Theorem subge0d 11731

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   ≤ cle 11171   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12149  uzsubsubfz  13491  modsubdir  13893  modsumfzodifsn  13897  serle  14010  discr  14193  bcval5  14271  fzomaxdiflem  15296  sqreulem  15313  amgm2  15323  climle  15593  rlimle  15601  iseralt  15638  fsumle  15753  cvgcmp  15770  binomrisefac  15998  smuval2  16442  pcz  16843  4sqlem15  16921  mndodconglem  19507  ipcau2  25211  pjthlem1  25414  ovolicc2lem4  25497  vitalilem2  25586  itg1lea  25689  dvlip  25970  dvge0  25983  dvle  25984  dvivthlem1  25985  dvfsumlem2  26004  dvfsumlem4  26006  loglesqrt  26738  emcllem6  26978  harmoniclbnd  26986  basellem9  27066  gausslemma2dlem0h  27340  lgseisenlem1  27352  2sqmod  27413  vmadivsum  27459  rplogsumlem1  27461  dchrisumlem2  27467  rplogsum  27504  vmalogdivsum2  27515  selberg2lem  27527  logdivbnd  27533  pntpbnd2  27564  pntibndlem2  27568  pntlemg  27575  pntlemn  27577  ttgcontlem1  28967  brbtwn2  28988  axpaschlem  29023  axcontlem8  29054  crctcsh  29907  clwlkclwwlklem2a1  30077  clwlkclwwlklem2fv2  30081  pjhthlem1  31477  leop2  32210  pjssposi  32258  fdvposle  34761  rddif2  36753  dnibndlem4  36757  broucube  37989  areacirclem2  38044  areacirclem4  38046  areacirclem5  38047  areacirc  38048  aks6d1c5lem3  42590  bcle2d  42632  acongrep  43426  sqrtcvallem2  44082  sqrtcvallem4  44084  lptre2pt  46086  dvnmul  46389  dvnprodlem1  46392  dvnprodlem2  46393  stoweidlem1  46447  stoweidlem26  46472  stoweidlem62  46508  wallispilem4  46514  fourierdlem26  46579  fourierdlem42  46595  fourierdlem65  46617  fourierdlem75  46627  elaa2lem  46679  etransclem3  46683  etransclem7  46687  etransclem10  46690  etransclem20  46700  etransclem21  46701  etransclem22  46702  etransclem24  46704  etransclem27  46707  hoidmvlelem1  47041  flmrecm1  47803  submodlt  47816  nnpw2pmod  49071  2itscp  49269