Theorem subge0d 11738

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11661	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   ≤ cle 11178   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12156  uzsubsubfz  13498  modsubdir  13900  modsumfzodifsn  13904  serle  14017  discr  14200  bcval5  14278  fzomaxdiflem  15303  sqreulem  15320  amgm2  15330  climle  15600  rlimle  15608  iseralt  15645  fsumle  15760  cvgcmp  15777  binomrisefac  16005  smuval2  16449  pcz  16850  4sqlem15  16928  mndodconglem  19514  ipcau2  25226  pjthlem1  25429  ovolicc2lem4  25512  vitalilem2  25601  itg1lea  25704  dvlip  25985  dvge0  25998  dvle  25999  dvivthlem1  26000  dvfsumlem2  26019  dvfsumlem4  26021  loglesqrt  26750  emcllem6  26989  harmoniclbnd  26997  basellem9  27077  gausslemma2dlem0h  27351  lgseisenlem1  27363  2sqmod  27424  vmadivsum  27470  rplogsumlem1  27472  dchrisumlem2  27478  rplogsum  27515  vmalogdivsum2  27526  selberg2lem  27538  logdivbnd  27544  pntpbnd2  27575  pntibndlem2  27579  pntlemg  27586  pntlemn  27588  ttgcontlem1  28978  brbtwn2  28999  axpaschlem  29034  axcontlem8  29065  crctcsh  29917  clwlkclwwlklem2a1  30087  clwlkclwwlklem2fv2  30091  pjhthlem1  31487  leop2  32220  pjssposi  32268  fdvposle  34792  rddif2  36790  dnibndlem4  36794  broucube  38028  areacirclem2  38083  areacirclem4  38085  areacirclem5  38086  areacirc  38087  aks6d1c5lem3  42629  bcle2d  42671  acongrep  43432  sqrtcvallem2  44088  sqrtcvallem4  44090  lptre2pt  46090  dvnmul  46393  dvnprodlem1  46396  dvnprodlem2  46397  stoweidlem1  46451  stoweidlem26  46476  stoweidlem62  46512  wallispilem4  46518  fourierdlem26  46583  fourierdlem42  46599  fourierdlem65  46621  fourierdlem75  46631  elaa2lem  46683  etransclem3  46687  etransclem7  46691  etransclem10  46694  etransclem20  46704  etransclem21  46705  etransclem22  46706  etransclem24  46708  etransclem27  46711  hoidmvlelem1  47045  flmrecm1  47813  submodlt  47826  nnpw2pmod  49081  2itscp  49279