Theorem subge0d 11909

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11832	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203   ≤ cle 11347   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547

This theorem is used by:  ofsubge0  12322  uzsubsubfz  13683  modsubdir  14086  modsumfzodifsn  14090  serle  14203  discr  14387  bcval5  14465  fzomaxdiflem  15515  sqreulem  15532  amgm2  15542  climle  15812  rlimle  15820  iseralt  15857  fsumle  15971  cvgcmp  15988  binomrisefac  16213  smuval2  16657  pcz  17064  4sqlem15  17142  mndodconglem  19760  ipcau2  25560  pjthlem1  25763  ovolicc2lem4  25846  vitalilem2  25935  itg1lea  26038  dvlip  26318  dvge0  26331  dvle  26332  dvivthlem1  26333  dvfsumlem2  26352  dvfsumlem4  26354  loglesqrt  27094  emcllem6  27333  harmoniclbnd  27341  basellem9  27421  gausslemma2dlem0h  27695  lgseisenlem1  27707  2sqmod  27768  vmadivsum  27814  rplogsumlem1  27816  dchrisumlem2  27822  rplogsum  27859  vmalogdivsum2  27870  selberg2lem  27882  logdivbnd  27888  pntpbnd2  27919  pntibndlem2  27923  pntlemg  27930  pntlemn  27932  ttgcontlem1  29467  brbtwn2  29488  axpaschlem  29523  axcontlem8  29554  crctcsh  30418  clwlkclwwlklem2a1  30588  clwlkclwwlklem2fv2  30592  pjhthlem1  31998  leop2  32731  pjssposi  32779  fdvposle  35276  rddif2  37435  dnibndlem4  37439  broucube  38665  areacirclem2  38720  areacirclem4  38722  areacirclem5  38723  areacirc  38724  aks6d1c5lem3  43280  bcle2d  43322  acongrep  44080  sqrtcvallem2  44730  sqrtcvallem4  44732  lptre2pt  46743  dvnmul  47046  dvnprodlem1  47049  dvnprodlem2  47050  stoweidlem1  47104  stoweidlem26  47129  stoweidlem62  47165  wallispilem4  47171  fourierdlem26  47236  fourierdlem42  47252  fourierdlem65  47274  fourierdlem75  47284  elaa2lem  47336  etransclem3  47340  etransclem7  47344  etransclem10  47347  etransclem20  47357  etransclem21  47358  etransclem22  47359  etransclem24  47361  etransclem27  47364  hoidmvlelem1  47698  flmrecm1  48506  submodlt  48519  nnpw2pmod  49788  2itscp  49986