Theorem subge0d 11768

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12185  uzsubsubfz  13507  modsubdir  13905  modsumfzodifsn  13909  serle  14022  discr  14205  bcval5  14283  fzomaxdiflem  15309  sqreulem  15326  amgm2  15336  climle  15606  rlimle  15614  iseralt  15651  fsumle  15765  cvgcmp  15782  binomrisefac  16008  smuval2  16452  pcz  16852  4sqlem15  16930  mndodconglem  19471  ipcau2  25134  pjthlem1  25337  ovolicc2lem4  25421  vitalilem2  25510  itg1lea  25613  dvlip  25898  dvge0  25911  dvle  25912  dvivthlem1  25913  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  dvfsumlem4  25936  loglesqrt  26671  emcllem6  26911  harmoniclbnd  26919  basellem9  26999  gausslemma2dlem0h  27274  lgseisenlem1  27286  2sqmod  27347  vmadivsum  27393  rplogsumlem1  27395  dchrisumlem2  27401  rplogsum  27438  vmalogdivsum2  27449  selberg2lem  27461  logdivbnd  27467  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntlemg  27509  pntlemn  27511  ttgcontlem1  28812  brbtwn2  28832  axpaschlem  28867  axcontlem8  28898  crctcsh  29754  clwlkclwwlklem2a1  29921  clwlkclwwlklem2fv2  29925  pjhthlem1  31320  leop2  32053  pjssposi  32101  fdvposle  34592  rddif2  36465  dnibndlem4  36469  broucube  37648  areacirclem2  37703  areacirclem4  37705  areacirclem5  37706  areacirc  37707  aks6d1c5lem3  42125  bcle2d  42167  acongrep  42969  sqrtcvallem2  43626  sqrtcvallem4  43628  lptre2pt  45638  dvnmul  45941  dvnprodlem1  45944  dvnprodlem2  45945  stoweidlem1  45999  stoweidlem26  46024  stoweidlem62  46060  wallispilem4  46066  fourierdlem26  46131  fourierdlem42  46147  fourierdlem65  46169  fourierdlem75  46179  elaa2lem  46231  etransclem3  46235  etransclem7  46239  etransclem10  46242  etransclem20  46252  etransclem21  46253  etransclem22  46254  etransclem24  46256  etransclem27  46259  hoidmvlelem1  46593  submodlt  47351  nnpw2pmod  48572  2itscp  48770