Theorem subge0d 11775

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11698	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   ≤ cle 11216   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12192  uzsubsubfz  13514  modsubdir  13912  modsumfzodifsn  13916  serle  14029  discr  14212  bcval5  14290  fzomaxdiflem  15316  sqreulem  15333  amgm2  15343  climle  15613  rlimle  15621  iseralt  15658  fsumle  15772  cvgcmp  15789  binomrisefac  16015  smuval2  16459  pcz  16859  4sqlem15  16937  mndodconglem  19478  ipcau2  25141  pjthlem1  25344  ovolicc2lem4  25428  vitalilem2  25517  itg1lea  25620  dvlip  25905  dvge0  25918  dvle  25919  dvivthlem1  25920  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  dvfsumlem4  25943  loglesqrt  26678  emcllem6  26918  harmoniclbnd  26926  basellem9  27006  gausslemma2dlem0h  27281  lgseisenlem1  27293  2sqmod  27354  vmadivsum  27400  rplogsumlem1  27402  dchrisumlem2  27408  rplogsum  27445  vmalogdivsum2  27456  selberg2lem  27468  logdivbnd  27474  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntlemg  27516  pntlemn  27518  ttgcontlem1  28819  brbtwn2  28839  axpaschlem  28874  axcontlem8  28905  crctcsh  29761  clwlkclwwlklem2a1  29928  clwlkclwwlklem2fv2  29932  pjhthlem1  31327  leop2  32060  pjssposi  32108  fdvposle  34599  rddif2  36472  dnibndlem4  36476  broucube  37655  areacirclem2  37710  areacirclem4  37712  areacirclem5  37713  areacirc  37714  aks6d1c5lem3  42132  bcle2d  42174  acongrep  42976  sqrtcvallem2  43633  sqrtcvallem4  43635  lptre2pt  45645  dvnmul  45948  dvnprodlem1  45951  dvnprodlem2  45952  stoweidlem1  46006  stoweidlem26  46031  stoweidlem62  46067  wallispilem4  46073  fourierdlem26  46138  fourierdlem42  46154  fourierdlem65  46176  fourierdlem75  46186  elaa2lem  46238  etransclem3  46242  etransclem7  46246  etransclem10  46249  etransclem20  46259  etransclem21  46260  etransclem22  46261  etransclem24  46263  etransclem27  46266  hoidmvlelem1  46600  submodlt  47355  nnpw2pmod  48576  2itscp  48774