Theorem subge0d 11740

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11663	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11180   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12158  uzsubsubfz  13500  modsubdir  13902  modsumfzodifsn  13906  serle  14019  discr  14202  bcval5  14280  fzomaxdiflem  15305  sqreulem  15322  amgm2  15332  climle  15602  rlimle  15610  iseralt  15647  fsumle  15762  cvgcmp  15779  binomrisefac  16007  smuval2  16451  pcz  16852  4sqlem15  16930  mndodconglem  19516  ipcau2  25201  pjthlem1  25404  ovolicc2lem4  25487  vitalilem2  25576  itg1lea  25679  dvlip  25960  dvge0  25973  dvle  25974  dvivthlem1  25975  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem4  25996  loglesqrt  26725  emcllem6  26964  harmoniclbnd  26972  basellem9  27052  gausslemma2dlem0h  27326  lgseisenlem1  27338  2sqmod  27399  vmadivsum  27445  rplogsumlem1  27447  dchrisumlem2  27453  rplogsum  27490  vmalogdivsum2  27501  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntlemg  27561  pntlemn  27563  ttgcontlem1  28953  brbtwn2  28974  axpaschlem  29009  axcontlem8  29040  crctcsh  29892  clwlkclwwlklem2a1  30062  clwlkclwwlklem2fv2  30066  pjhthlem1  31462  leop2  32195  pjssposi  32243  fdvposle  34745  rddif2  36737  dnibndlem4  36741  broucube  37975  areacirclem2  38030  areacirclem4  38032  areacirclem5  38033  areacirc  38034  aks6d1c5lem3  42576  bcle2d  42618  acongrep  43408  sqrtcvallem2  44064  sqrtcvallem4  44066  lptre2pt  46068  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  stoweidlem1  46429  stoweidlem26  46454  stoweidlem62  46490  wallispilem4  46496  fourierdlem26  46561  fourierdlem42  46577  fourierdlem65  46599  fourierdlem75  46609  elaa2lem  46661  etransclem3  46665  etransclem7  46669  etransclem10  46672  etransclem20  46682  etransclem21  46683  etransclem22  46684  etransclem24  46686  etransclem27  46689  hoidmvlelem1  47023  flmrecm1  47791  submodlt  47804  nnpw2pmod  49059  2itscp  49257