Theorem subge0d 11850

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152   ≤ cle 11293   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12262  uzsubsubfz  13582  modsubdir  13977  modsumfzodifsn  13981  serle  14094  discr  14275  bcval5  14353  fzomaxdiflem  15377  sqreulem  15394  amgm2  15404  climle  15672  rlimle  15680  iseralt  15717  fsumle  15831  cvgcmp  15848  binomrisefac  16074  smuval2  16515  pcz  16914  4sqlem15  16992  mndodconglem  19573  ipcau2  25281  pjthlem1  25484  ovolicc2lem4  25568  vitalilem2  25657  itg1lea  25761  dvlip  26046  dvge0  26059  dvle  26060  dvivthlem1  26061  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  dvfsumlem4  26084  loglesqrt  26818  emcllem6  27058  harmoniclbnd  27066  basellem9  27146  gausslemma2dlem0h  27421  lgseisenlem1  27433  2sqmod  27494  vmadivsum  27540  rplogsumlem1  27542  dchrisumlem2  27548  rplogsum  27585  vmalogdivsum2  27596  selberg2lem  27608  logdivbnd  27614  pntpbnd2  27645  pntibndlem2  27649  pntlemg  27656  pntlemn  27658  ttgcontlem1  28913  brbtwn2  28934  axpaschlem  28969  axcontlem8  29000  crctcsh  29853  clwlkclwwlklem2a1  30020  clwlkclwwlklem2fv2  30024  pjhthlem1  31419  leop2  32152  pjssposi  32200  fdvposle  34594  rddif2  36459  dnibndlem4  36463  broucube  37640  areacirclem2  37695  areacirclem4  37697  areacirclem5  37698  areacirc  37699  aks6d1c5lem3  42118  bcle2d  42160  metakunt29  42214  acongrep  42968  sqrtcvallem2  43626  sqrtcvallem4  43628  lptre2pt  45595  dvnmul  45898  dvnprodlem1  45901  dvnprodlem2  45902  stoweidlem1  45956  stoweidlem26  45981  stoweidlem62  46017  wallispilem4  46023  fourierdlem26  46088  fourierdlem42  46104  fourierdlem65  46126  fourierdlem75  46136  elaa2lem  46188  etransclem3  46192  etransclem7  46196  etransclem10  46199  etransclem20  46209  etransclem21  46210  etransclem22  46211  etransclem24  46213  etransclem27  46216  hoidmvlelem1  46550  submodlt  47289  nnpw2pmod  48432  2itscp  48630