Theorem subge0d 11933

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227   ≤ cle 11371   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571

This theorem is used by:  ofsubge0  12346  uzsubsubfz  13707  modsubdir  14110  modsumfzodifsn  14114  serle  14227  discr  14411  bcval5  14489  fzomaxdiflem  15539  sqreulem  15556  amgm2  15566  climle  15836  rlimle  15844  iseralt  15881  fsumle  15995  cvgcmp  16012  binomrisefac  16237  smuval2  16681  pcz  17088  4sqlem15  17166  mndodconglem  19785  ipcau2  25585  pjthlem1  25788  ovolicc2lem4  25871  vitalilem2  25960  itg1lea  26063  dvlip  26343  dvge0  26356  dvle  26357  dvivthlem1  26358  dvfsumlem2  26377  dvfsumlem4  26379  loglesqrt  27119  emcllem6  27358  harmoniclbnd  27366  basellem9  27446  gausslemma2dlem0h  27720  lgseisenlem1  27732  2sqmod  27793  vmadivsum  27839  rplogsumlem1  27841  dchrisumlem2  27847  rplogsum  27884  vmalogdivsum2  27895  selberg2lem  27907  logdivbnd  27913  pntpbnd2  27944  pntibndlem2  27948  pntlemg  27955  pntlemn  27957  ttgcontlem1  29492  brbtwn2  29513  axpaschlem  29548  axcontlem8  29579  crctcsh  30443  clwlkclwwlklem2a1  30613  clwlkclwwlklem2fv2  30617  pjhthlem1  32023  leop2  32756  pjssposi  32804  fdvposle  35300  rddif2  37521  dnibndlem4  37525  broucube  38764  areacirclem2  38819  areacirclem4  38821  areacirclem5  38822  areacirc  38823  aks6d1c5lem3  43379  bcle2d  43421  acongrep  44180  sqrtcvallem2  44829  sqrtcvallem4  44831  lptre2pt  46855  dvnmul  47158  dvnprodlem1  47161  dvnprodlem2  47162  stoweidlem1  47216  stoweidlem26  47241  stoweidlem62  47277  wallispilem4  47283  fourierdlem26  47348  fourierdlem42  47364  fourierdlem65  47386  fourierdlem75  47396  elaa2lem  47448  etransclem3  47452  etransclem7  47456  etransclem10  47459  etransclem20  47469  etransclem21  47470  etransclem22  47471  etransclem24  47473  etransclem27  47476  hoidmvlelem1  47810  flmrecm1  48618  submodlt  48631  nnpw2pmod  49900  2itscp  50098