Theorem subge0d 11717

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11640	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11015  0cc0 11016   ≤ cle 11157   − cmin 11354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12134  uzsubsubfz  13456  modsubdir  13857  modsumfzodifsn  13861  serle  13974  discr  14157  bcval5  14235  fzomaxdiflem  15260  sqreulem  15277  amgm2  15287  climle  15557  rlimle  15565  iseralt  15602  fsumle  15716  cvgcmp  15733  binomrisefac  15959  smuval2  16403  pcz  16803  4sqlem15  16881  mndodconglem  19463  ipcau2  25171  pjthlem1  25374  ovolicc2lem4  25458  vitalilem2  25547  itg1lea  25650  dvlip  25935  dvge0  25948  dvle  25949  dvivthlem1  25950  dvfsumlem2  25970  dvfsumlem2OLD  25971  dvfsumlem4  25973  loglesqrt  26708  emcllem6  26948  harmoniclbnd  26956  basellem9  27036  gausslemma2dlem0h  27311  lgseisenlem1  27323  2sqmod  27384  vmadivsum  27430  rplogsumlem1  27432  dchrisumlem2  27438  rplogsum  27475  vmalogdivsum2  27486  selberg2lem  27498  logdivbnd  27504  pntpbnd2  27535  pntibndlem2  27539  pntlemg  27546  pntlemn  27548  ttgcontlem1  28873  brbtwn2  28894  axpaschlem  28929  axcontlem8  28960  crctcsh  29813  clwlkclwwlklem2a1  29983  clwlkclwwlklem2fv2  29987  pjhthlem1  31382  leop2  32115  pjssposi  32163  fdvposle  34625  rddif2  36532  dnibndlem4  36536  broucube  37704  areacirclem2  37759  areacirclem4  37761  areacirclem5  37762  areacirc  37763  aks6d1c5lem3  42240  bcle2d  42282  acongrep  43087  sqrtcvallem2  43744  sqrtcvallem4  43746  lptre2pt  45752  dvnmul  46055  dvnprodlem1  46058  dvnprodlem2  46059  stoweidlem1  46113  stoweidlem26  46138  stoweidlem62  46174  wallispilem4  46180  fourierdlem26  46245  fourierdlem42  46261  fourierdlem65  46283  fourierdlem75  46293  elaa2lem  46345  etransclem3  46349  etransclem7  46353  etransclem10  46356  etransclem20  46366  etransclem21  46367  etransclem22  46368  etransclem24  46370  etransclem27  46373  hoidmvlelem1  46707  submodlt  47464  nnpw2pmod  48698  2itscp  48896