Theorem subge0d 11822

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11745	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118   ≤ cle 11262   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462

This theorem is used by:  ofsubge0  12235  uzsubsubfz  13593  modsubdir  13996  modsumfzodifsn  14000  serle  14113  discr  14296  bcval5  14374  fzomaxdiflem  15420  sqreulem  15437  amgm2  15447  climle  15717  rlimle  15725  iseralt  15762  fsumle  15877  cvgcmp  15894  binomrisefac  16121  smuval2  16565  pcz  16966  4sqlem15  17044  mndodconglem  19642  ipcau2  25430  pjthlem1  25633  ovolicc2lem4  25716  vitalilem2  25805  itg1lea  25908  dvlip  26189  dvge0  26202  dvle  26203  dvivthlem1  26204  dvfsumlem2  26223  dvfsumlem4  26225  loglesqrt  26963  emcllem6  27202  harmoniclbnd  27210  basellem9  27290  gausslemma2dlem0h  27564  lgseisenlem1  27576  2sqmod  27637  vmadivsum  27683  rplogsumlem1  27685  dchrisumlem2  27691  rplogsum  27728  vmalogdivsum2  27739  selberg2lem  27751  logdivbnd  27757  pntpbnd2  27788  pntibndlem2  27792  pntlemg  27799  pntlemn  27801  ttgcontlem1  29271  brbtwn2  29292  axpaschlem  29327  axcontlem8  29358  crctcsh  30210  clwlkclwwlklem2a1  30380  clwlkclwwlklem2fv2  30384  pjhthlem1  31780  leop2  32513  pjssposi  32561  fdvposle  35020  rddif2  37107  dnibndlem4  37111  broucube  38346  areacirclem2  38401  areacirclem4  38403  areacirclem5  38404  areacirc  38405  aks6d1c5lem3  42945  bcle2d  42987  acongrep  43748  sqrtcvallem2  44404  sqrtcvallem4  44406  lptre2pt  46395  dvnmul  46698  dvnprodlem1  46701  dvnprodlem2  46702  stoweidlem1  46756  stoweidlem26  46781  stoweidlem62  46817  wallispilem4  46823  fourierdlem26  46888  fourierdlem42  46904  fourierdlem65  46926  fourierdlem75  46936  elaa2lem  46988  etransclem3  46992  etransclem7  46996  etransclem10  46999  etransclem20  47009  etransclem21  47010  etransclem22  47011  etransclem24  47013  etransclem27  47016  hoidmvlelem1  47350  flmrecm1  48121  submodlt  48134  nnpw2pmod  49404  2itscp  49602