Theorem subge0d 11792

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11715	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   ≤ cle 11232   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12208  uzsubsubfz  13565  modsubdir  13967  modsumfzodifsn  13971  serle  14084  discr  14267  bcval5  14345  fzomaxdiflem  15384  sqreulem  15401  amgm2  15411  climle  15681  rlimle  15689  iseralt  15726  fsumle  15841  cvgcmp  15858  binomrisefac  16086  smuval2  16530  pcz  16931  4sqlem15  17009  mndodconglem  19602  ipcau2  25354  pjthlem1  25557  ovolicc2lem4  25640  vitalilem2  25729  itg1lea  25832  dvlip  26113  dvge0  26126  dvle  26127  dvivthlem1  26128  dvfsumlem2  26147  dvfsumlem4  26149  loglesqrt  26884  emcllem6  27123  harmoniclbnd  27131  basellem9  27211  gausslemma2dlem0h  27485  lgseisenlem1  27497  2sqmod  27558  vmadivsum  27604  rplogsumlem1  27606  dchrisumlem2  27612  rplogsum  27649  vmalogdivsum2  27660  selberg2lem  27672  logdivbnd  27678  pntpbnd2  27709  pntibndlem2  27713  pntlemg  27720  pntlemn  27722  ttgcontlem1  29143  brbtwn2  29164  axpaschlem  29199  axcontlem8  29230  crctcsh  30082  clwlkclwwlklem2a1  30252  clwlkclwwlklem2fv2  30256  pjhthlem1  31652  leop2  32385  pjssposi  32433  fdvposle  34905  rddif2  36928  dnibndlem4  36932  broucube  38165  areacirclem2  38220  areacirclem4  38222  areacirclem5  38223  areacirc  38224  aks6d1c5lem3  42766  bcle2d  42808  acongrep  43569  sqrtcvallem2  44225  sqrtcvallem4  44227  lptre2pt  46212  dvnmul  46515  dvnprodlem1  46518  dvnprodlem2  46519  stoweidlem1  46573  stoweidlem26  46598  stoweidlem62  46634  wallispilem4  46640  fourierdlem26  46705  fourierdlem42  46721  fourierdlem65  46743  fourierdlem75  46753  elaa2lem  46805  etransclem3  46809  etransclem7  46813  etransclem10  46816  etransclem20  46826  etransclem21  46827  etransclem22  46828  etransclem24  46830  etransclem27  46833  hoidmvlelem1  47167  flmrecm1  47935  submodlt  47948  nnpw2pmod  49214  2itscp  49412