Theorem subge0d 11774

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11697	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   ≤ cle 11214   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12191  uzsubsubfz  13548  modsubdir  13950  modsumfzodifsn  13954  serle  14067  discr  14250  bcval5  14328  fzomaxdiflem  15353  sqreulem  15370  amgm2  15380  climle  15650  rlimle  15658  iseralt  15695  fsumle  15810  cvgcmp  15827  binomrisefac  16055  smuval2  16499  pcz  16900  4sqlem15  16978  mndodconglem  19564  ipcau2  25276  pjthlem1  25479  ovolicc2lem4  25562  vitalilem2  25651  itg1lea  25754  dvlip  26035  dvge0  26048  dvle  26049  dvivthlem1  26050  dvfsumlem2  26069  dvfsumlem4  26071  loglesqrt  26803  emcllem6  27042  harmoniclbnd  27050  basellem9  27130  gausslemma2dlem0h  27404  lgseisenlem1  27416  2sqmod  27477  vmadivsum  27523  rplogsumlem1  27525  dchrisumlem2  27531  rplogsum  27568  vmalogdivsum2  27579  selberg2lem  27591  logdivbnd  27597  pntpbnd2  27628  pntibndlem2  27632  pntlemg  27639  pntlemn  27641  ttgcontlem1  29031  brbtwn2  29052  axpaschlem  29087  axcontlem8  29118  crctcsh  29970  clwlkclwwlklem2a1  30140  clwlkclwwlklem2fv2  30144  pjhthlem1  31540  leop2  32273  pjssposi  32321  fdvposle  34859  rddif2  36879  dnibndlem4  36883  broucube  38117  areacirclem2  38172  areacirclem4  38174  areacirclem5  38175  areacirc  38176  aks6d1c5lem3  42718  bcle2d  42760  acongrep  43521  sqrtcvallem2  44177  sqrtcvallem4  44179  lptre2pt  46178  dvnmul  46481  dvnprodlem1  46484  dvnprodlem2  46485  stoweidlem1  46539  stoweidlem26  46564  stoweidlem62  46600  wallispilem4  46606  fourierdlem26  46671  fourierdlem42  46687  fourierdlem65  46709  fourierdlem75  46719  elaa2lem  46771  etransclem3  46775  etransclem7  46779  etransclem10  46782  etransclem20  46792  etransclem21  46793  etransclem22  46794  etransclem24  46796  etransclem27  46799  hoidmvlelem1  47133  flmrecm1  47901  submodlt  47914  nnpw2pmod  49169  2itscp  49367