd  26749  basellem9  26829  gausslemma2dlem0h  27102  lgseisenlem1  27114  2sqmod  27175  vmadivsum  27221  rplogsumlem1  27223  dchrisumlem2  27229  rplogsum  27266  vmalogdivsum2  27277  selberg2lem  27289  logdivbnd  27295  pntpbnd2  27326  pntibndlem2  27330  pntlemg  27337  pntlemn  27339  ttgcontlem1  28409  brbtwn2  28430  axpaschlem  28465  axcontlem8  28496  crctcsh  29345  clwlkclwwlklem2a1  29512  clwlkclwwlklem2fv2  29516  pjhthlem1  30911  leop2  31644  pjssposi  31692  fdvposle  33911  gg-dvfsumlem2  35469  rddif2  35656  dnibndlem4  35660  broucube  36825  areacirclem2  36880  areacirclem4  36882  areacirclem5  36883  areacirc  36884  metakunt29  41319  acongrep  42021  sqrtcvallem2  42690  sqrtcvallem4  42692  lptre2pt  44654  dvnmul  44957  dvnprodlem1  44960  dvnprodlem2  44961  stoweidlem1  45015  stoweidlem26  45040  stoweidlem62  45076  wallispilem4  45082  fourierdlem26  45147  fourierdlem42  45163  fourierdlem65  45185  fourierdlem75  45195  elaa2lem  45247  etransclem3  45251  etransclem7  45255  etransclem10  45258  etransclem20  45268  etransclem21  45269  etransclem22  45270  etransclem24  45272  etransclem27  45275  hoidmvlelem1  45609  nnpw2pmod  47356  2itscp  47554