Theorem subge0d 11805

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   ≤ cle 11245   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12218  uzsubsubfz  13576  modsubdir  13978  modsumfzodifsn  13982  serle  14095  discr  14278  bcval5  14356  fzomaxdiflem  15396  sqreulem  15413  amgm2  15423  climle  15693  rlimle  15701  iseralt  15738  fsumle  15853  cvgcmp  15870  binomrisefac  16097  smuval2  16541  pcz  16942  4sqlem15  17020  mndodconglem  19612  ipcau2  25374  pjthlem1  25577  ovolicc2lem4  25660  vitalilem2  25749  itg1lea  25852  dvlip  26133  dvge0  26146  dvle  26147  dvivthlem1  26148  dvfsumlem2  26167  dvfsumlem4  26169  loglesqrt  26904  emcllem6  27143  harmoniclbnd  27151  basellem9  27231  gausslemma2dlem0h  27505  lgseisenlem1  27517  2sqmod  27578  vmadivsum  27624  rplogsumlem1  27626  dchrisumlem2  27632  rplogsum  27669  vmalogdivsum2  27680  selberg2lem  27692  logdivbnd  27698  pntpbnd2  27729  pntibndlem2  27733  pntlemg  27740  pntlemn  27742  ttgcontlem1  29212  brbtwn2  29233  axpaschlem  29268  axcontlem8  29299  crctcsh  30151  clwlkclwwlklem2a1  30321  clwlkclwwlklem2fv2  30325  pjhthlem1  31721  leop2  32454  pjssposi  32502  fdvposle  34966  rddif2  37044  dnibndlem4  37048  broucube  38283  areacirclem2  38338  areacirclem4  38340  areacirclem5  38341  areacirc  38342  aks6d1c5lem3  42882  bcle2d  42924  acongrep  43687  sqrtcvallem2  44343  sqrtcvallem4  44345  lptre2pt  46334  dvnmul  46637  dvnprodlem1  46640  dvnprodlem2  46641  stoweidlem1  46695  stoweidlem26  46720  stoweidlem62  46756  wallispilem4  46762  fourierdlem26  46827  fourierdlem42  46843  fourierdlem65  46865  fourierdlem75  46875  elaa2lem  46927  etransclem3  46931  etransclem7  46935  etransclem10  46938  etransclem20  46948  etransclem21  46949  etransclem22  46950  etransclem24  46952  etransclem27  46955  hoidmvlelem1  47289  flmrecm1  48057  submodlt  48070  nnpw2pmod  49340  2itscp  49538