Theorem subge0d 11853

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   ≤ cle 11296   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12265  uzsubsubfz  13586  modsubdir  13981  modsumfzodifsn  13985  serle  14098  discr  14279  bcval5  14357  fzomaxdiflem  15381  sqreulem  15398  amgm2  15408  climle  15676  rlimle  15684  iseralt  15721  fsumle  15835  cvgcmp  15852  binomrisefac  16078  smuval2  16519  pcz  16919  4sqlem15  16997  mndodconglem  19559  ipcau2  25268  pjthlem1  25471  ovolicc2lem4  25555  vitalilem2  25644  itg1lea  25747  dvlip  26032  dvge0  26045  dvle  26046  dvivthlem1  26047  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  dvfsumlem4  26070  loglesqrt  26804  emcllem6  27044  harmoniclbnd  27052  basellem9  27132  gausslemma2dlem0h  27407  lgseisenlem1  27419  2sqmod  27480  vmadivsum  27526  rplogsumlem1  27528  dchrisumlem2  27534  rplogsum  27571  vmalogdivsum2  27582  selberg2lem  27594  logdivbnd  27600  pntpbnd2  27631  pntibndlem2  27635  pntlemg  27642  pntlemn  27644  ttgcontlem1  28899  brbtwn2  28920  axpaschlem  28955  axcontlem8  28986  crctcsh  29844  clwlkclwwlklem2a1  30011  clwlkclwwlklem2fv2  30015  pjhthlem1  31410  leop2  32143  pjssposi  32191  fdvposle  34616  rddif2  36478  dnibndlem4  36482  broucube  37661  areacirclem2  37716  areacirclem4  37718  areacirclem5  37719  areacirc  37720  aks6d1c5lem3  42138  bcle2d  42180  metakunt29  42234  acongrep  42992  sqrtcvallem2  43650  sqrtcvallem4  43652  lptre2pt  45655  dvnmul  45958  dvnprodlem1  45961  dvnprodlem2  45962  stoweidlem1  46016  stoweidlem26  46041  stoweidlem62  46077  wallispilem4  46083  fourierdlem26  46148  fourierdlem42  46164  fourierdlem65  46186  fourierdlem75  46196  elaa2lem  46248  etransclem3  46252  etransclem7  46256  etransclem10  46259  etransclem20  46269  etransclem21  46270  etransclem22  46271  etransclem24  46273  etransclem27  46276  hoidmvlelem1  46610  submodlt  47352  nnpw2pmod  48504  2itscp  48702