Theorem subge0d 11565

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   ≤ cle 11010   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  ofsubge0  11972  uzsubsubfz  13278  modsubdir  13660  modsumfzodifsn  13664  serle  13778  discr  13955  bcval5  14032  fzomaxdiflem  15054  sqreulem  15071  amgm2  15081  climle  15349  rlimle  15359  iseralt  15396  fsumle  15511  cvgcmp  15528  binomrisefac  15752  smuval2  16189  pcz  16582  4sqlem15  16660  mndodconglem  19149  ipcau2  24398  pjthlem1  24601  ovolicc2lem4  24684  vitalilem2  24773  itg1lea  24877  dvlip  25157  dvge0  25170  dvle  25171  dvivthlem1  25172  dvfsumlem2  25191  dvfsumlem4  25193  loglesqrt  25911  emcllem6  26150  harmoniclbnd  26158  basellem9  26238  gausslemma2dlem0h  26511  lgseisenlem1  26523  2sqmod  26584  vmadivsum  26630  rplogsumlem1  26632  dchrisumlem2  26638  rplogsum  26675  vmalogdivsum2  26686  selberg2lem  26698  logdivbnd  26704  pntpbnd2  26735  pntibndlem2  26739  pntlemg  26746  pntlemn  26748  ttgcontlem1  27252  brbtwn2  27273  axpaschlem  27308  axcontlem8  27339  crctcsh  28189  clwlkclwwlklem2a1  28356  clwlkclwwlklem2fv2  28360  pjhthlem1  29753  leop2  30486  pjssposi  30534  fdvposle  32581  rddif2  34657  dnibndlem4  34661  broucube  35811  areacirclem2  35866  areacirclem4  35868  areacirclem5  35869  areacirc  35870  metakunt29  40153  acongrep  40802  sqrtcvallem2  41245  sqrtcvallem4  41247  lptre2pt  43181  dvnmul  43484  dvnprodlem1  43487  dvnprodlem2  43488  stoweidlem1  43542  stoweidlem26  43567  stoweidlem62  43603  wallispilem4  43609  fourierdlem26  43674  fourierdlem42  43690  fourierdlem65  43712  fourierdlem75  43722  elaa2lem  43774  etransclem3  43778  etransclem7  43782  etransclem10  43785  etransclem20  43795  etransclem21  43796  etransclem22  43797  etransclem24  43799  etransclem27  43802  hoidmvlelem1  44133  nnpw2pmod  45929  2itscp  46127