Theorem subge0d 11727

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11650	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   ≤ cle 11167   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  ofsubge0  12144  uzsubsubfz  13462  modsubdir  13863  modsumfzodifsn  13867  serle  13980  discr  14163  bcval5  14241  fzomaxdiflem  15266  sqreulem  15283  amgm2  15293  climle  15563  rlimle  15571  iseralt  15608  fsumle  15722  cvgcmp  15739  binomrisefac  15965  smuval2  16409  pcz  16809  4sqlem15  16887  mndodconglem  19470  ipcau2  25190  pjthlem1  25393  ovolicc2lem4  25477  vitalilem2  25566  itg1lea  25669  dvlip  25954  dvge0  25967  dvle  25968  dvivthlem1  25969  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  dvfsumlem4  25992  loglesqrt  26727  emcllem6  26967  harmoniclbnd  26975  basellem9  27055  gausslemma2dlem0h  27330  lgseisenlem1  27342  2sqmod  27403  vmadivsum  27449  rplogsumlem1  27451  dchrisumlem2  27457  rplogsum  27494  vmalogdivsum2  27505  selberg2lem  27517  logdivbnd  27523  pntpbnd2  27554  pntibndlem2  27558  pntlemg  27565  pntlemn  27567  ttgcontlem1  28957  brbtwn2  28978  axpaschlem  29013  axcontlem8  29044  crctcsh  29897  clwlkclwwlklem2a1  30067  clwlkclwwlklem2fv2  30071  pjhthlem1  31466  leop2  32199  pjssposi  32247  fdvposle  34758  rddif2  36677  dnibndlem4  36681  broucube  37851  areacirclem2  37906  areacirclem4  37908  areacirclem5  37909  areacirc  37910  aks6d1c5lem3  42387  bcle2d  42429  acongrep  43218  sqrtcvallem2  43874  sqrtcvallem4  43876  lptre2pt  45880  dvnmul  46183  dvnprodlem1  46186  dvnprodlem2  46187  stoweidlem1  46241  stoweidlem26  46266  stoweidlem62  46302  wallispilem4  46308  fourierdlem26  46373  fourierdlem42  46389  fourierdlem65  46411  fourierdlem75  46421  elaa2lem  46473  etransclem3  46477  etransclem7  46481  etransclem10  46484  etransclem20  46494  etransclem21  46495  etransclem22  46496  etransclem24  46498  etransclem27  46501  hoidmvlelem1  46835  submodlt  47592  nnpw2pmod  48825  2itscp  49023