MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subge0d 11741
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
subge0d (𝜑 → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem subge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 subge0 11664 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  cr 11046  0cc0 11047  cle 11186  cmin 11381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384
This theorem is referenced by:  ofsubge0  12148  uzsubsubfz  13455  modsubdir  13837  modsumfzodifsn  13841  serle  13955  discr  14135  bcval5  14210  fzomaxdiflem  15219  sqreulem  15236  amgm2  15246  climle  15514  rlimle  15524  iseralt  15561  fsumle  15676  cvgcmp  15693  binomrisefac  15917  smuval2  16354  pcz  16745  4sqlem15  16823  mndodconglem  19314  ipcau2  24582  pjthlem1  24785  ovolicc2lem4  24868  vitalilem2  24957  itg1lea  25061  dvlip  25341  dvge0  25354  dvle  25355  dvivthlem1  25356  dvfsumlem2  25375  dvfsumlem4  25377  loglesqrt  26095  emcllem6  26334  harmoniclbnd  26342  basellem9  26422  gausslemma2dlem0h  26695  lgseisenlem1  26707  2sqmod  26768  vmadivsum  26814  rplogsumlem1  26816  dchrisumlem2  26822  rplogsum  26859  vmalogdivsum2  26870  selberg2lem  26882  logdivbnd  26888  pntpbnd2  26919  pntibndlem2  26923  pntlemg  26930  pntlemn  26932  ttgcontlem1  27719  brbtwn2  27740  axpaschlem  27775  axcontlem8  27806  crctcsh  28655  clwlkclwwlklem2a1  28822  clwlkclwwlklem2fv2  28826  pjhthlem1  30219  leop2  30952  pjssposi  31000  fdvposle  33083  rddif2  34907  dnibndlem4  34911  broucube  36079  areacirclem2  36134  areacirclem4  36136  areacirclem5  36137  areacirc  36138  metakunt29  40572  acongrep  41242  sqrtcvallem2  41851  sqrtcvallem4  41853  lptre2pt  43813  dvnmul  44116  dvnprodlem1  44119  dvnprodlem2  44120  stoweidlem1  44174  stoweidlem26  44199  stoweidlem62  44235  wallispilem4  44241  fourierdlem26  44306  fourierdlem42  44322  fourierdlem65  44344  fourierdlem75  44354  elaa2lem  44406  etransclem3  44410  etransclem7  44414  etransclem10  44417  etransclem20  44427  etransclem21  44428  etransclem22  44429  etransclem24  44431  etransclem27  44434  hoidmvlelem1  44768  nnpw2pmod  46601  2itscp  46799
  Copyright terms: Public domain W3C validator