Theorem subge0d 11880

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11803	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   ≤ cle 11325   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12292  uzsubsubfz  13606  modsubdir  13991  modsumfzodifsn  13995  serle  14108  discr  14289  bcval5  14367  fzomaxdiflem  15391  sqreulem  15408  amgm2  15418  climle  15686  rlimle  15696  iseralt  15733  fsumle  15847  cvgcmp  15864  binomrisefac  16090  smuval2  16528  pcz  16928  4sqlem15  17006  mndodconglem  19583  ipcau2  25287  pjthlem1  25490  ovolicc2lem4  25574  vitalilem2  25663  itg1lea  25767  dvlip  26052  dvge0  26065  dvle  26066  dvivthlem1  26067  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem4  26090  loglesqrt  26822  emcllem6  27062  harmoniclbnd  27070  basellem9  27150  gausslemma2dlem0h  27425  lgseisenlem1  27437  2sqmod  27498  vmadivsum  27544  rplogsumlem1  27546  dchrisumlem2  27552  rplogsum  27589  vmalogdivsum2  27600  selberg2lem  27612  logdivbnd  27618  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemg  27660  pntlemn  27662  ttgcontlem1  28917  brbtwn2  28938  axpaschlem  28973  axcontlem8  29004  crctcsh  29857  clwlkclwwlklem2a1  30024  clwlkclwwlklem2fv2  30028  pjhthlem1  31423  leop2  32156  pjssposi  32204  fdvposle  34578  rddif2  36443  dnibndlem4  36447  broucube  37614  areacirclem2  37669  areacirclem4  37671  areacirclem5  37672  areacirc  37673  aks6d1c5lem3  42094  bcle2d  42136  metakunt29  42190  acongrep  42937  sqrtcvallem2  43599  sqrtcvallem4  43601  lptre2pt  45561  dvnmul  45864  dvnprodlem1  45867  dvnprodlem2  45868  stoweidlem1  45922  stoweidlem26  45947  stoweidlem62  45983  wallispilem4  45989  fourierdlem26  46054  fourierdlem42  46070  fourierdlem65  46092  fourierdlem75  46102  elaa2lem  46154  etransclem3  46158  etransclem7  46162  etransclem10  46165  etransclem20  46175  etransclem21  46176  etransclem22  46177  etransclem24  46179  etransclem27  46182  hoidmvlelem1  46516  nnpw2pmod  48317  2itscp  48515