Theorem subge0d 11704

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11627	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003   ≤ cle 11144   − cmin 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12121  uzsubsubfz  13443  modsubdir  13844  modsumfzodifsn  13848  serle  13961  discr  14144  bcval5  14222  fzomaxdiflem  15247  sqreulem  15264  amgm2  15274  climle  15544  rlimle  15552  iseralt  15589  fsumle  15703  cvgcmp  15720  binomrisefac  15946  smuval2  16390  pcz  16790  4sqlem15  16868  mndodconglem  19451  ipcau2  25159  pjthlem1  25362  ovolicc2lem4  25446  vitalilem2  25535  itg1lea  25638  dvlip  25923  dvge0  25936  dvle  25937  dvivthlem1  25938  dvfsumlem2  25958  dvfsumlem2OLD  25959  dvfsumlem4  25961  loglesqrt  26696  emcllem6  26936  harmoniclbnd  26944  basellem9  27024  gausslemma2dlem0h  27299  lgseisenlem1  27311  2sqmod  27372  vmadivsum  27418  rplogsumlem1  27420  dchrisumlem2  27426  rplogsum  27463  vmalogdivsum2  27474  selberg2lem  27486  logdivbnd  27492  pntpbnd2  27523  pntibndlem2  27527  pntlemg  27534  pntlemn  27536  ttgcontlem1  28861  brbtwn2  28881  axpaschlem  28916  axcontlem8  28947  crctcsh  29800  clwlkclwwlklem2a1  29967  clwlkclwwlklem2fv2  29971  pjhthlem1  31366  leop2  32099  pjssposi  32147  fdvposle  34609  rddif2  36510  dnibndlem4  36514  broucube  37693  areacirclem2  37748  areacirclem4  37750  areacirclem5  37751  areacirc  37752  aks6d1c5lem3  42169  bcle2d  42211  acongrep  43012  sqrtcvallem2  43669  sqrtcvallem4  43671  lptre2pt  45677  dvnmul  45980  dvnprodlem1  45983  dvnprodlem2  45984  stoweidlem1  46038  stoweidlem26  46063  stoweidlem62  46099  wallispilem4  46105  fourierdlem26  46170  fourierdlem42  46186  fourierdlem65  46208  fourierdlem75  46218  elaa2lem  46270  etransclem3  46274  etransclem7  46278  etransclem10  46281  etransclem20  46291  etransclem21  46292  etransclem22  46293  etransclem24  46295  etransclem27  46298  hoidmvlelem1  46632  submodlt  47380  nnpw2pmod  48614  2itscp  48812