Theorem subge0d 10905

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 10829	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 575	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4851  (class class class)co 6877  ℝcr 10223  0cc0 10224   ≤ cle 10363   − cmin 10554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-po 5239  df-so 5240  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557

This theorem is referenced by:  ofsubge0  11307  uzsubsubfz  12589  modsubdir  12966  modsumfzodifsn  12970  serle  13082  discr  13227  bcval5  13328  fzomaxdiflem  14308  sqreulem  14325  amgm2  14335  climle  14596  rlimle  14604  iseralt  14641  fsumle  14756  cvgcmp  14773  binomrisefac  14996  smuval2  15426  pcz  15805  4sqlem15  15883  mndodconglem  18164  ipcau2  23249  pjthlem1  23426  ovolicc2lem4  23507  vitalilem2  23596  itg1lea  23699  dvlip  23976  dvge0  23989  dvle  23990  dvivthlem1  23991  dvfsumlem2  24010  dvfsumlem4  24012  loglesqrt  24719  emcllem6  24947  harmoniclbnd  24955  basellem9  25035  gausslemma2dlem0h  25308  lgseisenlem1  25320  vmadivsum  25391  rplogsumlem1  25393  dchrisumlem2  25399  rplogsum  25436  vmalogdivsum2  25447  selberg2lem  25459  logdivbnd  25465  pntpbnd2  25496  pntibndlem2  25500  pntlemg  25507  pntlemn  25509  ttgcontlem1  25985  brbtwn2  26005  axpaschlem  26040  axcontlem8  26071  crctcsh  26951  clwlkclwwlklem2a1  27141  clwlkclwwlklem2fv2  27145  pjhthlem1  28584  leop2  29317  pjssposi  29365  2sqmod  29979  fdvposle  31010  rddif2  32789  dnibndlem4  32793  broucube  33758  areacirclem2  33815  areacirclem4  33817  areacirclem5  33818  areacirc  33819  acongrep  38049  lptre2pt  40353  dvnmul  40639  dvnprodlem1  40642  dvnprodlem2  40643  stoweidlem1  40698  stoweidlem26  40723  stoweidlem62  40759  wallispilem4  40765  fourierdlem26  40830  fourierdlem42  40846  fourierdlem65  40868  fourierdlem75  40878  elaa2lem  40930  etransclem3  40934  etransclem7  40938  etransclem10  40941  etransclem20  40951  etransclem21  40952  etransclem22  40953  etransclem24  40955  etransclem27  40958  hoidmvlelem1  41292  nnpw2pmod  42946