Theorem subge0d 11887

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 11810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   ≤ cle 11325   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  ofsubge0  12300  uzsubsubfz  13660  modsubdir  14063  modsumfzodifsn  14067  serle  14180  discr  14364  bcval5  14442  fzomaxdiflem  15490  sqreulem  15507  amgm2  15517  climle  15787  rlimle  15795  iseralt  15832  fsumle  15946  cvgcmp  15963  binomrisefac  16188  smuval2  16632  pcz  17039  4sqlem15  17117  mndodconglem  19735  ipcau2  25535  pjthlem1  25738  ovolicc2lem4  25821  vitalilem2  25910  itg1lea  26013  dvlip  26293  dvge0  26306  dvle  26307  dvivthlem1  26308  dvfsumlem2  26327  dvfsumlem4  26329  loglesqrt  27071  emcllem6  27310  harmoniclbnd  27318  basellem9  27398  gausslemma2dlem0h  27672  lgseisenlem1  27684  2sqmod  27745  vmadivsum  27791  rplogsumlem1  27793  dchrisumlem2  27799  rplogsum  27836  vmalogdivsum2  27847  selberg2lem  27859  logdivbnd  27865  pntpbnd2  27896  pntibndlem2  27900  pntlemg  27907  pntlemn  27909  ttgcontlem1  29444  brbtwn2  29465  axpaschlem  29500  axcontlem8  29531  crctcsh  30395  clwlkclwwlklem2a1  30565  clwlkclwwlklem2fv2  30569  pjhthlem1  31975  leop2  32708  pjssposi  32756  fdvposle  35213  rddif2  37313  dnibndlem4  37317  broucube  38540  areacirclem2  38595  areacirclem4  38597  areacirclem5  38598  areacirc  38599  aks6d1c5lem3  43155  bcle2d  43197  acongrep  43940  sqrtcvallem2  44596  sqrtcvallem4  44598  lptre2pt  46594  dvnmul  46897  dvnprodlem1  46900  dvnprodlem2  46901  stoweidlem1  46955  stoweidlem26  46980  stoweidlem62  47016  wallispilem4  47022  fourierdlem26  47087  fourierdlem42  47103  fourierdlem65  47125  fourierdlem75  47135  elaa2lem  47187  etransclem3  47191  etransclem7  47195  etransclem10  47198  etransclem20  47208  etransclem21  47209  etransclem22  47210  etransclem24  47212  etransclem27  47215  hoidmvlelem1  47549  flmrecm1  48357  submodlt  48370  nnpw2pmod  49639  2itscp  49837