Theorem subge0d 11832

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11755	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   ≤ cle 11272   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is used by:  ofsubge0  12245  uzsubsubfz  13605  modsubdir  14008  modsumfzodifsn  14012  serle  14125  discr  14308  bcval5  14386  fzomaxdiflem  15434  sqreulem  15451  amgm2  15461  climle  15731  rlimle  15739  iseralt  15776  fsumle  15890  cvgcmp  15907  binomrisefac  16134  smuval2  16578  pcz  16979  4sqlem15  17057  mndodconglem  19674  ipcau2  25468  pjthlem1  25671  ovolicc2lem4  25754  vitalilem2  25843  itg1lea  25946  dvlip  26227  dvge0  26240  dvle  26241  dvivthlem1  26242  dvfsumlem2  26261  dvfsumlem4  26263  loglesqrt  27006  emcllem6  27245  harmoniclbnd  27253  basellem9  27333  gausslemma2dlem0h  27607  lgseisenlem1  27619  2sqmod  27680  vmadivsum  27726  rplogsumlem1  27728  dchrisumlem2  27734  rplogsum  27771  vmalogdivsum2  27782  selberg2lem  27794  logdivbnd  27800  pntpbnd2  27831  pntibndlem2  27835  pntlemg  27842  pntlemn  27844  ttgcontlem1  29349  brbtwn2  29370  axpaschlem  29405  axcontlem8  29436  crctcsh  30300  clwlkclwwlklem2a1  30470  clwlkclwwlklem2fv2  30474  pjhthlem1  31880  leop2  32613  pjssposi  32661  fdvposle  35117  rddif2  37182  dnibndlem4  37186  broucube  38411  areacirclem2  38466  areacirclem4  38468  areacirclem5  38469  areacirc  38470  aks6d1c5lem3  43011  bcle2d  43053  acongrep  43829  sqrtcvallem2  44485  sqrtcvallem4  44487  lptre2pt  46476  dvnmul  46779  dvnprodlem1  46782  dvnprodlem2  46783  stoweidlem1  46837  stoweidlem26  46862  stoweidlem62  46898  wallispilem4  46904  fourierdlem26  46969  fourierdlem42  46985  fourierdlem65  47007  fourierdlem75  47017  elaa2lem  47069  etransclem3  47073  etransclem7  47077  etransclem10  47080  etransclem20  47090  etransclem21  47091  etransclem22  47092  etransclem24  47094  etransclem27  47097  hoidmvlelem1  47431  flmrecm1  48239  submodlt  48252  nnpw2pmod  49521  2itscp  49719